2019-2020学年高中数学课时分层作业3曲线的极坐标方程圆的极坐标方程含解析新人教B版选修

PAGE课时分层作业(三)(建议用时：45分钟)一、选择题1．下列点不在曲线ρ＝cosθ上的是()A．(eq\f(1,2)，eq\f(π,3)) B．(－eq\f(1,2)，eq\f(2π,3))C．(eq\f(1,2)，－eq\f(π,3)) D．(eq\f(1,2)，－eq\f(2π,3))[解析]点(eq\f(1,2)，－eq\f(2,3)π)的极坐标满足ρ＝eq\f(1,2)，θ＝－eq\f(2,3)π，且ρ≠cosθ＝cos(－eq\f(2,3)π)＝－eq\f(1,2).[答案]D2．过极点倾斜角为eq\f(π,3)的直线的极坐标方程可以为()A．θ＝eq\f(π,3) B．θ＝eq\f(π,3)，ρ≥0C．θ＝eq\f(4π,3)，ρ≥0 D．θ＝eq\f(π,3)和θ＝eq\f(4π,3)，ρ≥0[解析]以极点O为端点，所求直线上的点的极坐标分成两条射线．∵两条射线的极坐标方程为θ＝eq\f(π,3)和θ＝eq\f(4,3)π.∴直线的极坐标方程为θ＝eq\f(π,3)和θ＝eq\f(4,3)π(ρ≥0)．[答案]D3．极坐标方程4ρ·sin2eq\f(θ,2)＝5表示的曲线是()A．圆 B．椭圆C．双曲线的一支 D．抛物线[解析]由4ρ·sin2eq\f(θ,2)＝4ρ·eq\f(1－cosθ,2)＝2ρ－2ρcosθ＝5，得方程为2eq\r(x2＋y2)－2x＝5，化简得y2＝5x＋eq\f(25,4).∴该方程表示抛物线．[答案]D4．在极坐标系中与圆ρ＝4sinθ相切的一条直线的方程为()A．ρcosθ＝eq\f(1,2) B．ρcosθ＝2C．ρ＝4sin(θ＋eq\f(π,3)) D．ρ＝4sin(θ－eq\f(π,3))[解析]极坐标方程ρ＝4sinθ化为ρ2＝4ρsinθ，即x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.由所给的选项中ρcosθ＝2知，x＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切．[答案]B二、填空题5．点Q是圆ρ＝4cosθ上的一点，当Q在圆上移动时，OQ(O是极点)中点P的轨迹的极坐标方程是__________________．[解析]ρ＝4cosθ是以(2,0)为圆心，半径为2的圆，则P的轨迹是以(1,0)为圆心，半径为1的圆，所以极坐标方程是ρ＝2cosθ.[答案]ρ＝2cosθ6．已知圆的极坐标方程为ρ＝2cosθ，则该圆的圆心到直线ρsinθ＋2ρcosθ＝1的距离是________．[解析]直线ρsinθ＋2ρcosθ＝1化为2x＋y－1＝0，圆ρ＝2cosθ的圆心(1,0)到直线2x＋y－1＝0的距离是eq\f(\r(5),5).[答案]eq\f(\r(5),5)三、解答题7．已知直线的极坐标方程ρsin(θ＋eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),2)，求极点到直线的距离．[解]∵ρsin(θ＋eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),2)，∴ρsinθ＋ρcosθ＝1，即直角坐标方程为x＋y＝1.又极点的直角坐标为(0,0)，∴极点到直线的距离d＝eq\f(|0＋0－1|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).8．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos(θ－eq\f(π,3))＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．[解](1)由ρcos(θ－eq\f(π,3))＝1，得ρ(eq\f(1,2)cosθ＋eq\f(\r(3),2)sinθ)＝1.又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ.∴曲线C的直角坐标方程为eq\f(x,2)＋eq\f(\r(3),2)y＝1，即x＋eq\r(3)y－2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，∴点M(2,0)．当θ＝eq\f(π,2)时，ρ＝eq\f(2,3)eq\r(3)，∴点N(eq\f(2,3)eq\r(3)，eq\f(π,2))．(2)由(1)知，M点的坐标(2,0)，点N的坐标(0，eq\f(2,3)eq\r(3))．又P为MN的中点，∴点P(1，eq\f(\r(3),3))，则点P的极坐标为(eq\f(2\r(3),3)，eq\f(π,6))．所以直线OP的极坐标方程为θ＝eq\f(π,6)(ρ∈R)．9．在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sinθ上的一动点，Q是曲线ρ＝12cos(θ－eq\f(π,6))上的动点，试求|PQ|的最大值．[解]∵ρ＝12sinθ，∴ρ2＝12ρsinθ，∴x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36.又∵ρ＝12cos(θ－eq\f(π,6))，∴ρ2＝12ρ(cosθcoseq\f