2023苏教版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-第4章 数列综合拔高练

综合拔高练

五年高考练

考点1等差数列及其应用

1.（2020全国H,4）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆

形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一

层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层

比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（）

A.3699块B.3474块

C.3402块D.3339块

2.（2020浙江,7）已知等差数列包｝的前n项和为S„,公差dWO,且yW1.记

a

b.=S2,bn.1=S2n+2-S2„,neN,,下列等式不可能成立的是（）

A.2a.i=B.2b4=b2+b6

C.al=a2a8D.其二b2b8

3.（2019课标全国I,9）记3为等差数列底｝的前n项和.已知S.=0,a5=5,则（）

A.an=2n_5B.an=3n-10

C.S„=2n2-8nD.S„=|n-2n

4.（2020新高考I,14）将数列｛2nT｝与｛3n-2｝的公共项从小到大排列得到数列｛aj,则｛aj的前

n项和为.

5.（2020浙江，11）我国古代数学家杨辉,朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列

｛竺罗｝就是二阶等差数列.数列｛3岁4（nWN*）的前3项和是.

6.（2021全国甲，18）已知数列瓜｝的各项均为正数，记S0为瓜｝的前n项和，从下面①②③中选

取两个作为条件,证明另外一个成立.

①数列｛aj是等差数歹U;②数歹H向｝是等差数歹U;③&=3ai.

注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.

7.（2021全国乙理，19）记S.为数列｛aj的前n项和,匕为数列⑸｝的前n项积，已知母+

⑴证明：数列｛b0｝是等差数列；

⑵求｛%｝的通项公式.

8.（2019课标全国I,18）记Sn为等差数列｛an｝的前n项和.已知S9=-a5.

⑴若a3=4,求｛aj的通项公式;

（2）若a.>0,求使得Sn2a0的n的取值范围.

考点2等比数列及其应用

9.（2021全国甲文,9）记S”为等比数歹U｛aJ的前n项和.若S2=4,S4=6,贝IJSG=（）

A.7B.8C.9D.10

10.（2021全国甲理,7）等比数列｛aj的公比为q,前n项和为S„.设甲：q>0,乙：区｝是递增数列，

则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

11.（2021浙江,9）已知a,b《R,ab>0,函数f（x）=ax：'+b（xeR）.若f（s-t）,f（s）,f（s+t）成等比

数列，则平面上点（s,t）的轨迹是（）

A.直线和圆B.直线和椭圆

C.直线和双曲线D.直线和抛物线

12.（2021全国乙文,19）设｛文是首项为1的等比数列，数列｛bj满足b普.已知a„3a2）9a3成

等差数列.

⑴求｛%｝和｛bn｝的通项公式；

⑵记S.和Tn分别为｛a,J和｛b„｝的前n项和.证明:T©.

13.（2020全国HI文，17）设等比数列｛4｝满足a|+a2=4,a3-a,=8.

⑴求｛aj的通项公式；

⑵记Sn为数列｛log3an｝的前n项和.若Sm+Sm+1=Srat3,求m.

14.（2019课标全国II,19）已知数歹1」｛aj和｛b„｝满足a^l,也=0,4a„+1=3a,rb„+4,4b„+1=3b„-a„-4.

⑴证明：｛a0+bn｝是等比数列，｛a“-bj是等差数列；

⑵求｛④｝和瓜｝的通项公式.

考点3数列的综合问题

15.（2021浙江，10）已知数列功｝满足=l,aau笔（nGN*）.记数列｛a0｝的前n项和为S,„则

ai1+Van

（）

A.|<S100<3B.3<S,oo<4

C.4<S,OO4D.|<SW<5

16.（2020江苏,11）设瓜｝是公差为d的等差数列，｛bj是公比为q的等比数列.已知数列瓜+bn｝

的前n项和S„=n2-n+2"-l（neN*）,则d+q的值是.

17.（2020全国I,16）数歹！J｛aJ满足为*2+（-1）&=3展1,前16项和为540,则a产.

