2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-3 独立性检验问题

2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册

§3独立性检验问题

3.1独立性检验

3.2独立性检验的基本思想

3.3独立性检验的应用

基础过关练

题组一2X2列联表

1.（2021山西朔州期末）在2X2列联表中，两个分类变量有关系的可能性越大,相

差越大的两个比值为（）

A.,与B.3与上

a+bc+dc+da+b

c.旦与二D.，-与工

a+db+cb+da+c

2.假设有两个变量x与y的2X2列联表如下:

yiy-

X1ab

X2cd

以下数据中,对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为（）

A.a=2,b-3,c=4,d=5

B.a=5,b-3,c=3,d=4

C.a=3,b=6,c=2,d=5

D.a=5,b-3,c=4,d=3

3.某学校对高三学生进行一项调查后发现:在平时的模拟考试中，性格内向的426

名学生中有332名在考前心情紧张，性格外向的594名学生中有213名在考前心

情紧张.请作出考前心情与性格的2X2列联表.

题组二独立性检验及其简单应用

4.在使用独立性检验时，下列说法正确的是（）

A.当事件A与B的检验无关时,两个事件互不影响

B.事件A与B关系越密切,则x2就越大

C.x2的大小是判断事件A与B是否相关的唯一根据

D.若判定两事件A与B有关,则A发生B一定发生

5.某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响.部分统计数据如

下表:

使用智能使用不使

情况智能用智总计

学习情疝'、手机能手机

学习成

4812

绩优秀

学习成

16218

绩不优秀

总计201030

经计算x2=10,则下列说法中正确的是（）

A.有99%的把握认为使用智能手机对学习有影响

B.有99%的把握认为使用智能手机对学习无影响

C.有95%的把握认为使用智能手机对学习有影响

D.有95%的把握认为使用智能手机对学习无影响

6.为研究某新药的疗效,给100名患者服用此药,跟踪调查后得下表中的数据:

效果

患者性涉、\无效有效总计

男性153550

女性64450

总计2179100

则头》,从而得出结论:服用此药的效果与患者的性别有关,这种判断

出错的可能性为.

7.某教育机构为了研究学历和对待教育改革态度的关系，随机抽取了392名成年

人进行调查,所得数据如下表所示：

、对待教育

改革态度积极不太

总计

支持赞成

大学专科以上学历39157196

大学专科以下学历29167196

总计68324392

对于教育机构的研究项目，根据上述数据能得出什么结论?

8.(2022江苏常州期中)为了解观众对球类体育节目的收视情况,随机抽取了200

名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看球类体育节目时间的

频率分布直方图、2X2列联表(将日均收看球类体育节目时间不少于40分钟的

观众称为“球迷”).

(1)根据已知条件完成2X2列联表;

(2)据此调查结果，是否有95%的把握认为“球迷”与性别有关?

参考公式和数据:

n(ad-dc)2

X2.(其中n=a+b+c+d).

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(x^x0)0.100.050.010

x02.7063.8416.635

能力提升练

题组独立性检验的综合应用

L（多选）（2022山东潍坊摸底考试）2021年7月1日是中国共产党成立一百周年,

某校举办“读经典名著,为祖国奋斗”读书活动，活动主办方随机抽取了相同人

数的男女学生，并对这些学生进行了一次调查，调查发现，读过《平凡的世界》的

男生占男生总人数的3女生占女生总人数的:若有95%的把握认为是否读过《平

凡的世界》与性别有关，则调查的学生中男生总人数可能为（）

A.35B.40

C.45D.50

2.某校为了解校园安全教育系列活动的成效,对全校学生进行一次安全意识测试,

根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量

化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的成绩，统计结果

及对应的频率分布直方图如下所示：

等级不合格合格

得分[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]

频数6X24y

(1)若测试的学生中,得分在[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]内女生的人数

分别为2,8,16,4,完成2X2列联表,并判断性别与安全意识是否有关;

格情况

不合格合格总计

性别

男生

女生

总计

(2)用分层随机抽样的方法从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中共选取

10人进行座谈,现再从这10人中任选4人,记所选4人的量化总分为X,求X的

分布列及数学期望EX;

(3)某评估机构以指标，其中DX表示X的方差)来评估该校安全教育活动

L)7Y

的成效,若M20.7,则认定教育活动是有效的;否则认定教育活动无效,应调整安

全教育方案.在(2)的条件下,判断该校是否应调整安全教育方案.

3.(2021福建泉州十一中等六校期末)为了研究家用轿车在高速公路上的车速情

况,交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查,得到其在高速公路上行驶时的

平均车速情况:在55名男性驾驶员中,平均车速超过100km/h的有40人,不超

过100km/h的有15人;在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20

人,不超过100km/h的有25人.

(1)完成下面的列联表,并判断是否有99%的把握认为车速与性别有关；

车速平均车平均车

性别速超过速不超过总计

100km/h100km/h

男性

女性

总计

(2)用上述数据样本来估计总体,现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽

取3辆,记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X,若每次

抽取的结果是相互独立的,求X的分布列和数学期望.

4.“支付宝捐步”已经成为当下最热门的健身方式之一，为了了解使用支付宝捐

步是否与年龄有关,研究人员随机抽取了5000名使用支付宝的人员进行调查，

所得情况如下表：

5.

