小学数学问题解决策略的研究

PAGEPAGE2附件1：全国优秀教育硕士专业学位论文推荐表单位名称：长春市树勋小学填表日期：2008年10月28日论文题目“小学数学问题解决策略的研究”作者姓名论文答辩日期学科专业方向程明喜2006．11．26教育管理攻硕期间及获得硕士学位后一年内获得与硕士学位论文有关的成果发表学术论文(题目，刊名,时间，社会影响)《什么样的课是新课程下的好课》发表在《实践新课程》2007年第7、8期《关于小学数学教学实效性的思考》发表在《实践新课程》2007第11期《信息技术与数学教学整合的思考》发表在《现代教育科学研究》2004年第八期论文所产生的实际影响(对作者工作及所在单位工作)作者从事小学数学教学管理工作，且受聘为吉林省、长春市数学学科新课程讲师团成员及南关区兼职教研员。本研究成果曾多次在培训省市骨干教师及校本教研中作为讲座内容。对于教师从问题解决的角度来看待数学学习，从培养学生问题解决策略的角度思考数学教学，以及培养学生解决问题的能力等方面均起到了实质性的推动作用。在区域范围内掀起了以“问题解决策略”为核心的数学教学研讨活动。此研究成果亦自然注入并丰富了作者的教学思想，使教学形成了朴素自然，灵活深刻的风格。2005年第二届全国小学数学新课程实践经验成果交流会上，此成果进行了大会交流，受到关注与好评。出版专著(名称、出版社、出版时间)《小学趣味数学教学研究》东北师范大学出版社2006年5月《同升数学》（小学数学双语教学教材第一册）编委2007年12月获奖项目(名称、等级及时间）《信息技术与数学教学整合的思考》获中央电教馆论文一等奖、长春市教育科研成果一等奖2005年《返璞归真，让数学学习充满智慧》论长春市骨干教师专业发展论坛数学学科“金星奖”第一名2006年《数学教学中创新思维能力的培养》获省科研成果一等奖2004年中文论文摘要(论文选题的意义,论文运用的主要研究方法,主要研究成果,主要参考文献)“问题解决”是近年来国际上提出的数学教育的研究热点，是国内外数学教育发展的趋势。随着第八次课程改革的进行，尤其是《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》实施以来，培养学生在情境中提出问题、分析问题、解决问题的能力越来越引起广大数学教师的重视，探究并培养学生形成多种问题解决的策略也成为当下研究的关注点。本研究的目的是对数学问题解决的教学实践进行总结与提炼，对当前关于小学数学问题解决策略的众多说法进行梳理。研究采用文献法、案例分析法和行动研究法。在文献研究的基础上，通过研究者执教、深入课堂听课、分析学生的作业等研究活动，对小学生数学问题解决策略应用现状进行全面的分析，并对小学生问题解决的基本策略进行了整理。在此基础上，本文结合教学案例，提出了相应的促进小学生数学问题解决策略形成的教学对策。以期改善学生的数学学习方式、思维方式、以及问题解决的策略，进而提高学生的数学素养。本文分六部分（详见原文）【主要参考文献】[1]马云鹏.小学数学教学论[M].人民教育出版社,2003.327-353.[2]郑毓信.问题解决与数学教育[M].江苏教育出版社，1994.(完整的)[3]李士琦.PME:数学教育心理[M.]华东师范大学出版社,2001.1-45.[4]孔企平.张维忠,黄荣金.数学新课程与数学学习[M].高等教育出版社,2003.1-17，159-166.[5]程明喜.小学趣味数学教学研究（第二版）[M].长春:东北师范大学出版社,2006.197-212.[6]戴再平.小学数学开放题集[M].上海教育出版社,1999.(完整的)[7]数学课程标准解读[M].北京师范大学出版社,2002.69-108，181-189.[8]美国中小学数学课程标准6：（[EB／OL].2005-04）[9]孙联荣.小学数学问题解决策略的研究[J].上海教育科研，2000(10):51-53[10]陈凤伟.基于“问题解决”的学习培养学生的数学素质[EB／OL].,2005-01专家推荐理由专家签字：单位推荐意见学位评定委员会分会主席（签章）：单位公章年月日说明：学科专业方向包括教育管理、教育技术、小学教育和学科教学，其中学科教学要说明具体方向，如学科教学（数学）。本表可复印、附页。

学校代码：10200研究生学号：1018303269分类号：G427密级：无硕士学位论文小学数学问题解决策略的研究Thestrategyandresearchofsolvingmathsproblemduringprimaryperiod

作者：程明喜指导教师：马云鹏教授学科专业：教育硕士研究方向：教育管理学位类型：教育硕士东北师范大学学位评定委员会2006年11月独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。学位论文作者签名：日期：学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。（保密的学位论文在解密后适用本授权书）学位论文作者签名：指导教师签名：日期：日期：学位论文作者毕业后去向：工作单位：电话：通讯地址：邮编：中文摘要“问题解决”是近年来国际上提出的数学教育的研究热点，是国内外数学教育发展的趋势。随着第八次课程改革的进行，尤其是《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》实施以来，培养学生在情境中提出问题、分析问题、解决问题的能力越来越引起广大数学教师的重视，探究并培养学生形成多种问题解决的策略也成为当下研究的关注点。本研究的目的是对数学问题解决的教学实践进行总结与提炼，对当前关于小学数学问题解决策略的众多说法进行梳理。研究采用文献法、案例分析法和行动研究法。在文献研究的基础上，通过研究者执教、深入课堂听课、分析学生的作业等研究活动，对小学生数学问题解决策略应用现状进行全面的分析，并对小学生问题解决的基本策略进行了整理。在此基础上，本文结合教学案例，提出了相应的促进小学生数学问题解决策略形成的教学对策。以期改善学生的数学学习方式、思维方式、以及问题解决的策略，进而提高学生的数学素养。本文分六部分：第一部分主要阐述了小学数学问题解决策略研究的背景、研究的目的和方法，并在理论与实践分析的基础上，探究本课题研究的意义。第二部分主要对问题解决策略及相关概念作了界定，在对国内外资料进行分析的基础上，结合研究的实践，揭示了问题解决策略的类型。第三部分主要对《标准》中关于解决问题的目标要求作了阐述和分析。以明确进行问题解决教学中不同学段的要求，更好地指导教学，以达到培养学生问题解决策略，提高问题解决能力的目的。第四部分主要从教师、学生以及课程与教学等几方面分析了影响学生问题解决策略形成的因素。第五部分主要从外显与内隐两个维度整理与揭示学生进行数学问题解决的一般策略与思维策略。第六部分在总结以往数学教学对于培养学生问题解决策略方面的宝贵经验的基础上，从策略指导的关注点、策略指导的方法、策略指导应该注意的问题三个方面，阐述了促进小学生问题解决策略形成的教学指导策略。关键词：小学数学；问题解决；策略

