2019考研数学三真题及答案

2019考研数学三试题和答案

一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题

中横线上)

/(x)气X若0

(1)设10，’其导函数在x=0处连续，贝必的取值范

围是.

(2)已知曲线y=--3/X+)与X轴相切，则/可以通过a表示为

b2=

°以,若0工工41,

f(x)=g(x)={

(3)设a>0,他其他，而D表示全平面，则

I=^f(.x)g(y-x)dxdy

D=.

(4)设n维向量a=3。，…，。")'，。<°；E为n阶单位矩阵，矩阵

B=E+—aa,

A=E-aa,a9

其中A的逆矩阵为B,则@=.

(5)设随机变量X和Y的相关系数为0.9,若z=x-0.4,则Y与Z

的相关系数为.

(6)设总体X服从参数为2的指数分布，x「x?,…,x”为来自总体x

1n

Y=~yx,2

的简单随机样本，则当〃-8时，nV依概率收敛于.

二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的

四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的

括号内)

(1)设f(x)为不恒等于零的奇函数，且尸⑼存在，则函数

Y口

(A)在x=0处左极限不存在.(B)有跳跃间断点x=0.

(C)在x=0处右极限不存在.(D)有可去间断点x=0.

(2)设可微函数f(x,y)在点(X。，打)取得极小值，则下列结论正确的

是口

3)/。。,，)在、=凡处的导数等于零.小)/。。，丁)在八儿处的导数大于

零.

(C)小2)在尸，。处的导数小于零.(D)"/，W在"方处的导数不存

在.

=%+LIa„-\an\

(3)设'"一丁一，""—=F-,〃=1，2,…，则下列命题正确的是口

888

VVV

(A)若白a条件收敛，则会p与白q都收敛.

00800

(B)若自“"绝对收敛，则=""与l’"都收敛.

8800

£a〃y\p

(C)若白条件收敛，则会n与白敛散性都不定.

8800

(D)若自“"绝对收敛，则二""与自’"敛散性都不定.

abb

A=bab

(4)设三阶矩阵I?"°」，若A的伴随矩阵的秩为1,则必有口

(A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2b*0.

(C)ahb且a+2b=0.(D)ahb且a+2b丰0.

(5)设%，…，心均为n维向量,下列结论不正确的是口

(A)若对于任意一组不全为零的数%&，•・&,都有

匕,+k2a2+…+^a,#0,贝…，氏线性无关.

(B)若%，。2,…,4线性相关，则对于任意一组不全为零的数匕出，…人,

都有匕%+网％+…+3、=0.

(0%，％，…，4线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为S.

⑻%，%，・，4线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.

(6)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：4=｛掷第一次出现正面｝,

A[=｛掷第二次出现正面｝,4=｛正、反面各出现一次｝,4=｛正面出现

两次｝,则事件口

(A)4八，&相互独立.⑻&，&，&相互独立.

(C)为出出两两独立.⑻4，&，4两两独立.

三、(本题满分8分)

设：+*一荷+/心1).

试补充定义f(D使得f(X)在[-2,1]」上连续.

四、(本题满分8分)

d2fd2f_j

设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足前+।声=,又

/、/T1/22a?gG2g

g(x,y)=f[xy,-(x-yV)l],求右+歹.

五、(本题满分8分)

计算二重积分

/=JJ6一“+)j)sin，+y2)dxdy.

D

其中积分区域D』8

六、(本题满分9分)

02〃

i+Z(-D〃-(kl<1)

求幕级数-2〃㈠的和函数f(x)及其极值.

七、(本题满分9分)

设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(-^+⑼内满足以下条件:

r(x)=g(x),g，(x)=/(x),且f(0)=0,f(x)+g(x)=2e，.

求F(x)所满足的一阶微分方程；

求出F(x)的表达式.

八、(本题满分8分)

设函数f(x)在［0,3］上连续，在(0,3)内可导，且

f(0)+f(l)+f(2)=3,f(3)=1.试证必存在&e(。，3),使/⑹=°-

九、(本题满分13分)

已知齐次线性方程组

(a1+H----F

h)x]+a2x2+a3x3anxn=0,

H----F

a}x]+(%+b)x2+a3x3anxn=0,

34-H----F

<a]x]+a2x2+(。h)x3aHxn=0,

a}x}+a2x2+a3x3+…+(an+b)xn=0,

，a-00.

其中七试讨论4M，…"，，和b满足何种关系时,

(D方程组仅有零解;

（2）方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.