18.（2020新高考1,18）已知公比大于1的等比数列｛aj满足a2+a4=20,a3=8.

⑴求｛aj的通项公式；

（2）记也为｛aj在区间（0,m]（mWN*）中的项的个数,求数列瓜｝的前100项和S1M.

考点4数学归纳法*

19.（2020全国HI理,17）设数列｛aj满足a尸3,a„.,=3a„-4n.

⑴计算a2（a3）猜想瓜｝的通项公式并加以证明；

（2）求数列｛23｝的前n项和S,,

三年模拟练

应用实践

1.（多选）（2020江苏盐城期末）设d,也分别为等差数列⑸｝的公差与前n项和，若S10=S20,则下列

判断中正确的有（）

A.当n=15时,5n取最大值

B.当n=30时,S„=0

C.当d>0时，a,0+a22>0

D.当d<0时，国。|>区2|

2.（多选）（2021山东威海期中）在数列｛吗中，若皿色±l=k（k为常数,n£N*）,则称｛4｝为“等

^n+i-an

差比数列”，下列对“等差比数列”的判断错误的是（）

A.k不可能为0

B."等差比数列”中的项不可能为0

C.等差数列一定是“等差比数列”

D.等比数列一定是“等差比数列”

3.（2022江苏宜兴第二高级中学检测）已知等比数列｛aj的前n项和S„=2"+a,且b„=log2a„-a,则

数列｛舟；｝的前n项和“（）

C.—D.^-

n+12n+l

4.（2020四川南充西南大学实验学校月考）已知数列｛log,,bn｝（a>0且aWl）是首项为2,公差为1

的等差数歹（若数列｛aj是递增数歹（且满足a„=b„lgb“则实数a的取值范围是（）

A.（|,1）B.（2,+8）

C.（|,1）U（l,+oo）D.（O,|）U（l,+oo）

5.（2020山东济宁实验中学期中）古代埃及数学中有一个独特现象:除|用一个单独的符号表示

以外,其他分数都可写成若干个单分数和的形式.例如|=：+上,可这样理解:有两个面包,要

平均分给5个人,每人;,余;,再将这;分成5份,每人得福,这样每人分得：+三.形如

33315315

匕缶23”£4）的分数的分解：2=工+三,2=；+工,白=工+5,按此规律，三=

2n-l5315742895452n-l

（n23,nWN"）.

6.（2021河南豫南九校联考）已知数列｛孤｝的前n项和为Sn,数列｛%｝的前n项和为L,其中

a1=l,3S“=（n+m）a0（meR）,且a力“=*若对任意n6N*,人》T“恒成立,则实数人的最小值

为.

7.（2021上海交通大学附属中学月考）已知等差数列｛a.｝（公差不为零）和等差数列｛b0｝,如果关

=

于x的方程202lx'-（ai+a2+'"+a2021）x+bi+b2+"-+b202i0有实数解,那么以F2021个方程

2222

x-aix+bi=0,x-a2x+b2=0,x-a3x+b3=0,...,x-a202iX+b2021=0中，无实数解的方程最多有

个.

8.（2021江苏南京三校期中联考）在下列三个条件:①ae=|a0+l,②a*an+2,③SEag中选择一

个补充在题中横线处,并作答.

设数歹U｛an）的前n项和为S„,a产1,对任意的n©N*,都有,在等比数列｛bj中,对任意的

nGN*,都有b„>0,2b"2=bg+3b“且b□，问：是否存在k6N*,使得对任意的nCN",都有abWah?

若存在，试求出k的值;若不存在,请说明理由.

9.（2020天津耀华中学期中）在数列｛aj中，已知由=1,其前n项和为权,且对任意的正整数n,都

有2Sn=（n+l）an成立.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵已知关于n的不等式心•贮....巴当<心对一切n23,ndN*恒成立,求实数a的取

a3a4anV2n+1

值范围；

⑶已知c.=（念）：数列匕,｝的前n项和为T“试比较T.与豹勺大小并证明.

