（高二数学高分突破）第7章计数原理章末题型归纳总结（原卷版）

（高二数学高分突破）第7章计数原理章末题型归纳总结（原卷版）（高二数学高分突破）第7章计数原理章末题型归纳总结（原卷版）/（高二数学高分突破）第7章计数原理章末题型归纳总结（原卷版）第7章计数原理章末题型归纳总结目录模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：分类加法与分步乘法计数原理经典题型二：相邻问题的排列问题经典题型三：不相邻的排列问题经典题型四：分组分配问题经典题型五：隔板法经典题型六：几何计数问题经典题型七：代数中的计数问题经典题型八：涂色问题经典题型九：二项展开式问题经典题型十：系数与系数和问题经典题型十一：整除与余数、近似计算问题经典题型十二：杨辉三角问题模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③特殊到一般思想模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：分类加法与分步乘法计数原理例1．(2024·江西九江·高二九江市同文中学校考期末)从1,2,3,4,5,6,7,9中,任取两个不同的数作对数的底数和真数,则所有不同的对数的值有(

)A．30个 B．42个 C．41个 D．39个例2．(2024·江西·高二江西省安义中学校联考期末)某学校开设5门球类运动课程、6门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习,某位学生任选1门课程学习,则不同的选法共有(

)A．90种 B．30种 C．14种 D．11种例3．(2024·河南·高二校联考期末)某同学逛书店,发现3本喜欢的书,若决定至少买其中的两本,则购买方案有()A．4种 B．6种 C．7种 D．9种例4．(2024·山东德州·高二统考期末)已知集合,从集合M中选一个元素作为点的横坐标,从集合N中选一个元素作为点的纵坐标,则落在第三、第四象限内点的个数是(

)A．6 B．8 C．10 D．12例5．(2024·广东深圳·高二校考期末)某班4个同学分别从3处风景点中选择一处进行旅游观光,则不同的选择方案是(

)A．种 B．种 C．种 D．种例6．(2024·江西赣州·高二统考期末)阅读课上,5名同学分别从3种不同的书中选择一种进行阅读,不同的选法种数是(

)A．50 B．60 C．125 D．243经典题型二：相邻问题的排列问题例7．(2024·北京西城·高二期末)2023年杭州亚运会期间,甲､乙､丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念,若甲与乙相邻､丙不排在两端,则不同的排法种数有(

)A．720 B．960 C．1120 D．1440例8．(2024·全国·高二假期作业)7个人站成两排,前排3人,后排4人,其中甲乙两人必须挨着,甲丙必须分开站,则一共有(

)种站排方式．A．672 B．864 C．936 D．1056例9．(2024·新疆伊犁·高二统考期末)为配合垃圾分类在学校的全面展开,某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动.高一､高二､高三年级分别有1名､2名､3名同学获一等奖.若将上述获一等奖的6名同学排成一排合影,要求同年级同学排在一起,则不同的排法共有(

)A．18种 B．36种 C．72种 D．144种例10．(2024·广东江门·高二校考期末)某驾校6名学员站成一排拍照留念,要求学员A和B不相邻,则不同的排法共有(

)A．120种 B．240种 C．360种 D．480种例11．(2024·甘肃临夏·高二校考开学考试)中国古代中的"礼、乐、射、御、书、数”合称"六艺”．为传承和弘扬中华优秀传统文化,某校国学社团开展"六艺”讲座活动,每艺安排一次讲座,共讲六次．讲座次序要求"礼”在第一次,"射”和"御”两次相邻,则"六艺”讲座不同的次序共有()A．48种 B．36种 C．24种 D．20种例12．(2024·贵州毕节·高二校考阶段练习)高二年级组在一次考试后,年级总分排名前6名的同学站成一排照相,若排名为第一名与第二名的同学不站两端,第三名与第四名同学要站在一起,则不同站队方法的种数为(

)A．36 B．48 C．60 D．72经典题型三：不相邻的排列问题例13．(2024·湖南永州·高二统考阶段练习)5人排成一行,其中甲、乙两人之间至少有一人,则不同的排法种数是(

)A．48 B．72 C．96 D．144例14．(2024·浙江嘉兴·高二校考阶段练习)澉浦"八大碗”是由两冷菜,三大菜,三热炒组成.今有人欲以其中的"东坡肉”"红烧羊肉”"醋鱼汤”"韭芽肉皮”"老笋干丝”"大蒜肉丝”共六道菜宴请远方来客,这六道菜要求依次而上,其中"红烧羊肉”和"醋鱼汤”不能接连相邻上菜,请问不同的上菜顺序种数为()A．480 B．240 C．384 D．1440例15．(2024·高二校考单元测试)有6个座位连成一排,安排3个人就座,恰有两个空位相邻的不同坐法有(

