2019-2020学年高中数学课时分层作业4正弦定理余弦定理的应用含解析苏教版必修

PAGE课时分层作业(四)正弦定理、余弦定理的应用(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4m，A＝30°，则其跨度AB的长为()A．12mB．8mC．3eq\r(3)m D．4eq\r(3)mD[由题意知，A＝B＝30°，所以C＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理得，eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，即AB＝eq\f(AC·sinC,sinB)＝eq\f(4·sin120°,sin30°)＝4eq\r(3).]2．如图所示，要测量河对岸A，B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B间距离是()A．20eq\r(2)米 B．20eq\r(3)米C．20eq\r(6)米 D．40eq\r(2)米C[可得DB＝DC＝40，由正弦定理得AD＝20(eq\r(3)＋1)，∠ADB＝60°，所以在△ADB中，由余弦定理得AB＝20eq\r(6)(米)．]3．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20m，则建筑物高度为()A．20mB．30mC．40mD．60mC[如图，设O为顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝20eq\r(3)，在Rt△AOD中，OA＝OD·tan60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40(m)．]4．如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD在水平面上，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD的大小是()A．30°B．45°C．60°D．75°B[∵AD2＝602＋202＝4000，AC2＝602＋302＝4500，在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝eq\f(AD2＋AC2－CD2,2AD·AC)＝eq\f(\r(2),2)，∠CAD∈(0°，180°)，∴∠CAD＝45°.]5．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，则建筑物的高度为()A．15eq\r(6)m B．20eq\r(6)mC．25eq\r(6)m D．30eq\r(6)mD[设建筑物的高度为h，由题图知，PA＝2h，PB＝eq\r(2)h，PC＝eq\f(2\r(3),3)h，∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得cos∠PBA＝eq\f(602＋2h2－4h2,2×60×\r(2)h)，①cos∠PBC＝eq\f(602＋2h2－\f(4,3)h2,2×60×\r(2)h).②∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③由①②③，解得h＝30eq\r(6)或h＝－30eq\r(6)(舍去)，即建筑物的高度为30eq\r(6)m．]二、填空题6．若两人用大小相等的力F提起重为G的货物，且保持平衡，则两力的夹角θ的余弦值为________．eq\f(G2－2F2,2F2)[如图，由平行四边形法则可知，|eq\o(OA,\s\up12(→))|＝G，在△AOB中，由余弦定理可得|eq\o(OA,\s\up12(→))|2＝F2＋F2－2F·Fcos(π－θ)．∵|eq\o(OA,\s\up12(→))|＝G，∴2F2(1＋cosθ)＝G2，∴cosθ＝eq\f(G2－2F2,2F2).]7．如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别是75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于________m.120(eq\r(3)－1)[由题意可知，AC＝eq\f(60,sin30°)＝120.∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，所以sin∠ABC＝sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).在△ABC中，由正弦定理得eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(BC,∠BAC)，于是BC＝eq\f(120×\f(\r(2),2),\f(\r(2)＋\r(6),4))＝eq\f(240\r(2),\r(2)＋\r(6))＝120(eq\r(3)－1)(m)．]8.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝eq\f(2\r(2),3)，AB＝3eq\r(2)，AD＝3，则BD的长为________．eq\r(3)[∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝eq\f(2\r(2),3)，∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，∴BD2＝18＋9－2×3eq\r(2)×3×eq\f(2\r(2),3)＝3，∴BD＝eq\r(3).]三、解答题9．如图所示，一条河自西向东流淌，某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C，D分别在北偏东45°和北偏东30°方向，此人向东走300米到达B处之后，再看C，D，则分别在北偏西15°和北偏西60°方向，求目标C，D之间的距离．[解]由题意得，在△ABD中，因为∠DAB＝60°，∠DBA＝30°，所以∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，因为AB＝300，所以BD＝300·sin60°＝150eq\r(3)，在△ABC中，因为∠CAB＝45°，∠ABC＝75°，所以∠ACB＝60°.由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠CAB)，所以BC＝eq\f(300,\f(\r(3),2))×eq\f(\r(2),2)＝100eq\r(6)，在△BCD中，因为BC＝100eq\r(6)，BD＝150eq\r(3)，∠CBD＝45°，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD＝37500，所以CD＝50eq\r(15).所以目标C，D之间的距离为50eq\r(15)米．10．如图，在△ABC中，已知BC＝15，AB∶AC＝7∶8，sinB＝eq\f(4\r(3),7)，求BC边上的高AD.[解]在△ABC中，由已知设AB＝7x，AC＝8x，由正弦定理，得eq\f(7x,sinC)＝eq\f(8x,sinB)，∴sinC＝eq\f(7,8)×eq\f(4\r(3),7)＝eq\f(\r(3),2)，∴C＝60°(C＝120°舍去，否则由8x>7x，知B也为钝角，不符合要求)．由余弦定理，得(7x)2＝(8x)2＋152－2×8x×15cos60°，∴x2－8x＋15＝0.∴x＝3或x＝5，∴AB＝21或AB＝35.在△ABC中，AD＝ABsinB＝eq\f(4\r(3),7)AB，∴AD＝12eq\r(3)或AD＝20eq\r(3).[能力提升练]1．甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为()A.eq\f(150,7)分钟 B.eq\f(15,7)分钟C．21.5分钟 D．2.15小时A[如图，设t小时后甲行驶到D处，则AD＝10－4t，乙行驶到C处，则AC＝6t.∵∠BAC＝120°，∴DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos120°＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100＝28eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(5,14)))2＋eq\f(675,7).当t＝eq\f(5,14)时，DC2最小，即DC最小，此时它们所航行的时间为eq\f(5,14)×60＝eq\f(150,7)分钟．]2．如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD＝120°，C，D两地相距500m，则电视塔AB的高度是()A．100eq\r(2)m B．400mC．200eq\r(3)m D．500mD[设AB＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝eq\r(3)x.在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝500m，由余弦定理得(eq\r(3)x)2＝x2＋5002－2×500xcos120°，解得x＝500m．]3.如图所示，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2min，从D沿着DC走到C用了3min.若此人步行的速度为每分钟50m，则该扇形的半径为________m.50eq\r(7)[连结OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×eq\f(1,2)＝17500，∴OC＝50eq\r(7).]4．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为________小时．1[设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米，AP＝x，在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cosA，即302＝x2＋402－2x·40cos45°，化简得x2－40eq\r(2)x＋700＝0，|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，|x1－x2|＝20，即图中的CD＝20(千米)，故t＝eq\f(CD,v)＝eq\f(20,20)＝1(小时)．]5．如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cosB＝eq\f(\r(10),8)，cos∠ADC＝－eq\f(1,4).(1)求sin∠BAD的值；(2)求AC边的长．[解](1)因为cosB＝eq\f(\r(10),8)，所以sinB＝eq\f(3\r(6),8).又cos∠ADC＝－eq\f(1,4)，所以sin∠ADC＝eq\f(\r(15),4).所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝eq\f(\r(15),4)×eq\f(\r(10),8)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))×eq