高一数学人教A版必修2课后训练：2.3直线、平面垂直的判定及其性质-直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质

课后训练千里之行始于足下1．平面α、β及直线l满足：α⊥β，l∥α，则一定有()．A．l∥β B．l⊂βC．l与β相交 D．以上三种情况都有可能2．给出下列四个命题：①经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平行；③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；④如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在这个平面内．其中正确的是()．A．①③ B．②③ C．②③④ D．④3．线段AB的两端在直二面角α­l­β的两个面内，并与这两个面都成30°角，则异面直线AB与l所成的角是()．A．30° B．45°C．60° D．75°4．在三棱锥P­ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为()．A． B． C． D．5．直线a和b在正方体ABCD­A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．6．已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题__________．7．如图，已知PA⊥平面ABC，二面角A­PB­C是直二面角．求证：AB⊥BC.8．如图，P是矩形ABCD所在平面α外一点，且PA⊥α，M、N分别是AB、PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥CD.百尺竿头更进一步如图所示，在斜三棱柱A1B1C1­ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，侧面BB1C1(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面(3)若截面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM＝答案与解析1.答案：D解析：由题意知，以上三种情况都能满足α⊥β且l∥α.2.答案：D解析：过平面外一点可作一条直线与平面垂直，过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直，①不对；若α⊥β，a⊥α，则a⊂β或a∥β，②不对；③当平面外的直线是平面的垂线时可以作无数个，否则只能作一个，③不对．3.答案：B解析：过B作l的平行线，过A′作l的垂线，两线交于点C，连接AC，则∠ABC即为异面直线AB与l所成的角，由题意，∠ABA′＝∠BAB′＝30°，所以，，，所以，，由勾股定理知∠ACB＝90°，则∠ABC＝45°.4.答案：B解析：连接CM，则由题意PC⊥面ABC，可得PC⊥CM，所以，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有，所以PM的最小值为.5.答案：①②③解析：①线面垂直的性质定理；②面面平行的性质定理；③平行公理．6.答案：②③④⇒①或①③④⇒②解析：如图所示，由α⊥β，n⊥β，m⊥α，得m⊥n.由m⊥n，n⊥β，m⊥α，得α⊥β.7.证明：二面角A­PB­C为直二面角，即平面PAB⊥平面CPB，且PB为交线，在平面PAB内，过A点作AD⊥PB，D为垂足(如图)，则AD⊥平面CPB，又BC⊂平面CPB，所以AD⊥BC.因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又PA∩AD＝A，因此，BC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，所以AB⊥BC.8.证明：(1)设Q为CD中点，连接MQ、NQ，则MQ∥AD，NQ∥PD.∵MQ∩NQ＝Q，AD∩PD＝D，∴平面MNQ∥平面PAD，而MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面PAD.(2)∵PA⊥α，∴PA⊥CD.∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.∵NQ∥PD，∴CD⊥NQ.又∵CD⊥MQ且NQ∩MQ＝Q，∴CD⊥平面MNQ，∵MN⊂平面MNQ，∴MN⊥CD.百尺竿头更进一步(1)证明：∵AB＝AC.D是BC的中点，∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥平面BB1C∴AD⊥侧面BB1C∴AD⊥CC1；(2)证明：延长B1A1与BM交于点N，连接C1N∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1.∵A1C1＝A1N＝A1B1，∴C1N⊥B1C∴C1N⊥侧面BB1C∴截面MBC1⊥侧面BB1C(3)解：结论正确．证明如下：过M作ME⊥BC1于点E，∵截面MBC1⊥侧面BB1C∴ME⊥侧面BB1C又∵