2020-2021学年高中数学新教材第一册教案：5正弦函数、余弦函数的性质教学设计（人教A版）

【新教材】5.4o2正弦函数、余弦函数的性质教学设计（人教A版）

教材分析

本节课是正弦法教、余弦舀教图像的继续，本课是正弦曲

线、余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦曲教、余弦曲教的性

质.

教学目标与核心素养

课程同标

lo了解周期法教与最小正周期的意义；

2o了解三角法教的周期性和奇偶性；

3.会利用周期性定义和诱导公式求简单三角舀教的周期；

4.借助图象直观理解正、余弦法教在［0,2兀|上的性质（单调

性、最值、图象与x轴的交点等）；

5.能利用性质解决一些简单问题。

教学学科素养

1.教学抽象:理解周期法教、周期、最小正周期等的含义；

2.近春推理：求正弦、余弦形法教的单调区间；

3.教学运算:利用性质求周期、比较大小、最值、值域及到

新奇偶性.

4。教学建模：让学生借助教形结合的思想，通过图像探究正、

余弦曲教的性质。

教学重难息

重点：通过正弦曲线、余弦曲线这两种曲线探究正弦函教、余

弦函数的性质；

难点：应用正、余弦法教的性质来求含有cosx,sinx的函数^的单

调性、最值、值域及对称性。

课前;隹备

教学方法:以学生为主体，小组为单住,采用诱思探究式教学,

精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程

-、情景导入

研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？我们知道从走义

域、值域、单调性、周期性、奇偶性、称性等考虑，那么正余

弦函数有哪些性质呢？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步

观察.研探。

二、预习课本，引入新课

阅读课本201-205页，思考并完成以下问题

lo周期函教、周期、最小正周期等的含义？

20怎样判断三角法教的周期性和奇偶性？

3o通过正弦曲线和余弦曲线得到正弦函数、余弦函数的

哪些性质?

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代

表回答问题。

三、新知探究

1.定义域

正弦函数、余弦曲教的定义域都是实教集长(或S,■的).

2.值域

(1)值域：正弦函教、余弦函教的值域都是卜1刀。

(2)最值

正弦函数y=sinx,xeR

7T

①当且仅当削？时,取得最大值1

②当且仇当2时，取得最小值T

余弦的教尸cosx,xe&

①当且伍当x=2k7r,keZ时，取得最大值1

②当且伍当x=2以+兀此2时，取得最小值-1

3o周期性

定义:对于法教八X）,如果存放一个非零常教7,使得当X取定义

域内的每'一个值时，

都有"X+乃=/（%那么法教”X）就叫做周期改教,非零常教于叫做这

个府教的周期.

由此可知,2兀4兀…2兀-4兀…eZ,M0）都是这两个曲数的周期。

对于一个周期法教了⑶，如果左它所有的周期中存左一个

最小的正教，那么这个最小正教就叫做"X）的最小正周期

根据上述定义，可知:正弦法教、余弦的教都是周期四教，

2加左eZgO）都是它的周期，最小正周期是“

4o奇偶性

>=smx(xe五)为奇函教，其图象关于原点。对称

尸cosx(xeR)为偶国数,其图象关于丁轴对称

5o对称性

正弦的数V=sinx(xeR)的对称中心是伏兀。)佑eZ),

■7T/

对称轴是直线+V0;

余弦舀教的对称中心是12),

对称轴是直线"也心如

r正r余)弦型曲数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于

x轴的直线，对称中心为图象与x轴r中轴线)的支点)。

6.单调性

穴7T

，A上以▲r-[--+2k7T-+2k7T](keZ)•,n2»

正弦法教在每一个闭区间2r2上都是增的数,

开3

其值从-1增大到1；在每一个闭区间个+2班"上都是减

的数，其值从1减小到-1.

余弦法数左每一个闭区间已加/2g/eZ)上都是增法教，其值

从-1增加到1；余弦的教左每一个闭区间［2版2江+汨（丘Z）上都是减

法教，其值从1减小到T。

即、典例分析、举一反三

题型一正、余钱舀数的周期性

例1求下列三角曲教的最小正周期:

(l)y=3cosx,x€R;(2Jy=sin2x,x€R;

(3)y=2sin(1x(4)y=|cosx|,x€R.

