2022春九年级数学下册第24章圆整合提升密码沪科版

专训1圆中常见的计算题型

名师点金：与圆有关的计算主要涉及圆与其他几何图形结合，利用圆周角定理求角

度，利用垂径定理构造直角三角形并结合勾股定理，已知弦长、弦心距、半径三个量中的

任意两个量时，可求出第三个量，利用弧长、扇形面积公式计算弧长、扇形面积等.

邂邈圣有关角度的计算

1.如图,。:［是AABC的内切圆，D,E,F为三个切点.若NDEF=52°,则NA的度数

为（)

A.76°B.68°C.52°

（第2题）

2.如图，有一圆经过4ABC的三个顶点，且弦BC的中垂线与R相交于D点.若/B=

74°,ZC=46°,则前所对圆心角的度数为（）

A.23°B.28°C.30°D.37°

3.（中考•娄底）如图，在。。中，AB,CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD,

BC,BD.

(1)求证：ZXABD0ACDB；

⑵若/DBE=37°,求/ADC的度数.

题鹫2半径、弦长的计算

4.（中考・南京）如图，在。0中，CD是直径，弦ABLCD,垂足为E,连接BC,若AB

=2-72cm,ZBCD=22°30',则。0的半径为.

1

c

D

5.如图，AB为。。的直径，延长AB至点D,使BD=OB,DC切。0于点C,点B是谛的

中点，弦CF交AB于点E.若。。的半径为2,则CF=.

6.如图，在。0中，直径AB与弦AC的夹角为30°,过点C作。0的切线交AB的延长

线于点D,0D=30c血求直径AB的长.

（第6题）

MS；面积的计算

7.（中考•丽水）如图，在AABC中，AB=AC,以AB为直径的。0分别与BC,AC交于点

D,E,过点D作。。的切线DF,交AC于点F.

（1）求证：DF±AC；

（2）若。。的半径为4,ZCDF=22.5°,求阴影部分的面积.

（第7题）

专训2圆中常用的作辅助线的方法

2

名师点金：在解决有关圆的计算或证明题时，往往需要添加辅助线，根据题目特点选

择恰当的辅助线至关重要.圆中常用的辅助线作法有：作半径，巧用同圆的半径相等；连

接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等；作直径，巧用直径所对的圆周角是直角；证切

线时“连半径，证垂直”以及“作垂直，证半径”等.

作半径,巧用同圆的半径相等

1.如图，两正方形彼此相邻，且大正方形ABCD的顶点A,D在半圆。上，顶点B,C

在半圆。的直径上；小正方形BEFG的顶点F在半圆0上，E点在半圆。的直径上，点G在

大正方形的边AB上.若小正方形的边长为4cm,求该半圆的半径.

/送Z连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等

2.如图，圆内接三角形ABC的外角/ACM的平分线与圆交于D点，DPLAC,垂足是P,

DH_LBM,垂足为H,求证：AP=BH.

（第2题）

;噪霰金作直径，巧用直径所对的圆周角是直角

3.如图，。。的半径为R,弦AB,CD互相垂直，连接AD,BC.

⑴求证:AD2+BC2=4R2；

⑵若弦AD,BC的长是方程6x+5=0的两个根（AD〉BC）,求。0的半径及点0到AD

的距离.

（第3题）

洛输*证切线时箍助线作法的应用

4.如图，ZkABC内接于。0,CA=CB,CD〃AB且与0A的延长线交于点D.判断CD与。0

3

的位置关系，并说明理由.【导学号：31782105]

c

（第4题）

逶Q遇弦加弦心距或半径

5.如图，在半径为5的。0中,AB,CD是互相垂直的两条弦，垂足为P,且AB=CD=

8,则OP的长为（）

A.3B.4C.372D.4乖

（第5题）

（第6题）

6.（中考・贵港）如图，AB是。0的弦，0HLAB于点H,点P是优弧上一点，若AB=

2季,OH=1,则/APB=.

