2022年二轮复习高考导数解答题四（构造函数证明不等式）

高考导数解答题专练四(构造函数证明不等式)

在解题中常用的有关结论(需要熟记)：

(1)曲线y=f\x)在x=x0处的切线的斜率等于:(见)，切线方程为y=/'(x0)(x-%)+/(%)

(2)若可导函数y=/(x)在％=不处取得极值，则/'(/)=0。反之，不成立。

(3)对于可导函数/(x),不等式:(幻>0(<0)的解集决定函数/(对的递增(减)区间。

(4)函数/(x)在区间I上递增(减)的充要条件是：VXG//'(x)2()(40)恒成立

(5)函数/(x)在区间I上不单调等价于f(x)在区间I上有极值，则可等价转化为方程/'(x)=0在区间

I上有实根且为非二重根。(若/'(X)为二次函数且I=R,则有A〉。)。

(6)/(x)在区间I上无极值等价于/(x)在区间在上是单调函数，进而得到了'(x)20或r(x)40在I

上恒成立

(7)若Vxe/,/(x)>0恒成立，则/")1nm>0；若Vxe/,/*)<()恒成立，则穴02<0

(8)若三天6/，使得/(尤0)>0,则/(X)max〉0；若三玉)6/，使得/(朝)<0,贝U/(X)min<0.

(9)

⑼设/(龙)与g(x)的定义域的交集为D若DxeD/(%)>g(尤)恒成立则有"(x)_g(x)h“>0

(10)若对V%]€/]、X2EI2,/(%,)>g(、)恒成立，则/(X)min>g(X)max-

若对V玉e/1,3x2e/2,使得/(x,)>g(x2),则f(x)min>g(x)min.

若对V.G/1,3X2e/2,使得/(%,)<g®)，则/(■1rax<g(X)max-

(11)已知/(x)在区间乙上的值域为A,,g(x)在区间上值域为B,

若对V演e/1,m%2e4，使得/(X1)=g(无2)成立，则4=B。

(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程/'(x)=0有两个不等实根玉、%，且极大值大于0,极小值

小于0.

(13)证题中常用的不等式：

①山％<无一1(%>0)②In(x+1)<x(x>-1)③ex>l+x

1.已知函数f(x)=alnx+x.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当4=1时，证明：xf(x)<e\

2.已知函数f(x)=x-alnx・

(I)求曲线y=/(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(II)求/(力的单调区间；

(ID)若关于x的方程x-H依=0有两个不相等的实数根，记较小的实数根为.％,

求证：(a-l)xu>a.

3.已知函数f(x)=a/nr+x,函数g(x)=e*+加，

(1)记〃(X)=/(X)+X2,试讨论函数/©)的单调性，并求出函数力(X)的极值点；

(2)若已知曲线y=/(x)和曲线y=g(x)在x=l处的切线都过点(0,1).求证：当

x>0时,xf(x)+g(x)-(e-l)x>1.

4.已知函数/(》)=⑪+/〃双4€/?)在*=1处取得极值.

(I)若对Vxe(0,E),f(x)Wl—bx恒成立，求实数。的取值范围；

(II)设g(x)=/(x)+(x-2)e*,记函数y=g(x)在J,1］上的最大值为机，证明:

4

(m+4)(/??+3)<0.

5.已知函数/(x)=/-x-a,对于VxeR,f(x)20恒成立.

(1)求实数〃的取值范围；

(2)证明：当xe［0,生］时，cosx+tanx<ex.

x

6.已知函数,f(x)=e9g(x)=ax+1・

(I)已知f(x)>g(x)恒成立，求。的值；

(II)若工£(0,1),求证：1-加+彳2」V1.

fMX

7.已知函数f(x)=x(加Ll),r(x)的反函数为/©)(其中广⑴为了⑴的导函数,

功2ao.69).

(1)判断函数g(x)=尸(x)+f-3工+2在(0,+co)上零点的个数；

(2)当xe(0,l),求证：&!>当一x—l.

〃(x)

8.已知函数/(x)=a(x2x(neR).

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)证明：当x>l时，『之争.

Inxxz-x

9.已知函数f(x)=W.

(1)求，(x)在x=-2处的切线方程；

(2)已知关于x的方程=“有两个实根不，x,,当」<八—4■时，求证:

ee

2

\xi-x2\<(e+1)。+4.

