2017年中考数学试题分项版解析汇编(第04期)10 四边形(含解析)

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专题10四边形

一、选择题

1.（2017贵州遵义第10题）如图，AABC的面积是12,点D,E,F,G分别是BC,AD,BE,CE的中点,

则AAFG的面积是（）

A.4.5B.5C.5.5I）.6

【答案】A.

【解析】

试题分析：•••点D,E,F,G分别是BC,AD,BE,CE的中点,

二仙是△ABC的中线，BE是AABD的中线，CF是AACD的中线，AF是^ABE的中线，AG是AACE的中线，

.,.△AEF的面积=-XAABE的面积=-XAABD的面积=-XAABC的面积=；,

2482

同理可得AAEG的面积=3,

△BCE的面积=9△曲的面积=6，

又.「FG是ABCE的中位线，

.'.△EFG的面积=-1XABCE的面积=34,

41

—39

.'.AAFG的面积是彳X3=彳，

故选：A.

考点：三角形中位线定理；三角形的面枳.

2.（2017湖南株洲第9题）如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，则

关于四边形EFGH,下列说法正确的为（）

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A.一定不是平行四边形B.一定不是中心对称图形

C.可能是轴对称图形D.当AC=BD时它是矩形

【答案】C.

【解析】

试题分析:连接AC,BD,

•.•点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点,

.•.EF=HG=\AC,EH=FG=：BD,.•.四边形EFGH是平行四边形，

二四边形EFGH一定是中心对称图形，

当AC1BD时，ZEFG=90°,此时四边形EFGH是矩形，

当AC=BD时，EF=FG=GH=HE,此时四边形EFGH是菱形，

二.四边形EFGH可能是轴对称图形，

考点：中点四边形；平行四边形的判定；矩形的判定；轴对称图形.

3.（2017广西百色第2题）多边形的外角和等于（）

A.180°B.360°C.720°D.（〃-2）•180°

【答案】B

【解析】

试题分析：多边形的外角和是360。，故选B.

考点：多边形内角与外角.

4.（2017黑龙江绥化第10题）如图，在YABCD中，4c,8。相交于点。，点E是。4的中点，连接5E

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并延长交AQ于点F,已知5必b=4,则下列结论:

4/71

①——=-,②S"CF=36,③50"=12,@^AFE^MCD,其中正确的是()

FD2

A.①@③④B.①④C.②③④D.①②③

【答案】D

【解析】

试题分析：：在吨CD中，AO=；AC,

14FIE1

丁点E是0A的中点，・..AE=；CE,・.・AD〃Bg「.△AFEsZkCBE,.•.三；=三二丁

3BCCE3

1AF1_

,/AD=BC,/.AF^-AD,：.-=-｝故①正确；

3FD2

S,iFFAF1

•.飞3k4,~=(――),.'.5^^365故②正确；

»二k£BC9

,.EF_AE

J.J二.S"产12,故③正确;

''BE~~CE

•••BF不平行于CD,「.△AEF与△ADC只有一个角相等，「.△AEF与4ACD不一定相似，故④错误,

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.平行四边形的性质.

5.（2017湖北孝感第10题）如图，六边形A3CDEE的内角都相等，ZDAB=60,AB=DE,则下列

结论成立的个数是

①ABDE:②炉如火；③"'KD；④四边形AC0E是平行四边形；⑤六边形ABCZ）及'即

是中心对称图形，又是轴对称图形（）

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【答案】D

【解析】

试题分析：；六边形ABCDEF的内角都相等，.•.NEFA=NFED=NFAB=NABC=12O°,

,/ZDAB=60o,/.ZDAF^SO0,...NEFA+ND距1800,ZDAB+ZABC=180o,

/.AD//EF//CB,故②正确，

/.ZFED+ZEDA=180o,.,.ZEDA=ZADC=60O,.,.ZEDA=ZDAB,/.AB//DE,故①正确，

,/ZFAD=ZEDA,ZCDA=ZBAD,EF〃AD〃BC,...四边形EFAD,四边形BCDA是等腰梯形，

/.AF=DE,AB=CD,：AB=DE,/.AF^CD,故③正确，

连接CF与AD交于点0,连接DF、AC、AE、DB、BE.