::亥磁营遇直径巧作直.径所对的圆周角

7.如图，在AABC中，AB=BC=2,以AB为直径的。。分别交BC,AC于点D,E,且点

D是BC的中点.

（1）求证：AABC为等边三角形.

⑵求DE的长.

4

（第7题）

定法Z遇切线巧作过切点的半径

8.如图，00是放AABC的外接圆,ZABC=90°点P是圆外一点，PA切00于点A,

且PA=PB.

（1）求证：PB是。。的切线；

（2）已知PA=4,ZACB=60°,求。0的半径.【导学号：31782106】

（第8题）

:凌遥遇巧添辅助线计算阴影部分的面积

9.（中考•自贡）如图，点B,C,D都在。。上，过点C作AC〃BD交0B的延长线于点

A,连接CD,且/CDB=/0BD=30°,DB=6，5cm.

（1）求证：AC是。。的切线；

⑵求由弦CD,BD与R所围成的阴影部分的面积（结果保留北）.【导学号：31782107]

（第9题）

专训3圆的实际应用

名师点金：与圆有关的知识在实际生活中有着广泛的应用，从实际生活中抽象出数学

问题，并运用圆的相关知识解决这些问题，可以达到学以致用的目的.

测彝淄康七利用垂径定理解决台风问题

1.如图，台风中心位于点P,并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30

km/h,受影响区域的半径为200km,B市位于点P北偏东75°的方向上，距离P点320km

处.

（1）试说明台风是否会影响B市；

⑵若B市受台风的影响，求台风影响B市的时间.

5

Q

北八

B

P

（第1题）

趣蕤资盟利用圆周角知识解决足球射门问题（转化思想）

2.如图，在“世界杯”足球比赛中，队员甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A

点时，同伴队员乙已经助攻冲到B点，现有两种射门方式：一是由队员甲直接射门；二是

队员甲将球迅速传给队员乙，由队员乙射门.

从射门角度考虑，你认为选择哪种射门方式较好？为什么？

（第2题）

翔蕤潘凝至利用直线।j圆的位置关系解决范围问题

3.已知A,B两地相距1km.要在A,B两地之间修建一条笔直的水渠（即图中的线段

AB）,经测量在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处有一个以C为圆心，

350勿为半径的圆形公园，则修建的这条水渠会不会穿过公园？为什么？

北

4＞东

C

AB

（第3题）

明青逋度£利用圆锥侧面展开图解决材料最省问题

4.如图，某工厂要选一块矩形铁皮加工成一个底面半径为20cm,高为40明物的圆

锥形漏斗，要求只能有一条接缝（接缝忽略不计），请问：选长、宽分别为多少厘米的矩形

铁皮，才能使所用材料最省？

6

(第4题)

专训4与圆有关的动态问题

名师点金：对于与圆有关的运动情形下的几何问题，在探究求值问题时，通常应对运

动过程中所有可能出现的不同情形进行分析，如果符合某些条件的点、线等几何图形不唯

一，要注意分类讨论，在探究确定结论成立情况下的已知条件时，可以把确定结论当作已

知用.

.利用圆探究运动中形成的特殊几何图形问题

1.如图，AB是半圆。的直径，BC是弦，点P从点A开始，沿AB向点B以1cWs的速

度移动，若AB长为10an,点、0到BC的距离为4cm.

(1)求弦BC的长；

(2)经过几秒4BPC是等腰三角形？(PB不能为底边)

(第1题)

2.如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点0为圆心，2为半径画。0,P是。。上一

动点，且P在第一象限内，过点P作。0的切线与x轴相交于点A,与y轴相交于点B.

