2019-2020学年高中数学课时分层作业7柱锥台和球的体积含解析新人教B版必修

PAGE课时分层作业(七)柱、锥、台和球的体积(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1.已知高为3的三棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1­ABC的体积为()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),6)D．eq\f(\r(3),4)D[V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×3＝eq\f(\r(3),4).]2．两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个大球，则这个大球的半径为()A．eq\r(3,2)B．eq\r(3,3)C．2eq\r(3,2)D.eq\r(2)A[设大球的半径为r，则eq\f(4,3)π×13×2＝eq\f(4,3)πr3，∴r＝eq\r(3,2).]3．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是()A．eq\f(2,3)B．eq\f(7,6)C．eq\f(4,5)D．eq\f(5,6)D[如图，去掉的一个棱锥的体积是eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(1,2)×\f(1,2)))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,48)，剩余几何体的体积是1－8×eq\f(1,48)＝eq\f(5,6).]4．某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体的体积为()A．eq\f(4＋\r(3),3)π B．eq\f(32＋8\r(3),3)πC．eq\f(32＋\r(3),3)π D．eq\f(4＋3\r(3),3)πA[由三视图可知，该几何体是一个圆锥与一个球的组合体．圆锥的底面半径与球的半径均为1，圆锥的高为eq\r(22－1)＝eq\r(3)，∴该几何体的体积V＝eq\f(1,3)π×12×eq\r(3)＋eq\f(4,3)π×13＝eq\f(4＋\r(3),3)π.]5．分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是()A．1∶eq\r(2)∶eq\r(3) B．6∶2eq\r(3)∶eq\r(3)C．6∶2eq\r(3)∶3 D．3∶2eq\r(3)∶6C[设Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝1，则AB＝2，AC＝eq\r(3)，求得斜边上的高CD＝eq\f(\r(3),2)，旋转所得几何体的体积分别为V1＝eq\f(1,3)π(eq\r(3))2×1＝π，V2＝eq\f(1,3)π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π，V3＝eq\f(1,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up10(2)×2＝eq\f(1,2)π.V1∶V2∶V3＝1∶eq\f(\r(3),3)∶eq\f(1,2)＝6∶2eq\r(3)∶3.]二、填空题6．一个长方体的三个面的面积分别是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，则这个长方体的体积为________．eq\r(6)[设长方体的棱长分别为a，b，c，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝\r(2)，,ac＝\r(3)，,bc＝\r(6)，))三式相乘可知(abc)2＝6，所以长方体的体积V＝abc＝eq\r(6).]7．已知三棱锥S­ABC的棱长均为4，则该三棱锥的体积是________．eq\f(16\r(2),3)[如图，在三棱锥S­ABC中，作高SO，连接AO并延长AO交BC于点D，则AO＝eq\f(\r(3),2)×4×eq\f(2,3)＝eq\f(4\r(3),3).在Rt△SAO中，SO＝eq\r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)))2)＝eq\f(4\r(6),3)，所以V＝eq\f(1,3)×eq\f(4\r(6),3)×eq\f(\r(3),4)×42＝eq\f(16\r(2),3).]8．圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.4[设球的半径为r，则由3V球＋V水＝V柱，得6r·πr2＝8πr2＋3×eq\f(4,3)πr3，解得r＝4.]三、解答题9．如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．[解]因为V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×43＝eq\f(128,3)π(cm3)，V圆锥＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×42×10＝eq\f(160,3)π(cm3)，因为V半球<V圆锥，所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．10.如图，圆台高为3，轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．[解]设圆台上、下底面半径分别为r，R.∵A1D＝3，∠A1AB＝60°，∴AD＝eq\f(A1D,tan60°)＝eq\r(3)，∴R－r＝eq\r(3)，BD＝A1D·tan60°＝3eq\r(3)，∴R＋r＝3eq\r(3)，∴R＝2eq\r(3)，r＝eq\r(3)，h＝3，∴V圆台＝eq\f(1,3)π(R2＋Rr＋r2)h＝eq\f(1,3)π×[(2eq\r(3))2＋2eq\r(3)×eq\r(3)＋(eq\r(3))2]×3＝21π.[等级过关练]1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()A．eq\f(4π,3)B．eq\f(\r(2)π,3)C.eq\f(\r(3)π,2)D.eq\f(π,6)A[由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是eq\f(4,3)×π×13＝eq\f(4π,3).]2．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得的这个圆台的圆锥的体积是()A．54 B．54πC．58 D．58πA[设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52＝eq\f(1,3)πh1(r2＋9r2＋3r·r)，∴πr2h1＝12.令原圆锥的高为h，由相似知识得eq\f(r,3r)＝eq\f(h－h1,h)，∴h＝eq\f(3,2)h1，∴V原圆锥＝eq\f(1,3)π(3r)2×h＝3πr2×eq\f(3,2)h1＝eq\f(9,2)×12＝54.]3．如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A—DED1的体积为________．eq\f(1,6)[Veq\s\do8(三棱锥A－DED1)＝Veq\s\do8(三棱锥E－DD1A)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).]4．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，则h＝________.eq\f(\r(3),2)a[设圆锥形容器的液面的半径为R，则液体的体积为eq\f(1,3)πR2h，圆柱形容器内的液体体积为πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up10(2)h.根据题意，有eq\f(1,3)πR2h＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up10(2)h，解得R＝eq\f(\r(3),2)a.再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得eq\f(\f(\r(3),2)a,a)＝eq\f(h,a)，所以h＝eq\f(\r(3),2)a.]5．若E，F是三棱柱ABC­A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A­BEFC的体积．[解]如图所示，连接AB1，AC1.∵B1E＝CF，∴梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积．又四棱锥A­BEFC的高与四棱锥A­B1EFC1的高相等，∴VA­BEFC＝Veq\s\do8(A­B1EFC1)＝eq\f(1,2)Veq\s\do8(A­BB1C1C)，又Veq\s\do8(A­A1B1C1)＝eq\f(1,3)Seq\s\do8(△A1B1C1)·h，Veq\s\do8(ABC­A1B1C1)＝Seq\