\'ZCDA=ZDAF,.,.AF//CD,AFXD,.,.四边形AFDC是平行四边形，故④正确，

同法可证四边形AEDB是平行四边形，:.AD与CF,AD与BE互相平分，...OXOC,OE=OB,OA=OD,

二六边形ABCDEF既是中心对称图形，故⑤正确，

考点：1.平行四边形的判定和性质；2.平行线的判定和性质；3.轴对称图形；4.中心对称图形.

6.（2017内蒙古呼和浩特第9题）如图，四边形A3CD是边长为1的正方形，E,尸为所在直线上

的两点，若AE=小,ZE4F=135°,则以下结论正确的是（）

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—

D

A.DE=\B.tanZAFO=-C.AF=­D.四边形AFCE的面积为2

324

【答案】C

【解析】

试题分析：：四边形ABCD是正方形，.•.AB=CB=CD=AD=1,AC±ED,ZAD0=ZAB0=45O,

.,.OD=OB=OA=—,ZABF=ZADE=135O,

9

在RtAAEO中，EO=J.4E1-OA2一..DE=0,故A错误;

■/ZEAF^135°,ZBAD=90°,/.ZBAF+ZDAE=45°,,/ZADO=ZDAE+ZAED=450,.*.ZBAF=ZAED,

BFABBF1中

/.△ABF^AEDA,/.=

DADET72，•.­5，

在RtZkAOF中，PF=JOA2+OF2，故C正确j

tan/AF0=。乂___1，故B错误;

OF~^/2~2

5&5

.'.S-cr=彳*AC-EF=-X0X

­=3故D错误;

故选C.

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考点：1.正方形的性质；2.解直角三角形.

7.（2017青海西宁第7题）如图，点。是矩形ABC。的对角线4c的中点，Q0//AB交AO于点M,

若OM=3,8C=10,则08的长为（）

A.5B.4C.D.取

2

【答案】D

【解析】

试题分析：：四边形ABCD是矩形，.../D=90°,-.'O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM//AB,

7

二.0M是△&（?的中位线，.\0M=3,/.DC=6,•/AD=BC=10,/.AC=JAD^+CD=2用，

.".B0=—AC=V34>故选D.

2

考点：矩形的性质.

8.（2017上海第6题）已知平行四边形ABCD,AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个

平行四边形为矩形的是（）

A.ZBAC=ZDCAB.ZBAC=ZDACC.ZBAC=ZABDD.ZBAC=ZADB

【答案】C

【解析】

试题分析：A、ZBAC=ZDCA,不能判断四边形ABCD是矩形；

B、ZBAC=ZDAC,能判定四边形ABCD是菱形；不能判断四边形ABCD是矩形；

C、ZBAC=ZABD,能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；

［）、ZBAC=ZADB,不能判断四边形ABCD是矩形；

故选C.

考点：1.矩形的判定；2.平行四边形的性质；3.菱形的判定.

9.（2017海南第11题）如图，在菱形ABCD中，AC=8,BD=6,则AABC的周长是（）

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A.D

BC

A.14B.1-6C.18I）.20

【答案】C.

【解析】

试题分析：利用菱形的性质结合勾股定理得出AB的长，进而得出答案.

,在菱形ABCD中,AC=8,BD=6,.".AB=BC,/AOB=90°,AO=4,BO=3,

，BC=AB=J4：-3：=5,「.△ABC的周长=AB+BC+AC=5+5+8=18.故选C.

考点：菱形的性质，勾股定理.

10.（2017河池第11题）如图，在A8CD中，用直尺和圆规作NBA。的平分线AG,若

AO=5,Z）E=6,则4G的长是（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】B.

【解析】

试题分析：连接EG,由作图可知AD=AE,根据等腰三角形的性质可知AG是DE的垂直平分线，由平行四边

形的性质可得出CD〃AB,故可得出N2=N3,据此可知AD=DG,由等腰三角形的性质可知0A=1AG,利用勾

2

股定理求出0A的长即可.

连接EG,

♦.•由作图可知AD=AE,AG是NBAD的平分线，.,.Z1=Z2,AAGIDE,0D=-DE=3.

2

,四边形ABCD是平行四边形，，CD〃AB,.*.Z2=Z3,.*.Z1=Z3,.*.AD=DG.