Abstract“Theproblemsolving”ismathematicseducationresearchhotspotwhichtherecentyearsoninternationalproposed,isthedomesticandforeignmathematicseducationdevelopmenttendency.Marchreformswhichalongwiththeeighthcurriculum,"theFull-timeCompulsoryeducationMathematicsCurriculumStandard(ExperimentalManuscript)"hasimplementedsinceinparticular,trainsthestudentinthesituation,proposedthequestion,theanalysisquestion,solvethequestionabilitymoreandmoretobringtothegeneralmathematicsteacher'sattention,inquiredintoandtrainsthestudenttoformtheattentionspotwhichmanykindsofproblemsolvingthestrategybecomesstudiesimmediately.Thisresearchgoaliscarriesonthesummaryandtherefinementtomathematicsproblemsolvingpractice,tocurrentcarriesonabouttheelementaryschoolmathematicsquestionsolutionstrategymultitudinousviewscombs.Theresearchusestheliteraturelawandthemethodofinspection.Intheliteratureresearchandintheinvestigationfoundation,teachers,thethoroughclassroomthroughtheresearcherattendsalecture,analyzesstudent'sresearchandsoonwork,carriesonthecomprehensiveanalysistotheelementarystudentmathematicsproblemsolvingstrategyapplicationpresentsituation,andhascarriedonthereorganizationtotheelementarystudentproblemsolvingbasicstrategy.Inthisfoundation,thisarticleunifiestheteachingcase,proposedthecorrespondingpromotionelementarystudentmathematicsproblemsolvingstrategyformsteachingcountermeasure.Improvesstudent'smathstudyway,thethinkingmodebythetime,aswellastheproblemsolvingstrategy,andthenenhancesstudent'smathematicsaccomplishment.Thisarticleisdividedsixparts:Thefirstpartmainlyelaboratedtheelementaryschoolmathproblemsolvingstrategyresearchbackground,theresearchgoalandthemethod,andinthetheoryandinthepracticeanalysisfoundation,inquiresintothistopicresearchthesignificance.Thesecondpartmainlyhasmadethelimitstotheproblemsolvingstrategyandthecorrelationconcept,incarriesontheanalysistothedomesticandforeignmaterialsinthefoundation,theunionresearchpractice,haspromulgatedtheproblemsolvingstrategytype.Thethirdpartmainlyaboutsolvedthequestiongoalrequestto"Standard"tomaketheelaborationandtheanalysis.Carriesoninexplicitlytheproblemsolvingteachingnotschoolmatethesectionrequestinstructstheteachingwell,achievedraisesthestudentquestionsolutionstrategy,sharpenstheproblemsolvingabilitythegoal.Thefourthpartmainlyfromtheteacher,thestudentaswellasthecurriculumandtheteachingandsoonseveralaspectsanalyzedhasaffectedthefactorwhichthestudentproblemsolvingstrategyformedThefifthpartmainlyfromapparentreorganizesandpromulgatesthestudenttocarryonmathematicsproblemsolvingwithinhiddentwodimensionsthegeneralstrategyandthethoughtstrategy.Thesixthpartregardingraisesthestudentproblemsolvingstrategyaspectinthesummaryformermathematicsteachinginthevaluableexperiencefoundation,fromthestrategyinstructionattentionspot,thestrategyinstructionmethod,thestrategyinstructionshouldpayattentiontothequestionthreeaspects,elaboratedpromotesteachinginstructionstrategywhichtheelementarystudentproblemsolvingstrategyforms.Keyword:Elementaryschoolmath;problemsolving;Strategy