(1)点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说

明理由；

(2)在。。上是否存在一点Q,使得以Q,0,A,P为顶点的四边形是平行四边形？若存

在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

(第2题)

潮簇通度利用同探究运动中的特殊位置关系问题

3.如图，在四边形ABCD中，AD//BC,ZABC=90°,AB=12cm,AD=8cm,BC=22

cm,AB为。0的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1s的速度运动，动点Q从点

C开始沿CB边向点B以2cWs的速度运动，P,Q分别从点A,C同时出发.当其中一动点

7

到达终点时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为ts.当t为何值时，PQ与。。相

切？

(第3题)

邈娓演整亚利用圆探究运动中的面积问题

4.如图，在。0中，AB为。。的直径，AC是弦，0C=4,Z0AC=60°.

(1)求/AOC的度数；

(2)如图，一动点M从A点出发，在。0上按逆时针方向运动，当SAMAO=SACAO时，求动

点M所经过的弧长.【导学号：31782108]

(第4题)

专训5圆与学科内的综合应用

名师点金：圆的知识是初中数学的重点内容，也是历年中考命题的热点，在中考中常

常与三角函数、相似、二次函数等结合，作为压轴题出现.

遨源走圆与三角函数的综合

1.(中考•遂宁)如图，AB为。。的直径，直线CD切。。于点D,AMLCD于点M,BN±CD

于点N.

(1)求证：ZADC=ZABD；

(2)求证：AD2=AM-AB；

[83

(3)若AM==,sinZABD=T，求线段BN的长.【导学号：31782109]

55

8

(第1题)

虐邂Z圆与相似的综合

2.如图，AtaABC内接于。0,/ACB=90°,点P在弧AB上移动，P,C分别位于AB

的异侧(P不与A,B重合)，APCD也为直角三角形，ZPCD=90°,且心ZiPCD的斜边PD

经过点B,BA,PC相交于点E.

BF

⑴当BA平分NPBC时，求示的值；

(2)已知AC=1,BC=2,求△PCD面积的最大值.【导学号：31782110]

(第2题)

懑溪受圆与一次函数的综合

3.如图，在平面直角坐标系中，OA与x轴相交于C(—2,0),D(-8,0)两点，与y

轴相切于点B(0,4).

(1)求经过B,C,D三点的抛物线的函数表达式.

(2)设抛物线的顶点为E,证明：直线CE与。A相切.

(3)在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F,使△BDF面积最大，最大值是多少？并求

出点F的坐标.【导学号：31782111】

(第3题)

专训6：全章热门考点整合应用

名师点金：圆的知识是初中数学的重点内容，也是历年中考命题的热点.本章题型广

泛，主要考查旋转、圆的概念和基本性质、圆周角定理及其推论、直线与圆的位置关系、

9

切线的性质和判定、正多边形与圆的计算和证明等，通常以这些知识为载体，与函数、方

程等知识综合考查.全章热门考点可概括为：三个概念、三个定理、三个关系、两个圆与

三角形、三个公式、三个技巧、两种思想.

第皂工二个概念

概念1:旋转

1.如图，将一个钝角三角形ABC（其中/ABC=120°）绕点B按顺时针方向旋转得

△ABC”使得点C落在AB的延长线上的点C处，连接AAi.

（1）求出旋转角的度数；

（2）求证：ZAiAC=ZCi.

概念2：中心对称和中心对称图形

2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

ABCD

概念3：圆的相关概念

3.下列说法正确的是（）

A.直径是弦，弦也是直径

B.半圆是弧，弧是半圆

C.无论过圆内哪一点，只能作一条直径

D.在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍

灌Q二个定理

定理1：垂径定理

4.（中考•北京）如图，AB是。0的直径，过点B作。0的切线BM,弦CD〃BM,交AB

于点F,且靠=R，连接AC,AD,延长AD交BM于点E.

（1）求证：4ACD是等边三角形；

⑵连接0E,若DE=2,求0E的长.

10

（第4题）

定理2：圆心角、弦、弧间的关系定理

5.如图，AB是。。的直径，点C在。。上，ZA0C=40°,D是R的中点，求NACD的

度数.