VAG±DE,.\0A=-AG.

2

在RtZiAOD中，0A=y/AD--OD2=V52-33=4,.,.AG=2A0=8.

故选B.

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考点：作图一基本作图；平行四边形的性质.

11.（2017贵州六盘水第4题）如图，梯形A8CO中，AB//CD,ZD=（）

C.145°1).155°

【答案】B.

试题分析：已知AB〃CD,ZA=45°,由两直线平行，同旁内角互补可得NADC=180°-ZA=135°,故选B.

考点：平行线的性质.

12.（2017贵州六盘水第10题）矩形的两边长分别为a、b,下列数据能构成黄金矩形的是（）

A.。=41=百+2B.a=4,b=亚-2C.a=2,h=\/5+1D.a=2,h=石-]

【答案】D.

试题分析：黄金矩形的长定之比为黄金分割比，即长：宽=正二，只有选项D中a：b=正口，故选D.

22

考点：黄金分割.

13.（2017新疆乌鲁木齐第5题）如果〃边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则〃的值是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C.

【解析】

试题解析：设外角为x,则相邻的内角为2x,

由题意得,2x+x=180°,

解得，x=60°,

3604-60°=6,

故选C.

考点：多边形内角与外角.

14.（2017新疆乌鲁木齐第9题）如图，在矩形ABC。中，点厂在40上，点E在B。上，把这个矩形

沿E77折叠后，使点。恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4君且NAPG=60,GE=2BG,则

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折痕的长为（）

A.1B.百C.2D.2G

【答案】C.

【解析】

试题解析：由折盘的性质可知，DXGF,HE=CE,GH=DC,ZDFE=ZGFE.

■.,ZGFE+ZDFE=180O-ZAFG=120°,

.\ZGFE=60°.

,/AF//GE,ZAFG=60°,

.\ZFGE=ZAFG=60°,

•••△GEF为等边三角形，

.,.EF=GE.

■.,ZFGE=60°,ZFGE+ZHGE=90O,

.\ZHGE=30°.

在RtZkGHE中，ZHGE=30°,

/.GE=2HE=CE,

.•.GH=JG32-HE2=用HE=拈CE.

,/GE=2BG,

.,.BC=BG-K；E+EC=4EC.

.••矩形ABCD的面积为4省，

二.4EC・&EC=4君，

.,.EC=1,EF=GE=2.

故选C.

考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质.

二、填空题

1.（2017贵州遵义第14题）一个正多边形的一个外角为30°,则它的内角和为

【答案】1800°.

【解析】

360°

试题分析：这个正多边形的边数为才=12,

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所以这个正多边形的内角和为（12-2）X1800=1800°.

故答案为1800°.

考点：多边形内角与外角.

2.（2017内蒙古通辽第15题）在平行四边形A3CD中，AE平分NBAD交边BC于E,O/平分NAOC

交边8c于若AO=11,£E=5,则A3=.

【答案】8或3

【解析】

试题分析：

根据平行线的性质得到NADANDFC,由DF平分NADC,得到NADF^NCDF,等量代换得到NDFC=NFDC,根

据等腰三角形的判定得到CACD,同理BE=AB,根据平行四边形的性质得到AB=CD,AD=BC,得出AB=BE=CF^CD,

分两种情况:①如图1,在吨CD中,■/BC=AD=11,DC//AD,CD=AB,CD//AB,

/.ZDAE=ZAEB,ZADF=ZDFC,

'.'AE平分/BAD交BC于点E,DF平分/ADC交BC于点F,

/.ZBAE=ZDAE,ZADF=ZCDF,

/.ZBAE=ZAEB,ZCFD=ZCDF,

.,.AB=BE,CF^CD,

.,.AB=BE=CF=CD

,/EF^5,

.,.BC=BE-K：F-EF^2AB-EF=2AB-5=11,

.,.AB=8;

图I

②在QABCD中,VBC=AD=11,BC〃AD,CD=AB,CD//AB,

：.ZDAE=ZAEB,ZADF=ZDFC,

VAE平分/BAD交BC于点E,DF平分/ADC交BC于点F,

NBAE=/DAE,ZADF=ZCDF,

二ZBAE=ZAEB,ZCFD=ZCDF,

AAB-BE,CF=CD,

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，AB=BE=CF=CD

：EF=5,

:.BC=BE+CF=2AB+EF=2AB+5=11,

，AB=3；

综上所述：AB的长为8或3.