迁移创新

10.已知数列｛aj,从中选取第。项、第i?项、…、第i.,项（iid<…<i>若旬<

则称新数列右,ai2,%为｛a„｝的长度为m的递增子歹规定:数列｛aj的任意一项都是｛aj的

长度为1的递增子列.

（1）写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列；

⑵已知数列｛a』的长度为p的递增子列的末项的最小值为a.。,长度为q的递增子列的末项的

最小值为an（）.若p<q,求证：am（）Vano;

（3）设无穷数列｛%｝的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若｛an｝的长度为s的递增子列的

末项的最小值为2s-l,且长度为s且末项为2s-l的递增子列恰有2f个（s=l,2,…），求数列｛a.｝

的通项公式.

答案全解全析

五年高考练

1.C由题意可设每层有n个环,则三层共有3n个环，.♦•每一环扇面形石板的块数构成以a,=9为首项,9为公差的

等差数列■｝,且项数为3n.不妨设上层扇面形石板总数为Sb中层总数为S2,下层总数为S3>.\S3-S2=[9（2n+1）x

n+竽x9]-[9（n+1）x九+在罗x9卜9n2=729,解得n=9（负值舍去）.则三层共有扇面形石板（不含天心

石）27X9+4^X9=27X9+27X13X9=27X14X9=3402（块）.故选C.

2.D对于A,a2,31,a6成等差数列，故A成立；对于B,由bn•I=S2n»2—S2n=a.2n♦2^a2n»1,可得

卜.「匕尸@20+2+&"1一(或产出『1)=@211+2-%“+&/1一@2「尸4(1,故｛人｝是等差数歹1」,则b2,bl,b6也成等差数歹Ij,故B成立；对于

C,al=(al+3d)2=a：+6aid+9d；a2a8=(ai+d),®+7d)=a：+8aid+7d：所以遍一@2@8二2才-201(1=2(1((]-a1),当d二a

时，谖=a2as成立;对于D,bl=(%+&+12d)2=(2al+13d)2=4居+52ald+169d2,b2b8=(al+a2+

4d)(al+a2+28d)=(2al+5d)(2al+29d)=4af+68aid+145d2,所以必一b2b8=24d2-16ald=

8d2(3-2•y^8d2>0,所以母Wb2b8,故D不可能成立.故选D.

3.A设｛a„｝的公差为d,依题意得,4a计等d=0①问+4d=5②，

联立①②，解得ai=-3,d=2.所以a„=2n-5,S„=n2-4n.故选A.

4.答案3n-2n

解析•.•数列｛2n-l｝的项为1,3,5,7,9,11,13,-,

数列｛3n-2｝的项为1,4,7,10,13,

.••数列瓜｝是首项为1,公差为6的等差数列，

•*.a,-l+(n-l)X6=6n-5,

二数列瓜｝的前n项和s“=(i+6；5)*n=3nJ2n.

5.答案10

解析数列｛妁岁2｝的前三项依次为学=1,等=3,•=6,.•.所求和为1+3+6=10.

6.解析选①②作为条件，证明③.

证明：设等差数列瓜｝的公差为d,因为｛向｝是等差数列,所以2展=何+店，即20al+d=疯+

,34+3d,两边平方,得4(2a：+d)=a：+3ai+3d+2皿式3%+3d),整理得4ai+d=2jai(3ai+3d),两边平方,得16研+

8ald+d2=4(3a：+3a6),化简得4送Taid+d'O,即(2%-<1)2=0,所以d=2ab贝I]a2=ai+d=3ai.

选①③作为条件,证明②.

证明：设等差数列｛a.｝的公差为d.

因为a2=3aI,即a1+d=3ai,所以d=2a,.

所以等差数列｛a“｝的前n项和S产的+等d=nal+竽•2a尸n2al.又a,>0,所以店=n病.

则一倔=(n+1)圾—ng?=何,所以数列｛医｝是公差为圾的等差数列.

选②③作为条件,证明①.