目录中文摘要……………………Ⅰ英文摘要……………………Ⅱ目录……………………Ⅳ一、问题的提出与研究方法……………1二、问题解决策略的研究综述……………31．概念的界定………………………42．问题解决策略的类型……………53．问题解决策略教学与培养………5三、小学数学解决问题的目标及分析……………………6四、影响小学生数学问题解决策略形成的因素…………8（一）来自教师的影响………………8（二）来自学生自身的限制…………10（三）来自课程与教学的影响………11五、小学生数学问题解决的一般策略与思维策略………12（一）一般策略………………………12（二）思维策略………………………17六、促进小学生数学问题解决策略形成的教学指导策略………………21（一）策略指导的关注点……………21（二）策略指导的方法…………………22（三）策略指导注意的问题……………23结束语……………………28参考文献……………………29后记……………………31一、问题的提出与研究方法（一）问题的提出随着社会的飞速发展以及由此引发的社会对人才需求的提高，培养学生创新意识和创新能力成为社会发展和教育发展的大趋势。教育改革，特别是数学教育改革越来越重视培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力。“问题解决”成为数学教育研究的一个重要领域，越来越被数学界普遍关注，并广泛研究,以此来发展学生的创造性思维，提高综合学习能力，增强应用数学的意识等。而数学的问题解决是以数学问题为对象的，在新一轮数学课程改革中，提倡解决问题策略的多样化，尤为广大教师所关注。1．问题解决是数学教育的核心内容之一问题解决是数学的核心问题，能够应用所学的数学知识技能、多种策略解决现实生活中以及学科学习中的问题是数学教育的重要目标之一。以往的小学数学教学将应用题作为培养学生解决问题能力的重要载体甚至是唯一途径。实际上，数学学习的过程本身就应该成为问题解决的过程。《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）不再将应用题作为一个独立的学习领域，而将问题解决贯穿于各个学习领域，从而加强了问题解决的教学。2．强调问题解决是数学课程改革的趋势之一1980年4月,以美国数学教师全国联合会(NCTM)的名义，公布了一份名曰《行动纲领-80年代数学教育的议程》的文件，首次提出：“问题解决(problemsolving)是80年代中学数学的核心”（第一条），“数学教师应当创造一种使问题得以蓬勃发展的课堂环境”。在1980年8月的第四届国际数学会议上，美国数学教师协会提出了80年代中学数学教育行动计划的八点建议，指出80年代中学数学教育改革焦点是培养学生问题解决的能力，这种力量是衡量个人和国家数学水平的标志。到1988年召开的第六届国际数学教育会议上，则将问题解决列为大会的七个主要研究课题之一。目前，美国把问题解决作为一切数学活动的组成部分和数学课程的核心可见美国中小学数学课程标准6：问题解决[EB／OL].2005-04.；英国把问题解决当作一种教学模式和教学的指导思想；日本、新加坡也把问题解决纳入教学大纲新加坡新修订的小学数学教学大纲突出强调问题解决。数学问题解决包括将数学应用于解决实际工作中的问题、真正的生活中的问题以及数学问题本身。；这样，在美国和国际数学教育会议的推动下，问题解决受到了世界各国数学界普遍重视，不仅成为国际数学教育界研究的重要课题，而且成为了国际数学教育发展的潮流，这种潮流冲击着我国传统的数学教育思想，并对我国基础教育数学课程改革有着直接的影响。我国以往的数学教学大纲就提到了数学科具有应用的广泛性特点。并在教学目的中提出：“使学生具有进行……的能力，培养初步的思维能力和空间观念，能够探索和解决简单的实际问题。”可另见《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用修订版）》，中华人民共和国教育部制订，北京：人民教育出版社，2000年版，第1～2页。并在教学要求中提出：“培养学生观察和认识周围事物间的数量关系和形体特征的兴趣和意识，使学生感受数学与现实生活的密切联系，通过观察、操作、猜测等方式，培养学生的探索意识，使学生初步学会运用所学的数学知识和方法解决一些简单的实际问题”。进一步说明了学生进行问题解决过程中数学的策略方法与数学知识的重要性。我国在2001年出台的《标准》中，已经将解决问题与数学思考列为课程三维一体目标可见美国中小学数学课程标准6：问题解决[EB／OL].2005-04.新加坡新修订的小学数学教学大纲突出强调问题解决。数学问题解决包括将数学应用于解决实际工作中的问题、真正的生活中的问题以及数学问题本身。可另见《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用修订版）》，中华人民共和国教育部制订，北京：人民教育出版社，2000年版，第1～2页。可另见《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中华人民共和国教育部制订，北京：北京师范大学出版社，2001年版，第6～7页。3．加强问题解决策略的培养是提高学生解决问题能力的需要（1）反思我国传统的数学教育，不难发现：“看重基础，强调熟练，要求严谨”已成为世界公认的中国数学教学特色。习惯通过“精讲多练”以及知识的梳理和结构掌握，达到巩固双基的目的，已成为数学教学的经典模式。中小学生学习勤奋，基本功扎实，基础知识和基本技能熟练成为世界公认的成绩。但是，随着时代的发展和实施素质教育的要求，目前中小学数学教育中也确实存在着一些亟待解决的问题。主要是学习过程中，涉及到实际情景的问题，学生的动手操作能力、理解和解决问题的能力、创新能力、克服困难独立探究、合作交流的能力以及解决问题的信心等方面显得是不尽人意的。（2）随着建国以来第八次课程改革的全面进行，《标准》对课程内容的选择及呈现进行了多方面的改革：第一，提倡有教育价值的数学，学生的数学学习内容应当是现实的、有趣的和富有挑战性的；第二，《标准》提倡以“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的基本模式呈现知识内容，让学生经历“数学化”与“再创造”的过程，形成自己对数学概念的理解；第三，提倡在关注获得知识结果的同时，关注知识的获得过程；第四，内容的设计应具有一定的弹性。（3）课程改革后的数学教学，内容多以“问题情境”为主要呈现方式出现，教学过程主要是以问题解决的方式进行，学生的数学学习过程也更多地成为“问题解决”的过程。这为我们解决数学教学中长期存在的上述问题提供了可能。但我们应该清楚地认识到，内容本身的改变不能自觉转化成学生解决问题等能力的提高，其中很重要的是，教师能否在教学过程中，让学生真正参与到问题解决的过程中来，不断学习并积累问题解决的策略，综合运用所学的知识、已有的经验和问题解决策略，解决问题；能否使培养学生问题解决的多种策略成为教学的关注点，能否使问题解决的策略成为学生的数学学习的细节技能。从而使学生的搜集信息和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力、合作与交流的能力等得到培养。为此，本研究关注的是小学生问题解决式学习中的问题解决策略的培养。（二）研究方法本研究以信息加工理论与建构主义的整合为理论基础，认为小学生数学问题解决的过程既是信息加工的过程，又是一个在他人帮助下，进行主动的意义建构的过程。是一个发现问题、提出问题、分析问题、解决问题、反思问题并形成问题解决经验的过程。在这一过程中，学生不仅获得了知识，同时也丰富了问题解决的策略，而各种问题解决策略的丰富，又必将提升学生的解决问题的能力、提高其数学素养。因此，研究主要采用的方法是：1．文献法2．案例分析法3．行动研究法试图通过文献的检索与资料分析了解当前关于问题解决策略研究的动态，通过课堂教学实践，借助对学生问题解决过程的行为观察及具体的教学案例的分析，了解学生问题解决策略的水平，整理并归纳出问题解决的多种策略，并提出相应的教学指导策略。研究Ⅰ：对有关问题解决的大量文献进行分析。阅读了有关的学术专著、学术期刊、博士和硕士论文，并查阅了大量的电子文献，把握当前问题解决研究的趋向和问题解决策略研究的成果，并对查阅的资料进行了分类整理，包括相关概念的不同界说，问题解决策略的构成以及小学生数学问题解决的有关要求等，从而找准研究的切入点。研究Ⅱ：以小学二、三、四、五年级172名学生为被试，主要收集他们在学习教材中“解决问题”部分的作业资料和课堂学习中的解题方法与策略，同时，兼顾数与代数、空间与图形以及统计与概率三个领域的学习情况。