定理3：圆周角定理

6.如图，已知AB是。0的弦，0B=2,ZB=30°,C是弦AB上任意一点（不与点A,B

重合），连接CO并延长CO交。0于点D,连接AD.

（1）弦长AB等于（结果保留根号）.

（2）当ND=20。时，求NB0D的度数.

（3）当AC的长度为多少时，以点A,C,D为顶点的三角形与以点B,C,0为顶点的三角

形相似？

（第6题）

遂蠢1三个关系

关系1：点与圆的位置关系

7.如图，有两条公路OM,ON相交成30°角，沿公路0M方向离两条公路的交叉处。点

80小的A处有一所希望小学，当拖拉机沿0N方向行驶时，距拖拉机50小范围内会受到噪

音影响，已知有两台相距30⑷的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5勿/s,则这两

台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是多少？

11

N

M

/OA(小学)

(第7题)

关系2：直线与圆的位置关系

8.如图，已知0为原点，点A的坐标为(4,3),OA的半径为2.过A作直线1平行于

x轴，交y轴于点B,点P在直线1上运动.

(1)当点P在。A上时，请你直接写出它的坐标；

(2)设点P的横坐标为12,试判断直线0P与。A的位置关系，并说明理由.

(第8题)

关系3：正多边形和圆的位置关系

9.如图，已知。。的内接正十边形ABCD…，AD分别交OB,0C于M,N.求证:

⑴MN〃BC；

(2)MN+BC=0B.

(第9题)

迷Q两个圆与三角形

圆与三角形1：三角形的外接圆

10.(中考•哈尔滨)如图，。。是AABC的外接圆，弦BD交AC于点E,连接CD,且AE

=DE,BC=CE.

(1)求/ACB的度数；

(2)过点0作0F_LAC于点F,延长FO交BE于点G,DE=3,EG=2,求AB的长.

12

（第10题）

圆与三角形2：三角形的内切圆

11.如图，若4ABC的三边长分别为AB=9,BC=5,CA=6,AABC的内切圆。0切

AB,

（第11题）

BC,AC于点D,E,F,则AF的长为（）

A.5B.3

C.4.5D.4

MS三个公式

公式1：弧长公式

12.如图，已知正六边形ABCDEF是边长为2c0的螺母，点P是FA延长线上的点，在

A,P之间拉一条长为12阳的无伸缩性细线，一端固定在点A,握住另一端点P拉直细线，

把它全部紧紧缠绕在螺母上（缠绕时螺母不动），则点P运动的路径长为（）

A.13ncmB.14历cm

C.15acmD.16〃cm

（第13题）

公式2：扇形面积公式

13.设计一个商标图案，如图，在矩形ABCD中，若AB=2BC,且AB=8cm,以点A为

圆心，AD长为半径作半圆，则商标图案（阴影部分）的面积等于（）

A.（4〃+8）cnfB.（4〃+16）cm

C.（3〃+8）cmD.（3〃+16）cm

公式3：圆锥的侧面积和全面积公式

13

14.在手工课上，王红制成了一顶圆锥形纸帽，已知纸帽底面圆的半径为10馆，母线

长为50cm,则制作一顶这样的纸帽所需纸板的面积至少为（）

A.250〃cmB.500ncm

C.750noffD.1000〃cm

15.已知圆锥底面圆的半径为2,母线长是4,则它的全面积为（）

44%B.8£C.12D.16

速蠹⑥：三个技巧

技巧1：作中心对称图形探究线段之间的关系

16.（探究题）如图，在四边形ABCD中，AB〃DC,E为BC边的中点，ZBAE=ZEAF,AF

与DC的延长线相交于点F.

（1）作出4ABE关于点E成中心对称的图形；

（2）探究线段AB与AF,CF之间的数量关系，并证明你的结论.

