高中数学 模块检测 北师大版选修2-3

模块检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．一台X型号的自动机床在一小时内需要工人照看的概率为0.8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是 ()．A．0.1536 B．0.1808C．0.5632 D．0.9728解析设四台机床中需照看的台数为X，则X～B(4,0.8)，故P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,4)·0.8k·0.24－k(k＝0,1,2,3,4)故所求概率为P＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝Ceq\o\al(0,4)×0.24＋Ceq\o\al(1,4)×0.8×0.23＋Ceq\o\al(2,4)×0.82×0.22＝0.0016＋0.0256＋0.1536＝0.1808.答案B2．设二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)＋\f(3,x)))n的展开式各项系数的和为a，所有的二项式系数的和为b，若a＋2b＝80，则n的值为 ()．A．8 B．4C．3 D．2解析由题意得，a＝4n，b＝2n，又a＋2b＝80，所以4n＋2×2n－80＝0，即(2n)2＋2×2n－80＝0，(2n＋10)(2n－8)＝0，所以2n－8＝0或2n＋10＝0(不合题意，舍去)，所以，n＝3，选C.答案C3．下面是一个2×2列联表：y1y2总计x1a2173x222527总计b46100则表中a，b的值分别为 ()．A．94,96 B．52,50C．52,54 D．54,52解析∵a＋21＝73，∴a＝73－21＝52.又∵a＋2＝b，∴b＝52＋2＝54.答案C4．如图所示，用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有 ()．A．180种 B．120种C．96种 D．60种解析按区域分四步：第一步A区域有5种颜色可选；第二步B区域有4种颜色可选；第三步C区域有3种颜色可选；第四步由于D区域可以重复使用区域A中已有过的颜色，故也有3种颜色可选用．由分步乘法计数原理，共有5×4×3×3＝180种涂色方法．答案A5．若随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝ ()．A．0.025 B．0.050C．0.950 D．0.975解析由随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，得P(ξ<1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)．所以P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝P(ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.故选C.答案C6．某中学在高二开设了数学史等4门不同的选修课，每个学生必须选修，且只能从中选一门．该校高二的3名学生甲、乙、丙对这4门不同的选修课的兴趣相同．设X为甲、乙、丙这3个学生中选修数学史的人数，则EX等于 ()．A.eq\f(1,2) B.eq\f(4,3)C.eq\f(3,4) D．2解析由题意知，X的所有取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(33,43)＝eq\f(27,64)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)·32,43)＝eq\f(27,64)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)·3,43)＝eq\f(9,64)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),43)＝eq\f(1,64).∴X的分布列为X0123Peq\f(27,64)eq\f(27,64)eq\f(9,64)eq\f(1,64)∴EX＝0×eq\f(27,64)＋1×eq\f(27,64)＋2×eq\f(9,64)＋3×eq\f(1,64)＝eq\f(3,4).答案C7．在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是eq\f(1,2)，且是相互独立的，则灯亮的概率是()．A.eq\f(1,8) B.eq\f(3,8)C.eq\f(1,4) D.eq\f(7,8)解析设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，则灯亮这一事件E＝ABC∪ABeq\x\to(C)∪Aeq\x\to(B)C，且A，B，C相互独立，ABC，ABeq\x\to(C)，Aeq\x\to(B)C互斥，所以P(E)＝P(ABC∪ABeq\x\to(C)∪Aeq\x\to(B)C)＝P(ABC)＋P(ABeq\x\to(C))＋P(Aeq\x\to(B)C)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(eq\x\to(C))＋P(A)P(eq\x\to(B))P(C)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8).答案B8．在1,2,3,4的排列a1，a2，a3，a4中，满足a2>a3的排列种数为 )．A．10 B．12C．24 D．26解析分3类完成：第1类，a2＝2，此时a3只有一种选择(a3＝1)，其余2个数(3,4)在a1，a4两个位置全排列，共有Aeq\o\al(1,1)Aeq\o\al(2,2)种排列方法；第2类，a2＝3，此时a3有Aeq\o\al(1,2)种选择(a3＝1或a3＝2)，其余两个位置(a1，a4)无约束条件，共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)种排列方法．第3类，a2＝4，此时a1，a3，a4三个位置无约束条件，共有Aeq\o\al(3,3)种排列方法．由分类加法计数原理，共有Aeq\o\al(1,1)Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(3,3)＝12种排列方法．答案B9．一离散型随机变量X的概率分布列为：X0123P0.1ab0.1且EX＝1.5，则a－b等于 ()．A．0.8 B．0.4C．0.2 D．0解析a＋b＝0.8,0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.5，∴a＋2b＝1.2.解之得a＝b＝0.4，∴a－b＝0.答案D10．假设有两个变量X与Y的2×2列联表如下表YXy1y2x1abx2cd对于以下数据，对同一样本能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为 ()．A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5D．a＝2，b＝3，c＝5，d＝4解析运用独立性检验，分别计算χ2的值，χ2的值越大，说明X与Y有关系的可能性越大．因为D项的χ2值最大，故选D.答案D二、填空题(每小题5分，共25分)11．若血色素化验的准确率是p，则在10次化验中，最多一次不准的概率是________．解析由题意知，血色素化验的准确率为p，则不准确的概率为1－p，由独立重复试验发生的概率知，最多一次不准确包括一次不准确和全部准确，所以所求概率为Ceq\o\al(10,10)·p10＋Ceq\o\al(1,10)·(1－p)·p9.答案10p9－9p1012．已知两个变量x和y之间线性相关，5次试验的观测数据如下：x100120140160180y4554627592那么变量y关于x的回归直线方程是______________________________．解析由公式可求出b＝0.575，a＝－14.9，所以回归直线方程为y＝0.575x－14.9.答案y＝0.575x－14.913．设X～B(2，p)，若P(X≥1)＝eq\f(5,9)，则P＝________.解析∵X～B(2，p)，∴P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,2)pk(1－p)2－k，k＝0,1,2.∴P(X≥1)＝1－P(X<1)＝1－P(X＝0)＝1－Ceq\o\al(0,2)P0(1－p)2＝1－(1－p)2.∴1－(1－p)2＝eq\f(5,9)，结合0≤p≤1，解之得p＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)14．已知离散型随机变量X的分布列如下表．若EX＝0，DX＝1，则a＝________，b＝________.X－1012Pabceq\f(1,12)解析由题意，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝\f(11,12)，,－a＋c＋\f(1,6)＝0，,12×a＋12×c＋22×\f(1,12)＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝\f(11,12)，,－a＋c＝－\f(1,6),a＋c＝\f(2,3)，))，解得a＝eq\f(5,12)，b＝eq\f(1,4).