本研究主要采取进入课堂听课、与教师与学生交谈、查看教师教学后记和学生作业的方法进行。本研究累计听课85节。研究Ⅲ：以小学六年二班（研究者执教的班级）53名学生为被试，主要是有意识地指导学生进行问题解决式的数学学习，培养学生策略意识。主要观察学生问题解决水平，总结学生多种问题解决策略，并与第一学段（一、二、三年级）及六年级其他班级进行对比，分析学生问题解决策略的差异。本研究采取的方式是研究者本人进行授课。两个学期累计授课228节。笔者在研究期间，先后任长春市树勋小学五、六年级数学教师和四年级的数学课外活动课教师，同时，作为学校的教务处主任可经常深入班级听课，为研究创造了便利条件。期间，受吉林省教育学院继续教育办公室的指派，曾多次向全省数学骨干教师、农村教师进行关于“问题解决”的讲座，与广大小学数学教师广泛交流。基于对国内外关于问题解决研究及实践现状的分析，提出了小学数学问题解决策略的研究这一问题。主要探索分析学生和教师问题解决的策略构成、影响学生问题解决策略形成的因素以及促成学生问题解决策略形成的教学指导策略。二、问题解决策略的研究综述1．概念的界定问题：美籍匈牙利著名数学教育家波利亚(G.Polya)在《数学的发现》一书中曾给出“问题”明确含义，并从数学角度对问题作了说明。他指出，所谓“问题”就是意味着要去寻找适当的行动，以达到一个可见而不立即可及的目标。《牛顿大词典》对“问题”的解释是：指那些并非可以立即求解或较困难的问题(question)，那种需要探索、思考和讨论的问题，那种需要积极思维活动的问题。在1988年的第六屇国际数学教育大会上，“问题解决、模型化及应用”课题组提交的课题报告中，对“问题”给出了更为明确而富有启发意义的界定，指出一个问题是对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的待解问题情境。该课题组主席奈斯(M.Niss)还进一步把“数学问题解决”中的“问题”具体分为两类：一类是非常规的数学问题；（开放性问题，结构不良问题，现实情境问题。）另一类是数学应用问题。这种界定现已经逐渐为人们所接受。

我国的张奠宙、刘鸿坤教授在他们的《数学教育学》里的“数学教育中的问题解决”中，对什么是问题及问题与习题的区别作了很好的探讨，根据他们的思想观点，我们可对“问题”作以下几个方面的理解和认识。转引香港中文大学的一篇文章《数学中的问题解决》。问题是一种情境状态。在这一状态下，不能仅仅应用某种典范的解法去解答，一个问题一旦可以使使用以前的算法轻易地解答出来，那么它就不是一个问题了。

问题解决中的“问题”，并不包括常规数学问题，而是指非常规数学问题和数学的应用问题。这里的常规数学问题，就是指课本中既已唯一确定的方法或可以遵循的一般规则、原理，而解法程序和每一步骤也都是完全确定的数学问题。

问题是相对的。问题因人因时而宜，对于一个人可能是问题，而对于另一个人只不过是习题或练习，而对于第三个人，却可能是所然无味了。另一方面，随着人们的数学知识的增长、能力的提高，原先是问题的东西，现在却可能变成常规的问题，或者说已经构不成问题了。例如，涉及到计算一个长方体容器的容积的问题，对低年级的大部分同学可能是问题，但对高年段的学生来说可能就不是问题。问题解决：问题解决是当今数学教育中的一个研究领域。也是心理学研究领域一个老课题，不同流派持有不同的观点。行为主义派别认为问题解决一个试误的过程，而格式塔学派强调的是顿悟式解决问题。而奥苏伯尔和鲁滨逊则提出了如下的问题解决模式，把问题解决分为四个阶段：呈现问题情境命题——明确问题目标与已知条件——填补空隙过程——解答之后的检验。综合以上国内外专家学者对问题的界定及问题解决的不同界说，可以对问题解决表述如下：问题解决是一个教学活动，它也是学生的一个数学学习过程。它以问题为中心。以学生已有知识和经验为基础，在活动中教师引导学生自主地发现问题，分析问题和解决问题，获得活动经验，增强对数学的理解，提高应用意识和解决问题能力。问题解决作为一种学习活动，与《标准》中所提出的解决问题是相一致的，解决问题更加具体，而问题解决同时也是国际上数学教育的一个研究领域。问题解决策略，国内外对问题解决策略进行概念界定的并不多见。但可以肯定的是，要教会学生学会学习，需要让学生掌握并自觉运用学习策略；同样，要让学生学会解决问题，就需要学生掌握并自觉运用问题解决的策略。目前，对学习策略的理解，仁者见仁，智者见智。主要有如下几种观点：可另见刘电芝：《小学数学学与教的策略》，西南师范大学出版社，2001年8月出版，第2页。（1）把学习策略看作是内隐的学习规则系统（Duffy,1982年）；（2）把学习策略视为具体的学习方法和技能（Mayer,1988年）；（3）主张学习策略就是学习的程序和步骤（Rigney,1978年）；（4）主张学习策略就是学生的学习过程（Nisbet,1986年）。此外，也有人认为学习策略就是学习者“为了完成学习目标而制订的复杂的计划”。问题解决策略对于学习策略而言更为狭义具体，问题解决策略所针对的对象主要针对问题，而本研究所指的问题解决策略则主要是小学数学领域的问题解决。借鉴国内外对学习策略的界定，对问题解决策略做如下表述：问题解决策略指的是在解决问题的过程，所采取的总体思路，它所强调的是创造能力和应用意识。在数学教学领域，它既是数学教学的目的，又是数学教学的方法与手段。它是数学思想、方法在解决问题时思维决策的选择。如：解决“在一张纸上任意画15条直线，这些直线最多有多少个交点”可另见刘电芝：《小学数学学与教的策略》，西南师范大学出版社，2001年8月出版，第2页。2．问题解决策略的类型通过对大量文献资料的分析，目前对于问题解决策略要素构成与分类主要有以下两个方面：第一，根据各策略所起作用的差异，分为基础策略和支持策略。第二，根据策略构成的成分，分为情感策略、认知策略、元认知策略和资源管理策略。可另见瑞安市教育局教研室《小学数学策略学习研究》，可另见瑞安市教育局教研室《小学数学策略学习研究》，根据研究和整理，本研究把问题解决的策略分三个层面：综合策略、一般策略、思维策略。此处仅是列举了小学数学问题解决的几个层面的策略，并非严格意义的分类。在本文第五部分对问题解决的一般策略与思维策略有专门的论述。综合策略指的是指导问题解决全过程的思考策略。波利亚怎样解题的四个步骤是综合策略中具有代表性的一种，即问题理解——制订计划——计划实施——结果的反馈。在面对一个问题情境时，表现为：问题是什么——在什么范畴内——涉及到哪方面的知识？有没有解决此类问题的经验？现在水平能否解决？在情境中，提供了哪些信息？——用什么策略解决？——实施计划——交流与反思。应该说，综合策略是学生面对一个新的问题情境时，在审视、分析、明确问题的同时，调用已有的活动经验，做出初步的问题解决的方案，并按预想进行实施等一整套的策略。相对一般策略与思维策略来说，更具有综合意义。关于一般策略和思维策略在第五部分专门阐述。3．问题解决策略教学与培养随着国内外对数学问题解决的实践和研究不断深入，对学生进行问题解决策略的教学越来越引起广泛的关注。以新加坡数学教学为例，在课程处理上，除了将问题解决思想融入教材编制中，体现在教材中之外，还另编成册，单独编制训练问题解决的问题集，其中的问题都是基于现行小学数学教学大纲的，以活动形式给出，同时非常强调较高级的基础课题，强调问题解决活动过程。每一项活动前都先指明本活动所用的问题解决策略。在我国，随着第八次课程改革尤其是是《标准》的实施，在数学教学中培养学生形成多种问题解决的策略已成为数学教学的一种要求。广大教师在教学中也总结出了多种问题解决的策略及相应的教学策略。