2023届陕西省西安工业大学附中高三数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列命题是真命题的是（）A．若平面，，，满足，，则；B．命题：，，则：，；C．“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；D．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”.2．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，那么该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．3．已知实数，则的大小关系是()A． B． C． D．4．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（）A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形6．数列{an}，满足对任意的n∈N+，均有an+an+1+an+2为定值.若a7=2，a9=3，a98=4，则数列{an}的前100项的和S100=()A．132 B．299 C．68 D．997．在展开式中的常数项为A．1 B．2 C．3 D．78．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．9．函数，，则“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点，间的距离为2，动点与，的距离之比为，当，，不共线时，的面积的最大值是（）A． B． C． D．11．已知集合，集合，则（）.A． B．C． D．12．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．二项式的展开式中项的系数为_____．14．的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______.15．已知数列是各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为________.16．已知实数，满足约束条件则的最大值为________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）经常网购偶尔或不用网购合计男性50100女性70100合计（1）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为，求随机变量的数学期望和方差．参考公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面为正三角形，且面面，分别为棱的中点.（1）求证：平面；（2）（文科）求三棱锥的体积；（理科）求二面角的正切值.19．（12分）某公园有一块边长为3百米的正三角形空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉.方案是：先建造一条直道将分成面积之比为的两部分（点D，E分别在边，上）；再取的中点M，建造直道（如图）.设，，（单位：百米）.（1）分别求，关于x的函数关系式；（2）试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.20．（12分）中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受．如图（1）为一花窗；图（2）所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30cm，宽26cm，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为xcm和ycm，窗芯所需条形木料的长度之和为L．（1）试用x，y表示L；（2）如果要求六根支条的长度均不小于2cm，每个菱形的面积为130cm2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？21．（12分）在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数，）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（l）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程：（2）若直线与曲线C相交于A，B两点，且．求直线的方程．22．（10分）a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.已知a＝3，，且B＝60°.（1）求△ABC的面积；（2）若D，E是BC边上的三等分点，求.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

根据面面关系判断A；根据否定的定义判断B；根据充分条件，必要条件的定义判断C；根据逆否命题的定义判断D.【详解】若平面，，，满足，，则可能相交，故A错误；命题“：，”的否定为：，，故B错误；为真，说明至少一个为真命题，则不能推出为真；为真，说明都为真命题，则为真，所以“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件，故C错误；命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，故D正确；故选D【点睛】本题主要考查了判断必要不充分条件，写出命题的逆否命题等，属于中档题.2、A【解析】

由抛物线的焦点得双曲线的焦点，求出，由抛物线准线方程被曲线截得的线段长为，由焦半径公式，联立求解.【详解】解：由抛物线，可得，则，故其准线方程为，抛物线的准线过双曲线的左焦点，．抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，，又，，则双曲线的离心率为．故选：．【点睛】本题考查抛物线的性质及利用过双曲线的焦点的弦长求离心率.弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．3、B【解析】

根据，利用指数函数对数函数的单调性即可得出．【详解】解：∵，∴，，．∴．故选：B．【点睛】本题考查了指数函数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4、A【解析】

由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案.【详解】解：由题意，若、的体积不相等，则、在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，、在等高处的截面积不恒相等，但、的体积可能相等，例如是一个正放的正四面体，一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以是的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.5、C【解析】试题分析：画出截面图形如图显然A正三角形，B正方形：D正六边形，可以画出五边形但不是正五边形；故选C．考点：平面的基本性质及推论．6、B【解析】

由为定值，可得，则是以3为周期的数列，求出，即求.【详解】对任意的，均有为定值，，故，是以3为周期的数列，故，.故选：.【点睛】本题考查周期数列求和，属于中档题.7、D【解析】

求出展开项中的常数项及含的项，问题得解。【详解】展开项中的常数项及含的项分别为：,，所以展开式中的常数项为：.故选：D【点睛】本题主要考查了二项式定理中展开式的通项公式及转化思想，考查计算能力，属于基础题。8、C【解析】

根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围.【详解】当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.此时椭圆长轴长为，短轴长为6，所以椭圆离心率，所以.故选：C【点睛】本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.9、B【解析】

根据函数奇偶性的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】设，若函数是上的奇函数，则，所以，函数的图象关于轴对称.所以，“是奇函数”“的图象关于轴对称”；若函数是上的偶函数，则，所以，函数的图象关于轴对称.所以，“的图象关于轴对称”“是奇函数”.因此，“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数奇偶性的性质判断是解决本题的关键，考查推理能力，属于中等题.10、A【解析】

