2006年第1“南方杯”数学邀请赛试卷（初一）

2006年第1届“南方杯”数学邀请赛试卷（初一）一、选择题（共6小题，每小题6分，满分36分）1．（6分）（2017秋•虞城县期中）如图，、、、是数轴上的四个整数所对应的点，且，而点在与之间，点在与之间，若，且、、、中有一个是原点，则此原点应是A．或 B．或 C． D．2．（6分）若、、三个数互不相等，则、、中的正数个数一定是A．0 B．1 C．2 D．33．（6分）在代数式中，若与的值各减少，的值增加，则代数式的值A．减少 B．减少 C．减少 D．减少4．（6分）（2021春•饶平县校级期末）若有下列四个说法：①若、是有理数，则．②若，则或．③一定是负数．④若两个角不相等，则这两个角不是一组对顶角．则正确的说法是A．①，②，③ B．②，④ C．④ D．①，④5．（6分）使得是一个整数的所有的正整数的个数是A．0 B．1 C．2 D．36．（6分）把4本两两不同的书全部分给甲、乙两个人，且每人至少分到一本书，则所有不同的分配方法有A．10 B．12 C．14 D．16二、填空题（共6小题，每小题9分，满分54分）7．（9分）若，都是有理数，且使得四个两两不相等的数，，，能分成两组，每组的两个数是互为相反数，则的值等于．8．（9分）如图，、、三点在一条直线上，且在与之间，另外四个点、、、在、、上方依次分布，且．若，则的度数等于．9．（9分）有理数的值等于．10．（9分）若只有一个正整数介于分数与之间，则所有这样的正整数的和等于．12．（9分）设、是两个数，若关于、的两个式子，是两个同类项，则的值等于三、解答题（共4小题，满分60分）13．（15分）如图，在中，是边的中点，点在边上，且，与相交于点，若的面积等于1，求和的面积．14．（15分）已知、、是三个非负数，并且满足，，设，记为的最大值，为的最小值，试求的值．15．（15分）一般地，对任意的实数，可记．其中：符号叫做的整数部分，表示不大于的最大整数（例如，，；符号叫做的小数部分，即（例如，．试求出所有的，使得16．（15分）求出所有有理数、、，使得

2006年第1届“南方杯”数学邀请赛试卷（初一）参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题6分，满分36分）1．（6分）（2017秋•虞城县期中）如图，、、、是数轴上的四个整数所对应的点，且，而点在与之间，点在与之间，若，且、、、中有一个是原点，则此原点应是A．或 B．或 C． D．【考点】13：数轴；15：绝对值【专题】17：推理填空题；32：分类讨论；11：计算题【分析】根据图示和已知条件先找出线段、、间的关系，然后由来推测原点的位置．【解答】解：，；①当原点在或点时，，又因为，所以，原点不可能在或点；②当原点在、时且时，；综上所述，此原点应是在或点．故选：．【点评】本题主要考查的是绝对值在数轴上所表示的几何意义，解答该题时，关键是找出线段、、间的关系．2．（6分）若、、三个数互不相等，则、、中的正数个数一定是A．0 B．1 C．2 D．3【考点】33：代数式求值【专题】11：计算题【分析】由题意、、三个数互不相等，可以设出、、之间的大小，然后代入式子、、，进行判断．【解答】解：、、三个数互不相等，可设，，，，，，一定有一个正数，故选：．【点评】此题主要考查代数式求值，利用特殊值法进行求解，使问题便得简单些．3．（6分）在代数式中，若与的值各减少，的值增加，则代数式的值A．减少 B．减少 C．减少 D．减少【考点】33：代数式求值【专题】11：计算题【分析】根据题意得出与的值都变为原来的，即为原来的，的值变为原来的即，然后把它们代入代数式中即可．【解答】解：由已知条件得：与的值都变为原来的，即为原来的，的值变为原来的即，，，代数式的值减小．故选：．【点评】本题考查了代数式的求值，解题的关键是找出、、的变化，然后代入代数式再求值．4．（6分）（2021春•饶平县校级期末）若有下列四个说法：①若、是有理数，则．②若，则或．③一定是负数．④若两个角不相等，则这两个角不是一组对顶角．则正确的说法是A．①，②，③ B．②，④ C．④ D．①，④【考点】：命题与定理【分析】若为负数时，则①式不成立；若，则或，所以成立；③中也可以为0④对顶角相等，不相等一定不是对顶角．【解答】解：若为负数时，则①式不成立，故①是错误的．若，则或，则或，故②是正确的．若，则就不是负数．故③错误．对顶角相等，不相等一定不是对顶角．故④正确．故选：．【点评】本题考查了负数，绝对值，有理数以及对顶角等概念．5．（6分）使得是一个整数的所有的正整数的个数是A．0 B．1 C．2 D．3【考点】64：分式的值【专题】32：分类讨论【分析】是一个整数，则分子的绝对值一定大于分母的绝对值，据此即可讨论的值．