技巧2：作同弧所对的圆周角（特别的：直径所对的圆周角）

17.如图，直线PQ与。。相交于点A,B,BC是。0的直径，BD平分NCBQ交。0于点

D,过点D作DE_LPQ,垂足为E.连接AD,已知BC=10,BE=2,求sz力/BAD的值.

（第17题）

技巧3：作半径（特别的：垂直于弦的半径、过切点的半径）

18.如图，。。的半径为4,B是。。外一点，连接0B,且0B=6.过点B作。0的切线

BD,切点为D,延长BO交。。于点A,过点A作切线BD的垂线，垂足为C.

⑴求证:AD平分NBAC.

⑵求AC的长.

14

(第18题)

Mi；两种思想

思想1：分类讨论思想

19.已知在半径为1的。。中，弦AC=[i,弦AB=:，则/CAB=

思想2：方程思想

20.如图，在应Z\ABC中，/ABC=90°,。。切BC于点B,切AC于点D,交AB于点

E.若BC=BE,AE=2,求AD的长.

(第20题)

答案

专训1

1.A

2.B点拨：•.•有一圆经过4ABC的三个顶点，且弦BC的中垂线与正相交于D点，

.•.公所对的圆心角的度数=2/C=2X46°=92°,赢所对的圆心角的度数=2NB=

2X74°=148°=而所对的圆心角的度数十记所对的圆心角的度数=轮所对的圆心角的度

数+曲所对的圆心角的度数=矩所对的圆心角的度数+“所对的圆心角的度数+而所对的

圆心角的度数，，好所对的圆心角的度数=；(148°-92°)=28°.故选区

3.(1)证明：：AB,CD是直径，AZADB=ZCBD=90°.

[AB=CD,

在TFfAABD和7?tACDB中，

[BD=DB,

15

TFtAABD^TFtACDBW.

⑵解:：BE是切线，.-.AB±BE.AZABE=906.

VZDBE=37°,AZABD=53°.

VOD=OA,AZ0DA=ZBAD=90°-53°=37°,

即/ADC的度数为37°.

4.2an点拨：连接OB,VZBCD=22°30z,/BOD=2/BCD=45。.VAB±CD,

.•.BE=AE=；AB='|x21^=:（加，ABOE为等腰直角三角形，.•.0B=^BE=2an,故答

案为2cm.

5.273

6.解：连接OC.：/A=30°,；./C0D=60°.

：DC切。0于C,.,.Z0CD=90°..•./D=30°.

1

V0D=30cm,0C=-0D=15cm.

.•・AB=20C=30cm.

（第7题）

7.（1）证明：如图，连接0D,

V0B=0D,JNABC=ZODB.

•・・AB=AC,NABC=ZACB.

ZODB=ZACB.0D//AC.

TDF是。0的切线，・・・DF_LOD.

ADFXAC.

⑵解:如图，连接0E,

VDF±AC,NCDF=22.5°,

・・・NABC=NACB=67.5°,

・・・NBAC=45°.

VOA=OE,・・・NA0E=90°.

・・・。0的半径为4,**•S扇形AOE=4n,SAAOE_8.

S阴影=S扇形AOE-SAAOE=4几—8.

16

专训2

（第1题）

1.解：连接OA,OF,如图.设OA=OF=rcm,AB=acm.

在上SkOAB中，r2=(|j+a2,

在我△OEF中，r2=42+[^4+|j,

22

.*.^-+a2=16+16+4a+^-,解得ai=8,%=一4（舍去）.

.,.1=（引+8°=80,；.巧=4乖，n=—44（舍去），即该半圆的半径为4mcm.

点拨：在有关圆的计算题中，求角度或边长时，常连接半径构造等腰三角形或直角三

角形，利用特殊三角形的性质来解决问题.

2.证明：连接AD,BD."/ZDAC,NDBC是前所对的圆周角.

-,.ZDAC=ZDBC.

：CD平分/ACM,DP±AC,DHXCM,.*.DP=DH.

