《直线与直线垂直》教学设计、导学案、同步练习

《8.6.1直线与直线垂直》教学设计

【教材分析】

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几

何初步》，本节课是第2课时，本节课主要学习直线与直线垂直。

课本从空间两条直线的位置关系入手，引如异面直线所成的角的定义，进而在正方体中

找互相垂直的异面直线及求异面直线的夹角，本节是证明两条异面直线垂直的一种方法。求

异面直线的夹角为90度可以证明两异面直线垂直。直线与直线垂直是立体几何中证明直线

与平面垂直、平面与平面垂直的基础，是后续所学知识的基础。

【教学目标与核心素养】

课程目标学科素养

A.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解异L数学抽象：异面直线所成的角的定义；

面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线.2.逻辑推理：作异面直线所成的角；

B.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面3.数学运算：求异面直线所成的角；

直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直

线所成的角.

【教学重点】：异面直线所成角的定义；

【教学难点】：用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角。

【教学过程】

教学过程教学设计意图

一、复习回顾，温故知新通过复习前面所学两

1.空间两直线的位置关系：条直线位置关系，引入

【答案】相交、平行、异面本节新课。建立知识间

2.在平面内，两直线所成的角是什么？的联系，提高学生概

【答案】在平面内，两条直线相交成四个角，其中不大于90度的角称为它括、类比推理的能力。

们的夹角，用以刻画两直线的错开程度

二、探索新知

观察：如图，在正方体A3CD—ABC。'中，直线AC与直线AB,直

线AD与直线AB都是异面直线，直线A'C'与AD'相对于直线AB的位

置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？

【答案】不同C通过观察与思考，引入

丁

思考：异面直线有没有夹角呢？若有，那如何找异面直线所成角的定

出这个夹角？止R

义，提高学生的解决问

1.异面直线所成角的定义：题、分析问题的能力。

如图，已知两条异面直线a,b,经过空间任一点0作直线a'//a,b'//b,

则把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).

思考：这个角的大小与0点的位置有关吗？即。点位置不同时，这一角

的大小是否改变？

【答案】无关，不改变。

通过思考，进一步理解

异面直线所成的角，提

高学生分析问题、概括

能力。

2.异面直线所成角的范围：(0°,901

例1如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D'.

(1)哪些棱所在的直线与直线AA'垂直？

(2)求直线BA'与CC'所成的角大小。

(3)求直线BA'与AC所成的角大小。

通过例题讲解，让学生

理解怎样求两异面直

线所成的角，提高学生

解决问题的能力。

解，（I）极八M,«C,CD,DA.ArB'.B'C1,CD',D'A'

林।位分别与直线乂'垂It.

'⑵因为AH'D-A'B'C'D'是正方体，所以闪此

TBB'为代线〃A'与CC'所成的用.又因为NA'88'=45\所以

嬴助'与CC'所成的角等于451

'（3）如图8.6-4.连接A'C'.因为ABCD-A'B'C'D'是正方

他所以，S'旦CC'.从而四边形AA'C'C是平行㈣边形，所以

AC//A'C.于是NBA'C'为异面直线8A'与AC所成的加

连接BC'.易知△*改'是等边三角形,所以NBA'C'=60'.

从而异面点线BA'与AC所成的角等于60,.

例2如图，在正方体A8CD—4耳G。中，01为底面的中心。

求证：AO,±BD。

通过例题讲解，让学生

理解怎样证两异面直

线垂直，提高学生解决

fti&6-5问题的能力。

证明：如图8.6-5(2).连接BR.

ABCD-A.BtCiD,是正方体，

：•BO.JLDDU

：•四边形B氏5n型平行四边形・

A（）liD

•••二线工:B,Dt所成的m即为攸'与所成的他

连接AB1，AD].步证八%=八。“

又5为底面八入的中心・

•*•5为B3的中点，

•'­AOilli,D,.

AOtlliD.