【解答】解：当时，分式是正值，则解得：故这样的的值不存在；当时，分式的值是负数，则解得：则的正整数值是1，2，3，4，5．在这五个数中，只有当时，分式是一个整数．当时，分式是一个整数．当时，分式是一个整数．故是一个整数的的整数值是：1、5和16共3个．故选：．【点评】本题主要考查了分式的值是整数的条件，能理解分式的值是整数的条件是解题的关键．6．（6分）把4本两两不同的书全部分给甲、乙两个人，且每人至少分到一本书，则所有不同的分配方法有A．10 B．12 C．14 D．16【考点】：可能性的大小【专题】11：计算题【分析】可让甲得1本的情况数加上甲得2本的情况数，加上甲得3本的情况数即为所求不同的分配方法．【解答】解：甲得一本，可取4本中的任意一本，有四种分法；甲得2本，从4本书里选取2本，有6种方法，甲得三本与乙得一本样，同样只有四种，共14种，故选．【点评】考查可能的方案；根据一个人分得的书的情况数得到总情况数是解决本题的关键．二、填空题（共6小题，每小题9分，满分54分）7．（9分）若，都是有理数，且使得四个两两不相等的数，，，能分成两组，每组的两个数是互为相反数，则的值等于2．【考点】相反数；有理数的加法【专题】实数；一次方程（组及应用；运算能力【分析】根据相反数的定义，分类讨论，进行解答即可得到答案．【解答】解：方法一、将4个数分成两组，当时则有，根据条件：，，解得，，则；当时，则有，根据条件：，，解得：，，则；当时，则有，根据条件：，，无解，方法二、，，故答案为：2．【点评】本题考查了相反数，解决本题的关键是进行分类讨论．8．（9分）如图，、、三点在一条直线上，且在与之间，另外四个点、、、在、、上方依次分布，且．若，则的度数等于．【考点】：角的计算【专题】11：计算题【分析】根据，，可求出，从而求出的度数．【解答】解：，，，，，，故答案为：．【点评】本题考查了角的计算，属于基础题，关键利用角的和差关系进行计算．9．（9分）有理数的值等于2007．【考点】59：因式分解的应用【专题】：规律型【分析】此题要利用因数分解和因式分解的知识达到约分的目的，从而使计算简便．【解答】解：原式．故答案为2007．【点评】能够运用因式分解的知识进行简便计算，此题中用到了平方差公式和十字相乘法的公式．10．（9分）若只有一个正整数介于分数与之间，则所有这样的正整数的和等于21．【考点】：整数问题的综合运用【分析】利用假分数的性质，得出和，，得出，进而得出两个假分数，如果分子与分母的差相同，则分子大的，分数值小，而和都为假分数，得出，从而得出符合要求的答案．【解答】解：为假分数，而为正整数，也为假分数．有这样一个规律两个真分数，如果分子与分母的差相同，则分子大的，分数值也大．如：和．，．两个假分数，如果分子与分母的差相同，则分子大的，分数值小．如：和，，．而和都为假分数，且分子与分母的差相同（为，为正整数，．．而且只有1个正整数介于分数与之间，这个正整数一定为4．即．解之，得，．只有1个正整数，一定大于3．即．解之，得，，而为正整数，或2或3或4或5或6．正整数的所有值之和为．故答案为：21．【点评】此题主要考查了整数问题的综合应用，利用假分数的性质得出，从而得出的取值是解决问题的关键．12．（9分）设、是两个数，若关于、的两个式子，是两个同类项，则的值等于或7【考点】34：同类项【专题】34：方程思想【分析】根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，可先列出方程①，②，再求得和的值即可．【解答】解：由已知条件得：①，②，由①变相得：③，把③代入②得：或，把的值代入③得：或或，或或．或7．【点评】本题考查了同类项，同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．三、解答题（共4小题，满分60分）13．（15分）如图，在中，是边的中点，点在边上，且，与相交于点，若的面积等于1，求和的面积．【考点】：三角形的面积【专题】11：计算题【分析】先过点作，交于，由于，是中点，利用平行线分线段成比例定理的推论，可知，而，那么有，又，利用平行线分线段成比例定理的推论，可得，再利用同底等高的三角形面积相等，可得，易求，，．【解答】解：过点作，交于，是中点，，又，，在中，，，，，，，．【点评】本题考查了三角形面积、平行线分线段成比例定理的推论、同底等高的三角形面积相等．关键是作辅助线，使是两条线段的平行线．14．（15分）已知、、是三个非负数，并且满足，，设，记为的最大值，为的最小值，试求的值．【考点】：解三元一次方程组；：一次函数的性质【专题】66：运算能力；533：一次函数及其应用【分析】首先把，，组成方程组，分别用含的代数式表示和，再代入中，可得到，再由条件、为三个非负实数分别表示出其取值范围，便得到的取值范围，亦可得到的取值范围，即可以得到答案．