3.（2017湖北咸宁第14题）如图，点。的矩形纸片48CD的对称中心，£是6C上一点，将纸片沿AE

折叠后，点B恰好与点。重合，若BE=3,则折痕AE的长为.

【答案】6.

试题分析：由题意得：AB=AO=CO,即AC=2AB,且OE垂直平分AC,

.,.AE=CE,

设AB=AO=OC=x,

则有AC=2x,ZACB=3O°,

在RtZkABC中，根据勾股定理得：BC=^X,

在RtAOEC中,ZOCE=30°,

.\OE=-EC,即BE=-EC,

2

\'BE=3,

.\OE=3,EC=6,

贝i]AE=6

考点：矩形的性质；翻折变换（折叠问题）.

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4.(2017湖南常德第15题)如图，正方形iT物的顶点在边长为2的正方形的边上.若设/后必正方形

EFGH的面积为y,则y与x的函数关系为.

【答案】y=2x2-4x+4(0<x<2).

【解析】

试题分析：如图所示，•.•四边形.铝CD是边长为1的正方形，.../4=/5=90。，HB=2,.•.Nl+N2=90°,

,.泗边形E尸切■为正方形，二.乙阳三90°,提斯，「./1+/3=90°,.../2=/3,在与中,

Z2=Z3,EH=FE,：4HE^^EF(AAS),：-2E=BF=x,AH=BE=2-x,在中，

由勾股定理得：E/=汨+*=£+(2-x)：=2x：-4.vH;即j=2x、4x+4(0<x<2),故答案为：

］，=2/毋+4(0<x<2).

考点：根据实际问题列二次函数关系式；正方形的性质.

5.(2017哈尔滨第19题)四边形ABCZ)是菱形，ZB4T)=60°,45=6,对角线AC与比)相交于点O,

点E在AC上，若OE=+,则CE的长为.

【答案】或2百

【解析】

试题分析：•.•四边形ABCD是菱形，.\AB=AD=6,AC1BD,0B=0D,0A=0C,

VZBAD=60°,;.△ABD是等边三角形，，BD=AB=6,A0B=-BD=3,A0C=0A=VAB2-OB2=36，

2

，AC=20A=6百，

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点E在AC上，0E=5CE=OC+A/3或CE=OC-G，，CE=46或CE=2G.

考点：菱形的性质.

6.（2017哈尔滨第20题）如图，在矩形中，何为8c边上一点，连接AM,过点。作小八AM,

垂足为E,若DE=DC=1,AE=2EM,则8M的长为.

【答案】辛

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【解析】

试题分析：•：四边形ABCD是矩形，:.AB=DC=1,ZB=ZC=900,AD//BC,AD=BC,/.ZAMB=ZDAE,

乙LWB=ZZX£

\'DE=DC,；.AB=DE,'/DEIAM,/.ZDEA=ZDEM=90O,在△回和ADEA中，-Z5=ZDE4=90°,

AB=DE

.,.△ABM^ADEA(AAS),,'.AM=AD,•.•AE=2EM,.\BC=AD=3EM,

连接DM,如图所示：在Rt^DEM和Rt^DCM中,/.RtADEl^RtADCM(HL),

DE=DC

.,.EM=CM,.'.BC=3CM,

设EM=CM=x,则BM=2x,AM=BC=3x,在Rt2\ABM中，由勾股定理得：T+(2x)；=(3x)

解得：x与,：.=芈.

考点：1.矩形的性质；2.全等三角形的判定与性质.

7.（2017黑龙江齐齐哈尔第13题）矩形A8CO的对角线AC,,8。相交于点。，请你添加一个适当的条

件，使其成为正方形（只填一个即可）.

【答案】AB=BC（答案不唯一）

【解析】

试题分析：添加条件：AB=BC,理由如下：

•四边形ABCD是矩形，AB=BC,.•.四边形ABCD是正方形，故答案为：AB=BC（答案不唯一）

考点：1.正方形的判定；2.矩形的性质.