【答案】（1）2兀；（2）兀；（3）4兀；（4）兀.

【解析】：（1）因为3cos（x+2兀）=3cosx,所以由周期府教的定义

知,y=3cosx的最小正周期为271o

（2）因为sin2（x+7i）=sin（2x+2;i）=sin2x,所以由周期府教的定义

知,y=sin2x的最小正周期为兀。

（3）因为sin］*+4万）一（卜,尹2%兰卜”；小，所以由周期困教的定义

（4^v=lcosx］的图案如图（实线部分）所示。由图象可知，y=|cos

军、兀/&L2n

解题技巧：(求法教最小正周期的常用方法)

(1)定义法，即利用周期舀教的定义求解.

(2)公式j法,对形如y=Asin(cox+(p)或y=Acos(cox+

夕)(A0,夕是常数，A邦,69邦)的府数,T二错误!。

(3J图象法，即通过画出及教图象，通过图象直接观察即

可.

三种方法各有所长，要根据法教式的结构特征，选择迨当的

方法求解.

跟踪训练一

lo(1)法教y=2sin(3x+»x€R的最小正周期是()

CAJmCBJ年(CJ募CDJ71

(2)函教y司sin2x|(x€R)的最小正周期为.

【答嚎】(1)B;(2)》

【解析】C2J作出y二|sin2x|(x€R)的图象(如图所示).

由图象可知，舀教y刁sin2x|fx€RJ的最小正周期为》

广

x

—/n,—菱o号h3^

题型二化简、求值

例2到新下列法教的奇偶性：

(1)f(x)=0sin2x；(2)ffxj=sin(^+^);

(3Jf(x)=sin|x|；(4)ffxj=w-cosx+\/cosx-lo

【答案】(U奇曲教；(2)偶法教;(3)偶曲教;C4J既是奇

府教又是偶舀教.

【解析】(1)显然x€R,f(—x)=叵sin(—2x)=—也sin2x=-f(x),

所以f(x)=asin2x是奇法数.

(2)因为x€R,f(x)=sin(甘+自尸-cos空，

所以f(-xj=-cos(-^)=-cos^=f(x),

所以困教f(x)=sin(9+三)是偶法教。

(3J显然x€R,f(-x)=sin|—x|=sin|x|=f(x),

所以为数f(x)=sin|x|是偶出教.

(4J由［I-SSXM得cosx=l,所以x=2k兀(k€Z)，关于原点对称，此

Icosx-120,

时fCxJ=0,故该舀教既是奇法教又是偶舀教。

解题技巧：r到新法教奇偶性的方法)

到新法教奇偶性的方法

(1)利用定义到新一个曲教f(x)的奇偶性，要考虑两方面:①困

教的定义域是否关于原点对称；②f(-x)与f(X)的关系；

(2)到新曲教的奇偶性常用方法是：①定义法；②图象法。

艰跺训练二

lo下列法教中，最小正周期为兀的奇法教是()

(A)y=sin(2x+|)fB)y=cos(2x+g)

(C)y=sin(2x+：)fDJy=&sin

【答嚎】B

【解析】A中，y=sin(2x+|J,即y=cos2x,为偶法教；C,D

中，法教为非奇非偶的数;B中，y=cos(2x+^J=一sin2x,是奇

法数,T二号=兀，故选B.

2.定义左R上的法教/小)既是偶法教，又是周期舀教，若

的最小正周期为兀，且当x€错误!时，/fx)=sinx,则/错误!等于

A.-2B.1C,一错误！D,错误！

【答案】D

【解析】因为/(x)的最小正周期为T=7l,

所以/错误！二/错误！二/错误！，

又y=/(%)是偶曲教，所以于(-x)=f(X).

所以/错误！=/错误！=/错误！=sin错误！=错误！.