如正确定位问题解决的目标，把握好难易尺度；调整教学要求和进度，为体验创造条件；教师宏观指导，为学生自主解决问题留有时间与空间等等。三、小学数学解决问题的目标及分析《标准》明确了义务教育阶段数学课程的总目标，并从知识与技能、数学思考、解决问题、情感态度等四个方面作出了进一步的阐述。其中，数学思考与解决问题属于过程性目标。数学思考指的是抽象思维、形象思维、空间观念、统计观念、合情推理及初步的演绎推理等方面的发展；解决问题，指学生从数学的角度提出、分析、理解、解决问题的意识和能力，以及交流和评价反思等方面的发展。这两个具体的过程性目标与知识与技能、情感与态度构成了三位一体目标的四个具体方面，这四个方面是一个密切联系的有机整体，对人的发展有十分重要的作用，它们是在丰富多彩的数学活动中实现的。其中，数学思考、解决问题、情感态度的发展离不开知识与技能的学习，同时，知识与技能的学习必须以有利于其他目标的实现为前提。《标准》在“总体目标”中就指出了要让学生“形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神。”（一）解决问题的总体目标引自《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中华人民共和国教育部制订，北京：北京师范大学出版社，2001年版，第7页。解决问题的总体目标是“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题。”具体要求包括：1．逐步学会从数学的角度提出问题、理解问题并能综合运用所学知识和技能解决问题；2．形成解决问题的基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神；3．学会与人合作，能与他人交流思维的过程和结果，逐步形成评价与反思的意识。当我们认真审视“解决问题”这一目标时，不难发现，他以知识与技能为基础，以数学思考为核心，以情感态度作为调节。其他目标可以通过“解决问题”这一活动来达成。对解决问题目标的理解，可以分为以下四个方面：第一，问题解决是一系列的学习活动，并非单一的解决问题的过程。具体说，目标要求首先要让学生面对和尝试不同的现象，在不同的情境中“从数学的角度提出问题”。能够识别存在于数学现象或日常的、非数学的现象与问题中的数学问题或数量关系，并把他们提出来。然后，才是解决问题。以往学生较为习惯直接面对一个确定的问题，思考解题方法，提出问题是教师或教材的职责。而此目标把“你发现了什么”这一过程还给了学生，成为学生问题解决过程的第一步。第二，在问题解决的过程中，倡导运用数学的眼光、数学的知识技能、数学的思想方法，但更强调知识的综合运用，包括学科内部以及学科间知识的整合。教学要培养全面发展的人，就要在突出学科育人功能的同时，走出学科本位。实际上，在现实生活中，包括数学学科内部以及其他学科学习过程中，学生所遇到的问题，往往需要综合多方面的学科知识与方法才能解决。这一目标为问题解决开扩了视野与思路。第三，强调策略在问题解决过程中的作用，倡导问题解决策略的个性化体验与积累。对于学生发展而言，问题解决的真正意义不只是获得具体的结论，很重要的一个方面在于体验问题解决过程中策略的多样化。在多样化的鼓励下，形成思维的个性化。这也是创新思维培养的重要途径。第四，强调问题解决过程的个体性与全体性的结合，强调问题解决对于发展学生思维品质的重要教育价值。教学的本质是师生交往，积极互动，共同发展的过程，数学问题解决的过程又是一个思考的过程。所以，在教学中，我们应该倡导自主探究下的合作交流，倡导学生不同思维成果的碰撞与共生。（二）学段目标引自《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中华人民共和国教育部制订，北京：北京师范大学出版社，2001年版，第8引自《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中华人民共和国教育部制订，北京：北京师范大学出版社，2001年版，第8～10页。在总体目标的基础上，针对不同学段学习内容和学生的年龄特点，提出了学段解决问题的目标考查要求：1．第一学段要考查：（1）学生能否在教师的指导下，从日常生活中发现并提出简单的问题；（2）能否选择适当的方法解决问题；（3）是否愿意与同伴合作解决问题；（4）能否表达解决问题的大致过程和结果；2．第二学段要考查：（1）能否从现实生活中发现和提出数学问题；（2）能否探索解决问题的有效方法，并试图寻找其他方法；（3）能否与他人合作；（4）能否表达解决问题的过程，并尝试解释所得的结果；（5）是否具有回顾与分析解决问题过程的意识对比分析两个学段的解决问题目标要求，可以形成以下四点认识：第一，不同学段的学生，应有不同水平的要求，但区别不是很大。其中，两个学段都要求从熟悉的日常生活中“看到”一些数学现象，并提出一些问题。第一学段，在提出问题上，教师教或者指导的程度要大一些；第二，在解决问题策略上，第一学段要求学生能够应用已有的问题解决策略，体验到同一个问题可以有不同解决方法即可，而第二学段则需要综合运用多种策略或根据问题情境的差异，探索新的策略方法。第三，在合作交流思维成果方面，第一学段主要体会合作交流对于解决问题的重要作用，愿意与人交流；而第二学段则需要学生形成表达自己对问题的理解、解决问题的思路的技能，更有效地理解他人对问题的思考与解决方法，在比较中学会评价，从而形成自己的策略。发展学生的思维能力，特别是创造性思维能力，是数学教学，尤其是问题解决的优势功能。思维能力主要集中表现为解决问题的能力。提高学生解决问题的能力是数学教学的一个重要目标，对学生进行问题解决策略的传授和训练，是提高学生问题解决能力的重要途径和手段，也是实现各学段目标的一个具体的内容和有效途径。四、影响小学生数学问题解决策略形成的因素对于小学来说，其问题解决策略形成不仅受自身的影响与限制，教师以及来自课程与教学等外部的影响，同样也不容忽视。在多年数学教学实践中，尤其是进行问题解决策略的研究过程中，通过大量案例的分析，认为以下几方面对学生问题解决策略的形成有着重要的影响。（一）来自教师的影响在小学生学习过程中，教师作为一个组织者、引导者与合作者的角色，始终为学生创设学习情境，组织各种学习活动，对学生的学习过程与结果进行评价等等。虽然今天的教师不再是知识的唯一拥有者，不再是信息的唯一来源，不再是评判学生学习成果对与错的法官，但教师个人的数学素养、教学技能等对学生的影响作用还是非常大的。通过听课以及对学生课堂学习状况的观察包括对学生作业的分析。可以得出以下三方面认识，说明教师对学生问题解决策略形成的影响。笔者曾在2000年于浙江教育学院参加全国小学数学教师国家级骨干培训，期间与来自七个省市地区的教师做过较为深入的交流，同时，在吉林省范围内多次在讲座中与省内骨干教师及长春市包括长春市地区外五县、大安市、扶余县等地的教师做过关于问题解决的探讨。1．对问题解决缺乏认识。受传统教学观念、方式的影响，相当一部分教师在数学教学中，关注的更多是书本上的知识点，教学的任务就是帮助学生把书本上的知识装进学生的口袋，装进学生的脑袋。他们的教学效益观就是：在有限的时间内，教给学生更多的知识。由于对问题解决缺乏认识，所以，在教学内容的选择与开发上，在教学活动的组织与实施上，在对学生学习活动的评价上，都没有将学生的解决问题的活动、活动中的体验与反思作为关注点。显然，学生的学习更多的是间接知识的获得，而非问题解决式的学习活动的经历。2．问题解决实施的片面化在《标准》中，针对不同学段，提出了解决问题的目标要求，而且在教材中设置了解决问题和数学广角模块。