8.（2017黑龙江齐齐哈尔第16题）如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC=1O,8C=12,沿底

边BC上的高AO剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的

长是__________

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【答案】10cmaic2V73cma24V13cm.

【解析】

试题分析:

过点A作AD±BC于点D,

VAABCiiAB=AC=10cm,BC=12cm,BD=DC=6cm,.*.AD=8cm,

如图①所示：可得四边形ACBD是矩形，则其对角线长为：10cm,

如图②所示：AD=8cm,

连接BC,过点C作CE_LBD于点E,则EC=8cm,BE=2BD=12cm,则BC=4&5cm,

如图③所示：BD=6cm,

由题意可得:AE=6cm,EC=2BE=16cm,

故AC=+16?=2《73cm,

故答案为：10cm或2J万cm或4厉cm.

考点：图形的剪拼.

9.（2017黑龙江绥化第13题）一个多边形的内角和等于900",则这个多边形是边形.

【答案】七

【解析】

试题分析：设多边形为n边形，由题意，得

（n-2）-1800=900,

解得n=7,

故答案为：七.

考点：多边形内角与外角.

10.（2017湖北孝感第14题）如图，四边形ABC。是菱形，AC=24,3。=10,0"LAB于点H

则线段BH的长为

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【答案】—

13

【解析】

试题分析：：四边形ABCD是菱形，AC=24,BD=10,

...A0=12,0D=5,AC1BD,

/.AD=AB=7122+52=13,

VDH±AB,

.\AOXBD=DHXAB,

/.12X10=13XDH,

考点：1.菱形的性质；2.勾股定理.

11.（2017内蒙古呼和浩特第15题）如图，在A6CD中，ZB=30°,AB=AC,。是两条对角线的

交点，过点。作AC的垂线分别交边AO,BC于点E,尸，点M是边AB的一个三等分点，则与

的面积比为.

【答案】3：4.

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【解析】

试题分析：设AB=AC=m,则BM=；m,

是两条对角线的交点，...OA=OC=：AC=：m,；/B=30°,AB=AC,/.ZACB=ZB=30O,

QQ]向

■.'EF1AC,.\COSZACB=——，即cos30°=二，/.F1C=—m,

FCFC3

自

'.'AE//FC,.".ZEAC=ZFCA,y.'ZAOE=ZCOF,AO=CO,/.AAOE^ACOF,.\AE=FC=—m,

3

.•・OE」诙旦,111J3J3

.,.SJCL：="OA"OE=­X—mXm=m)

26624

作AN±BC于N,

1JsJ3W_2造

•/AB=AC,/.BN=CN=-BC,-/BN=AB=-!L_二.BC=gm,/.BP=BC-FC=^m-in--------JR)

933

作MH1BC于H,

,/R-3O°-Jffl--RM-in-s-1RdMU-1X2第eyL-jf；•S—OE一24一3

..MH--D/it--nn«・u卜・MH—-AmA-m-m»...—.

262236isS-瓯J34

~—m2

18

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.平行四边形的性质.

12.（2017青海西宁第13题）若正多边形的一个外角是40°,则这个正多边形的边数是

【答案】9

【解析】

试题分析：多边形的每个外角相等，且其和为360°,据此可得迎=40,解得n=9.

n

考点：多边形内角与外角.

13.（2017青海西宁第20题）如图，将ABCD沿七/对折，使点A落在点。处，若

ZA=60°,AO=4,AB=6,则AE的长为

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【答案】y

【解析】

试题分析：过点C作CG1AB的延长线于点G,

在=ABCD中，ZD=ZEBC,AD=BC,ZA=ZDCB,

由于UABCD沿EF对折，.".ND'=ZD=ZEBC,ND'CE=ZA=ZDCB,D‘C=AD=BC,

「.ND'CF+ZFCE=ZFCE+ZECB,/.ZDyCF^ZECB,

.少=NEBC

在△□'CF与AECB中，\D'C=BC,/.AD7CF^AECB(ASA)一:D'F=EB,CF^CE,

AD'CF=NECB

•「DAD'F,.-.DF=EB,AE=CF

设AE=x,贝”EB=8-x,CF^X,■/BC=4,ZCBG=60°,/.80=^80=2,由勾股定理可知：CG=2布，

.,.EG=EB+BG=8-x+2=10-x

在ZkCEG中,由勾股定理可知:(10-x)s+(2^)W,

2g

解得：x=AE=]

D'

考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.平行四边形的性质.