十、（本题满分13分）

设二次型/（七,法,》3）=X'AX=。片+2君-2后+功用巧（〃＞。）中二次型的矩

阵A的特征值之和为1,特征值之积为T2.

求a,b的值；

利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应

的正交矩阵.

十一、（本题满分13分）

设随机变量X的概率密度为

，若X€[1,8],

/(x)=j3^^

其他；

F（x）是X的分布函数.求随机变量Y=F（X）的分布函数.

十二、（本题满分13分）

设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为

’12

X~

,0.30.7

而Y的概率密度为f（y）,求随机变量U=X+Y的概率密度g（u）.

答案

一'填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题

中横线上）

/(x)气X若x=0

(I)设〔0，’其导函数在x=0处连续，贝厂的取值范

围是九＞2.

点拨当xx0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.

过程：当时，有

r(x)="1V^-1cos—4-x2-2sin若%w0,

,Ll-

Q右x=0,

显然当几＞2时，有理/")=°=八°),即其导函数在x=0处连续.

(2)已知曲线y=--3/x+b与X轴相切，则/可以通过a表示为

b2=4/.

点拨曲线在切点的斜率为0,即y'=°,由此可确定切点的坐标应满足

的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到从与a的关系.

过程：由题设，在切点处有

yf=3x2-3a2=0有x：=〃2.

又在此点y坐标为0,于是有

2

0=XQ-3ax0+〃=0

故〃2=就(3々2_只产=々24/=4々6.

点睛：有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲

线方程.

°Z，

/Cv)=gCx)=1若

(3)设a＞0,10，其他，而D表示全平面，则

/=JJ/(x)g(y-x)dxdy,

D=/.

点拨本题积分区域为全平面，但只有当°4x41，04y741时，被积函

数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.

，=JJ/(x)g(y-x)dxdydxdy

过程：D~0<x<l,0<y-x<l

+X2

_Q?j；dx^dy=a~^{x+1)—x\dx=a.

点睛：若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积

分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.

(4)设n维向量a=(a，。，…，。，。)'，。<°；E为n阶单位矩阵，矩阵

Bn=ElT—1aa7

A=E-aaT,a,

其中A的逆矩阵为B,则a=-1.

点拨这里为n阶矩阵，而=2/为数，直接通过"=E进行计

算并注意利用乘法的结合律即可.

过程：由题设，有

AB=(E-aaT)(E+-aaT)

a

E-aaT+—aaT--aaTaaT

=aa

E-aar+—aar--a(a1a)aT

=aa

E-aaT+—aaT-2aaaT

=a

17

E+(-1—2。+—=E

~619

于是有7一2"，=",即2/+a一1=0,解得"=5'"=T.由于A<0,故

a=-l.

（5）设随机变量X和Y的相关系数为0.9,若z=x-0.4,则Y与Z

的相关系数为0.9.

点拨利用相关系数的计算公式即可.

过程：因为

cov（y,Z）=cov（y,X-0.4）=£[（y（X-0.4）]-E（Y）E{X-0.4）

=E（xr）-o.4E（y）-E（y）E（x）+o.4E（y）

=E（XY）-E（X）E（Y）=cov（X,Y）,

且DZ=DX.

cov（y,z）cov（x,y）=

于是有cov（Y,Z'）=^DY7DZ='7DX^DY—PXY"一

点睛：注意以下运算公式：O（X+a）=QX,cov（X,y+a）=cov（X,y）.

（6）设总体X服从参数为2的指数分布，x「X2,…,X,,为来自总体X

YLyx2-

的简单随机样本，则当〃-8时，"=〃占'依概率收敛于2.

点拨本题考查大数定律:一组相互独立且具有有限期望与方差的随机

变量X”X2,…,x”,当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于

其数学期望的算术平均值：

]〃p1n

—ZX；i（nf8）.

n/=in,=]

过程：这里x:，x'…,X；满足大数定律的条件，且

1.A2=l

EX；=DX,+（EXJ2=422,因此根据大数定律有

一,x1—/比八=一

〃士依概率收敛于〃合2

二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的

四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的

括号内)

(1)设f(x)为不恒等于零的奇函数，且尸⑼存在，则函数'X

(A)在x=0处左极限不存在.(B)有跳跃间断点x=0.

(C)在x=0处右极限不存在.(D)有可去间断点x=0.[D]

点拨由题设，可推出f(0)=0,再利用在点x=0处的导数定义进行讨论

即可.

过程：显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数

知，f(0)=0.

../、「/(x)/(x)-/(O),

hmg(x)=lim=lrim/(0)

于是有…xA。存在，故x=0为可去间断

点.