很多教师认为，在教学中，只有到了这两个模块的内容时，才组织学生进行问题解决式的学习。没有将问题解决作为一种学习活动或学习方式应用到数与代数、空间与图形、统计与概率三个领域的学习中。这对于学生形成良好的数学学习方式是不利的。另外，很多教师认为，问题解决就是让学生用多种策略解决问题。教师往往把问题呈现给学生，学生所要做的就是探究多种解决问题的策略。这种“去两头、抓中段”的做法，忽视了学生问题的提出，忽视了学生对问题解决过程、方法的回顾与反思，不利于培养学生提出问题的意识的培养，更不利于学生积累问题解决的多种策略。3．教师自身缺乏问题解决的策略意识在数学教师中流行过这样的一句话：数学教学，讲招不讲理。的确，在长期的讲练结合，熟能生巧教学方式和思想的指导下，教学成果的获得唯一的途径就是题海战术。教师在教学中，往往就是就题讲题，尤其注重典型应用题的传授，对于智力水平一般的学生，就告诉学生记住算法就可以了。例如下面这个问题：一个长方形镜框，长是70厘米，比宽多，镶这个镜框大约要多少平方厘米的玻璃？在教师长期的训练下，学生形成了记忆。从题中语言叙述的方式来看，比宽多，求宽。一定用除法。因为老师讲过：比谁求谁用除法。同时，还说了，见多就加，见少就减。于是学生在求宽时很快列出算式：70÷（1+）=49（厘米），70×49=3430（平方厘米）。从学生的学习过程来看，由于只是机械的记忆，所以，虽然很快地获得了答案，但这样的学习过程，对数学的理解、对自身思维的发展、解决问题能力的提高，作用是非常有限的。再如：数线段可参见《义务教育课程标准实验教科书数学第九册》，可参见《义务教育课程标准实验教科书数学第九册》，北京师范大学出版社，第70页。缺少找规律的任务感，所以，只是被动地按老师的要求去发现规律。如果，教学时，直接给出含有6个点的线段，问一共有几条线段，并让学生想办法来解决，那学生的学习是主动的，具有挑战性的。如果，只是看书填数，那么，当学生遇到这样的问题：在一张薄饼上面切10刀（不可摞起来切），最多可以得到多少块饼？这时，学生往往想不到找规律的方法，相当一部分学生可能就是在圆上画来画去，而不得求解。这种现象的产生，与教师自身缺少策略意识是不无关系的。（二）来自学生自身的限制学生问题解决策略是否形成，最终要由学生内因起主要作用。由于学生知识基础、问题解决经验和生活经验的差异，使学生面对同一个问题时，表现出思维水平和解决策略的差异。这种差异的直接表现就是问题解决的策略优与劣、多与少、快与慢，进而影响到策略的内化与灵活运用。通过对学生作业的分析及课堂学习过程的观察。将影响学生问题解决策略形成的主要因素归结为以下两方面：1．知识基础与经验的影响通过对数学学习过程中学困生的分析，发现其学习数学中的困难主要表现为两个方面：一方面是对于基本的数学概念和运算不能熟练掌握，另一方面是不能将这些概念和运算正确地应用到问题情境中去。有研究发现，超过75%的数学学困生在计算简单的利息、测量以及稍复杂的情境类题目时有严重困难。这些学生不能合理地运用数学的基础知识和基本技能解决问题，不能很好地将生活中的经验与数学的学习建立有机的联系。如城市中的孩子往往分不清方向，在学习方向与位置时，容易出现错误。如让学生解决粮囤中粮食的重量问题，有农村生活经验的和没有农村生活经验的学生，显然的问题解决的策略上会存在差异。显而易见，知识基础和经验是学生问题解决的基础，是影响学生问题解决策略形成的重要因素。2．定势的影响问题解决的定势是指学生习惯用过去解决问题的策略和套路来解决当前的相似问题。这时会出现两种可能的结果：如果当前的问题和以前的问题外表不同而本质相同即异形同型，那么解决定势能促进问题解决者快速、正确的解决问题。反之，如果二者是外形相似而本质相异（即同形异型）的，那么过去经验形成的这种模式对于当前的问题解决是不适当的。例如，有这样一道九个点的问题，要求学生用铅笔在不离开纸面情况下最多画四条直线穿过这九个点。如果学生把搜索空间局限于九个点所围成的范围内，并认为这些直线都交于这九点中的一个点，那么这种思维定势很难使问题获得解决。实际上，这个问题正确的思路应该是突破这个九个点的边界，把直线延伸到这些点的范围之外，且直线可以两两相交而不必要求同时相交于一点。突破传统的思维定势，重新觅得问题解决的途径，最后使问题得以解决。定势，往往是某种问题解决策略的熟练化、自动化，某种策略定势的形成，往往抑制其他策略的尝试与积累，所以说，定势是影响学生策略形成的一个重要因素。（三）来自课程与教学方面的影响1．问题缺少挑战性数学的学习过程是一个问题的解决过程，很难想象，如果一个学生整天面对的是大量机械的计算，每天套用公式、法则、固定算法解答那些条件充分、解法单一、结论固定的数学题，学生的问题解决策略会得到培养，学生的问题解决能力会得到发展。因此，《标准》中提，“要选择现实的、有意义的、富有挑战性的问题……”而现实的数学教材，首先要考虑基础性、普及性，然后才是发展性。作为重要的数学知识载体和学生数学学习的重要媒介，教材有了很大的改变。但旨在传递大众数学的意愿，是面对大众的数学。虽然让学生接触更多的富有挑战性的问题与教材并无矛盾，但教材中提供的“问题”在某种程度上满足不了学生的学习需要，很难刺激学生的挑战欲望。而教师如果照本宣科，而不去开发有价值的教学资源，那么，学生所面对的大部分是缺少挑战性的问题。由于这些“问题”自身结构良好，留给学生的思考空间有限，所以，不利于学生多种问题解决策略的产生。2．教学重结论轻过程对于问题解决而言，过程表征学生的探究过程和探究方法，结论表征的是学生对问题的探究结果。两者是相互作用、相互依存、相互转化的关系。学生有什么样的探过程和探究方法（问题解决的策略）就相应的会得出什么样的探究结论或结果。问题的解决往往需要特定的策略方法，需要一个复杂的过程。受长期形成的教学思想的影响，很多教师在教学中，更加关注的是结果。具体教学中的表现是：第一，给学生的探究时间不足。很多课堂，教学追求所谓的有限时间内的教学效益最大化，而实际上是剥夺了学生自主探究与发现的过程，剥夺了学生应有的学习体验过程。这对于学生解决问题，尤其是形成个性化的问题解决策略是极为不利的。本研究曾针对十节数学教学作过提问后留给学生思考时间的统计，其中提问的频次平均在四十次左右，而留给学生思考时间在五秒以内的占80%，而学生探究与操作的时间，一般都不超过三分钟。长期下去，课堂成为教师和几个尖子生的主宰。当学生面对一个问题时，很多学生选择的是放弃或消极等待，因为在一次次失败后，相当一批学生认为：老师不会给我们太多时间的，这么短的时间我是做不出来的，还是等着别人做完，我记住就可以了。第二，教学评价单一，缺少指导性评价与鼓励求异创新的评价。教师要培养学生问题解决的能力，使学生有问题意识、有一定的策略积累、有挑战困难的精神，就需要关注学生的学习过程，尤其要赞赏学生独特性和富有个性化的理解和表达。以此积极引导学生从事实践活动和实验活动，使学生乐于动手、勤于实践的意识和习惯得以养成，使学生面对问题时，不再只是单一的纸笔，单一的计算，单一的套用某种解法，而是自觉地运用多种方式方法，这将积极促进学生问题解决策略的形成。可喜的是，在第八次课程改革实施以来，在数学教学中，我们看到了教师开始关注对学生学习的评价。但看到的多是鼓励性评价，缺少建设性的、建议性的评价。如果说鼓励性评价可以激发学生继续学习的愿望，那么后者就是对学生问题解决策略方法的一种价值引导。在听课过程中，当教师看到某种独特的方法时，很多教师采用的是全班同学鼓掌、或教师语言赞赏的方式。而要促进学生间个性化学习成果的进一步交流与共享，除了鼓励性评价外。应该多一些这样的谈话：他的方法好在哪里？你是用什么方法来解决这个问题的？