)A．36种 B．60种 C．72种 D．80种例16．(2024·辽宁抚顺·高二校联考期末)某种产品的加工需要经过6道工序,如果其中某2道工序必须相邻,另外有2道工序不能相邻,那么加工顺序的种数为(

)A．72 B．144 C．288 D．156例17．(2024·河北唐山·高二开滦第一中学校考期末)随着北京冬奥会的开幕,吉祥物"冰墩墩”火遍国内外,现有3个完全相同的"冰墩墩”,甲、乙、丙、丁、戊5位运动员要与这3个"冰墩墩”站成一排拍照留念,则有且只有2个"冰墩墩”相邻的排队方法数为(

)．A．3600 B．1440 C．720 D．480例18．(2024·河南安阳·高二统考期末)2023年5月份开始,为防范社会风险,更好服务群众,某地公安局推出社区民警"驻村”工作模式,要求民警每周一到周五,把值班地点挪到村子中,该地某派出所计划下周的周一到周五派出本所甲、乙等5名优秀民警轮流"驻村”,每名民警安排1天值班,则甲、乙两名民警不能相邻值班的排法有(

)A．58种 B．60种 C．72种 D．78种经典题型四：分组分配问题例19．(2024·上海·高二上海市川沙中学校考期末)某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者,则所选3人中男女生都有的选法有种.(用数字作答)例20．(2024·内蒙古呼和浩特·高二统考期末)2023年杭州亚运会召开后,4位同学到三个体育场馆做志愿者服务活动,每个体育场馆至少一人,每人只能去一个体育场馆,则不同的分配方法总数是．例21．(2024·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习)某旅行社有导游9人,其中3人只会英语,4人只会日语,2人既会英语,也会日语,现从中选6人,其中3人进行英语导游,另外3人进行日语导游,则不同的选择方法有种.例22．(2024·江西南昌·高二江西师大附中校考期末)现有4名同学报名参加3个不同的课后服务小组,每人只能报一个小组,若每个小组至少要有1人参加,则共有种不同的安排方法.例23．(2024·高二单元测试)将5本不同的书分发给4位同学,其中甲、乙两本书不能同时发给某一位同学,每位同学都发到书,每本书只能给一位同学,则不同的分配方案数为(用数字作答)例24．(2024·陕西西安·高二校考阶段练习)若将5名志愿者安排到三个学校进行志愿服务,每人只去一个学校,每个学校至少去一人,则不同的分配方案共有种．(用数字作答)例25．(2024·全国·高二随堂练习)填空：(1)甲、乙、丙3名同学选修兴趣课程,从5门课程中,甲选修2门,乙选修4门,丙选修3门,则不同的选修方案共有种．(2)H城市某段时间内发放的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成,其中4个数字互不相同,这样的牌照号码共有种．(3)4名教师分配到3所学校任教,每所学校至少1名教师,则不同的分配方案共有种．(4)五人并排站成一排,甲、乙必须相邻且甲在乙的左边,则不同的站法共有种．(5)要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育和艺术6门课各一节的课程表,要求数学课排在前3节,英语课不排在第6节,则不同的排法共有种．经典题型五：隔板法例26．(2024·安徽合肥·高二合肥一中校考期末)在中国革命史上有许多与"8”有关的可歌可泣的感人故事,如"八子参军”、"八女投江”等,因此数字"8”是当之无愧的新时代"英雄数字”．如果一个四位数,各个位置上数字之和等于8,这样的数称为"英雄数”(比如1223,,就是一个"英雄数”),则所有的"英雄数”有个(用数字回答)例27．(2024·河北保定·高二校联考期末)现有6个三好学生名额,计划分到三个班级,则恰有两个班分到三好学生名额的概率为.例28．(2024·江苏·高二专题练习)各数位数字之和等于8(数字可以重复)的四位数个数为．例29．(2024·河北·高二校联考阶段练习)关于的方程(其中)的解共有组.例30．(2024·福建三明·高二统考期末)将个数学竞赛名额分配给个不同的班级,其中甲、乙两个班至少各有个名额,则不同的分配方案种数为.例31．(2024·北京·高二北京市第十二中学校考期末)个相同的篮球,分给甲、乙、丙三位同学(每人至少分得一个),不同分法的总数为．经典题型六：几何计数问题例32．(2024·江西·高二统考阶段练习)北斗七星是夜空中的七颗亮星,我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载,它们组成的图形像我国古代舀酒的斗,故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象,也是古人藉以判断季节的依据之一.如图,用点,,,,,,表示某一时期的北斗七星,其中,,,看作共线,其他任何三点均不共线,过这七个点中任意两个点作直线,所得直线的条数为(

