2025高考数学一轮复习-第5讲-一元二次不等式【课件】

第5讲

一元二次不等式第一章

集合与常用逻辑用语、不等式1．不等式3x2－7x≤10的解集为__________．激活思维2．不等式－3x2＋5x－4＞0的解集为______．∅3．已知不等式ax2＋bx－1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，则a＝________，b＝______．4．若不等式x2－2x＋k2－2＞0对于任意的x∈[2，＋∞)恒成立，则k的取值范围是__________________________.【解析】5．如图，在长为8m，宽为6m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度的取值范围是___________(单位：m).[1，3)【解析】1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集设相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根为x1，x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，则不等式的解集的各种情况如下表：聚焦知识

Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象{x|x＜x1或x＞x2}R{x|x1＜x＜x2}∅∅2．与一元二次不等式有关的恒成立问题解下列关于x的不等式．(1)－6x2－5x＋1＜0；解不等式举题说法1【解答】解下列关于x的不等式．(2)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R)；【解答】1若a＝0，原不等式转化为－x＋1＜0，即x＞1.【解答】1解下列关于x的不等式．【解析】1解下列关于x的不等式．三个二次之间的关系2【解析】【答案】D【解析】D2．若不等式ax2－bx＋c＞0的解集为(－2，1)，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象大致为

(

)ABCD【解析】【答案】C3．若关于实数x的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－2，1)，则不等式a(x2＋1)＋b(x＋1)＋c＜3ax的解集为 (

)A．(0，2) B．(－∞，0)C．(2，＋∞) D．(－∞，0)∪(2，＋∞)【解析】D4．已知二次函数y＝x2－2ax＋b2的最小值为0，若关于x的不等式x2－2ax＋b2＜c的解集为(t，t＋4)，则实数c的值为_____．【解析】4(1)如果关于x的不等式ax2－ax＋1≥0恒成立，那么实数a的取值范围为____________．一元二次不等式恒成立问题3【解析】[0，4](2)若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1，3]恒成立，则a的最小值为_______．【解析】－43(3)若命题“∃a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a＜0”为假命题则实数x的取值范围为__________________．【解析】3命题“∃a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a＜0”为假命题，则其否定为真命题，即“∀a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0”为真命题．变式已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；【解答】(1)因为当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，所以Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，所以实数a的取值范围是[－6，2].变式已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.(2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；【解答】由题意原不等式可转化为x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2，2]上恒成立，则(x2＋ax＋3－a)min≥0(x∈[－2，2]).综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7，2].变式已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.(3)当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．【解答】随堂练习【解析】A【解析】D【解析】【答案】C【解析】A【解析】[3，5]配套精练一、

单项选择题1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是

(

)A．(－2，1)B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C．[－2，1]D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)A【解析】结合图象易知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－2，1).2．若不等式x2＋kx＋1＜0的解集为空集，则k的取值范围是 (

)A．[－2，2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．(－2，2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)A【解析】因为不等式x2＋kx＋1＜0的解集为空集，所以Δ＝k2－4≤0，解得－2≤k≤2.3．不等式ax2－(a＋2)x＋2≥0(a＜0)的解集为 (

)A【解析】4．当－2≤x≤2时，不等式x2－mx＋1＞0恒成立，则实数m的取值范围为(

)A．(－2，2) B．(－∞，－2)C．[－2，2] D．(2，＋∞)【解析】设f(x)＝x2－mx＋1，其中－2≤x≤2.【答案】A综上所述，实数m的取值范围是(－2，2).【解析】【答案】C【解析】【答案】BC不等式cx2＋bx＋a＞0即为cx2－4cx＋3c＞0⇒x2－4x＋3＜0，解得1＜x＜3，故D错误．【解析】【答案】AC对于A，因为x2－3x＋2＜0⇔(x－2)(x－1)＜0⇔1＜x＜2，故A正确；对于C，因为(x＋a)(x－1)＜0的解集为(1，3)，所以a＝－3，故C正确；对于D，因为x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＜0，所以当a＝1时，不等式的解集为∅，当a＜1时，不等式的解集为(a，1)，当a＞1时，不等式的解集为(1，a)，故D错误．【解析】x2－4ax＋3a2＝(x－a)(x－3a)＜0，由于a＜0，所以不等式的解集为(3a，a)，所以x1＝3a，x2＝a，故C错误；【答案】AB【解析】(－∞，－1)∪(1，5)10．已知f(x)＝x2－x＋1，当x∈[－1，2]时，不等式f(x)＞2x＋m恒成立，则实数m的取值范围为____________．【解析】由题意可得x2－x＋1＞2x＋m对任意的x∈[－1，2]恒成立，即m＜x2－3x＋1对任意的x∈[－1，2]恒成立．11．已知任意a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为________________________．(－∞，1)∪(3，＋∞)【解析】四、

解答题12．已知关于x的不等式ax2－3x＋2＞0的解集为(－∞，1)∪(b，＋∞)(b＞1).(1)求a，b的值；【解答】四、

解答题12．已知关于x的不等式ax2－3x＋2＞0的解集为(－∞，1)∪(b，＋∞)(b＞1).【解答】依题意有(2x＋y)min≥k2＋k＋2，即8≥k2＋k＋2，即k2＋k－6≤0，所以－3≤k≤2，所以k的取值范围为[－3，2].13．已知函数f(x)＝x2－(a－2)x＋4.(1)求关于x的不等式f(x)≥4＋2a的解集；【解答】由已知易得f(x)≥4＋2a即为x2－(a－2)x－2a≥0.令x2－(a－2)x－2a＝0，可得x＝－2或x＝a，所以当a＜－2时，原不等式的解集为(－∞，a]∪[－2，＋∞)；当a＝－2时，原不等式的解集为R；当a＞－2时，原不等式的解集为(－∞，－2]∪[a，＋∞).13．已知函数f(x)＝x2－(a－2)x＋4.(2)若对任意的x∈[1，6]，f(x)－2a＋14≥0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】14．设f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2.(1)若不等式f(x)≥－2对一切实数x恒成立，求