根据平面内两定点，间的距离为2，动点与，的距离之比为，利用直接法求得轨迹，然后利用数形结合求解.【详解】如图所示：设，，，则，化简得，当点到（轴）距离最大时，的面积最大，∴面积的最大值是.故选：A.【点睛】本题主要考查轨迹的求法和圆的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.11、A【解析】

算出集合A、B及，再求补集即可.【详解】由，得，所以，又，所以，故或.故选：A.【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.12、A【解析】

详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形故俯视图为故选A.点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、15【解析】

由题得，，令，解得，代入可得展开式中含x6项的系数.【详解】由题得，，令，解得，所以二项式的展开式中项的系数为.故答案为：15【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，考查了利用通项公式去求展开式中某项的系数问题.14、【解析】

求出二项展开式的通项，令指数为零，求出参数的值，代入可得出展开式中的常数项；求出项的系数，利用作商法可求出系数最大的项.【详解】的展开式的通项为，令，得，所以，展开式中的常数项为；令，令，即，解得，，，因此，展开式中系数最大的项为.故答案为：；.【点睛】本题考查二项展开式中常数项的求解，同时也考查了系数最大项的求解，涉及展开式通项的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15、40【解析】

设等比数列的公比为，根据，可得，因为，根据均值不等式，即可求得答案.【详解】设等比数列的公比为，，，等比数列的各项为正数，，，当且仅当，即时，取得最小值.故答案为：.【点睛】本题主要考查了求数列值的最值问题，解题关键是掌握等比数列通项公式和灵活使用均值不等式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.16、1【解析】

作出约束条件表示的可行域，转化目标函数为，当目标函数经过点时，直线的截距最大，取得最大值，即得解.【详解】作出约束条件表示的可行域是以为顶点的三角形及其内部，转化目标函数为当目标函数经过点时，直线的截距最大此时取得最大值1．故答案为：1【点睛】本题考查了线性规划问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）①；②数学期望为6，方差为2.4.【解析】

（1）完成列联表，由列联表，得，由此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有人，偶尔或不用网购的有人，由此能选取的3人中至少有2人经常网购的概率．②由列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，由题意，由此能求出随机变量的数学期望和方差．【详解】解：（1）完成列联表（单位：人）：经常网购偶尔或不用网购合计男性5050100女性7030100合计12080200由列联表，得：，∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有人，偶尔或不用网购的有人，∴选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：．②由列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，将频率视为概率，∴从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6，由题意，∴随机变量的数学期望，方差D（X）=．【点睛】本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18、（1）见解析（2）（文）（理）【解析】

（1）证明：取PD中点G，连结GF、AG，∵GF为△PDC的中位线，∴GF∥CD且，又AE∥CD且，∴GF∥AE且GF=AE，∴EFGA是平行四边形，则EF∥AG，又EF不在平面PAD内，AG在平面PAD内，∴EF∥面PAD；（2）（文）解：取AD中点O，连结PO，∵面PAD⊥面ABCD，△PAD为正三角形，∴PO⊥面ABCD，且，又PC为面ABCD斜线，F为PC中点，∴F到面ABCD距离，故；（理）连OB交CE于M，可得Rt△EBC≌Rt△OAB，∴∠MEB=∠AOB，则∠MEB+∠MBE=90°，即OM⊥EC．连PM，又由（2）知PO⊥EC，可得EC⊥平面POM，则PM⊥EC，即∠PMO是二面角P-EC-D的平面角，在Rt△EBC中，，∴，∴，即二面角P-EC-D的正切值为．【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、二面角的求法、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.本题（1）是就是利用方法①证明的.19、（1），.，.（2）当百米时，两条直道的长度之和取得最小值百米.【解析】

（1）由，可解得.方法一：再在中，利用余弦定理，可得关于x的函数关系式；在和中，利用余弦定理，可得关于x的函数关系式.方法二：在中，可得，则有，化简整理即得；同理，化简整理即得.（2）由（1）和基本不等式，计算即得.【详解】解：（1），是边长为3的等边三角形，又，，.由，得.法1：在中，由余弦定理，得.故直道长度关于x的函数关系式为，.在和中，由余弦定理，得①②因为M为的中点，所以.由①②，得，所以，所以.所以，直道长度关于x的函数关系式为，.法2：因为在中，，所以.所以，直道长度关于x的函数关系式为，.在中，因为M为的中点，所以.所以.所以，直道长度关于x的函数关系式为，.（2）由（1）得，两条直道的长度之和为（当且仅当即时取“”）.故当百米时，两条直道的长度之和取得最小值百米.【点睛】本题考查了余弦定理和基本不等式，第一问也可以利用三角形中的向量关系进行求解，属于中档题.20、（1）（2）【解析】试