)

A．4 B．13 C．15 D．16例33．(2024·高二课时练习)有两条平行直线a和b,在直线a上取4个点,在直线b上取5个点,以这些点为顶点作三角形,这样的三角形共有()A．70个 B．80个 C．82个 D．84个例34．(2024·河南洛阳·高二统考期末)平面内有两组平行线,一组有6条,另一组有8条,这两组平行线相交,由这些平行线可以构成平行四边形的个数为(

)A．14 B．48 C．91 D．420例35．(2024·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习)正三棱柱的各棱中点共个点,在其中取个不共面的点,不同的取法共有(

)A．种 B．种 C．种 D．以上都不对例36．(2024·高二课时练习)空间中有个点,其中有个点在同一个平面内且无三点共线,其余点无三点共线,无四点共面,则以这些点为顶点,共可构成四面体的个数为()A． B． C． D．例37．(2024·河南郑州·高二郑州十九中校联考期末)如图,已知图形,内部连有线段．图中矩形总计有(

)个．A．75 B．111 C．102 D．120经典题型七：代数中的计数问题例38．(2024·山东菏泽·高二校考阶段练习)实数2160所有正因数有个．例39．(2024·北京朝阳·高二北京八十中校考期末)世界数学三大猜想："费马猜想”、"四色猜想”、"哥德巴赫猜想”,其中"四色猜想”和"费马猜想”已经分别在年和年荣升为"四色定理”和"费马大定理”．如今,哥德巴赫猜想仍未解决．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于的偶数,都可以写成两个质数之和．(质数是指在大于的自然数中,除了和它本身以外不再有其他因数的自然数)．在不超过的质数中,随机选取两个不同的数,其和为奇数取法有种．例40．(2024·山东聊城·高二统考期末)数字2022具有这样的性质：它是6的倍数并且各位数字之和为6,称这种正整数为"吉祥数”.在所有的三位正整数中,"吉祥数”的个数为.例41．(2024·陕西宝鸡·高二宝鸡中学校考期末)从,,,,,六个数中任取不相同的两个数,分别作为对数的底数和真数,可得到个不同的对数值.例42．(2024·北京·高考真题)已知n次式项式．如果在一种算法中,计算的值需要次乘法,计算的值共需要9次运算(6次乘法,3次加法),那么计算的值共需要次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：．利用该算法,计算的值共需要6次运算．计算的值共需要次运算．经典题型八：涂色问题例43．(2024·山东德州·高二校考阶段练习)中国是世界上最早发明雨伞的国家,伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞,其伞面被伞骨分成个区域,每个区域分别印有数字,,,,现准备给该伞面的每个区域涂色,要求每个区域涂一种颜色,相邻两个区域所涂颜色不能相同,对称的两个区域如区域与区域所涂颜色相同．若有种不同颜色的颜料可供选择,则不同的涂色方案有(

)A．种 B．种C．种 D．种例44．(2024·江西新余·高二校考阶段练习)如图,用4种不同的颜色给矩形,,,涂色,要求相邻的矩形涂不同的颜色,则不同的涂色方法共有(

)A．12种 B．24种 C．48种 D．72种例45．(2024·江苏宿迁·高二统考期末)用6种不同的颜色给如图所示的地图上色,要求相邻两块涂不同的颜色,则不同的涂色方法有(

)

A．240 B．360 C．480 D．600例46．(2024·全国·高二假期作业)如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两个端点异色,如果只有5种颜色可供使用,则不同染色方法的种数为()A．192 B．420 C．210 D．72例47．(2024·上海嘉定·高二上海市育才中学校考阶段练习)如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图,现在替工5种颜色给其中5个小区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻颜色不同,则不同的涂色方法种数为(

)

A．120 B．420 C．300 D．以上都不对例48．(2024·广东广州·高二执信中学校考阶段练习)如图,某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分,现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有(

)种.

A．40 B．80 C．120 D．160经典题型九：二项展开式问题例49．(2024·江西·高二校联考期末)的展开式中,的系数为(

)A．60 B．120 C． D．例50．(2024·北京海淀·高二清华附中校考期末)的展开式中x项的系数为(

)A． B． C．5 D．10例51．(2024·江苏·高二假期作业)的展开式中的常数项是(

)A． B． C． D．例52．(2024·陕西汉中·高二统考期末)展开式中的系数为(

)A．45 B． C． D．例53．(2024·江苏·高二假期作业)已知的展开式中所有项的系数之和为64,则展开式中的系数为(

)A． B．1215 C．135 D．例54．(多选题)(2024·山西晋中·高二校考期末)已知则下列结论正确的是(

)A．展开式中奇数项的二项式系数和为B．展开式中常数项为第8项C．展开式中有理项有3项D．二项式系数最大的项是第7项例55．(多选题)(2024·重庆江北·高二重庆十八中校考期末)在的展开式中,下列说法正确的是(

