中考二轮复习15：圆中考十大模型

第第页更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学圆的基本模型（一）：弦切角定理与切割线定理 ①是切线；②（弦切角定理①是切线；②（弦切角定理）；③以上三个结论知一推二弦切角：弦和切线所夹的角等于它们所夹的弧所对的圆周角，即切线AP和弦AB所夹的∠1，等于它们所夹的弧EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),AB)所对的圆周角∠2圆的基本模型（二）：中点弧模型点P是优弧AB上一动点，则 【以下五个条件知一推四】【以下五个条件知一推四】点C是的中点AC＝BCOC⊥ABPC平分∠APB(即)【例题】如图，四边形内接于，对角线、交于点，且，若，，则．【简证】易知，则， 圆的基本模型（三）：内心模型与等腰【模型讲解】外接圆+内心⇒得等腰如图，圆O是△ABC外接圆圆心，I是三角形ABC的内心，延长AI交圆O于D，证DI＝DC＝BD【简证】∠1＝∠4＋∠5,∠4＝∠3，∠2＝∠5∴∠1＝∠2＋∠3圆的基本模型（四）：线段和差问题（构造手拉手或阿基米德折弦定理）一、中点弧与旋转【模型解读】点P是优弧AB上一动点，且点C是的中点邻边相等+对角互补旋转相似模型，一般用来求圆中三条线段之间的数量关系.由于对角互补，即，显然共线，且，通过导角不难得出相似.常见结构（1）：圆内接等边三角形 结论：PB+PA=PC结论：PB+PA=PC【简析】 常见结构（2）：圆内接等腰直角三角形（正方形） 结论：结论：【简析】二、阿基米德折弦定理【模型解读】【问题】：已知M为的中点，B为上任意一点，且MD⊥BC于D．求证：AB＋BD＝DC证法一：(补短法)如图：延长DB至F，使BF＝BA∵M为中点∴＝，∴∠1＝∠2－－－①又∵EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),MC)＝EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),MC)，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3－－－②又∵∠3＋∠MBF＝180°－－－③由圆内接四边形对角互补∴∠2＋∠MBA＝180°－－－④由①②③④可得：∠MBA＝∠MBF在△MBF与△MBA中；eq\B\lc\{(\a\al(BF＝BA,∠MBA＝∠MBF,MB＝MB))∴△MBF≌△MBA(SAS)∴MF＝MA，又∵MC＝MA∴MF＝MC又∵MD⊥CF∴DF＝DC∴FB＋BD＝DC又∵BF＝BA∴AB＋BD＝DC(证毕)证法二：(截长法——两种截取方式)如图1：在CD上截取CG＝AB，则有DC＝CG＋DG，再证出BD＝DG即可∵EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),BM)＝EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),BM)∴∠1＝∠2－－－①又∵M是EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),AC)中点，∴MA＝MC－－－②由①②可知，在△MBA与△MGC中∴△BMA≌△GMC(SAS)∴BD＝GD又∵MD⊥BG∴BD＝DG∴AB＋BD＝DC(证毕)如图2：在CD上截取DB＝DG，再证明AB＝CG即可简证：易知△MBG与△MAC均为等腰三角形，且∠1＝∠2，可知△MBG与△MAC构成手拉手模型，∴△BMA≌△GMC(SAS)∴AB＝CG常规证明：∵MD⊥BG∴MB＝MG∴∠2＝∠MGD－－－①又∵EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),MC)＝EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),MC)，∴∠1＝∠2－－－②∵M是EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),AC)中点，∴EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),MA)＝EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),MC)∴∠1＝∠MCA－－－③由①②③可得∠MGD＝∠MC，而∠MGD＋∠MGC＝180°，∠MCA＋∠MBA＝180°∴∠MGC＝∠MBA又∵＝，∴＝在△MBA与△MGC中∴△BMA≌△GMC(AAS)∴AB＝GC∴AB＋BD＝DC（证毕）证法三：(翻折)——证共线如图3：连接MB，MC，MA，AC，将△BAM沿BM翻折，使点A落至点E，连接ME，BE∵△MBA与△MBE关于BM对称，所以△MBE≌△MBA∴MA＝ME，∠MBA＝∠MBE－－－①又∵MA＝MC，∴ME＝MC，又∵M，B，A，C四点共圆，∴∠MBA＋∠MCA＝180°－－－②又∵MA＝MC（已证）∴∠MAC＝∠MCA又∵EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),MC)＝EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),MC)，∴∠MBC＝∠MAC∴∠MBC＝∠MCA－－－③由①②③得：∠MBC＋∠MBE＝180°∴E，B，C三点共线。又∵ME＝MC，MD⊥CE∴DE＝DC，∴EB＋BD＝DC，又∵△MBE≌△MBA∴AB＝EB∴AB＋BD＝DC（证毕）证法四：两次全等如图4，连接MB，MA，MC，AC，延长AB，过点M作MH⊥AB于点H，∵M为EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),AC)的中点∴AM＝MC，又∵EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),BM)＝EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),BM)∴∠HAM＝∠DCM又∵∠MHA＝∠MDC＝90∴在△MHA与△MDC中∴△MHA≌△MDC(AAS)∴CD＝AH－－－①MD＝MH在Rt△MHB与RtT△MDB中∴△MDB≌△MHB(HL)∴BD＝BH又∵AH＝AB＋BH，∴AH＝AB＋BD－－－②由①②可得DC＝AB＋BD(证毕)证法五：补短法（2）——两次全等如图4，延长AB至H，使BH＝BD，则AB＋BD＝AH，先证△BHM≌△BDM(HL)，再证△MHA≌△MDC(HL)圆的基本模型（五）：平行弦与相交弦，割线定理一、平行弦：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CD，∴ 二、相交弦：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等即：在⊙O中，∵弦AC、BD相交于点G，则AG·CG=BG·DG 三、割线定理割线PD、PC相交于点P，则圆的基本模型（六）：垂径图一、弧中点与垂径图 知1推5知1推5AD平分∠CABD是的中点DO⊥CB二、垂径+相等的三段弧如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是的中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD。(1)证CO∥BD(2)AD＝CE(3)证：P是线段AQ的中点(4)证：CP·CE＝AH·AB＝CQ·CB(5)tan∠DBC＝(6)若AD＝8，BD＝6，求AH的值(7)若⊙O的半径为5，AQ＝，求弦CE的长.【简证】（1）（2）(3)先利用弧相等导角证AP＝CP，再通过Rt△ACQ中的互余关系，得到PQ＝CP，∴AP＝PQ＝CP（4）CP＝AP，CE＝AD⇒CP•CE＝AP•AD，△APH∼△ABD⇒AP•AD＝AH•AB（5）（6）法一（6）法二（7）找到对应相似三角形是关键补充拓展：垂径图导子母相似如图弦CD⊥直径AB于点G，E是直线AB上一点（不与其他点重合），DE交圆O于F，CF交直线AB于点P（1）证；（2）当点E在AB延长线上时，（1）的结论还成立吗？ 圆的基本模型（七）：等腰图直径在腰上：如图，已知AB是直径，AB=AC，则有 结论（1）BD=CD=ED结论（1）BD=CD=ED（2）DO∥AC（3）知1推3：【补充】圆心在三线上：如图，已知AB是直径，AB=AC，则有