【解答】解：．，，，由，得：解得：，，即，最小，最大，．【点评】此题主要考查了方程组与不等式的综合运用，做题的关键是用含的代数式分别表示出，，然后根据已知条件表示出的取值范围，综合性较强．15．（15分）一般地，对任意的实数，可记．其中：符号叫做的整数部分，表示不大于的最大整数（例如，，；符号叫做的小数部分，即（例如，．试求出所有的，使得【考点】取整函数【分析】在一个方程中有些变量在取整符号中，有些变量在取整符号外，这类方程一般要利用不等式，求出的范围，然后再代入原方程求出的值．【解答】解：令，代入原方程得，即，又，．整理得，即，．代入原方程得，解得：．经检验，是原方程的解．【点评】通过本题我们总结解这类方程的一般步骤：（1）设取整部分为代入原方程，并把表示为的形式；（2）利用可得到关于的不等式，并求出的可能值；（3）分别将这些“可能值”代入原方程进行求解；（4）验根，在第（2）步运算时，实际上将的范围扩大了，也就将的范围扩大了，所以必须验根16．（15分）求出所有有理数、、，使得【考点】因式分解的应用；完全平方式【专题】待定系数法【分析】根据可初步分解转化为，所以可知这三个一次式分别含有、、．因而假设这三个一次式分别是、、，则这三个一次式的平方和的部分展开式应该与对应相等，此时可解出、、．再将、、的值代入，因为三个式子的平方和等于0，则三个式子必定分别等于0，此时可解出、、的值．问题得解．【解答】解：，设上式可分转化成、、一次方因式平方和的形式，即，与，比较可得，解得，，，，，解得，，．【点评】本题考查因式分解的应用．解决本题的关键是将有效转化为这个形式，在此过程中用到了先部分分解，并采用了待定系数法．

考点卡片1．数轴（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．2．相反数（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．3．绝对值（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．（2）如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）4．有理数的加法（1）有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．③一个数同0相加，仍得这个数．（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）（2）相关运算律交换律：a+b＝b+a；结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．5．代数式求值（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．6．同类项（1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等．（2）注意事项：①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；②同类项与系数的大小无关；③同类项与它们所含的字母顺序无关；④所有常数项都是同类项．7．完全平方式完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．a2±2ab+b2＝（a±b）2完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”8．因式分解的应用1、利用因式分解解决求值问题．2、利用因式分解解决证明问题．3、利用因式分解简化计算问题．【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．9．分式的值分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．10．解三元一次方程组（1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．（2）解三元一次方程组的一般步骤：①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可．11．一次函数的性质一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．12．角的计算（1）角的和差倍分①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC＝∠AOB．（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．1