三、达标检测

1.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（）

A.异面B.平行

C.相交D.以上都有可能通过练习巩固本节所

【答案】D学知识，通过学生解决

【解析】当两个平面平行时，这两条直线的位置关系为平行或异面，当两问题的能力，感悟其中

个平面相交时，这两条直线的位置关系有可能相交或异面.蕴含的数学思想，增强

2.如图，在正方体/式》4笈G〃中，E、F、G、〃分别为44、AB、BR、学生的应用意识。

84的中点，则异面直线3与掰所成的角等于（）

O,C,

AFB

A.45°B.60°

C.90°D.120°

【答案】B

【解析】取4名中点I,连接IG、IH,则4嗾IG.易知IG,IH,法相等,

则△以"为等边三角形，则力与6■〃所成的角为60°,即跖与677所成的

角为60°.

3.如图，正方体4KD4旦G"中，4c与园所成角的大小是

【答案】60。

【解析】连接皿，则以〃阳.（或其补角）就是熊与因所成的

角，连接以，在正方体力腼-46G"中，AC=AK=CD\,

.*.zm=6o°,

即47与6G所成的角为60°.

4.如图，在四棱锥Al腼中，PAVAB,底面/版是平行四边形，则为

与口所成的角是.

【答案】90。

【解析】•••四边形］腼是平行四边形，

：.AB//CD,

:./PAB是PA与切所成的角.

又〈PALAB,二/处8=90°.

5.如图所示，48是圆。的直径，点。是弧的中点，D、£分别是仍、

力的中点，求异面直线应与所成的角.

【解析】因为以£分别是VB、%的中点，所以比1〃阳因此N45C是

异面直线应,与四所成的角，又因为四是圆。的直径，点C是弧四的中

点，所以△/比1是以/1%为直角的等腰直角三角形，于是N4?C=45°,

故异面直线瓦1与4?所成的角为45°.

四、小结通过总结，让学生进一

1.异面直线所成角定义；步巩固本节所学内容，

2.异面直线所成角的求法：提高概括能力,提高学

一作（找）、二证、三求生的数学运算能力和

五、作业逻辑推理能力。

习题8.64题

【教学反思】

求异面直线所成的角，应让学生明白怎样做异面直线所成的角，进而在三角形中进行求

解。

<8.6.1直线与直线垂直》导学案

【学习目标】

1.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，会用平面衬托来画异面

直线.

2.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简

单异面直线所成的角.

【教学重点】：异面直线所成角的定义；

【教学难点】：用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角。

【知识梳理】

1.异面直线所成角的定义：。

2.求异面直线所成角的步骤：o

【学习过程】

一、探索新知

观察：如图，在正方体43CD-A8C'。'中，直线AC'与直线AB,直线AD与直线

AB都是异面直线，直线4C与AD相对于直线AB的位置相同吗？如果不同，如何表示这

种差异呢？

思考：异面直线有没有夹角呢？若有，那如何找出这个夹角？

1.异面直线所成角的定义：

如图，已知两条异面直线a,b,经过空间任一点0作直线a'〃a,b'〃b，则把a'与b'

所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).

思考：这个角的大小与0点的位置有关吗？即0点位置不同时，这一角的大小是否改

2.异面直线所成角的范围：(0°,90口

例1如图，已知正方体ABCD—A'B'C'D'.

(1)哪些棱所在的直线与直线AA'垂直？

(2)求直线BA'与CC'所成的角大小。

(3)求直线BA'与AC所成的角大小。

例2如图，在正方体ABC。—A14GA中，01为底面的中心。求证:

AOt1BD。

【达标检测】

1.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（）

A.异面B.平行

C.相交D.以上都有可能

2.如图，在正方体464〃中，E、F、G、〃分别为44、AB、BB、、81G的中点,

则异面直线跖与◎/所成的角等于（）

A.45°

C.90°D.120°

3.如图，正方体归C"中，4。与阳所成角的大小是

4.如图，在四棱锥足/也中，为U8底面48切是平行四边形，则用与切所成的

角是________

5.如图所示，4?是圆。的直径，点。是弧4?的中点，D、£■分别是VB.%的中点，求

异面直线座与46所成的角.