10.已知函数f(x)=(1+x)e<'与尸(x)=5-3x+2xcosx+1.(e=2.71828…是自然对数

的底数，历2°0.69)

(1)讨论关于x的方程I历r|=/(x)根的个数；

(2)当xw[O,1]时，证明：f(x)21-X2F(x).

11.已知.f(x)=/nr+(〃7-l)x+〃7.

(1)求/(x)的单调区间；

(2)g(x)=f\x)-nix,若g(x)有两个零点a,b,且a<A.求证：

m

h+l<2e-'<a+-.(左边和右边两个不等式可只选一个证即可)

ba

12.已知函数f(x)=lruc-x,g(x)=x+-f且函数/(x)与g(x)有相同的极值点.

X

(1)求实数。的值；

(2)若对74七£[±3],不等式等伴Ml恒成立，求实数4的取值范围;

ek+i

/.、4、H-、/、e"+cosx

(3)求证：J(x)+g(x)<-------------・

x

13.已知函数f(x)=e-lax-b-v\(a,bG/?).

(1)讨论/(X)的极值情况；

(2)若a20时，f(x)>0,求证：b-4a2<-.

高考导数解答题专练四(构造函数证明不等式)解析

在解题中常用的有关结论(需要熟记)：

(1)曲线y=f\x)在x=x0处的切线的斜率等于:(见)，切线方程为y=/'(x0)(x-%)+/(%)

(2)若可导函数y=/(x)在％=不处取得极值，则/'(/)=0。反之，不成立。

(3)对于可导函数/(x),不等式:(幻>0(<0)的解集决定函数/(对的递增(减)区间。

(4)函数/(x)在区间I上递增(减)的充要条件是：VXG//'(x)2()(40)恒成立

(5)函数/(x)在区间I上不单调等价于f(x)在区间I上有极值，则可等价转化为方程/'(x)=0在区间

I上有实根且为非二重根。(若/'(X)为二次函数且I=R,则有A〉。)。

(6)/(x)在区间I上无极值等价于/(x)在区间在上是单调函数，进而得到了'(x)20或r(x)40在I

上恒成立

(7)若Vxe/,/(x)>0恒成立，则/")1nm>0；若Vxe/,/*)<()恒成立，则穴02<0

(10)若m/e/，使得/(/)〉0，则/(X)max>0;若三%e/,使得f(xQ)<0,则/(x)min<0.

(11)

⑼设/(无)与g(x)的定义域的交集为D若DxeD/(%)>g(尤)恒成立则有［〃x)_g(x)h“>o

(10)若对V%］€/］、X2EI2,/(%,)>g(、)恒成立，则/(X)min>g(X)max-

若对V玉e/1,3x2e/2,使得/(x,)>g(x2),则f(x)min>g(x)min.

若对V.G/1,3X2e/2,使得/(%,)<g®)，则/(■1rax<g(X)max-

(11)已知/(x)在区间乙上的值域为A,,g(x)在区间上值域为B,

若对V演e/1,m%2e4，使得/(X1)=g(无2)成立，则4=B。

(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程/'(x)=0有两个不等实根玉、%，且极大值大于0,极小值

小于0.

(13)证题中常用的不等式:

①(%>0)②In(x+1)<x(x>-1)③ex>\+x

1.已知函数/(x)=+

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)当4=1时，证明：xf(x)<ex.

解：(1)f(x)=alnx+x9XG(0,-HX)).f\x)=—+1,

X

22。时，小)>。，函数行)在三。,口上单调递增.

”0时，令/(尤)=0,解得x=-4>0,函数/(X)在XW(0,-〃)上单调递减，在

上单调递增.

(2)证明：当a=l时，要证明：xf(x)<e\即证明也+1<冬,

Xx~

人,、Inx.“、\-lnx

令g(x)=—+1，g'(%)=——

XX

令g'(x)>o，解得Ovxve;令g，(x)<0,解得e<%.

函数g(x)在(0,e)上单调递增，在3,位)上单调递减.

，x=e时，函数g(x)取得极大值即最大值，g(e)=1+1.

e

令力(x)

(X—2)/

”*)=

令〃(幻<0,解得0vxv2;令”(%)>0,解得2Vx.

・•・函数”(x)在(0,e)上单调递减，在(2,y0)上单调递增.