题型三正、余弦曲数的单调性

例3求的数y=sin(，x+。的单调区间。

23

【答案】略。

【解析】当一-+2k;i<-x++2k7ifk€ZJ时为数单调适增，所

2232

以法教的单调成增区间为［—y+4^,-|+4^J(k€Z).当^+2k?i<^-x+^

S?+2k7i(k€Z)时改数单调适减，所以府教的单调的减区间为1

+4^,y+4^](k€ZJO

解题技巧：（求单调区间的步骤）

（1）用“基本法数法"求法数y=Asin（a）x+（p）［A>0,69>0J

或

y=Acos（cox+（p）fA>0,69>0J的单调区间的步骤：

第一步：写出基本法数y=sinx（或>=<\%%）的相应单调区

间；

第二步：将％x+e”视为整体誉换基本法数的单调区间r用

不等式表示）中的匕”；

第三步：解关于x的不等式.

（2）对于形如y=Asin（Gx+9）的三角的数的单调区间问题，

当gvO时，可先用诱导公式转化为y二一Asin（-5：-0），则y

=Asin（-cox-（p）的单调成增区间即为原法教的单调适臧区间，

单调递,减区间即为原为数的单调递.增区间.余弦曲教y二

Acos（cox+（p）的单调性讨先同上,另外，值得注意的是kCZ这

一条件不能堵略.

跟踪训练三

1.求为教y=2sin错误!的单调增区间.

【答案】略.

【解析】y=2sin错误！二-2sin错误！，令2=x一错误！，贝:jy=-2sinz,

求y二一2sinz的增区间，即求y=sinz的减区间，所以错误!+

错误！+2kMk€Z),

即错误！+2kn<x-错误！S错误！+2kMk€Z),解得错误！+2防区后错误！+

2kMk€Z),

所以y=2sin错误!的单调增区间是错误！r左CZ).

题型四正弦舀教、余强的教单调性的应用

例4比较下列各组中舀数值的大小：

(1)COS错误！与COS错误!；

(2)sin194。与cos160%

【答嚎】(1)cos错误！vcos错误！；(2)sin194°>cos160°o

【解析】(1JCOS错误！=COS错误！=COS错误！，

COS错误！=COS错误！=COS错误！,

.•兀v错误！v错误！v2兀，且W/教y二cosx族［兀，2兀_7上单调遗

增，

COS错误！VCOS错误！,即COS错误！VCOS错误！O

C2)sin194°=sin(180°+14°)=-sin14°,

cos160°=cos(180°-20°)=-cos20°=-sin70°o

•/0°<14°<70°<90°,且曲数y=sinx左00vxv90。时单调适

增，/.sin140<sin70°.

从而一sin14°>-sin70°,即sin194°>cos160°。

解题方法r比较两个三角法数值的大小)

ri)比较两个同名三角曲教值的大小，先利用诱导公式杷

两个角化为同一单调区间内的角，再利用法教的单调性比较.

(2J比较两个不同名的三角函教值的大小，一般应先化为

同名的三角及教，后面步骤同上,

(3J已知正(余)弦改数的单调性求参数范围，多用教形结合

思想及转化思想求解.

跟踪训练回

1.下列结论正确的是

A、sin400°>sin50°B,sin220°<sin310°

C.cos130°>cos200°D,cos(-40°J<cos310°

【答嚎】Co

【解析】由cos130°=cos(180°-50°)=-cos50°,cos200°=

cos(180°+20°J=-cos20°,因为当0°<x〈90°时，舀教y=cos

x是减困教，所以cos50°<cos20°,所以-cos50°>-cos20°,

即cos130°>cos200°o

题型五正、余荏曲效的值喊与景值问题

例5求下列法教的值域：

(1)y=cosfx+p,x€［0,j］j

(2Jy=cos2x—~4cosx+5。

【答案】⑴;(2)12,10］。

【解析】ri)由x€f0,同可得

X+MLy］，

曲教y=cosx在区间心，上单调适减，所以困教的值域为［—

(2)y=cos2x—"4cosx+5,令仁cosx,

则-10S1。

y=t2-4t+5=（,

当仁一1时，法教取得t—2）2+1最大值10;

仁1时送教取得最小值2,所以曲教的值域为f2,10].

解题方法（三角为数的值域问题解题思路）

三角为数的值域问题的两种类型，一是化为y=Asin（3x+w）

+B的形式，这种类型的值域问题解决方

法是利用区间上的单调性;二是与其他法教相复合，最为常

见的是与二次四教复合，利用的是三角法教的有界性和二次法