2025高考数学一轮复习-第48讲-排列与组合【课件】

第48讲

排列与组合第十章

计数原理、概率及其分布1．一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是_____．激活思维【解析】9因为一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，所以从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是5＋4＝9.2．从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是_____．6【解析】因为从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，所以从A村经B村去C村，不同路线的条数是3×2＝6.3．有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门成绩．如果物理和化学恰有1门被选，那么共有______种不同的选法．12【解析】4．乘积(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展开后共有______项．45【解析】根据多项式的乘法法则，(a1＋a2＋a3)·(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展开后每一项均是从(a1＋a2＋a3)，(b1＋b2＋b3)，(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)中各取1项相乘得到，所以展开后的项数为3×3×5＝45.5．学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序．除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，有_______种不同的排法．288【解析】1．两个计数原理的区别与联系聚焦知识

分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种数不同点分类、相加分步、相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事)注意点类类独立，不重不漏步步相依，缺一不可2．排列与组合的概念3．排列数与组合数(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有____________的个数，用符号_______表示．(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有____________的个数，用符号_______表示．名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照______________排成一列组合作为一组一定的顺序不同排列不同组合4．排列数、组合数的公式及性质n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)1n！学校举行德育知识竞赛，甲、乙、丙、丁、戊5位同学晋级到了决赛环节，通过笔试决出了第1名到第5名．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对他们说：“决赛5人的成绩各不相同，但你们俩的名次是相邻的”，丙、丁两名参赛者也去询问成绩，回答者对丙说：“很遗憾，你和丁都未拿到冠军”，又对丁说：“你当然不会是最差的”．从以上回答分析，5人的名次排列不同的可能情况种数是

(

)A．14 B．16C．18 D．20两个计数原理的应用举题说法1【解析】由题意可知，冠军不会是丙、丁，且丁不是第5名．【答案】B所以共有N＝N1＋N2＋N3＋N4＝8＋4＋2＋2＝16(种).变式有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为(

)A．120 B．60C．40 D．30B【解析】(1)某夜市的某排摊位上共有6个铺位，现有4家小吃类店铺，2家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数为

(

)捆绑法与插空法2D【解析】(2)A，B，C，D，E，F六人站成一排，满足A，B相邻，C，D不相邻，E不站两端的不同站法的种数为

(

)A．48 B．96 C．144 D．288B2【解析】③将C，D，G，F，E排成一排，且C，D不相邻，E不站两端的排法有72－24＝48(种).综上，满足条件的排法共有2×48＝96(种).变式

(1)甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的站法共有 (

)A．24种 B．48种C．72种 D．96种C【解析】变式

(2)在数学中，有一个被称为自然常数(又叫欧拉数)的常数e≈2.71828.小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有______个．36【解析】现有4名数学特长生可从3位数学教授中任选一位作为导师，每位数学教授至多带2名数学特长生，则不同的培养方案有______种．分组分配法354【解析】变式信息技术辅助教学已经成为教学的主流趋势，为了了解学生利用学习机学习的情况，某研究机构在购物平台上购买了6种主流的学习机，并安排4人进行相关数据统计，且每人至少统计1种学习机的相关数据(不重复统计)，则不同的安排方法有_________种．1560【解析】由题意可知6种主流的学习机安排给4人进行相关数据统计，每人至少统计1种学习机的相关数据(不重复统计)，则学习机的分配方法有3，1，1，1和2，2，1，1两类情况．泉州洛阳桥，原名万安桥，桥长834米，宽7米，46个桥墩，47个桥孔，全都是由花岗岩筑成，素有“海内第一桥”之誉，是古代著名跨海梁式石构桥．北宋泉州太守蔡襄(今莆田市仙游县人，北宋名臣，书法家、文学家、茶学家)与卢锡共同主持，历经七年建成，至今已有九百多年历史．现有一场划船比赛，选取相邻的12个桥孔作为比赛道口，有4艘参赛船将从一字排开的12个桥孔划过，若为隔板法4安全起见相邻两艘船都必须至少留有1个空桥孔间隔划过，12个桥孔头尾两侧桥孔也不过船，所有的船都必须从不同的桥孔划过，每个桥孔都只允许1艘船划过，则4艘船通过桥孔的不同方法共有_______种．【解析】【答案】840随堂练习1．把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有(