证明：设等差数列｛、属｝的公差为d,因为J印=yJa^ty/S^=7al+%=J%+3@i=2yfa[y所以d=-J印=

2//一757=Va7,则等差数列的通项公式为=y[a[+(n-1)，石=nJ诟所以S„=n2ai,当n，2

22

时,an=Sn-Sn-i=nai-(n-1)ai=(2n-l)ai,且当n=l时，上式也成立,所以数列｛an｝的通项公式为an=(2n-l)ai,则

_

anHan=(2n+l)ai-(2n-l)ai=2ai,所以数列｛a｝是公差为2al的等差数列.

7解析⑴证明：由b产Si・S2.........7可得,

仅i，n=1,2i

Sn=jb由+~=2知，

T—n,n>2,sb

i3-inn

当n」时,y-+-y-=2,

Sibi

即j所以b尸Si4，

当n》2时，金+/2,

bn-l

即2bn=2bn-l+l,即bn-bn-l=~,

故数列｛bj是首项为玄公差为3的等差数列.

⑵由⑴知,b„=|+(n-1)x；=等，

故当n22吐S"B=-.S1=弛符合该式，

dn-in+12

故S=^(neN*),从而ai=Si=1,

nn+l2

当n22时，a„=S-Sn-i=^7--=--；1-,al=:不符合该式，

nn+lnn(n+l)2

8.解析(1)设｛aj的公差为d.

由S,j=-as得ai+4d=0.由a：1=4得ai+2d=4.

于是ai=8,d=-2.

因此｛a』的通项公式为an=10-2n.

(2)由(1)得aF-4d,故a„=(n-5)d,S。罟空.

由a,>0知d<0,故S.》a,等价于n-lln+10^0,解得IWnWIO.

所以n的取值范围是｛nIWnWIO,nGN｝.

9.A解法一(基本量法)：设｛a.｝的首项为a„公比为q(q#l),

瞽口=4,0一，

1*=6,『8，

.•.S..=ai（1-g6）=8x（1」）=7,故选A.

解法二（利用等比数列前n项和的性质）：

由题意知$,S「Sz,S「S,成等比数列，

则（$L&）2=S2♦（Se-S」），即（6-4）2=4（SL6）,

解得Se=7,故选A.

10.B当q=l,a,<0时,等比数列｛a,,）的前n项和S0=na〈O,可知｛S,,｝是单调递减数列，因此甲不是乙的充分条件；

若｛S„｝是递增数列,则当n22时,a„=S„-S„-l>0,即ad'>0恒成立,而只有当a,>0,q>0时,a.q"'>0恒成立,所以可得

q>0,因此甲是乙的必要条件.综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件.故选B.

方法总结

研究数列5｝的单调性只需考虑S„>S„或（n》2）成立,不需讨论对任意n,mdN.且n<m,有SKS“，或S„>S.

恒成立

11.C由题意知f(s)=as?+b,f(s-t)=a(s-t)2+b=(as2+b)+at(t-2s),f(s+t)=a(s+t)2+b=(as2+b)+at(t+2s),

Vf(s-t),f(s),f(s+t)成等比数列，；.f(s-t)•f(s+t)=f

2(s)=[(as2+b)+at(t-2s)][(as'+b)+at(t+2s)]=(as2+b)'=>at(as2+b)(t-2s+t+2s)+a2t"(t2-4s")=0=>2at",(as2+b)

+a2t2(t2-4s2)=0,(*)

①当t=0时,sGR,故(s,t)的轨迹为一条直线；

②当t#0时，(*)式可化为2as2+2b+at?-4as2=0,

即2as'-at?=2b,因为ab>0,

2

所以s-^=?0,故点(s,t)的轨迹为双曲线,故选C.

12.解析⑴设等比数列K}的公比为q.

Va„3a2,9a3成等差数列，：.6巾+9a3,

又,.•{&」是首项为1的等比数列，.•.6aiq=ai+9a】q；

9q2-6q+l=0,解得q尸qzq,二④二a•qnl=^-j.

Vb.,=^,.-.b,,=n•(I).