50岁50岁

年龄是否使用支付宝捐步

及以上以下

使用10001000

不使用2500500

⑴试问:使用支付宝捐步是否与年龄有关？

(2)55岁的老王在了解了捐步功能以后开启了自己的捐步计划，可知其在捐步的

前5天,捐步的步数与天数呈线性相关.

第x天第1天第2天第3天第9天第5天

步数3^0004200430050005500

(i)根据上表数据,建立y关于x的线性回归方程〉bx+£

(ii)记由(i)中线性回归方程得到的预测步数为y'若从5天中任取3天,记

y'的天数为X,求X的分布列及数学期望.

n

AA

AL（阳-元）（y厂歹）

=1

附：b^-nn---------,a=y-bx.

区(和君2

答案与分层梯度式解析

基础过关练

1.A以表格为例，变量B与变量A相关性越强，则两个频率白；与三相差越

a+bc+d

大.

BB总计

Aaba+b

Acdc+d

总计a+cb+da+b+c+d

2.B根据x2的公式可知，当ad-bc|的值越大时,两个变量有关系的可能性

就越大,检验四个选项中所给的ad-bc|的值.

A:|ad-bc|=l10-12|=2,

B:|ad-bc|=|20-9|=H,

C:|ad-bc|=|15-12|=3,

D:|ad-bc|=l15-12|=3,

显然B中ad-bc|的值最大.故选B.

3.解析作出2X2列联表如下：

考前性格情况性格性格

总计

心情是否紧张内向外向

考前心情紧张332213545

考前心情不紧张94381475

总计4265941020

4.B对于A,事件A与B的检验无关,只是说两事件的相关性较小,两事件并

不一定互不影响，故A错；

易知B正确；

对于C,判断A与B是否相关的方法有很多,可以用2X2列联表,也可以借助

概率计算，故C错；

对于D,两事件A与B有关,说明两者同时发生的可能性相对来说较大，但并不

是A发生B一定发生，故D错.

5.A因为x2=10〉6.635,所以有99%的把握认为使用智能手机对学习有影响，

故选A.

6.答案4.882;5%

2

解析由已知数据得X2=100x（15x44-35x6）274.882）Vx>3,841,...有95%的

50x50x21x79

把握认为服用此药的效果与患者的性别有关,从而有5%的可能性出错.

7.解析由公式计算得X2=392义（39、167-157><29）27].779.因为1.779<2.706,所

196X196X68X324

以我们认为学历和对待教育改革态度无关.

8.解析（1）2X2列联表为

“球迷”

情况

非“球迷”“球迷”总计

性别

男603090

女9020110

总计15050200

⑵由⑴中数据得X2卫需磊答卷唠>3.841,

所以有95%的把握认为“球迷”与性别有关.

能力提升练

1.CD设男生的人数为5n（neN.）,根据题意列出2X2列联表:

J\性别

读书情况^........男生女生总计

读过《平凡的世界》4n3n7n

没读过《平凡的世界》n2n3n

总计5n5nlOn

则X2_10nx(4nx2n-3nxn)210n

7nx3nx5nx5n21

..•有95%的把握认为是否读过《平凡的世界》与性别有关，•••X2>3.841,即

—>3,841,

21

又n£N+,，ne9,n£N+,

结合选项可知C,D正确.

2.解析（1）由频率分布直方图可知,得分在［20,40）的频率为

0.005X20=0.1,故抽取的学生答卷总数为

-^=60,.,.x=60X0.015X20=18,y=60X0.01X20=12.

完成2X2列联表如下：

情况

不合格合格总计

性别

男生141630

女生102030

总计243660

...丫260X(14X20-16X10)2」0、］⑴

・.30X30X24X369,,

VI.11K2.706,...认为性别与安全意识无关.

⑵“不合格”和“合格”的人数比为24：36=2：3,因此抽取的10人中不合

格的有4人,合格的有6人，所以X的可能取值为20,15,10,5,0,

P(X=20)=■毕J,p(x=15)=单=且,

C%14'C%21'

『口、」

P(X=10)=.CgC43C,C4

P（X=。）号味

.•.X的分布列为

X20151050

341

P

735210

1R341

EX=20X—+15X—+10X-+5X—+0X—=12.

1421735210

(3)由⑵知DX=(20—12)2*2+(15—12尸><2+(10-12)2><2+(5—12)2*&+(0—

1421735

12)2义击=16,

・\M喂需675>0.7.

故认为该校的安全教育活动是有效的,不需要调整安全教育方案.

3.解析（1）完成列联表如下:

车速平均车速超过平均车速不超过

总计

性别100km/h100km/h

男性401555

女性202545

总计6040100

因为x2=100X(40X25-15X2。)2H.249>6,635,

55X45X60X40

所以有99%的把握认为车速与性别有关.

⑵根据样本估计总体的思想,从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取

1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为慌与

X的可能取值为0,1,2,3,且

03_27

p(x=o)=d)代)

\5?\5>125"

2

Z2>(3、_54

P(X=1)=C^--

)\5>II<5>1125’

,/2、产,3、_36

P(x=2)=d；--

>\5>1\5>1125,

?/2、\3\。8

P(X=3)=G,--

)\5>\5>1125,

所以X的分布列为

X0123

2754368

p

125125125125

EX=3X-=-.

55

ZLXj+r-/-I\25000X(1000X500-1000x2500)2

44.角星析(