高中数学 2.3第2课时数学归纳法的应用同步检测 苏教版选修2-2VIP

2.3第2课时数学归纳法的应用eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时20分钟)1．用数学归纳法证明eq\f(an＋bn,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))n(a，b是非负实数，n∈N＋)时，假设n＝k命题成立之后，证明n＝k＋1命题也成立的关键是__________________．解析要想办法出现ak＋1＋bk＋1，两边同乘以eq\f(a＋b,2)，右边也出现了要证的eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))k＋1.答案两边同乘以eq\f(a＋b,2)2．数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝eq\f(an,3an＋1)(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜测得出an的表达式为________．解析a1＝2，a2＝eq\f(2,7)，a3＝eq\f(2,13)，a4＝eq\f(2,19)，猜测an＝eq\f(2,6n－5).答案an＝eq\f(2,6n－5)3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)．依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为____________．解析S1＝1，S2＝eq\f(4,3)，S3＝eq\f(3,2)＝eq\f(6,4)，S4＝eq\f(8,5)，猜想Sn＝eq\f(2n,n＋1).答案Sn＝eq\f(2n,n＋1)4．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________．解析∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.答案f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)25．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为________．解析∵等式对一切n∈N*均成立，∴n＝1,2,3时等式成立，即：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝3a－b＋c，,1＋2×3＝322a－b＋c，,1＋2×3＋3×32＝333a－b＋c，))整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－3b＋c＝1，,18a－9b＋c＝7，,81a－27b＋c＝34，))解得a＝eq\f(1,2)，b＝c＝eq\f(1,4).答案a＝eq\f(1,2)，b＝c＝eq\f(1,4)6．已知n∈N*，n＞2时，求证：1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(n))＞eq\r(n＋1).证明(1)当n＝3时，左边＝1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))，右边＝eq\r(3＋1)＝2，左边＞右边，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k＞2)时，不等式成立，即1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(k))＞eq\r(k＋1).当n＝k＋1时，1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(k))＋eq\f(1,\r(k＋1))＞eq\r(k＋1)＋eq\f(1,\r(k＋1))＝eq\f(k＋1＋1,\r(k＋1))＝eq\f(k＋2,\r(k＋1)).∵eq\f(k＋2,\r(k＋1))＞eq\f(k＋2,\r(k＋2))＝eq\r(k＋2)＝eq\r(k＋1＋1)，∴1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(k))＋eq\f(1,\r(k＋1))＞eq\r(k＋1＋1)，∴当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)，(2)知对这一切n∈N*，n＞2，不等式成立．eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时25分钟)7．在数列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为____________________．解析由a1＝eq\f(1,3)，Sn＝n(2n－1)an，得S2＝2(2×2－1)a2，即a1＋a2＝6a2，∴a2＝eq\f(1,15)＝eq\f(1,3×5)，S3＝3(2×3－1)a3，即eq\f(1,3)＋eq\f(1,15)＋a3＝15a3.∴a3＝eq\f(1,35)＝eq\f(1,5×7)，同理，a4＝eq\f(1,7×9).所以猜想an＝eq\f(1,2n－12n＋1).答案an＝eq\f(1,2n－12n＋1)8．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n4＋n2,2)时，当n＝k＋1时左端在n＝k时的左端加上________．解析n＝k时左端为1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.答案(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)29．用数学归纳法证明“1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋……＋eq\f(1,2n－1)＜n(n∈N*，n＞1)”时，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．解析增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k.答案2k10.124357681012911131517…………某同学做了一个如上图所示的等腰直角三角形形状的数表，且把奇数和偶数分别依次排在了数表的奇数行和偶数行，若用a(i，j)表示第i行从左数第j个数，如a(4,3)＝10，则a(21,6)＝________.解析观察数表可知，数表中的第21行为奇数行，如果删去偶数行，原数表中的第21行为奇数行数表中的第11行．新数表中第10行最后一个数为2(1＋3＋5＋…＋19)－1＝2·eq\f(101＋19,2)－1＝199.所以第21行的第6个数为199＋2×6＝211.答案21111．已知f(x)＝eq\f(2x,x＋2)，x1＝1，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)，则x2，x3，x4分别为多少？猜想xn，并用数学归纳法证明．证明∵f(x)＝eq\f(2x,x＋2)，x1＝1，xn＝f(xn－1)，∴x2＝f(x1)＝f(1)＝eq\f(2,3)，x3＝f(x2)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\f(2×\f(2,3),\f(2,3)＋2)＝eq\f(1,2)＝eq\f(2,4)，x4＝f(x3)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(2×\f(1,2),\f(1,2)＋2)＝eq\f(2,5)，猜想：xn＝eq\f(2,n＋1).用数学归纳法证明如下：(1)当n＝1时，左边＝x1＝1，右边＝eq\f(2,1＋1)＝1，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，即xk＝eq\f(2,k＋1)，当n＝k＋1时，xk＋1＝f(xk)＝eq\f(2xk,xk＋2)＝eq\f(\f(4,k＋1),\f(2,k＋1)＋2)＝eq\f(4,2k＋4)＝eq\f(2,k＋2)＝eq\f(2,k＋1＋1)，∴当n＝k＋1时，命题成立．由(1)，(2)可知原命题成立．12．数列{an}中，a1＝1，Sn＝n2an.(1)求a2，a3，a4；(2)猜想{an}的通项公式，并证明你的猜想．解(1)∵Sn＝n2an，∴Sn＋1＝(n＋1)2an＋1，两式相减得an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an，∴an＋1＝eq\f(n,n＋2)an.由a1＝1得a2＝eq\f(1,3)，由a2＝eq\f(1,3)得a3＝eq\f(1,6)，由a3＝eq\f(1,6)得a4＝eq\f(1,10).(2)由a1，a2，a3，a4的值猜想：an＝eq\f(2,nn＋1)(n∈N*)．以下用数学归纳法证明：an＝eq\f(2,nn＋1)(n∈N*)：①当n＝1时，a1＝1＝eq\f(2,1×2)成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，ak＝eq\f(2,kk＋1).那么ak＋1＝eq\f(k,k＋2)·ak＝eq\f(k,k＋2)·eq\f(2,kk＋1)＝eq\f(2,k＋1[k＋1＋1]).这表明当n＝k＋1时猜想正确．根据①②可知对任意n∈N*，an＝eq\f(2,nn＋1).13．(创新拓展)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明：对任意的n∈N*，不等式eq\f(b1＋1,b1)·eq\f(b2＋1,b2)·…·eq\f(bn＋1,bn)＞eq\r(n＋1)成立．(1)解由题意，Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r，所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)，由于b＞0且b≠1，所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列．又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，eq\f(a2,a1)＝b，即eq\f(bb－1,b＋r)＝b，解得r＝－1.(2)证明当b＝2时，由(1)知an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)，所证不等式为eq\f(2＋1,2)·eq\f(4＋1,4)·…·eq\f(2n＋1,2n)＞eq\r(n＋1).①当n＝1时，左式＝eq\f(3,2)，右式＝eq\r(2).左式＞右式，所以结论成立．②假设n＝k(k∈N*)时结论成立，即eq\f(2＋1,2)·eq\f(4＋1,4)·…·eq\f(2k＋1,2k)＞eq\r(k＋1)，则当n＝k＋1时，eq\f(2＋1,2)·eq\f(4＋1,4)·…·eq\f(2k＋1,2k)·eq\f(2k＋3,2k＋1)＞eq\r(k＋1)·eq\f(2k＋3,2k＋1)＝eq\f(2k＋3,2\r(k＋1)).要证当n＝k＋