⑵证明：由⑴知,a,=l,q=1.：S,为｛a“｝的前n项和,

s“*泞钮・

“为｛bj的前n项和,

Tn=bl+b2+，，，+bn=lX©+2x0*(/①

打n=】x(J+2x(，…唱户，②

①-②，得|Tn=|+(步…+(步n-g)n+1=噜L•0讨

・D+汉丁+*

工号=一＞()〈。,，工曹

13.解析⑴设｛aj的公比为q,则a..=a,q"H.

由已知得

嘉曹彳’解得q=3.

所以凡｝的通项公式为a„=3n,.

(2)由(1)知lOgsHn=FIT.故S,=^y^.

由=Si得m(m-l)+(m+l)m=(m+3)(m+2),B|Jn『一5m-6二0,

解得m=T(舍去)或用二6.

14.解析⑴证明：由题设得4(an.,+b„(l)=2(an+bn),

+

即anHbn+l=1(an+bn).

又因为由+bf所以为+bn｝是首项为1,公比为3的等比数列.

—=—

由题设得4(an-nbn+i)4(anbn)+8,即a«+「bn+尸arbn+Z.

又因为a-bFl,所以｛a「bj是首项为1,公差为2的等差数列.

-=

(2)由(1)知,atl+btl-^Y，anbn2n-l.

所以an=1[(an+bn)+(an—bn)]=^+n—

b弓[(an+bn)-(an-bn)]=表一n+/

fln

15.A易知4>0,anu-an--/^-^O,an.Xan,

i+师

・•・｛%｝单调递减，故aWL

一方面闭尸命若a”

••.a举,‘或4•飞)"'=(户，

•••SBMJ+(丁+…+(丁9=叩)1=2>2-；|.

另一方面，a»i==an.】+a/JH^=an,

an-an+i

・•Hii+r

yf^n

♦\j~^n>2+\/册+1)'

Qn-Qii+l=

.•21+]〈1.—--------2(Jan—yf^n+i)>

2(Van+Van+l)

+，+a

.■.Sl00<l+2(Va?-V«2+V«2-7«3">/^99-V100)=1+2(1-^/«100)<3,

.•.SmG(|,3).故选A.

16.答案4

解析易知q#l,则｛a“+b“｝的前n项和S"=na.'"；")d+，=gn2+(%-$n-^qn+-^=n2-n+2"-l,

—=1,q=2,即d=2,q=2,d+q=4.

17.答案7

解析令n=2k(keN*),则有a2k.2+a2t=6k-l(keN')，

♦.a2+av=5,a((+as=17,a”+ai2=29,a“+ai6=41,

•••前16项的所有偶数项和S㈣=5+17+29+41=92,

.,.前16项的所有奇数项和S百=540-92=448,

令n=2k-l(keN*),则有a2k+]-a2k-,=6k-4(keN),

/.a2kH-3]-(a3-ai)+(as-a?)+(a7-as)+,,,+(a2k“—a2k-i)-2+8+14+,•,+6k~4~/c^2+^fc4^-k(3k-l)(k£N"),

/.32k”二k(3k-l)+ai(k£N,)，

a3=2+aba5=10+ai,a?=24+ai,a<)=44+ai,a1i=70+al,a.=102+ai,ai5=140+ab

・••前16项的所有奇数项和SSf=a1+a3+-+a15=8a1+2+10+24+44+70+102+140=8a,+392=448.

/.ai=7.

18.解析(1)设｛①｝的公比为q.

由题设得aiq+aiq3=20,aiq2=8,

解得卬弓(舍去)，q#2.

由题设得a：=2,

所以缸｝的通项公式为a„=2".

⑵由题设及(1)知bi=O,且当2"Wm〈2田时,b,„=n.

所以Sioo=bi+(b2+b3)+(bi+bs+bs+bj)+,,,+(b3z+bg+…+b、)+(b“+b6s+…+bit»)

=0+1X2+2X22+3X2s+4X2'+5X25+6X(100-63)=480.

19.解析(l)a2=5,a3=7.

猜想a*=2n+l.由已知可得

a””-(2n+3)=3[a„-(2n+l)],

a„~(2n+l)=3[a„i-(2n-l)],

a?-5=3(a「3).