；.x=e时，函数九(x)取得极小值即最小值，h(2)=巨

4

4e42.5

g(x)“w<Mx).,

艮［］处+］<二，也艮|J<ex.

XX"

2.已知函数/(x)=x-alnx・

(I)求曲线y=/(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(II)求/(x)的单调区间；

(ID)若关于x的方程x-a加=0有两个不相等的实数根，记较小的实数根为二,

求证：(a-1)x0>a.

(I)解：由/(x)=x-alnx，可得f\x)=1--,

x

则r(1)=i-6/,又/(1)=1,

所以曲线y=/(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=(1-a)(x-l),

艮|Jy=(\-a)x+a.

(II)解:=的定义域为(0,+oo),f\x)=1--=-―-,

xx

当6,0时,f(x)>0,/(x)在(0,+oo)上单调递增；

当a>0时，令八x)>0,可得无令r(x)v0,可得Ovxva,

所以f(x)在(0M)上单调递减，在(q”)上单调递增.

(IH)证明：由(H)可知，当心0时，f(x)=x-Hnr=0才有两个不相等的实根,

且%>0,

则要证3-1次>〃，即证即证

a元0ax0

而升)-。/啄=0,则a=3-(x()wl,否则方程不成立)，

I叫

所以即证1_她>2_,化简得巾_/叫_1>0,

令ga))=x()-则g'a))=i

%与

当0</<1时，g\xQ)<0,g($)单调递减，

当工0>1时，g</)>0,g5)单调递增，

所以g(Xo)Ng(l)=0,而"1,

所以g(X)>o，

所以(〃-1)工0>〃，得证.

3.已知函数/(x)=Hnx+%,函数g(x)=e，+加，

(1)记力(x)=/(x)+f,试讨论函数/©)的单调性，并求出函数〃⑺的极值点；

(2)若已知曲线y=/(x)和曲线y=g(x)在、=1处的切线都过点(0,1).求证：当

x>0时,xf(x)+g(x)-(e-l)x>1.

解：(1)/z(x)=alnx+x+x2,hr(x)=+a(x>0),

X

记(p{x)=2x2+x+a(x>0),

当口.0时，6(x)>0,A(x)在(0,+oo)单调递增，无极值点，

当a<0时,△=1-8a>0,(p(x)有异号的两根^=—―~(<0),

-1+J1-8〃

/=-----------(>0),

”3士正足)，夕⑶<0,力,(/<0,九⑴在©士正电)单调递减，

44

X£("’18",4-co),(p(x)>0,hr(x)>0,h(x)在(1+阻,+oo)单调递减，

44

力(X)有极小值点X=心此死；

4

(2)证明：*.•ff(x)=X+a(x>0)»gr(x)=ex+2bx,

x

fr(1)=a+l,f(x)在x=l处的切线方程为y-1=3+1)(%-1),过点(0,1)得：a=-1,

,(1)=e+2b,g(x)在x=l处的切线方程为y-e-/?=(e+2/?)(x-l),过点(0,1)得：

b=—l9

/./(x)=-lux+x,g(x)=ex-x2,

要证:xf(x)+g(x)一(e-l)x>1,

即ijE:---Inx—(e-1)..0，

xx

构造函数K(x)=C-/nx-1(e-l),则K，(x)=区二里二»,

XXX

,.•%>()时，-1>0,

.•.X€((M)时，K(x)<0,K(x)在(0,1)单调递减,

.,.xw(l,y)时，K'(x)>0,K(x)在(1,期)单调递增，

K(x)..K(1)=0,故原不等式成立.

4.已知函数/(》)=奴+。W(4€/?)在》=1处取得极值.

(I)若对Vxe(0,E),f(x)Wl—bx恒成立，求实数b的取值范围；

(II)设g(x)=/(x)+(x-2)/,记函数y=g(x)在己，1］上的最大值为机，证明:

4

("7+4)(〃z+3)v0・

(I)解：/(x)=ax+lnx{aeR),则fr(x)=a+—

x

又/(x)在X=1处取得极值，则有:(1)=4+1=0,解得4=-1,

止匕时r(x)=l-i,

X

当Ovxcl时,fr(x)>0,则f(x)单调递增，

当x>l时,f'(x)<0,则/(x)单调递减,

所以/(X)确实在x=1处取得极值，

故a=-l,

设/?(%)=/«%+(/?-l)x-l,

则f(X)<1-bx在(0,+<»)上恒成立，即/z(x),0在(0,4-00)上恒成立，

因为“(%)=1+6-1,

X

当b-l..O,即h.l时,版x)>0在(0,+oo)上恒成立，不符合题意；

当〃<1时，令〃(x)=0,解得x=」_,

\-b

当0<x<」一时，h'(x)>0,则。x)单调递增,

\-h

当时，h'(x)<0,则〃(x)单调递减，

\-b

所以当x=——时，h(x)取得最大值/?(——)=ln―-——F----1=-ln(l-/?)-2,

\-h\-h\-b\-b

要使得h(x)„0在(0,+«)上恒成立,

则有一出(—,0,解得h„1-e-,

综上所述，实数6的取值范围为(-co,l-e-2］；

(II)证明：要证(利+4)(加+3)<0,即证明T</<-3即可,

因为g(x)=f(x)+(x-2)ex=lnx-x+(x-2)ex,

贝！Jg'(x)=——1+e*+(x-2)ex--~-+^(%-1)=(ex--)(x-1),

XXX

因为xeg,1］时，x-L,0恒成立,

设M(x)=e，-工，1],则M(x)为单调递增函数，

L11-203-5

又M(一)="o——<0也(_)=〃―>0,

201153

则存在天£(”,3),使得M(X())=O,即*=上，

205x()

则当时，M(x)<0,(x-l)<0,则g<x)>0,故g(x)单调递增,

4

当xwX，1］时,M(x)..O,0且不同时为0,则g，(x),,0,故g(x)单调递减,

Xn

所以g(x)在』,1]上的最大值为mugOoX/nro-与+*0-2)1=lnxQ-xQ+xoe^-2e,

4

1O11Q

又e"=一,贝U〃2=/"一/+1---,x0G(一,一)，

x0x()205

设&(x)=/MT-X+1-2,XG(―,-)，

x205

则敏X)=［1+蛾>0对于X喝*恒成立,

故小)在xe号令上单调递增

痂7/、//I、,1111,40,119404

fixk(x)>k(—)=In------+1----=In---F------>-4

20202011202011

333103

As(x)<k(~)=In-----F1---~In—2.933<—3,

55535

于是-4vm<—3,

故(〃2+4)(/7?4-3)<0.

5.已知函数-对于VxeR,f(x)20恒成立.

(1)求实数。的取值范围；

(2)证明：当xc[O,勺时，cosx+tanx<ex.

4

解：(1)由f(x)NO恒成立，得对VxwR恒成立，

a<ex_x

令g(x)=ex-x,gf(x)=ex-1,

当x>0,gXx)>0,g(x)单调递增,

当xvO,g\x)<0,g(x)单调减，g(x)的=g(O)=l，

故所求实数。的取值范围为(-QO,1];

(2)证明：由⑴得elx+l.

欲证cosx+tanj;,ex,只需证cosx+tan&x+1即可，

令〃(x)=cosx+lanx-x-1,

,,/、1,sinx(sinx-cos2x)sinx(sinx+sin2x-1)

h(x)=-smx+——-——1=-----------------=----------；--------,

cosxcosxcos-x

令b(xXsinx+si/x-l,则易知/(x)在[0,勺单调递增，且尸(0)<0,F(-)>0,

44

故存在为€(0二)，使得F(x0)=0;

4

当工£[0,玉))时，F(x)<0,h\x\,0,力(幻单调递减，

当今时，F(x)>0,h\x)>0,/z(x)单调递增，

又/1(0)=0,〃(7)=#一7<0,h(x)lfiax=〃(0)=0,

故当工£。勺时，cosx+tanex.

4

6.已知函数/(©=/,g(X)=O¥+l.

(I)已知f(x)2g(X)恒成立，求。的值；

(II)若xw(0,l),求证：1-^,1X+x2--<1.

f(x)X

解：(1)已知f(x)上g(X)恒成立,

令h[x)=J'(x)-^(x)=ex-ax,贝！]有h'(x)=ex-a，

当a<0时,则恒有〃(x)>0,此时函数以x)单调递增,并且当xf-8时，〃(x)

不满足题意；

a>0,此时令“(%)=0=>x=bza;

：.h\x)>Q^>x>Ina;h\x)<0=>x<Ina,即函数〃(x)在(-oo,历a)上单调递减，在

(Z/7Z7,+OO)上单调递增，

/.h(x)mjn=h(lna)=a-alna-1,

若要满足题意，则需使a/w-L.0,恒成立，

令F(a)-a-alna-1(a>0),则有Z7'(a)=lna,

由此可得，当Ovavl时，Ff(a)<0；当a>l时，F'(a)>0.