你们两个人的方法有什么不同？3．教学中忽视学习反思学习反思是学习者对自己的学习过程和结果的反向思考，传统教学正是因为忽视了学生的自我反思作用而使教学效率低下。有人从时间维度上将学习反思分为三种类型：学习活动中的反思、学习活动后的反思和为开展学习活动的反思。学习活动中的反思是学生在学习活动过程中进行的自我监控和即时反馈，利用知识、方法、思路、策略等解决问题；学习活动后的反思又称对于学习的反思，即学生在学习活动完成之后对自己的行动、想法、做法和结果等的反思；为开展学习活动的反思以前两种反思为基础而形成的对即将进行的学习活动的一种预知。由此可知：学习反思不光寻找学习问题与答案，更为了积累并形成问题解决的多种策略，同时，也为了灵活运用所学的知识和形成的技能、策略解决所面临的新的问题。在对课堂教学进行分析时发现，教师比较重视设疑引思，对学生问题解决提供支持，促进学生对解决问题的方式方法的反思与调整。但相当一部分教师对学生学习后活动的反思认识不够，造成操作上的偏失。有的教师一节课结束前的最后阶段，没有总结与反思，只是布置作业；有的教师注意了对本节课学习的总结，但指向的是本节课所传授的知识点。如“通过本节课的学习，你都掌握了哪些知识？”“这些知识你们都学会了吗？”在这种指向下，学生对学习的反思往往就停留在知识本身、结论本身，他们对教师提出的问题，回答就是照搬黑板上的知识框架，复述书中的概念、法则与公式。长此下去，学生不再关注学习过程，不再关注问题解决的多种策略，不再积累各种活动的经验，学生只能学到死知识，而学不到策略方法，问题解决的能力培养更无从谈起。五、小学生数学问题解决的一般策略与思维策略本研究查找了大量的资料，对策略进行分类的多见于学习策略分类，其中分类的标准很杂，多见于心理学研究领域的分类。就数学的学习来说，多见于对不同学习内容的诸如概念学习策略、应用题学习策略、几何图形学习策略等分类方法；本研究从学生问题解决的内隐与外显两个维度，探讨并归纳总结出一般策略和思维策略。（一）一般策略一般策略，指的是对发现和解决问题具有帮助作用的具体策略，相当于解题方法。通过观察分析，将学生解决问题过程中，经常用到的一些策略整理为以下几项可参见程明喜《小学趣味数学教学研究（第二版）》，东北师范大学出版社，2006年版，第197可参见程明喜《小学趣味数学教学研究（第二版）》，东北师范大学出版社，2006年版，第197～212页。1．尝试和检验学生的学习过程，往往是通过观察后，获得初步的解题方向，然后试一试，再经过调整，来实现问题的解决。如：下面这个算式，等号两边是不相等的。请你把等号两边的数调换位置，结果使等号两边相等。0.2×0.07+0.4×0.6+0.5×0.9+0.18+0.3=1。一般情况下，学生会先把等号左边的算式，计算一下，看一看结果与1相差多少，然后，再根据相差的数值来调换某两个数的位置。经计算：0.2×0.07+0.4×0.6+0.5×0.9+0.18+0.3=1.184，比1多0.184。这样需要对算式中的数，尤其是0.6、0.5、0.9这三个数中的某个数与0.2交换位置,使最后算式的结果小一点。但经过尝试，共同发现了一个问题：即调整后算式中前三个积的和都是三位小数，加上0.18与0.3后，结果不等于1。这样的尝试，看上去是失败了，实际上，排除了在三个乘法算式间进行调换的可能。再次尝试，就需要避开计算中出现三位数的现象，这样，就需要将0.07与0.18和0.3这两个数中的一个对调。如果换成0.18，0.2×0.18结果又是三位小数。这样，只能是将0.07与0.3对调。这样，得到新的算式：0.2×0.3+0.4×0.6+0.5×0.9+0.18+0.07，通过计算来进行检验，结果等于1。在解决问题的过程，学生正是通过仔细地观察、不断地试误、调整策略、检验，最终实现了问题的解决。从而积累了经验。2．猜测和验证《标准》中说：数学的学习内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。事实上，问题作为学生数学活动的前提，当其具有了一定的探究价值时，学生在解决问题时，除了会用到尝试检验策略外，比较常用的是猜测与验证。猜测与验证是科学探索的方法，是培养学生用数学的眼光、科学的方法解决问题的重要策略。猜测是学生根据已有的学习、生活经验，借助直觉思维、非逻辑地对问题作出判断。猜测往往可以提高解决问题的速度，但由于只是一种基于经验的反应，所以，这种结果也是概括的、不准确的，需要进行科学地验证。在小学数学问题解决的过程中，学生会经常用到此策略。如：一个常滴水的水龙头，一小时能浪费水多少？一天呢？在解决这个问题时，学生会争相猜测：一小时能浪费500毫升、1.2升……接下来，需要自己验证，拿一个容器计时接水，可以计时10分钟，也可以是5分钟、6分钟等。通过量杯测量，再通过计算等方法，最后验证猜测的结果的准确性。3．画图小学生的数学学习，正处在以形象思维为主，向抽象思维过渡的阶段，在问题解决的过程，画图是必要的辅助策略。一般来说，画图有平面图、立体图、线段图几种。其中，最常用的是线段图和平面图。如：在一条笔直的公路上，甲、乙两车停在相距20千米的A、B两地，甲车的速度是75千米/小时，乙车的速度是25千米/小时，如果两车同时出发，经过多长时间相距100千米？这是一道开放性的行程问题，如果不借助图形直观，对于小学生来说，在分析甲、乙两车运动方向，确定数量关系的过程中，很容易遗漏某种情况。反之，如果借助线段图，就能够直观反映出两车行驶的方向。从而确定是相遇还是追及。第一种情况：两车相向而行，相遇后继续向前行进，再离开100千米。图（1）经过的时间为：（20+100）÷（75+25）=1.2（小时）第二种情况：两车相背而行，在原有的20千米距离的基础上，再共同行进80千米就可以了。图（2）经过的时间为：（100－20）÷（75+25）=0.8（小时）第三种情况：甲车追赶乙车，追赶上后又落下甲车100千米。图（3）经过的时间为：（20+100）÷（75－25）=2.4（小时）第四种情况：乙车追赶甲车，由于乙车速度慢于甲车，所以只能是甲车在前落下乙车至100千米。原来甲车落下乙车100千米，现在只需要在此基础上，再落下80千米就可以了。图（4）经过的时间为：（100－20）÷（75－25）=1.6（小时）再如：六年级三个班人数相等。六年一班的男生人数等于六年二班的女生人数。六年三班男生占三个班男生总数的。问，六年级女生占三个班学生总数的几分之几？在解决这个问题时，如果借助平面图，就会使问题变得很容易。由一班男生人数等于六年二班的女生人数，可知，前两个班中，男生人数和女生人数，分别相等于一个班的总人数。再由六年三班男生占三个班男生总数的，可知，六年三班男生占其他两班男生总数的。这样可知，前两班男生总数亦即每个班的总人数都可以看作是5份。而三班中男生人数是2份。观察图可知。三个班的总人数是15份，而女生总数是8份。六年级女生占三个班学生总数的。4．找规律在解决复杂问题时，往往需要发现规律，应用规律来完成。如：20张边长是4厘米的正方形，如图相互重叠在一起，求周长。其解法大致有以下几种：第一种解法：4×4+2×76=168（厘米）第二种解法：张数：123456789……周长：162432404856647280……每增加一张，周长增加8厘米。这样，在第一张的基础上，增加了19张。20张的周长是：16+8×19=168（厘米）5．制表制表可以将问题中的各要素条理化，找到数量关系；或通过一一列举，将所有情况有序地写出来。如：立立和冬冬玩投飞镖游戏。游戏规则是：投中内圈得5分，投中中圈得3分，投中外圈得1分。立立投了15支，共得49分。