参考答案：

观察：不同

思考：无关，不改变。

2.(0°,90°]

例1.

珈⑴府人”,风.C7J.D,八,8，、,..,,.

林谈分别与直线八A'垂直.A7rc"

⑵闪为ymw/E，咫正方体.所以5〃8,,闪此

/T8B为打线〃八与其所成的加.又因为4%8'.45・,所以

在及8A'与8’所成的角等于45:

(3)如图,8.6-：.连接A'C'.因为八伙工)M，8，C，D，是正方

体.所以AA±CC'.从而四边形/VVc'C是平行四边形.所以

AC//A'C.于是N/M'C'为异面直线8人，与八c所成的角

连接BC',明知是等边三角形，所以NB4'C'=60.

从而异面立线8A'与AC所成的角等于60,.

例2.

%

(2)

IW&.6-5

证明：如图&6-5(2),连接SDi.

ABCD-AiliiCiDy是正方体，

四边形是平行四边舷

:源望叫所成的刖像皿与即所成的

连接AB】，A",易证八出=八

又5为磨面AWIC&I的中心•

•••5为81d的中点.

：•人。」8孙.

:，AOt±HD.

达标检测

1.【答案】D

【解析】当两个平面平行时，这两条直线的位置关系为平行或异面，当两个平面相交时,

这两条直线的位置关系有可能相交或异面.

2.【答案】B

【解析】取45中点/,连接/、III,则^^/G易知/G,III,伤相等，则△/伤/为

等边三角形，则"与G〃所成的角为60°,即厅'与G〃所成的角为60°.

【解析】连接加，则被〃8G..(或其补角)就是为C与6G所成的角，连接办,

在正方体四徵一45G。中，AC=A"=CD,

即/C与阳所成的角为60°.

4.【答案】90°

【解析】•••四边形/腼是平行四边形,

：.AB//CD,

必6是必与”所成的角.

又,：PALAB,:./PAB=9Q：

5.【解析】因为久£分别是VB、力的中点，所以BC〃DE,因此。是异面直线

应与所成的角，又因为是圆。的直径，点。是弧46的中点，所以△/8C是以

为直角的等腰直角三角形，于是/46C=45°,故异面直线〃£与46所成的角为45°.

《8.6.1直线与直线垂直》同步练习

一、选择题

1.分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是（）

A.相交B.异面C.异面或相交D.平行

2.在正方体ABC。—人与G2中，E为棱CG的中点，则异面直线AE与8所成角

的正切值为

A.史B.3C.史D.也

2222

3.已知直三棱柱ABC-A|B|G中，NABC=120，AB=2，BC=CC,=1,则异

面直线AB,与BC1所成角的余弦值为（）

2553

4.在正方体ABC。—中，E为棱8的中点，则（）.

A.\ELDC,B.A.ELBDC.\EVBC{D.\EVAC

5.（多选题）如图所示，在正方体—481GA中，M,N分别为棱CQ，GC的

中点，则以下四个结论正确的是（)

A.直线40与cq是相交直线B.直线40与BN是平行直线

C.直线3N与M片是异面直线D,直线与。，是异面直线

6.（多选题）如图所示是正四面体的平面展开图，G,H,M,N分别为的

中点，在这个正四面体中，下列命题正确的是（）

A.GH与跖平行B.8。与MN为异面直线

C.GH与MN成,60°角D.DE与MN垂直

二、填空题

7.如图，在正方体ABCD-ABCD中，E,F,G,H分别为AA“AB,BB1（BC的中点,

则异面直线EF与GH所成的角等于.

dFB

8.己知正方体ABCO—AgGA中，E为G4的中点，则异面直线AE与BC所成角

的余弦值为

9.在直三棱柱ABC-4四&中，NAC8=90。，M=2-AC=BC=1,则异面直

线48与AG所成角的余弦值是.