因为a尸3,所以a„=2n+l.

⑵由⑴得2"a.=(2n+l)2",

所以S„=3X2+5X22+7X23+—+(2n+1)X2n,@

从而2S„=3X22+5X23+7X2'+-+(2n+l)X27②

①-②得

-S„=3X2+2X22+2X25+-+2X2"-(2n+l)X2"”，

所以S.=(2n-l)2"'+2.

知识拓展

解决数列的求和问题,首先要得到数列的通项公式,再根据其特点选择相应的求和方法.数列求和的方法有以

下几类：(1)公式法，等差或等比数列的求和用公式法;(2)裂项相消法,形如a。一^(kWO),可裂项为

n(n+k)

a“W•(，京)；⑶错位相减法,形如c产a0•b.„其中｛a„｝是等差数列，｛b,,｝是等比数列;(4)分组求和法,形如

c.=a,+b",其中｛aj是等差数列，他｝是等比数列；(5)并项求和法.

三年模拟练

1.BC因为SHFSZ。,所以10ai+等d=20al+殁无，解得aF-gd.

对于A,因为无法确定a.和d的正负,所以无法确定S.是否有最大值,故A错误.

对于B,$Q=30a什号空d=30x(-yd)+15X29d=0,故B正确.

对于C,aio+a22=2al6=2(ai+15d)=2^-yd+15d^=d>0,故C正确.

对于D,3,0=3,+9d=--d+-d=--d,a22=al+21d---d+-d=-d,

222222

因为d<0,所以|a«)|=-£d,|a22|=—葭d,所以a1。|<|a*],故D错误.

故选BC.

2.BCD当k=0时,根据“等差比数列”的定义,有'……-o,即有a„『a”“=O,这与分母不为0矛盾，...kWO,故A

an+l-an

中判断正确；当a.=n-l时，&3±1=3=1为常数，.•.数列⑸｝为“等差比数列"，且a,=0,故B中判断错误；当

fln+1-ann-n+1

数列｛a.J为非零常数列时，数列EJ既是等差数列又是等比数列，但an.-a.F0,此时数列｛为｝不是“等差比数列”，

故C、D中判断错误.

nn

3.B因为等比数列｛&｝的前n项和Sn=2+a,所以当n=l时,Si=ai=2+a,当n22,n£N”时,Sn-i=2'+a,则

nnl,H

a„=Sn-SnF2+a-(2-+a)=2(n>2),Waz=2,｛aj的公比为2.

所以ai=l=2+a,解得a=T,所以a产以T(n£N)

l_-

所以bn=log2an—a=log22"(1)=n,

所以一^=一^=工一二-,

bnbn+1n(n+l)nn+1

所以T”=(W)+(泞)+…+(；W)=1-W=备

±1

4.D由题意得1ogabi=2,1Ogabn^-1Ogabn=1Oga^7=1,

bn

Ab,=a2,3a,・・・｛b“｝是以£为首项,a为公比的等比数歹U,'b产a叱

如

nnn，nn

Va.=bnlgb„,/.an=alga-(n+l)a•1ga.

;｛aj为递增数歹山.•・anran>0,BP[(n+2)a-(n+1)]a,rl•1ga>0.

①当a>l时，1ga>0,antl>0,/.(n+2)a-(n+l)>0,EPa>—=1--,V—>0,/.1--<1,ARflSa>l即可满足

n+2n+2n+2n+2

[(n+2)a-(n+l)]anH•1ga>0.

②当0<a<l时，1ga<0,a'”'>0,；.(n+2)a-(n+l)<0,即a<l-,0<a〃即可满足

n+2n+23n+233

[(n+2)a-(n+l)]an1,1ga>0.

综上所述,实数a的取值范围为(0,J)U(1,+8),故选D.

5・答案》含

解析由题意得,|=打七,

即京7=1+3X(2：30

-=i+-,即二=-+—-—

74282X4-144X(2X4-1)

-=i+-,即二一=-+—-—

95452X5-155x(2x5-l)

由此归纳出上=；+忌W(n》3,nGN)

又三+等=等孩=右,结论成立,

nn(2n-l)n(2n-l)2n-l

3=w.