【评注1】本题也可用反例排除，例如f(x)=x,则此时

x_00,

g(X)金一i°，x=°，可排除(A),(B),(C)三项，故应选⑻.

【评注2]若f(x)在"无。处连续，则

lim=Ao/(/)=0,广岛)=A.

1%X—Xo

(2)设可微函数f(x,y)在点®，y。)取得极小值，则下列结论正确的

是

&)/(/，，)在)'=，。处的导数等于零.化)/(尤。，，)在'=凡处的导数大于

零.

(C)/(/，，)在，=%处的导数小于零.(D)“x°，y)在%y。处的导数不存

在.

[A]

点拨可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.

过程：可微函数f(x,y)在点(演”。)取得极小值，根据取极值的必要条

件知力'(与，%)=o,即/(x°，y)在y=右处的导数等于零,故应选(A).

【评注11本题考查了偏导数的定义，八无。必在尸，。处的导数即

,；(知丫。)；而f(x，x>)在x=x0处的导数即f：(Xo，y(J

【评注2]本题也可用排除法分析，取/(x，y)=/+y\在(0,0)处可

微且取得极小值，并且有/(°，y)=y,可排除(B),(C),(D),故正确选

项为(A).

：%,+|%|

(3)设幺-2,q>'-2,〃=1,2,…，则下列命题正确的是

00800

(A)若自“"条件收敛，则=""与自’"都收敛.

838

yya£p”£q〃

(B)若占绝n对收敛，则占与白都收敛.

00800

(C)若1明条件收敛，则=P"与自/敛散性都不定.

888

VaVpVq

(D)若占绝n对收敛，则合与£n敛散性都不定.[B]

点拨根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可

找出答案.

f00a8Vid；IV006z

过程：若£绝对收敛，即分收敛，当然也有级数占收敛，再

=丁+同=%-卜』yp

根据2,2及收敛级数的运算性质知，白"与占"

都收敛，故应选(B).

abb

A=bab

(4)设三阶矩阵I?"若A的伴随矩阵的秩为1,则必有

(A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2b*0.

(C)a/b且a+2b=0.(D)a/b且a+2bX0.[C]

点拨A的伴随矩阵的秩为1,说明A的秩为2,由此可确定a,b应满足

的条件.

过程：根据A与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩(A)=2,故有

abb

hab=(a+2h)(a-b)2=0

bba,即有。+2)=0或a=b.

但当a=b时，显然秩(A)*2,故必有a*b且a+2b=0.应选(C).

点睛：n(M2)阶矩阵A与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系:

r(A)=n,

«A*)=<1,r(A)=n-1,

0,r(A)<n-\.

(5)设%，均为n维向量，下列结论不正确的是

(A)若对于任意一组不全为零的数匕上，…人，都有

kxa}+k2a2H-----Fksasw0,则即％，…,名线性无关.

(B)若即。2,…a线性相关，则对于任意一组不全为零的数匕，自，…人,

都有++…+ksas=0.

(C)4线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为S.

⑻即见，…,％线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无

关.[B]

点拨本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线

性无关的等价表现形式.应注意是寻找不正确的命题.

过程：(A):若对于任意一组不全为零的数匕也，…人，都有

匕3+k2a2+---+ksax#。，贝见必线性无关，因为若囚,a?，4线

性相关，则存在一组不全为零的数匕*，…人，使得

上0+七%+…+上4=0,矛盾.可见(A)成立.

(B):若%，。2,…，4线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为

零的数自&,都有《%+…+…+k3as=0.⑻不成立.

⑹％，。2,…。、线性无关，则此向量组的秩为S；反过来，若向量组

的秩为S,则%，。2,…,鬼线性无关,因此(C)成立.

(D)%%，…，4线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两

个向量线性无关，可见(D)也成立.

综上所述，应选(B).

点睛：原命题与其逆否命题是等价的.例如，原命题：若存在一组不

全为零的数匕…人，使得匕%+公%+…+%%=。成立，则%，如，…,见

线性相关.其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数片出，…人，

都有匕%+公%+-+匕％。0,则即。2,…，见线性无关.在平时的学习过

程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.

(6)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：4=｛掷第一次出现正面｝,

人2=｛掷第二次出现正面｝,4=｛正、反面各出现一次｝,4=｛正面出现

两次｝,则事件

（A）4，44相互独立.⑻&，44相互独立.

（C）两两独立.（D）&，4两两独立.©

点拨按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两

两独立，若成立，再检验是否相互独立.