14.（2017湖南张家界第14题）如图，在正方形18（6中，4分2百，把边加'绕点8逆时针旋转30°得到

线段6P,连接加?并延长交切于点色连接/V,则三角形磔■的面积为.

【答案】9-573.

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【解析】

试题分析：•••四边形.始8是正方形，「.乙4&>9。°,；把边5。绕点3逆时针旋转30°得到线段即，

:.PB=BC=AB,NP3O30。，:.乙—？=60。，郎是等边三角形，...NgQGO。，XP=N5=2道，：

AD=2y/3,：.AE=4,DE=2,；,CE=2出-2,PE=A-2出,过P作PF1CD于尸，.•/拄@PE=2君-

2

3,..•三角形PCH的面积尸=1义(2^/3-2)X(24-3)=9-5/，故答案为：9-5档.

9o

考点：旋转的性质；正方形的性质；综合题.

15.(2017辽宁大连第11题)五边形的内角和为.

【答案】540°.

【解析】

试题分析：根据多边形的内角和公式(n-2)780。计算即可.

(5-2)•180°=540°.故答案为540°..

考点：多边形内角与外角.

16.(2017海南第17题)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=5,点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点

D恰好落在BC边上的点F处，那么cosZEFC的值是.

3

【答案】

5

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【解析】

试题分析：根据翻转变换的性质得到NAFE=ND=9（r,AF=AD=5,根据矩形的性质得到NEFC=NBAF,根据余

弦的概念计算即可.

由翻转变换的性质可知，ZAFE=ZD=90°,AF=AD=5,

.-.ZEFC+ZAFB=9O°,,.,ZB=9OO,

BA3

.,.ZBAF+ZAFB=9OO,/.ZEFC=ZBAF,COSZBAF=^Z：=T,

Hr3

.'.C05^EFC=TI故答案为：T.

考点：轴对称的性质，矩形的性质，余弦的概念.

17.（2017河池第18题）如图，在矩形A8C。中，AB=叵,E是8C的中点，AELBD于点、F,则

CF的长是.

【答案】V2.

【解析】

试题分析：根据四边形ABCD是矩形，得到/ABE=NBAD=90°,根据余角的性质得到/BAE=NADB,根据相

似三角形的性质得到BE=1,求得BC=2,根据勾股定理得到AE=JA-+8炉=6,BD=VfiC2+CD2

根据三角形的面积公式得到1^=世丝=逅，过F作FGLBC于G根据相似三角形的性质得到CG=g,根

AE33

据勾股定理即可得到结论.

•.,四边形ABCD是矩形，.•./ABE=NBAD=90°,

VAE±BD,AZAFB=90°,ZBAF+ZABD=ZABD+ZADB=90°,

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・AD_AB

NBAE=/ADB,AABE«>AADB,••万N豆

・「E是BC的中点//.AD=2BE,?.2BE:=AB:=2,/.BE=1,/.BC=2,

二•AE=U®_BE：=不，BD=JB"_CD：=灰,=

AIL3

过F作FG1BC于G,/.FG//CD,.,.ABFC^ABDC,

,'CD=5D_3C,..FG=—‘BG=j,..CG=y,..CF=7FG*-CG*=<2■

故答案为0.

考点：勾股定理；矩形的性质，相似三角形的判定与性质.

18.（2017贵州六盘水第16题）如图，在正方形A8CD中，等边三角形AE尸的顶点E、尸分别在边BC和

CO上，则/AEB=-度.

第16题图

【答案】75°.

试题分析：•.•正方形A8C£>,；.AD=AB,NBAD=NB=ND=90°•等边三角形AEF,；.AE=AF,NEAF=60°,；.△

ABE^AADF,AZBAE=ZDAF=15°,AZAEB=75°.

考点：正方形、等边三角形、全等三角形.

19.（2017贵州六盘水第18题）如图，在平行四边形A8CO中，对角线AC、83相交于点。，在明的

延长线上取一点E,连接OE交AO于点F,若CD=5,BC=8,AE=2,则AF=>

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第18题图

【答案】y.

