高考数学一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布第7讲离散型随机变量及其分布列超几何分布知能训练

PAGE第7讲离散型随机变量及其分布列、超几何分布1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于()A．0 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析：选C.设X的分布列为X01Pp2p即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功．由p＋2p＝1，得p＝eq\f(1,3)，故应选C.2．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于eq\f(Ceq\o\al(4,7)Ceq\o\al(6,8),Ceq\o\al(10,15))的是()A．P(X＝2) B．P(X≤2)C．P(X＝4) D．P(X≤4)解析：选C.X服从超几何分布，P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,7)Ceq\o\al(10－k,8),Ceq\o\al(10,15))，故k＝4，故选C.3．设随机变量Y的分布列为Y－123Peq\f(1,4)meq\f(1,4)则“eq\f(3,2)≤Y≤eq\f(7,2)”的概率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,3)解析：选C.依题意知，eq\f(1,4)＋m＋eq\f(1,4)＝1，则m＝eq\f(1,2).故Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)≤Y≤\f(7,2)))＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).4．设随机变量X的概率分布列如下表所示：X012Paeq\f(1,3)eq\f(1,6)若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1，2)时，F(x)等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,2) D.eq\f(5,6)解析：选D.由分布列的性质，得a＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝1，所以a＝eq\f(1,2).而x∈[1，2)，所以F(x)＝P(X≤x)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).5．若离散型随机变量X的分布列为：X01P9c2－3－8则常数c＝________，P(X＝1)＝________．解析：依分布列的性质知，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9c2－c＞0，,3－8c＞0，,9c2－c＋3－8c＝1，))解得c＝eq\f(1,3)，故P(X＝1)＝3－8×eq\f(1,3)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)eq\f(1,3)6．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数X的分布列为________．解析：X的所有可能值为0，1，2.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2))＝eq\f(1,4)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1)×2,Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2))＝eq\f(1,2)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2))＝eq\f(1,4).所以X的分布列为X012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)答案：X012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)7．(2016·陕西省质量检测)有一种密码，明文由三个字母组成，密码由明文的这三个字母对应的五个数字组成．编码规则如下表．明文由表中每一排取一个字母组成，且第一排取的字母放在第一位，第二排取的字母放在第二位，第三排取的字母放在第三位，对应的密码由明文所取的这三个字母对应的数字按相同的次序排成一组组成．(如：明文取的三个字母为AFP，则与它对应的五个数字(密码)就为11223)第一排明文字母ABC密码数字111213第二排明文字母EFG密码数字212223第三排明文字母MNP密码数字123(1)假设明文是BGN，求这个明文对应的密码；(2)设随机变量X表示密码中所含不同数字的个数．①求P(X＝2)；②求随机变量X的分布列．解：(1)这个明文对应的密码是12232.(2)①因为表格的第一、二列均由数字1，2组成，所以X＝2时，只能取表格第一、二列中的数字作为密码．所以P(X＝2)＝eq\f(23,33)＝eq\f(8,27).②由题意可知，X的取值为2，3两种情形．所以P(X＝3)＝1－P(X＝2)＝1－eq\f(8,27)＝eq\f(19,27).所以X的分布列为X23Peq\f(8,27)eq\f(19,27)8.2015年5月亚洲女排锦标赛在北京、天津举行，为了做好锦标赛期间的接待服务工作，天津大学学生实践活动中心从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加锦标赛的志愿者服务活动．若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列．解：因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生，所以X的分布列服从超几何分布．X的所有可能取值为0，1，2，3，其中P(X＝i)＝eq\f(Ceq\o\al(i,3)Ceq\o\al(3－i,5),Ceq\o\al(3,8))(i＝0，1，2，3)．由公式可得P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,3)Ceq\o\al(3,5),Ceq\o\al(3,8))＝eq\f(5,28)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(3,8))＝eq\f(15,28)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(3,8))＝eq\f(15,56)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(0,5),Ceq\o\al(3,8))＝eq\f(1,56).所以X的分布列为X0123Peq\f(5,28)eq\f(15,28)eq\f(15,56)eq\f(1,56)9.在一次购物活动中，假设每10张券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获得价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张券中任取2张．(1)求该顾客中奖的概率；(2)求该顾客获得的奖品总价值X(元)的分布列．解：(1)该顾客中奖的概率P＝1－eq\f(Ceq\o\al(0,4)Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,10))＝1－eq\f(15,45)＝eq\f(2,3).(2)X的所有可能取值为0，10，20，50，60，且P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,4)Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,3)，P(X＝10)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(2,5)，P(X＝20)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,15)，P(X＝50)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(2,15)，P(X＝60)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,15).故X的分布列为：X010205060Peq\f(1,3)eq\f(2,5)eq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(1,15)1．(2014·高考江苏卷节选)盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布．解：(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,9))＝eq\f(6＋3＋1,36)＝eq\f(5,18).(2)随机变量X所有可能的取值为2，3，4.{X＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(4,4),Ceq\o\al(4,9))＝eq\f(1,126)；{X＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(4,9))＝eq\f(20＋6,126)＝eq\f(13,63)；于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－eq\f(13,63)－eq\f(1,126)＝eq\f(11,14).所以随机变量X的概率分布为：X234Peq\f(11,14)eq\f(13,63)eq\f(1,126)2.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为eq\f(1,7).现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用X表示终止时所需要的取球次数．(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X的分布列；(3)求甲取到白球的概率．解：(1)设袋中原有n个白球，由题意知eq\f(1,7)＝eq\f(Ceq\o\al(2,n),Ceq\o\al(2,7))＝eq\f(\f(n（n－1）,2),\f(7×6,2))＝eq\f(n（n－1）,7×6)，所以n(n－1)＝6，解得n＝3或n＝－2(舍去)．即袋中原有3个白球．(2)由题意知X的可能取值为1，2，3，4，5.P(X＝1)＝eq\f(3,7)；P(X＝2)＝eq\f(4×3,7×6)＝eq\f(2,7)；P(X＝3)＝eq\f(4×3×3,7×6×5)＝eq\f(6,35)；P(X＝4)＝eq\f(4×3×2×3,7×6×5×4)＝eq\f(3,35)；P(X＝5)＝eq\f(4×3×2×1×3,7×6×5×4×3)＝eq\f(1,35).所以