VDAP=ZDBH,

在AADP和△BDH中，＜/DPA=/DHB=90°,

DP=DH,

.".△ADP^ABDH,；.AP=BH.

点拨：本题通过作辅助线构造圆周角，然后利用“同弧所对的圆周角相等”得到/DAC

=ZDBC,为证两三角形全等创造了条件.

3.（1）证明：过点D作。0的直径DE,连接AE,EC,AC.

：DE是。。的直径，.,.ZECD=ZEAD=90°.

又YCDLAB,；.EC〃AB,

-•.ZBAC=ZACE.

.\BC=AE..,.BC=AE.

17

在AzTXAED中，AD2+AE2=DE2,

.•.AD2+BC2=4R2.

(2)解：过点。作OFLAD于点F.

弦AD,BC的长是方程X2-6X+5=0的两个根(AD>BC),

；.AD=5,BC=1.

由⑴知,AD2+BC2=4R2,.,.52+l2=4R2,；.R=亨.

VZEAD=90°,OF±AD,；.OF〃EA.

又：0为DE的中点，OF=1AE=|BC=1,即点0到AD的距离为精

点拨：本题作出直径DE,利用“直径所对的圆周角是直角”构造了两个直角三角形,

给解题带来了方便.

4.解：CD与。0相切，理由如下：如图，作直径CE,连接AE.

（第4题）

•；CE是直径，.*.ZEAC=90o.

.\ZE+ZACE=90°.

VCA=CB,ZB=ZCAB.

；AB〃CD,

ZACD=ZCAB.

VZB=ZE,AZACD=ZE,

AZACE+ZACD=90°,即OC_LDC.又OC为。0的半径，；.CD与。0相切.

5.C6.60°

(第7题)

7.(1)证明：连接AD,：AB是。。的直径，

.\ZADB=90°.:点D是BC的中点，，AD是线段BC的垂直平分线,

.\AB=AC.

VAB=BC,；.AB=BC=AC,

/.△ABC为等边三角形.

⑵解:连接BE.

18

：AB是直径，；./八£8=90°,.*.BE±AC,

「△ABC是等边三角形，；.AE=EC,即E为AC的中点.

是BC的中点，故DE为aABC的中位线.

11

/.DE=~AB=-X2=1.

8.(1)证明：连接OB,VOA=OB,.\ZOAB=ZOBA.

,/PA=PB,；.ZPAB=ZPBA.

ZOAB+ZPAB=ZOBA+ZPBA,即ZPAO=ZPBO.

又：PA是。0的切线，...NPA0=90°.

AZPBO=90°.；.OB_LPB.

又；0B是。。的半径，；.PB是。。的切线.

⑵解:连接OP,

；PA=PB,...点P在线段AB的垂直平分线上.

•；OA=OB,.•.点0在线段AB的垂直平分线上.

/.0P为线段AB的垂直平分线，

又；BC_LAB,，PO〃BC.

.\ZA0P=ZACB=60°..,.Z0PA=30°.

在以ZkAPO中，AO2+PA2=PO2,BPA02+3=(2A0)2.

又：A0>0,

.•.A0=l.二00的半径为1.

9.⑴证明:如图，连接CO,交DB于点E,.•.N0=2NCDB=60°.

又；/0BE=30°,.•./BE0=180°-60°-30°=90°.

VAC/7BD,AZAC0=ZBE0=90°,即OC_LAC.

又：点C在。。上，AC是。。的切线.

⑵解：：OEJ_DB,；.EB=；DB=3mcm.

在AzTXEOB中，：/0BE=30°,.*.OE=1oB.

19

VEB=3A/3cm,由勾股定理可求得0B=6cm.

又・・・ND=NDBO,DE=BE,NCED=NOEB,

△CDE=AOBE,•*.SACDE—SAOBE,

・602/2\

S阴影=S扇形ocB=0公八"•6=6刀'ycm).