:.F(a)=F(1)=0,即得尸(a)..0,

,.ci—\•

(2)令G(x)=e，-x-l(xw(0,l)),则有G，(x)=e，-1>0恒成立,故可得G(x)在(0,1)上

单调递增，

即有G(x)>G(0)=0恒成立,故有/-x-1>0o炉>x+1在(0,1)上恒成立;

根据题意，要证匕妈+即证明匕妈+x__L<i,

/(x)Xx+1X

即证1-履+%2<X+1,

X

即证Inx-x2+1+—>0,

X

2

H(x)^lnx-x+X+-,则有H'(x)=--2x一一r=^(x-l)-2x,

XXXX

XG(0,1),

x—1v0,—2xv0,

"(x)<0在(0,1)上恒成立，即得函数H(x)在(0,1)上单调递减，

H(x)>H(1)=1>0,由此得证当xe(0,l)时，原不等式成立.

7.已知函数,f(x)=x(/n・l),.「(X)的反函数为//(x)(其中r(x)为/(x)的导函数,

M2=0.69).

(1)判断函数g(x)=/"(x)+f_3x+2在(0,+00)上零点的个数;

(2)当xe(0,l),求证：包

〃(x)

解：(1)由题意得g(x)=/'(x)+x2-3x+2=+f-3x+2,

则g，(x)O-l)(D,

X

由g«)=0得x或x=l,

由g，(x)>0,得0<x<；或%>1,

由/(“)<0,得g<x<1,

当x在(0,+oo)上变化时，g，(x),g(x)变化情况如下表：

X(*)(;,1)1

2

g'(x)+0—0+

g(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增

根据上表知g(x)极大值=g[g)=；-/〃2>0,g(x)极小值=g(1)=0,

g(；)="-21n2<0,

根据零点的存在性定理，函数g(x)在(0,g)上存在唯一零点，又因为g(1)=0,

所以根据g(x)的单调性可知，函数g(x)=尸(x)+炉-3x+2在(0,+oo)上零点的个数为

2.

(2)证明：因为尸(幻=而，其反函数为〃(x)=e',

所以不等式为x(1nx-1)>x3-X-1«x(lnx-l)>(x3-x-\)e',

ex

当xw(0,1)时,f\x)<0，

所以f(x)在(0,1)上单调递减，

所以/(x)>f(1)=-1,

设函数G(x)=(d-x-l)e',

贝UG\x)=(x3+3x2-x-2)ex，

设函数MX)=Y+3X2_X-2,贝lj“(X)=3X2+6X-1,

所以“(x)在(0,1)上单调递增，

因为“(()).“(1)=-8<0,

所以存在X。€(()」)，使得"5)=0,

所以函数p(x)在(0,%)上单调递减，在(%,1)上单调递增,

当xe(O,Xo)时，p(x0)<p(0)=-2,

当xe(xo，1)时，p(x0)<0,p(1)>0,

所以存在为€(0,1),使得G(xJ=0,

所以当xe(0,xJ时，G,(x)<0,

当X€(X「1)时，G(x)>0,

所以函数G(x)在(0,*)上单调递减，在小，1)上单调递增,

因为G(0)=—1,G(1)=—e，

所以当xw(0,l)时,G(x)<G(0)=-l,

所以x(lnx-l)>(x3-X-l)e',

所以/Udr-l.

g(x)

8.已知函数/(》)=心2-x)-加x(aeR).

(1)讨论函数f(x)的单调性;

2ex-1x2+l

(2)证明:当x>l时,>

Inxx2-x

解：(1)函数的定义域为(0,+oo),f\x)=a(2x-1)--=—――-

xx

令g(x)=lax1-ax-\,

⑴当4=0时，g(x)=-l<0,/(%)=里^<0,此时/⑺在(0,y)上单调递减;

x

(万)当〃工0时，g(x)为二次函数，△="+8〃，

①若△,,(),即时，g(x)的图象为开口向下的抛物线且g(x)„O,则

尸(幻=皿,,0,此时f(x)在(0,+oo)上5单调递减；

X

②当△>(),即"―8或a>0时，令g(x)=0,解得用=伫近运小=色土五三，

4a4a

当。<-8时，g(x)的图象为开口向下的抛物线，0<%<为，

.,.当xe(0,々)，》€(为，+oo)时，g(x),,0,则f(x)单调递减,当xe®,

为)时,g(x)>0,则r(x)>0,f(x)单调递增;