试题分析：如图，过点0作OG//AB,

•.•平行四边形JBCD中

；.AB=CD=5,BC=AD=8,BO=DO

,/OG//AB

.•.△ODG<^ABDA且相似比为i：2,AOFG^AEFA

11

.\OG=-AB=2.5,AG=-AD=4

22

/.AF：FG=AE：OG=4:5

第18题图

考点：平行四边形，相似三角形.

20.（2017新疆乌鲁木齐第12题）如图，在菱形A8CD中，ND45=60,AB=2,则菱形ABC£）的面

积为__________

【答案】24

【解析】

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试题解析：如图,

:菱形ABCD,

.'.AD=AB^OD=OB,OA=OC,

,.,ZDAB=60°,

...△ABD为等边三角形，

.\BD=AB=2,

.\OD=1,

在Rt^AOD中，根据勾股定理得：AO=J妨-妙=石，

二.AC=2出，

贝USjewi：c：=-AC'BD=2y/3,

2

故答案为：2出

考点：菱形的性质.

三、解答题

1.（2017贵州遵义第26题）边长为2起的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C

不重合），连接BP,将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ,连接QP,QP与BC交于点E,QP延长线与AD（或

AD延长线）交于点F.

（1）连接CQ,证明：CQ=AP；

3

（2）设AP=x,CE=y,试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CEn^BC；

8

（3）猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论.

3

【答案】（1）证明见解析；（2）当x=3或1时，CE=-BC；（3）.结论：PF=EQ,理由见解析.

8

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【解析】

试题分析：(1)证出/ABP=/CBQ,由SAS证明△BAPgALBCQ可得结论；(2)如图1证明△APBS^CEP,列

3

比例式可得y与X的关系式，根据CE=^BC计算CE的长，即y的长，代入关系式解方程可得X的值；(3)

O

如图3,作辅助线，构建全等三角形，证明丝△QEB,得EQ=PG,由F、A、G、P四点共圆，

得NFGP=NFAP=45。，所以△FPG是等腰直角三角形，可得结论.如图4,当F在AD的延长线上时，同理

可得结论.

试题解析：

(1)证明：如图1,；线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ,

.\BP=BQ,NPBQ=90°.：四边形ABCD是正方形，

.\BA=BC,/ABC=90°..\ZABC=ZPBQ.

ZABC-ZPBC=ZPBQ-ZPBC,即NABP=NCBQ.

在48处和ABCQ中，

BA=BC

•：<ZABP=ZCBQ,

lBP=〜BO

.♦.△BAP纥△BCQ(SAS).

.\CQ=AP}

(2)解:如图1,•.•四边形ABCD是正方形,

r.ZBAC=-ZBAD=45°,ZBCA=-ZBCD=45",

22

AZAPB+ZABP=180°-45°=135°,

：DC=AD=2及，

由勾股定理得：AC=J(20)2+(20)2=4，

VAP=x,，PC=4-x,

•.•△PBQ是等腰直角三角形，，NBPQ=45°,

AZAPB+ZCPQ=180°-45°=135°,AZCPQ=ZABP,

APAB

VZBAC=ZACB=45°,AAAPB^ACEP,二——=——，

CECP

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入行1F)

r=,.'.y=—77x(4-x)=--x24-V2x(0<x<4),

y4-x2424

由CE=?BC=3x2/=辿，/.y=--.r+A/2=—,

88444

x*-4x=3=0>(x-3)(x-1)=0,x=3或1,

3

・••当x=3或1时,CE=-BC;

o

(3)解：结论：PXEQ,理由是：

如图3,当F在边AD上时，过P作PG1FQ,交AB于G,则/GPF=90°,

,/ZBPQ=45°,.,.ZGPB=45°,.,.ZGPB=ZPQB=45*,

•/PB=BQ,ZABP=ZCBQ,/.APGB^AQEB,.*.EQ=PG,

,.,ZBAD=90°,.\FsA、G、P四点共圆，

连接FG,...NFGP=NFAP=45°,

...△FPG是等腰直角三角形，「.PF=PG,.，PF=EQ.

当F在AD的延长线上时，如图4,同理可得：PF^PG=EQ.

图3

图2

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考点：四边形综合题.

2.（2017湖南株洲第22题）如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC

相交于点G,连接CF.