)A．4种 B．6种C．21种 D．35种B【解析】2．某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同的数字密码有 (

)A．120种 B．240种C．360种 D．480种A【解析】3．甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(

)A．30种 B．60种C．120种 D．240种C【解析】4．某市根据各学校工作实际，在4所学校设立兼职体育教练岗位．现聘请甲、乙等6名教练去这4所中学指导体育教学，要求每名教练只能去一所中学，每所中学至少有一名教练，则甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为

(

)A．96 B．120 C．144 D．240D【解析】5．现要从A，B，C，D，E这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，则安排的方法有 (

)A．56种 B．64种C．72种 D．96种D【解析】配套精练A组夯基精练一、

单项选择题1．将3张不同的冬奥会门票分给10名同学中的3人，每人1张，不同的分法种数为

(

)A．720 B．240C．120 D．60A【解析】可分三步：第一步，第1张门票有10种不同的分法；第二步，第2张门票有9种不同的分法；第三步，第3张门票有8种不同的分法．由分步乘法计数原理得，共有10×9×8＝720(种)不同的分法．2．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，则甲不站在两端，且丙和丁相邻的不同的排列方式有(

)A．12种 B．24种C．36种 D．48种B【解析】3．某教育局为振兴乡村教育，将5名教师安排到3所乡村学校支教，若每名教师仅去一所学校，每所学校至少安排1名教师，则不同的安排情况有(

)A．300种 B．210种C．180种 D．150种D【解析】4．甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有(

)A．20种 B．16种

C．12种 D．8种B【解析】因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位．二、

多项选择题5．小明、小华、小红、小兰四位同学分别到镇江的南山、焦山、北固山参观旅游，要求每位同学只去一个地方，每个地方至少安排一位同学参观，则下列选项正确的是(

)A．若安排两位同学去焦山，则有12种安排方法B．若安排小红和小兰去同一个地方参观，则有6种安排方法C．若小华不去南山参观，则有24种安排方法D．共有18种安排方法【解析】【答案】ABC6．现有4个小球和4个小盒子，下面的说法正确的是

(

)A．将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，共有24种放法B．将4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，恰有两个空盒的放法共有18种C．将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，恰有一个空盒的放法共有144种D．将编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种【解析】若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，共有44＝256(种)放法，故A错误；编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同，若(2，1，4，3)代表编号为1，2，3，4的盒子放入的小球编号分别为2，1，4，3，所有符合要求的情况为(2，1，4，3)，(4，1，2，3)，(3，1，4，2)，(2，4，1，3)，(3，4，1，2)，(4，3，1，2)，(2，3，4，1)，(3，4，2，1)，(4，3，2，1)，共9种放法，故D正确．【答案】BCD三、

填空题7．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有______种．(用数字作答)【解析】64综上，不同的选课方案共有16＋24＋24＝64(种).8．“五经”是儒家典籍《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则《诗经》《春秋》分开排的情况有______种．72【解析】9．将8块完全相同的巧克力分配给A，B，C，D四人，每人至少分到1块且最多分到3块，则不同的分配方案共有______种．(用数字作答)19【解析】将8块完全相同的巧克力取4块分给A，B，C，D四人，每人各1块，有1种分法，再将剩余4块分给4人，由于每人最多分到3块，故有“0，1，1，2”或“0，0，2，2”或“1，1，1，1”三类分法.四、

解答题10．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？【解答】10．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？【解答】11．用0，1，2，3，4，5六个数字排成没有重复数字的6位数，分别求满足下列条