当a>0时，g(x)的图象为开口向上的抛物线，x,<0<x2,

当xe(0,9),g(x\,0,则r(x)<0,/(x)单调递减，当xe®,+8),g(x)>0,则

r(x)>o,〃x)单调递增；

综上，当"-8时，"X)在(0,史西云),("五且)上单调递减，在

4。4a

("J"'+'」—“2+8。)上单调递增；

4a4a

当a>0时，/(x)在(0,空叵近)上单调递减，在(竺叵芹)上单调递增；

4。4。

当-8融0时，/1)在(0,钙)上单调递减.

(2)证明：由(1)知，当a=l时，/(X)在(0,1)上单调递减，在(1,-)上单调递

增，

因此对任意x>l恒有(1),即x2-x>/nr,

又Oc/nrcx?-x,要证必一…当里，只需证纭工./+1,

Inxx-x

令tn(x)=er~l--1(x2+1),x..1,则加(x)=ex~'-x,m\x)=ex~l-1,

•/x.A9

:.nf(x)..O,则W(x)在［1,+8)上单调递增，又ni(1)=0,

.,.当X..1时，W(x)..O恒成立，则"2(X)在［1,+00)上单调递增，又加(1)=0,

对任意x>l恒有皿x)>桃(1),即2e任.f+l,即得证.

9.已知函数f(x)=x".

(1)求f(x)在x=-2处的切线方程；

(2)已知关于x的方程f(x)=“有两个实根玉，x,,当■时，求证:

ee"

2

\xx-x21<(e+1)。+4・

n

解：(1)■.-f(x)=xe',/(-2)=-p-

f(x)=(x+l)et,/(_2)=-占，

e

故x=-2时的切线方程是y=-1(x+2)_/,

ee

(2)证明：由(1)知：f(x)在(TO,-1)递减，在(T+oo)递增,

*•*/(-1)=一1，f(-2)="y，

ee

当-」vav―%时,方程/(%)=〃有2个实根石,x29则不，x2e(-2,0),

ee

,i4

4*g(x)=/(x)+—x+—(-2<x<0)，

ee

贝！Jg'(x)=(x+l)e'+二，

e

令h(x)=g\x)，贝ljhr(x)=(x+2)ex>0,

故g\x)在(-2,0)递增,故gf(x)>g<-2)=0,

故g(©在(-2,0)递增，故g(x)>g(-2)=0,故g(5)>0,

责1414

取Q=/(%])=g(X])_/X|，

故-(fa+4)<X],

x

故不£(一2,0)时，xe>x9故〃=/(%)>出，

故|百一九2K〃+©2a+4=(f+1)。+4.

10.已知函数/•(x)=(l+x)e-2,与尸(x)=r--3x+2xcosx+l.(e=2.71828…是自然对数

2

的底数，/〃2。0.69)

(1)讨论关于x的方程|愿|=/&)根的个数；

(2)当1］时，证明：f(x)21-X2F(x).

解：(1)令g(x)=||-f(x),=|阮xe(0,+oo),

e2x

当x=l时,不满足g(x)=0

当xe(0,1)时，lnx<0,

...x+1，/、12x+1!4x

g(x)=-lnx———,g(x)=——十—；-,g"(x)=?一万>0，

exe

因此/(©在区间上单调递增，

g，M<g,(1)=±-一1<0,g(x)在(0,1)区间上单调递减,

e

3

g^)=ln2-j>0,g(l)=f<0,根据零点定理，g(x)在(0,1)上存在唯一零点.

当xe(l,+oo),g{x}=lnx-^-,gf(x)=e~2x(—+2x+1),

ex

-i、

2x+l>0,—>0,；>0,g'(x)>0,g(x)在(l,+oo)上单调递增，

xe

g(1)<0,g(e)>0,

根据零点定理，g(x)在(0,1)上存在唯一零点,

因此，I加|=/3根的个数为2个.