投中内圈、中圈、外圈的飞镖各有几支？在用制表法解决这一问题时，会以尾数、估算知识作为辅助手段。其实是一个多种方法的综合。在列表时，在确定49分后，由于考虑到了总枚数，所以没有列举全，最后，经过检查，发现了上述不同的答案（作○标记的）。6．从简单的情况入手著名数学家华罗庚指出：善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。如：计算通过观察发现：两个因数除了个位分别是6和7外，前19位数字均是6。如果足够地退，从简单入手，来探索规律，此题或许可以找到解决的办法。6×7＝4266×67＝4422666×667＝4442226666×6667＝44442222……观察可发现规律，积由高位起，依次由若干个4和与4个数相同的2组成的多位数。4与2的个数分别与第一个因数中6的个数相同。于是得出原题的结果是：7．从相反的方向去思考从相反的方向去思考，即逆向思维法，顾名思义，就是反过来想一想，不采用人们通常思考问题的思路，而是换一个思考问题的角度。逆向思维法具有挑战性，常能出奇制胜，取得突破性解决问题的方法。如：从1到100中，不能被3或者5整除的数有多少个？如果采用正向思维方式去找不能被3和5整除的数，就会使问题的解决过程变得很复杂。如果换个角度，反过来找能被3和5整除的数，问题就会迎刃而解。8．列方程对于小学生来说，受长期的算术方法的训练，在面对复杂问题而迟迟不能解决时，往往想不到用方程帮助解决。有些问题，用算术法解起来比较难于理解，可用方程就简单得多了。如鸡兔同笼问题。再如：观察下面的每一组算式，说一说有什么特点。你能写出一组这样的算式吗？3+1.56+1.211+1.13×1.56×1.211×1.1通过观察发现:参与计算的两数之和等于两数之积。但再写出一组这样算式，对于小学生来说，有一定的困难。如果借助方程就可以使问题得以解决。如果用a、b分别表示两个数。依题意有：a+b=aba=ab－ba=b(a－1)b=a÷(a－1)这样，任意令a为一个大于1的数，就可以通过计算，得到b。由此，可以感受到方程对于解题的重要作用。9．逻辑推理推理是由一个或几个判断推出另一个判断的思维过程。掌握比较完善的逻辑推理能力是儿童智力发展的重要环节和主要标志。小学生的推理能力是随着儿童掌握比较复杂的知识经验和语法结构而逐渐发展起来的。在问题解决过程中，经常需要学生在分析综合、抽象概括的基础上进行逻辑推理。如：一个正方体六个面上分别写着1、2、3、4、5、6。根据下图摆放的三种情况。判断每个数字对面上的数字是几？观察三个正方体上的数字。可以发现：出现次数最多的是1、3、4，各出现了两次。可以选择任何一个数字作为突破口。由1和2、3、4、6相邻，可推出1和5相对；由3和1、2、4、5相邻，可推出3和6相对；由1和5相对，3和6相对，可推出2和4相对。（二）思维策略可参见孔企平,张维忠,黄荣金：《数学新课程与数学学习》[M].高等教育出版社，2003年版，第170～196页。所谓思维策略，指的是一般性的较普遍的思维方法，是在一定数学思想方法的指导下，所采取的总体思路。它不同于解题思路和一般策略，解题思路和一般策略是在此基础上产生的具体的方案、方法和手段。思维策略大体可分以下几项：观察与实验，分析与综合，特殊与一般，类比，归纳与演绎，联想与猜想。美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去套，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。问题解决的教学为我们向学生渗透数学思想、训练思维方法提供了机会。中小学教师只有理解数学的各种思维方法，才能引导学生有意识地应用数学的思维方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质。1．观察与实验对周围世界的各个客观事物和现象，在其自然条件下，按照客观事物本身存在的特征的自然联系的实际情况，研究和确定它们的性质和关系的方法，称为观察。观察是一种有目的、有计划、有组织的知觉。其次，观察不仅是一种单纯的知觉过程，它还包含着积极的思维过程。例如，我们在进行观察的过程中，必须随时比较所观察的事物，以及了解它们的性质和关系。比较事物就是思维活动的一种显著的表现。正因为知觉和思维的密切联系是观察的一个主要特征，所以，观察有时也被称为“思维的知觉”。在解决问题的过程，一定要精细地观察，这是发现规律、获得解题方法的第一步。例1．下图是个数字“金字塔”，这个数字“金字塔”中，所有数字之和是多少？学生看到此题，首先要观察，观察的具体方法很多，可以看横行，也可以看斜行，还可以确定观察某个数字的个数。不同的观察方法，可以产生不同的解决问题的具体办法：如第一行和是1，第二行和是4，第三行和是9……每横行的数字和等于中间数的平方。这样，“金字塔”中数字之和是：12+22+32+42+……+82+92=285；如果由最后一行中间数9的个数开始观察，会发现，这个“金字塔”中有1个9，3个8，5个7……数字从9，8，7，6……至3，2，1，其个数分别为1，3，5……至15，17，于是得到新的算法：9×1＋8×3＋7×5＋6×7＋5×9＋4×11＋3×13＋2×15＋1×17。实验(试验)通常是指一种研究客观事物和现象的方法，即根据这些事物和现象的自然状态和发展，人为地创设条件，人为地将它们分成许多部分，而且将他们同其他事物和现象联系起来以深入了解所研究的事物和现象的自然状态和发展情况。任何实验都和观察相联系着，实验者必须观察实验的进程和结果。在数学研究中，通过观察与实验不仅可以收集所需要的信息、获得必要的知识，而且观察与实验往往还会产生新的发现。如要确定一个图形是不是轴对称图形，只需将其对折一下，看折痕两边是否完全重合即可。想知道在一个正方体上切一刀，截面是什么形状？拿几块橡皮泥切一切就知道了。数学问题的解决，往往需要观察后，作出初步的判断、猜测，必要时还需要测一测、量一量，比一比，才能最后确认猜测的正确性。例2．图中的线段a与b哪一条长？2．分析与综合例1．图中阴影部分的面积是50平方厘米，求环形的面积。如果从已知条件出发，采用综合法，我们假设：大圆半径（大正方形的边长为R，）小圆半径（小正方形的连长为r），有R2－r2＝50，即大正方形的面积减小正方形的面积差是50平方厘米。至此，我们还可进一步发现，50是也是大圆半径的平方与小圆半径的平方之差。以上的过程就是一个综合的过程。所得出的结论对于解题有什么作用呢？让我们从所求问题再入手，要求环形面积，需要用大圆的面积减小圆的面积，即πR2－πr2,将其整理后得:π(R2－r2),这时,再根据R2－r2＝50,求得环形面积为:50π。这样，我们可以清楚地了解分析与综合法在解题过程中往往是同时使用的。3．特殊与一般在数学研究中，一般化与特殊化是两种非常重要的思维方法。当我们得到一个定理后，希望把它推广，得出可以在更大范围应用的定理，这就是一般化。一般化，也称为普遍化。另一个途径是将定理特殊化，寻求它的推论。关于一般化与特殊化。（1）我们可以通过一般化，发现数学的一般性原理、性质、法则、规律等。如果我们见到下列等式：1－1/2－1/4－1/8=7/8我们观察后发现，参与运算的数是一个等比数列，被减数是1，减数依次是前一个数除以2所得的商，这样减到1/8，等于7/8，结果是与最后一个减数同分母，分子比分母少1的数。这时我们发现了一个数学问题：这样的算式结果是一个分子、分母差1的真分数。这一发现能否具有普遍的规律，需要我们再找几个特殊的例子试验一下，看能否找到规律，验证我们的发现。1－1/2=1/21－1/2－1/4=3/4