过程：因为

p（A）=gP（A2）=1P（A）=；

；P（A4）=；P（4&）=；P（M）=：254）=0

-tl，，，9

可见有

p（A4）=尸（A）P（4）,p（A4）=p（a）p（4）,F（A2A3）=F（A2）F（A3）,

P（A&A3）丰P（A）P（A2）P（A3）,P（4AJ丰P（A2）P（A4）.

故A,4,A3两两独立但不相互独立；七出,&不两两独立更不相互独

立，应选（C）.

点睛：本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立.

三、（本题满分8分）

设

/（x）--~------__r，%e已,1）.

7ixsinm7v（\-x）2

[11]

试补充定义f（1）使得f（X）在々」上连续.

点拨只需求出极限呼"X）,然后定义f⑴为此极限值即可.

过程：因为

111I

吧/⑴」r刑rTixsin/zx万（1一工）'

11「7T(1-x)-sin7DC

—+—lim---------------

=7i)XT「(1-x)sin7ix

11一万一乃cosm;

—+—lim-------------------------------

-71"-sin+(1-X)7TCOS71X

11「TV2sin有

—I—lini----------------------------------------------

=71冗XT「—7CCOS71X—7TCOS71X—(1—X)7Tsin71X

J_

二71

[11)

由于f(x)在2"上连续，因此定义

/(D=-

兀,

[11]

使f(x)在々I上连续.

点睛：本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查

了连续的概念.在计算过程中，也可先作变量代换y=l-x,转化为求

的极限，可以适当简化.

四、(本题满分8分)

立+也=1

设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足解M,又

.、C1/2、2g

g(x,y)=f[Xy,-^-y)],求胡+示.

点拨本题是典型的复合函数求偏导问题：g=/(“，v),

12八

u=xy,v=—(Xz-y)

2，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用

d2f_d2f

dudvdvdu

过程：1=噜+噜,

导噜-噂

02g"+笠

吆+2xy"+小

故a2du~dudvdv2dv

驾=一驾一2孙红+/学一茎.

dy^du2dvdudv2ov

—■~+---=（一+'2）1^+（*2+/）*

22

所以dxdyoudv

=x2+y2.

点睛：本题考查半抽象复合函数求二阶偏导.

五'（本题满分8分）

计算二重积分

I=jy+jsin,+y2）dxdy.

D

其中积分区域+>%%}•

点拨从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算.

过程：作极坐标变换：户rcosay=rsin%有

2

I=e"JJeT'+y）sin。？+y）dxdy

D

fl

e［；”de］二re~sinr~dr.

令则

l

1二淀"fe~sintdt

Jo.

l

、rA=fe~sintdt»||

记J。,则

ll

A=-「e~intde~

Jo

Te-sin，。」e~lcosrJrJ

竺-t

-costde~

Jo

-[e~rcost+Ce~lsintdt]

oJo

二£-”+1-A

A=L(l+e-")

因此2,

/=争1+*")=[(1+1).

22

点睛：本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重

积分化为定积分后，再通过换元与分步积分(均为最基础的要求)，

即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基

础知识点.

六、(本题满分9分)

E2〃

1+Z(T)"丁(忖<D

求幕级数-2〃的和函数f(x)及其极值.

点拨先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和

为L求出和函数后，再按通常方法求极值.

过程：

(")=£(-n=一二^

W1+X

上式两边从0到X积分，得

/(X)-/(0)=一二匕虫=一gln(l+X2).

由f(0)=1,得

/(x)=l-1ln(l+x2),(|x|<l).

令/'(X)=°,求得唯一驻点x=0.由于

八0)=一1<0,

可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为

f(O)=l.

点睛：求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接

求和的几何级数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终

确定和函数.

七'(本题满分9分)

设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(f°，+8)内满足以下条件：

/'(x)=g(x),g'(x)=/(x),且f(0)=0,/(x)+g(x)=2e、.

求F(x)所满足的一阶微分方程；

求出F(x)的表达式.

点拨F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)

求导，并将其余部分转化为用F(x)表示，导出相应的微分方程，然

后再求解相应的微分方程.

过程：⑴由

F'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

=g“X)+/2(X)

="(x)+g(x)/-2/(x)g(x)

=(2/)2-2F(X),

可见F(x)所满足的一阶微分方程为

F,(x)+2F(x)=4e2\

⑵F(x)=e4e2x-e^''dx+C}

2xx

=e-［\^dx+C］

=e2x+Ce~2x.

将F(O)=f(O)g(O)=O代入上式,得

c=-l.

于是

F(x)=e2x-e-2x.