360

专训3

1.解：(1)如图，过B作BH±PQ于H,在TFfABHP中，由条件易知：BP=320km,

ZBPQ=30°..\BH=|BP=160AK200"加....台风会影响B市.

⑵如图，以B为圆心，200碗为半径作圆，交PQ于R,2两点，连接BPi,由垂径定

理知PIP2=2PIH.

在心Z\BHPI中，BPi=200km,BH=160km,

/.PIH=^2002-1602=120(k/n).

.,.PIP2=2PIH=240km.

240

/.台风影响B市的时间为元=8(A).

点拨：本题在图形中画出圆，可以非常直观地构造数学模型，然后利用垂径定理解决

生活中的实际问题.

2.解：选择射门方式二较好，理由如下：设AQ与圆的交点为C,连接PC,如图所示.

"?ZPCQ是APAC的外角，ZPCQ>ZA.又：ZPCQ=ZB,

•••/B>/A..•.在B点射门比在A点射门好....选择射门方式二较好.

点拨：本题运用转化思想,将射门角度大小的问题，建模转化到圆中，根据圆周角的

相关知识来解决实际问题.

20

3.解：修建的这条水渠不会穿过公园.

理由：过点C作CDLAB,垂足为D.

VZCBA=45°,.\ZBCD=45°,CD=BD.

设CD=xkm,则BD=xkm.

易知NCAB=30°,.,.AC=2xkm,(2x)2—X2=A/3Xkm.

/x+x=l,解得x=^2J

即CD="^—~km心0.366km=3667>350m,

也就是说，以点C为圆心，3500为半径的圆与AB相离.

即修建的这条水渠不会穿过公园.

4.解：♦..圆锥形漏斗的底面半径为20cm,高为40明cm,

圆锥的母线长为四2。2+(4咪)2=60(cffl).

设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°,则有“：r°=2]X20,解得n=120.

loU

方案一：如图①，扇形的半径为60cm,矩形的宽为60cm,易求得矩形的长为60^3

cm.

此时矩形的面积为60义62=3600^3M.

方案二：如图②，扇形与矩形的两边相切，有一边重合，易求得矩形的宽为60面，长

为30+60=90(°血，此时矩形的面积为90X60=5400(cm).

•；360端>5400,.•.方案二所用材料最省，即选长为90c0，宽为60口的矩形铁皮，

才能使所用材料最省.

专训4

1.解：⑴作0D_LBC于D.

由垂径定理知，点D是BC的中点，即BD=1BC,；(»=%8=5CH,0D=4cm,由勾股

定理得，BD=^/0B2—0D2=3cm,BC=2BD=6cm.

21

（2）设经过ts,4BPC是等腰三角形.

①当PC为底边时，有BP=BC,即10—1=6,解得t=4；

②当BC为底边时，有PC=PB,此时P点与0点重合，t=5.

经过4s或5s^BPC是等腰三角形.

2.解：（1）线段AB长度的最小值为4.

理由如下：连接OP.

TAB切。0于P,A0PXAB.

取AB的中点C,则AB=20C,

当OC=OP时，0C最短，即AB最短，此时AB=4.

（2）存在.假设存在符合条件的点Q.

如图①，设四边形AP0Q为平行四边形，

VZAP0=90°,四边形AP0Q为矩形.又；0P=0Q,

四边形AP0Q为正方形，

••.0Q=QA..,.ZQ0A=45°,

在以Z^QA中，根据0Q=2,ZA0Q=45°,

得Q点的坐标为（啦，一心）.

如图②，设四边形APQ0为平行四边形，连接0P,

V0Q/7PA,ZAP0=90°,.".ZP0Q=90°.

又；0P=0Q,.,.ZPQ0=45°,

；PQ〃OA,；.PQJ_y轴.

设PQ交y轴于点H,

在以△OHQ中，根据0Q=2,ZHQ0=45°,

得Q点的坐标为（一地，书）.

符合条件的点Q的坐标为（啦，一木）或（一乖,72）.