)A．各项系数和为2B．不含字母的项的系数和为1C．不含字母的项的系数和为80D．不存在这样的项经典题型十：系数与系数和问题例56．(多选题)(2024·广东广州·高二统考期末)已知,则(

)A． B．C． D．展开式中所有项的二项式系数的和为例57．(多选题)(2024·河北唐山·高二校联考期末)若,则(

)A． B．展开式中所有项的二项式系数的和为C．奇数项的系数和为 D．例58．(多选题)(2024·河北·高二校联考阶段练习)已知,则下列结论正确的是(

)A． B．展开式中各项的系数最大的是C． D．例59．(多选题)(2024·安徽芜湖·高二安徽省无为襄安中学校考期末)在二项式的展开式中,下列结论正确的是(

)A．第5项的系数最大B．所有项的系数和为C．所有奇数项的二项式系数和为D．所有偶数项的二项式系数和为例60．(多选题)(2024·江西·高二校联考期末)若,则下列等式正确的有(

)A． B．C． D．例61．(多选题)(2024·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校考期末)已知,则下列结论正确的是(

)A．B．C．D．例62．(多选题)(2024·山西运城·高二康杰中学校考阶段练习)已知,下列命题中,正确的有(

)A．展开式中所有项的二项式系数的和为 B．展开式中所有项的系数和为C．展开式中所有奇数项系数的和为 D．经典题型十一：整除与余数、近似计算问题例63．(2024·江苏常州·高二统考期末)若能被13整除,则m的最小正整数取值为．例64．(2024·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考期末)设,且,若能被15整除,则.例65．(2024·江苏镇江·高二统考期末)今天是第一天星期一,则第天是星期.例66．(2024·江苏常州·高二常州高级中学校考期末)若,则除以7的余数是.例67．(2024·安徽阜阳·高二安徽省太和第一中学校考期末)若,且,,且,则．例68．(2024·高二课时练习)用二项式定理估算.(精确到0.001)例69．(2024·高二课时练习)将精确到0.01的近似值是．经典题型十二：杨辉三角问题例70．(2024·山东·高二校联考阶段练习)展开式中各项的系数可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角,其性质是以下各行每个数是它正上方和左､右两边三个数的和(不足3个数时,用0补上),则的展开式中,项的系数为.例71．(2024·辽宁本溪·高二校考期末)在"杨辉三角”中,每一个数都是它"肩上”两个数的和,它开头几行如图所示．那么,在"杨辉三角”中,第行会出现三个相邻的数,其比为．第0行

1第1行

1

1第2行

1

2

1第3行

1

3

3

1第4行

1

4

6

4

1第5行

1

5

10

10

5

1例72．(2024·北京东城·高二东直门中学校考期末)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里给出了杨辉三角,书中是用汉字来表示的,如图1.研究发现,杨辉三角可以由组合数来表示,如图2.

杨辉三角有很多有趣的性质,如杨辉三角的两个腰上的数字都是1,用组合数表示为.请写出一条其他的性质,用组合数表示为：.从杨辉三角蕴含的规律可知：.例73．(2024·安徽滁州·高二校考期末)如图所示,在杨辉三角中,斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：,,,,,,,记这个数列前项和为,则．

例74．(2024·四川资阳·高二统考期末)杨辉是我国南宋时期数学家,在其所著的《详解九章算法》一书中,辑录了图①所示的三角形数表,这比欧洲早500多年．杨辉三角本身包含很多性质,并有广泛的应用．借助图②所示的杨辉三角,可以得到,从第0行到第行：第1斜列之和;第2斜列之和．类比以上结论,并解决如下问题：图③所示为一个层三角垛,底层是每边堆个圆球的三角形(底层堆积方式如图所示),向上逐层每边少1个,顶层是1个．则小球总数．例75．(2024·江苏连云港·高二统考期末)如图,在杨辉三角中,斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：,记这个数列的前项和为,则的值为.

模块三：数学思想方法①分类讨论思想例76．(2024·河南·模拟预测)某惠民医院开展"关爱健康,守护生命,服务老人”的义诊活动,需要临时从某科室中抽调3名医护人员,已知该科室现共有3名医生和4名护士.为了保障医院工作正常运作,该科室内至少需要留有1名医生和2名护士,则不同的抽调方案共有(

)A．72种 B．36种 C．30种 D．18种例77．(2024·全国·模拟预测)的展开式中含项的系数为(

)A．1984 B．960 C．660 D．704例78．(2