圆的基本模型（八）：双切图补充：多切图内切圆半径为r∠C＝90°⇒r＝a＋b−c2内切圆半径为r∠C≠90°⟹(aBE圆的基本模型（九）：射影图圆的基本模型（十）：切割图（切线和割线垂直）题型一弦切角定理与切割线定理湖北·黄石中考如图，是的直径，点D在的延长线上，C、E是上的两点，，，延长交的延长线于点F．求证：是的切线；若，求弦的长．湖北·十堰中考如图，中，，以为直径的交于点，点为延长线上一点，且．求证：是的切线；(2)若，，求的半径．如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，且．求证：是的切线；(2)若直径，求的长．2023·新疆·中考真题如图，是的直径，点，是上的点，且，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点．

求证：是的切线；(2)若，，求的长．

题型二中点弧模型苏州·中考真题如图，是的直径，、为上位于异侧的两点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接、、．证明：；设交于点，若，是的中点，求的值．深圳·中考真题如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),CD)沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC（1）求CD的长；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）点G为EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),ADB)的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),BC)于点F（F与B、C不重合）．问GE·GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．【拓展】（4）在（3）的条件下，当CF∥AB时，求FE·FG的值2023·山东枣庄·统考中考真题如图，为的直径，点C是的中点，过点C做射线的垂线，垂足为E．

(1)求证：是切线；(2)若，求的长；(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有的式子表示）．2023·江苏无锡·统考中考真题如图，是的直径，与相交于点．过点的圆O的切线，交的延长线于点，．求的度数；(2)若，求的半径．2023·四川遂宁·统考中考真题如图，四边形内接于，为的直径，，过点的直线l交的延长线于点，交的延长线于点，且．