2n-ln2n2-n

解题模板

由数列的前几项归纳其通项公式时,首先要分析项的结构，然后探究结构中的各部分与项的序号n之间的函

数关系，进而求得通项公式.

6.答案|

解析当n=l时,3Si=3ai=(l+m)ab解得m=2.

当n>2时,由您"=也得(n-l)a.=(n+l)as,即％=哼

(35止1=(n-1+N)an-i«n-in-i

由累乘法可得幺=吟2

2

又a产1,所以a.七2

由a„b„=i,得比七云

所以*1[(1弓)+(泞)+…+((马]=l(LW)<?

因为对任意nGN；入汀。恒成立，所以入与故实数X的最小值为:

7.答案1010

解析设等差数列｛a„｝的公差为d„ANO,等差数列｛b,.｝的公差为&,

则ai+az+'.'+az021=2021alon,bi+b2+，，，+b202尸2021blou)

2

所以原方程可变为2021x-2021aiOHX+2021b.O.FO,

由该方程有实数解可得(-2021%OII)2-4X2021%mi^0,即4bL

2

要使方程x-aix+bi=0(iGN*,iW2021)无解,

2，

贝ij需A=(-ai)-4bi=a?-4b,<0(iGN,i^2021).

设y尸必=[%+01)由]2,y2=4bi=4[b,+(i-l)d2](ieN；iW2021),

易得y,的图象为开口向上的抛物线的一部分,力的图象为直线的一部分，

又i=l011时,所以满足y£yz的i的取值最多可有1010个,

即无实数解的方程最多有1010个.

8.解析设等比数列｛bj的公比为q.因为对任意的nEN,,都有2b*be+3b.，

所以2q-q+3,解得q=T或q=|.

因为对任意的nGN,,都有b„>0,所以q>0,从而q=|,

又bi=l,所以.

假设存在kGN*,使得对任意的nGN；都有abWah,即詈W?.

bn限

记c产詈,ndN*.下面分别选择①②③作为条件进行研究.

bn

选择①.因为a,1,i=1an+l,所以③”-2弓⑸-2).

n

又a尸1,所以a-2=-1^0,所以a,-2^0,从而0+呼=1

a7r22

所以数列｛a「2｝是以-1为首项为公比的等比数列，则a:2=-G)”：即

所以加鬻=絮，从而箸=募^・

由加/1得2。2,解得n》l,当n=l时，c产C2,当n>l时,c„,i<c„,

j-：1｝

所以当n的值为1或2时,a取得最大值,即》取得最大值，

bn

所以对任意的n£N*,都有詈W詈=詈,即abWah,abWab,

bnb2%

所以存在k的值为1或2,使得对任意的neN;都有a„bk^akb„.

选择②.因为an(i=an+2,所以an.-an=2,

所以数列区｝是以1为首项,2为公差的等差数歹U,所以d=l+2(n-l)二2nT,

=

所以cn­=(2n—1)(弓)>0,

bn\3/

由2.(2y+i)wi得2n25,解得当nW2时，a+Dc”当n23时，c„+1<c„,

3(2n-l)2

所以当n=3时,a取得最大值,即詈取得最大值.

所以对任意的neN*,都有詈W詈,即ah〈ah.

»n»3

所以存在k的值为3,使得对任意的nGN*,都有aEWab.

选择③.因为S„=2a„-1,所以S„.i=2a„,-1,

=:—

从而ai>+iSn+i~Sn-2an-i1-(2ah~l)—2an^i~2ail,即a“i=2a”

又a尸1〉0,所以a“>0,且皿=2,

an

从而数列｛a,J是以1为首项,2为公比的等比数列,所以a=21

所以以=詈=仁)”">0,从而皿=->1,所以C„H>C„,

bn\3/Cn3

所以不存在满足题意的k.

9.解析⑴；2sli=(n+l)a”①

・二当n22时，2S「i二na「i,②

①-②，得