答案eq\f(5,12)eq\f(1,14)15．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))k(k＝1,2，…，n)，则实数a的值为________．解析依题意，P(ξ＝1)＝eq\f(1,3)a，P(ξ＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2a…，P(ξ＝n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))na，由P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋…＋P(ξ＝n)＝1，知aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,32)＋…＋\f(1,3n)))＝1，a·eq\f(\f(1,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n))),1－\f(1,3))＝1，∴a＝eq\f(2×3n,3n－1).答案eq\f(2×3n,3n－1)三、解答题(本题共6小题，共75分)16．(12分)设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S，(1)设“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列及数学期望Eξ.解(1)由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}，由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P(ξ＝0)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝1)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝4)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝9)＝eq\f(1,6).故ξ的分布列为ξ0149Peq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,6)所以，Eξ＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,3)＋4×eq\f(1,3)＋9×eq\f(1,6)＝eq\f(19,6).17．(12分)已知：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n的展开式中偶数项的二项式系数的和比(a＋b)2n展开式中奇数项的二项式系数的和小120.求第一个展开式的第三项．解(a＋b)2n展开式中奇数项的二项式系数之和为22n－1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n展开式中偶数项的二项式系数的和为2n－1，依题意，有2n－1＝22n－1－120，即(2n)2－2n－240＝0，解得2n＝16或2n＝－15(舍去)，∴n＝4，于是，第一个展开式中第三项为T3＝Ceq\o\al(2,4)(eq\r(x))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))2＝6eq\r(3,x).18．(12分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿者男女需要4030不需要160270附：k＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；(2)在犯错误的概率不超过0.01的前提下是否可认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．解(1)调查的500位老人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为eq\f(70,500)＝14%.(2)k＝eq\f(500×40×270－30×1602,70×430×200×300)≈9.967，由于9.967>6.635，因此，在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．(3)由(2)的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据中能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样的方法更好．19．(12分)经有关部门调查，得到部门国家13岁学生的数学测试平均分数y(分)与授课天数x(天)的数据如下：中国韩国瑞士俄罗斯法国以色列加拿大英国美国约旦授课天数251222207210174215188192180191平均分数80737170646362615546试作出该数据的散点图，并根据散点图来判断两者是否线性相关，若线性相关，则求出回归直线方程．解画出散点图如图所示．由散点图可得，授课天数x与平均分数y线性相关．由题表中数据，得eq\x\to(x)＝203，eq\x\to(y)＝64.5，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝416824，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝132418.所以b＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10x]y],eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)－10eq\x\to(x)2)＝eq\f(132418－10×203×64.5,416824－10×2032)≈0.3133，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)≈64.5－0.3133×203＝0.9001.所以所求的回归直线方程是y＝0.3133x＋0.9001.20．(13分)一个袋中装有大小相同的球，其中红球5个，黑球3个．现从中随机摸出3个球．(1)求至少摸到一个红球的概率；(2)求摸到黑球的个数X的分布列、均值和方差.解(1)至少摸到1个红球的概率为1－eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,8))＝1－eq\f(1,56)＝eq\f(55,56).(2)由题意知，X服从参数N＝8，M＝3，n＝3的超几何分布，X的可能取值为0,1,2,3，则P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,3)C\o\al(3－k,5),C\o\al(3,8))(k＝0,1,2,3)．∴P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,3)C\o\al(3,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(5,28)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(15,28)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(15,56)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(1,56).∴X的分布列为X0123Peq\f(5,28)eq\f(15,28)eq\f(15,56)eq\f(1,56)∴EX＝0×eq\f(5,28)＋1×eq\f(15,28)＋2×eq\f(15,56)＋3×eq\f(1,56)＝eq\f(9,8).DX＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(9,8)))2×eq\f(5,28)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(9,8)))2×eq\f(15,28)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(9,8)))2×eq\f(15,56)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(9,8)))2×eq\f(1,56)≈0.502.21．(14分)在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为ξ02345P0.03P1P2P3P4(1)求q2的值；(2)求随机变量ξ的数学期望Eξ；(3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．解(1)设该同学在A处投中为事件A，在B处投中为事件B，则事件A，B相互独立，且P(A)＝0.25，P(eq\x\to(A))＝0.75，P(B)＝q2，P(eq\x\to(B))