(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)当，时，求的长．题型三内心模型黑龙江绥化·中考真题如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D（1）求证：△BFD∽△ABD；（2）求证：DE=DB．广东省卷·中考真题如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．（1）求证：ED＝EC；（2）求证：AF是⊙O的切线；（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC·BE＝25，求BG的长．

题型四线段和差问题（构造手拉手or阿基米德折弦定理）类型一：构造手拉手在的内接四边形中，，，，点为弧的中点，则的长是．2023·吉林长春·统考中考真题【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度．

【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长至点E，使，连结，四边形是的内接四边形，．，．是等边三角形．，请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________．

类型二：阿基米德折弦定理山西中考古希腊数学家阿基米德提出并证明了“折弦定理”．如图1,AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦),BC>AB,M是优弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．（1）请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

证明：如图2，在CB上截取CG=AB，

连接MA,MB,MC和MG．

∵M是EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),ABC)的中点，

∴EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),MA)=EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),MC)

∴MA=MC．

（2）如图(3),已知等边△ABC内接于⊙O,AB=2，D为⊙O上一点,∠ABD=45°,AE⊥BD,垂足为E，请你运用“折弦定理”求△BDC的周长．

深圳·中考如图,△ABC内接于⊙O,BC=2,AB=AC，点D为EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),AC)上的动点，且cos∠ABC=EQ\F(\R(,10),10)．（1）求AB的长度；

（2）在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E，问AD﹒AE的值是否变化？若不变，请求出AD﹒AE的值；若变化，请说明理由；

（3）在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD,求证：BH=CD+DH．（4）求DA,DB,DC之间的数量关系

题型五平行弦与相交弦模型2023·江苏苏州·统考中考真题如图，是的内接三角形，是的直径，，点在上，连接并延长，交于点，连接，作，垂足为．(1)求证：；(2)若，求的长．深圳·中考如图，线段是的直径，弦于点H，点是弧上任意一点（不与B，C重合），，．延长线段交的延长线于点E，直线交于点N，连结交于点F，则，．2022·湖南张家界·中考真题如图，四边形内接于圆，是直径，点是的中点，延长交的延长线于点．求证：；(2)若，，求的长．题型六垂径图四川绵阳·中考如图，是的直径，点为的中点，为的弦，且，垂足为，连接交于点，连接，，．（1）求证：；（2）若，求的长．题型七等腰图（直径在腰上）2023·四川成都·统考中考真题如图，以的边为直径作，交边于点D，过点C作交于点E，连接．

(1)求证：；(2)若，求和的长．

四川宜宾·统考中考真题如图，线段经过的圆心O，交于A、C两点，，为的弦，连接，，连接并延长交于点E，连接交于点M．（1）求证：直线是的切线；（2）求的半径的长；（3）求线段的长．

2023·湖北黄冈·统考中考真题如图，中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点．

(1)求证：；(2)若，求的长．2023·辽宁营口·统考中考真题如图，在中，，以为直径作与交于点D，过点D作，交延长线于点F，垂足为点E．求证：为的切线；(2)若，，求的长．广西玉林·统考中考真题如图，在中，，，以AB为直径作⊙O分别交于AC，BC于点D，E，过点E作⊙O的切线EF交AC于点F，连接BD．（1）求证：EF是△的中位线；（2）求EF的长．2023·四川眉山·统考中考真题如图，中，以为直径的交于点E．平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P．

(1)求证：是的切线；(2)若，求的长．湖北孝感·中考真题如图，中，，以为直径的交于点，交于点，过点作于点，交的延长线于点.（1）求证：是的切线；（2）已知，，求和的长.题型八双切图四川遂宁·统考中考真题如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线．（1）求证：BC是⊙O的切线．（2）求证：＝．（3）若sin∠ABC═，AC＝15，求四边形CHQE的面积．湖北武汉·中考真题如图，PA为⊙O的切线，A为切点.过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E.(1)求证：PB为⊙O的切线；(2)若tan∠ABE=，求sinE的值.四川泸州·中考真题如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G．（1）求证：DF∥AO；（2）若AC=6，AB=10，求CG的长．四川乐山·中考真题如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC＝6，．求BE的长．广东省卷·统考中考真题如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．（1）证明：OD∥BC；（2）若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切；（3）在（2）条件下，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长．四川·乐山中考如图，P是⊙O外的一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交PA的延长交于点Q，连结A