点睛：本题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引

出微分方程的形式，从题型来说比较新颖，但具体到微分方程的求解

则并不复杂，仍然是基本要求的范围.

八、(本题满分8分)

设函数f(x)在［0,3］上连续，在(0,3)内可导，且

f(0)+f(l)+f(2)=3,f(3)=1.试证必存在"(0,3),使/@=0.

点拨根据罗尔定理，只需再证明存在一点cl。，%使得/(0=1=13),

然后在［c,3］上应用罗尔定理即可.条件f(0)+f(l)+f(2)=3等价于

/(0)+/(1)+/(2)_1

3一，问题转化为1介于f(x)的最值之间，最终用介

值定理可以达到目的.

过程：因为f(x)在［0,3］上连续，所以f(x)在［0,2］上连续，且在

［0,2］上必有最大值M和最小值叫于是

m</(O)<M

m</(I)<M

m</(2)<M

故

旌/⑼+/(1)+/⑵《和

3

由介值定理知，至少存在一点C0O2,使

/(C)/(0)+/(D+A2)=L

3

因为f(c)=l=f(3),且f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，所以由

罗尔定理知,必存在"(C，3)U(0,3),使/片)=()・

点睛：介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且

一般是两两结合起来考.本题是典型的结合介值定理与微分中值定理

的情形.

九、(本题满分13分)

已知齐次线性方程组

(q+b)x[+a2x2+a3x3+…+anxn-0,

alxl+(a2+b)x2+a3x3+•••+anxn=0,

<a/]+a2x2+(a3+b)x3+…+anxn-0,

axxx+a2x2+a3x3+•••+(an+b)xn=0,

>a；w0.

其中餐试讨论为。，…，％和b满足何种关系时，

(1)方程组仅有零解；

(2)方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.

点拨方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是

否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有列对应元素相加

后相等.可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行

的(-1)倍加到其余各行，即可计算出行列式的值.

过程：方程组的系数行列式

小出+力勺).

=i=l

h+y/0o

当底o时且£时，秩(A)=n,方程组仅有零解.

当b=0时，原方程组的同解方程组为

aX

a^Xx-----nn=0.

Ya.wO

由e’可知，。，"=12,，〃)不全为零.不妨设4*。，得原方程组的

一个基础解系为

%=(--,l,0,4*s0)ra=(---^O)7…,=(--,0,0,*•

2%q

当"=一自"’时，有丘。，原方程组的系数矩阵可化为

a\~^aia2%"•an

i=\

«Ia2/…an

/=1

%a2。3-Z%an

J=]

qa2a.…an

_z=l一

1

（将第1行的-1倍加到其余各行,再从第2行到第n行同乘以台

倍）

a2%-a”

(=1

-i10-0

-i01-0

->-1001

（将第n行-%倍到第2行的一生倍加到第1行，再将第1行移到最

后一行）

-110...0

-101•••0

-100•••1

->000•••0

由此得原方程组的同解方程组为

X?=X],与一X],•••,Xn—

原方程组的一个基础解系为

点睛：本题的难点在""一宫"'时的讨论，事实上也可这样分析：此时

系数矩阵的秩为n-1（存在n-1阶子式不为零），且显然。=（1/，T）'为

方程组的一个非零解，即可作为基础解系.

十、（本题满分13分）

设二次型

1

f(xt,x2,x3)=XAX=aXy++2bxix3(Z?>0)

中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-L2.

求a,b的值；

利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应

的正交矩阵.

点拨特征值之和为A的主对角线上元素之和,特征值之积为A的行列

式，由此可求出a,b的值；进一步求出A的特征值和特征向量，并将

相同特征值的特征向量正交化(若有必要)，然后将特征向量单位化

并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.

过程：(1)二次型f的矩阵为

a0b

A=020.

b0-2_

设A的特征值为4(;1,2,3).由题设，有

4++丸？=a+2+(—2)=1

a0b

444=020=—4a—2b2=—12.

b0-2

解得a=l,b=-2.

⑵由矩阵A的特征多项式

Z-l0-2

|花一A|=02-20=(71—2)2(4+3)

-202+2

J

得A的特征值4=冬=2,4=-3.

对于4=4=2,解齐次线性方程组(2E-A)x=0,得其基础解系

(2,0,1)\分=(0』,0)T.

对于4=-3,解齐次线性方程组(-3E-A)X=0,得基础解系

盘=(1,0,-2)7.

由于刍当《已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将

却与4单位化，由此得

令矩阵

2

3

-

Q--0

-1

3

则Q为正交矩阵.在正交变换X=QY下，有

-200-

QT