22

3.解：如图，设PQ与。。相切于点H,过点P作PELBC,垂足为E.

•.•在四边形ABCD中,AD//BC,ZABC=90°,

/.PE=AB.由题意可知：AP=BE=tcm,CQ=2tcm,

/.BQ=BC—CQ=(22—2t)cm,EQ=BQ—BE=22—2t—1=(22—3t)cm.

：AB为。0的直径，ZABC=ZDAB=90°,

AAD,BC为。。的切线..\AP=PH,HQ=BQ.

/.PQ=PH+HQ=AP+BQ=t+22-2t=(22-t)cm.

在以ZiPEQ中，PE2+EQ2=PQ2,

/.122+(22—3t)2=(22-t)2,即

2

t—llt+18=0,解得ti=2,t2=9.

,.,P在AD边运动的时间为,=：=8(s),

而t=9〉8,；.t=9(舍去).

.•.当t=2s时，PQ与。0相切.

4.解：⑴：在△ACO中,Z0AC=60°,OC=OA,

AAC0是等边三角形.

.\ZA0C=60°.

(第4题)

⑵如图，①作点C关于直径AB的对称点岫,连接AM”0应

易得SZ\MIAO=SACAO,/A0MI=60°,

,4"4

•・AMi=10八X60-T".

loUo

当点M运动到Ml时，SAMAO—SACAO,

,,4

此时动点M经过的弧长为§

②过点Mi作MM2〃AB交。。于点M2,连接AM2,0M2,易得SZ\M2Ao=S„

.\Z0MIM2=ZA0MI=60°.

XV0MI=0M2,AZMIOM2=6O°,AZA0M2=120°.

…4"8

••AM2-1onX120—~兀.

loU0

8

.•・当点M运动到M2时，SAMAO=SACAO,此时动点M经过的弧长为鼻

O

③过点C作CM3〃AB交。。于点岫，连接AM3,0M3,易得3Ao=SMAO,ZA0M3=120.

23

…4"16

・•・AM2M3=诉*240=77".

loUo

16

，当点M运动到M3时，SAMAO=SACAO,此时动点M经过的弧长为k".

o

④当点M运动到C时，M与C重合，SAMAO=SACAO,

此时动点M经过的弧长为普X300=日

ioU0

综上所述，当S^MA0=S与A0时，动点M所经过的弧长为或或?"或言"•

<JO«JJ

专训5

(第1题)

1.(1)证明：如图，连接0D,

•.•直线CD切。0于点D,.-.ZCD0=90°.VAB为00的直径，AZADB=90°，：.Z1

+Z2=Z2+Z3=90°,.\Z1=Z3.V0B=0D,AZ3=Z4,AZADC=ZABD.

⑵证明：：AM_LCD,.*.ZAMD=ZADB=90o.VZ1=Z4,AADM^AABD,，瞿=

AD

AD

AAD2=AM•AB.

/…3318

⑶解：*.*smNABD==,smA\—~.VAM=—,，AD=6,.*.AB=10,BD=

555

^/AB2-AD2=8.VBN±CD,・・・NBND=90°,・,・NDBN+NBDN=N1+NBDN=9O°,AZDBN

394_______Q9

=N1,/.smNDBN=F，ADN=—,ABN=^/BD2-DN2=—

500

2.解：⑴连接PA,・・・BA平分NPBC，・・・NPBA=NCBA=NACP.

ZACP+ZPCB=ZBCD+ZPCB=90°,ZACP=ZBCD.AZBCD=ZCBA=

NPBA.・・・AB〃CD.

・・・NPBA=ND・・・・NBCD=ND，.\BC=BD.

又,.・NPCD=90°,易证得PB=BC=BD.

又・・・AB〃CD，APE=EC.

24

，BE是ZXPCD的中位线.

・BE_1

,,而=5，

(2)・.・NPCD=NACB=90。，

NCAB=NCPD,AABC^APDC.

PCAC1112

.*