(2)1-x-F(x)=-x(-2+2cosx+—)

2

2

设A/(x)=±+2cosx-2,A/'(x)=x-2sinx,M\x)=1-2cosx<0,

2

M(x)在［0,1］上单调递减“(x)v”(0)=0,M(x)在［0,1］上单调递减,M(x\,M(0),

所以，l-%-F(x)..O,

要证明(1+x)e'2\.\-x,仅需要证明(1+x)e'\.(1-x)e',

设“(x)=(1+x)e-x-(1-x)ex,

HXx)=(ex-e-x)x,

当X€(O,1),H\x)>0,

”(x)在该区间上单调递增，

所以，W(x)..H(O)=O,

所以，y(x)..i-x,

综上所述，当xe[O,1]时，/(x)隔-x尸(x).

11.已知/(x)=/nx+(/w-l)x+/w.

(1)求/(X)的单调区间；

(2)g(x)=f(x)-mx,若g(x)有两个零点a,b,且求证：

b+L<2e-'-'<a+-.(左边和右边两个不等式可只选一个证即可)

ba

解：(1)f\x)=—+/??-l(x>0),

x

当机.1时，f(x)>0,f(x)在(0,+00)单调递增；

当机<1时，令/(了)<(),解得x>—!—，令r(%)>o,解得o<x<―!—，

1—m\—m

.../(X)在(o,_L)单调递增，在(-L.+OO)单调递减；

\—m1—m

综上，当机.1时，/(x)的单调递增区间为(0,E);当机<1时，的单调递增区

间为(0,—匚)，单调递减区间为(二一,”)；

1—m\—m

(2)证明：g(x)=lnx-x+m,令g(x)=0,则〃2=x-/nx,

设/i(x)=x-bvc(x>0),贝！J1(x)=1——=:---，

XX

易知函数力(x)在(0,1)单调递减，在(1,+co)单调递增，且x-»0时，h(x)->-KX),当

x->+oo时，/?(x)—>+oo,h(1)=],

又a<b,则0vav1vZ?,

①若证所证不等式的左边，即2e"i<足,即证历2+加一1</〃匕1=历(〃+1)-/油，

hb

又g(b)=0,则tn=b-lnb,故即证ln2+b—bib—T<bi(b?+1)—1nb,即证

ln2-1<ln(b2+1)—Z?,

设f(b)=ln(b2+l)-b,b>\,贝h'(b)=^--]=<o,

Zr+1厅+1

.­./(b)在(1,+oo)上单调递减，

：.t(b)<t(1)=ln2-l,即得证；

②若证所证不等式的右边，即2d+L即证/〃2+〃L1>/〃上丑，即证

aa

ln2+-1>ln(a2+1)-Ina,

又g(a)=0,B|Jm=a-lna,故即证妨2+a—加a—1>ln(a2+1)-Ina,艮|J证

In2—1>l〃(cT+1)-a,

设0(a)=ln(a2+1)-«,Ovavl,贝ll9'(a)=^^——]=_(",“<0,

a-FlU+1

:.(p(a)在(0,1)单调递减，故9(a)>(p(1)=/n2-l,即得证.

12.已知函数f(x)=Inx-x,g(x)=x+—9且函数/(x)与g(x)有相同的极值点.

x

(1)求实数〃的值；

(2)若对“田€[上3],不等式编等W1恒成立，求实数”的取值范围；

e化+1

x

/.、.、T”、/、e+cosx

(3)求证：f(x)+g(x)<---------

x

解：(1)令/"(x)='一1=0,解得x=l,

x

易知函数/⑺在(0,1)单调递增，在(1,+8)单调递减，故函数/⑴的极大值点为x=l,

令g'(x)=1-二=0,则由题意有，gr(1)=1—a=0,解得a=l,经验证符合题意，

故实数。的值为1;

(2)由(1)知，函数/(X)在d,l)单调递增，在(1,3)单调递减，

e

X/(l)=-l-l,/(l)=-l,/(3)=/n3-3,且/〃,

eee

・••当xe[1,3]时，f(x)nmx=f(1)=T，/(3)=/«3-3，

①当《+1>0,即左>-1时，对内,々€[1,引，不等式、[)一'*2),,1恒成立,即为

ek+1

&+1../(芭)-/(Xj)恒成立,

则k+1../UU-/(%)„,„=T一(历3—3)=2一加3，

/.k.A-lrii9

Xl-/n3>-l,

此时人的取值范围为k.l-历3；

②当4+1<0,