①求证：△DAEgaDCF；

②求证：△ABGsz\CFG.

【答案】①.证明见解析；②证明见解析.

【解析】

试题分析：①由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF,，号到两对边相等，一对直角相等，SAS即可得证3

②由第一问的全等三角形的对应角相等.根据等量代操再到NBAG=NBCF,再由对顶角相等，利用两对角相

等的三角形相似即可得证.

试题解析：①..•正方形ABCD,等腰直甬三角形£DF,.•.NADCn/EDFnSO，，AD=CD,DE=DF,

/.ZADE+ZADF=ZADF+ZCDF,.*.ZADE=ZCDF,

[DE=DF

在AADE和ACDF中，j£DE=NCDF,

\DA=DC

.'.△ADE^ACDF；

②延长BA至|JM,交ED于点M,

,/△ADE^ACDF,/.ZEAD=ZFCD,BPZEAM+ZMAD=ZBCD+ZBCF,

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VZMAD=ZBCD=90°，：,ZEAM=ZBCF,VZEAM=ZBAG,AZBAG=ZBCF,

考点：相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质.

3.（2017内蒙古通辽第25题）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第

一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；……依次类推,

若第〃次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为〃阶准菱形，如图1,O4BCD为1阶准菱形.

（1）猜想与计算

邻边长分别为3和5的平行四边形是阶准菱形；已知OA8CD的邻边长分别为（a>b）,

满足。=8。+〃，b=5r,请写出OA88是阶准菱形.

（2）操作与推理

小明为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2,把0ABeD沿3E折叠（点E在AD上），使点A落在

边上的点F处，得到四边形ABEE请证明四边形ABEE是菱形.

（图°（图2）

【答案】（1）3,12（2）证明见解析

【解析】

试题分析：（D利用平行四边形准菱形的意义即可得出结论；

（2）先判断出NAEB=NABE,进而判断出AE=BF,即可得出结论.

试题解析：（D如图1,

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5

图I

利用邻边长分别为3和5的平行四边形进行3次操作，所剩四边形是边长为1的菱形,

故邻边长分别为3和5的平行四边形是3阶准菱形：

如图2,

8个5r

,."b=5r,

;a=8b+r=40r+r=8X5r+r,

利用邻边长分别为41r和5r的平行四边形进行8+4=12次操作，所剩四边形是边长为1的菱形,

故邻边长分别为41r和5r的平行四边形是12阶准菱形：

故答案为：3,12

(2)由折叠知：ZABE=ZFBE,AB=BF,

•••四边形ABCD是平行四边形，

/.AE/7BF,

ZAEB=ZFBE,

:.ZAEB=ZABE,

.♦.AE=AB,

/.AE=BF,

•••四边形ABFE是平行四边形，

二四边形ABFE是菱形

考点：四边形综合题

4.(2017湖北咸宁第18题)如图，点8,E,C,尸在一条直线上，AB=DF,AC=DE,BE=FC.

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⑴求证：MBC=M）FE；

⑵连接求证：四边形ABOR是平行四边形.

【答案】详见解析.

试题分析：（1）由SSS证明△ABC丝ADFE即可；（2）连接AF、BD,由全等三角形的性质得出/ABC=/DFE,

证出AB//DF,即可得出结论.

试题解析：

（1），/BE=FC,

.-.BC=EF,

AB=DF

在△ABC和ADFE中，＜AC=DE,

BC=EF

/.△ABC^ADFE（sss）；

（2）连接AF、BD,如图所示：

由（1）知△ABC丝△DFE,

/.ZABC=ZDFE,

/.AB//DF,

".,AB=DF,

...四边形ABDF是平行四边形.

，一

D

考点：全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定.

5.（2017广西百色第22题）矩形A8C£＞中，分别是的中点，CE,A尸分别交3。于G,"

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两点.

求证：(1)四边形AFCE是平行四边形;

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

试题分析：(D根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；

(2)可证明EG和FH所在的ADEG、ABFH全等即可.

试题解析:(D:四边形ABCD是矩形，:.AD/BC,AD=BC,

；E、F分别是AD、BC的中点，...AEJAD,CF^BC,.\AE=CF,

..・四边形AFCE是平行四边形；

(2)•四边形AFCE是平行四边形，...CE/