10.在正方体瘟图—通部曲中，E、F、G、H分别为AAi、AB、BBi、B6的中点，

则所在直线与直线EF是异面直线的是,异面直线EF与G1I所成的角等于

三、解答题

11.空间四边形ABCO中，AD^BC=2,民产分别是AB,C。的中点，EF=8

求异面直线A£>,8C所成的角.

12.如图，在四棱柱ABC。一A4G。中，侧面都是矩形，底面四边形A88是菱形

且A6=5C=2G，ZABC=120°,若异面直线和所成的角为90。，试求

的长.

《8.6.1直线与直线垂直》同步练习答案解析

一、选择题

1.分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是（）

A.相交B.异面C.异面或相交D.平行

【答案】C

【解析】

a

B

b

①若两条直线与两条异面直线的交点有4个，如图，直线AB与异面直线a,8分别相

交于点AB,直线与异面直线a,h分别相交于点C,D,那么AB,C,。四点

不可能共面，否则与a,力异面矛盾，故直线A3与CO异面；②若两条直线与两条异面直

线的交点有3个，如图，则两条直线相交.

故选：C

2.在正方体ABC。—A瓦GA中，E为棱CG的中点，则异面直线AE与CO所成角

的正切值为

A.旦B.也C.D.立

2222

【答案】C

【解析】在正方体A8CO-481aq中，CD//AB,所以异面直线AE与CO所成角

为NEAB,

设正方体边长为2。，则由E为棱CC的中点，可得CE=a,所以BE=J^a，

则tan/E48=g^=^3=^.故选C.

AB2a2

已知直三棱柱中,

3.ABC-A|B|GZABC=120°，AB=2,BC=CCI=1,则异

面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）

A石RV15rVioNA/3

2553

【答案】C

【解析】如图所示，补成直四棱柱A8CO-4与&0,

则所求角为

ABQD,-：BC\=RBD=x/22+l-2x2xlxcos60°=g,Cp=AB1=后,

易得C.D-=BD2+BC；,因此cosNBCQ=，故选c.

~QD~l/5~~5~

4.在正方体ABC。—A耳GA中，E为棱CO的中点，则（）.

A.\E±DCtB.A^E±BDC.AE-LBC|D.\ELAC

【答案】C

【解析】画出正方体ABC。—44GA,如图所示.

对于选项A,连若4ELDG，又。所以。G_L平面4EQ,所以

可得。显然不成立，所以A不正确.

对于选项B,连4E，若4ELB。，又BO_LAA，所以。平面AAE,故得

BDA-AE^显然不成立，所以B不正确.

对于选项C,连A。，则AD1||BG.连AQ,则得AQ1A,D,AD]，，所以_L

平面AOE,从而得叫所以AE~LBG.所以C正确.

对于选项D,连4E，若AELAC,又4C1A4],所以AC_L平面AA£,故得

AC±AE,显然不成立，所以D不正确.

故选C.

5.（多选题）如图所示，在正方体-中，”不分别为棱6。,。。的

中点，则以下四个结论正确的是（）

A.直线AM与CG是相交直线B.直线AM与BN是平行直线

C.直线BN与是异面直线D.直线AM与。2是异面直线

【答案】CD

【解析】直线AM与CG是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故A、B错误

直线8N与Mg是异面直线，直线AM与0A是异面直线，故C、D正确.

故选CD.

6.（多选题）如图所示是正四面体的平面展开图，G,4,M,N分别为的

中点，在这个正四面体中，下列命题正确的是（）

A.GH与E尸平行B.与MN为异面直线

C.GH与MN成60°角D.DE与MN垂直

【答案】BCD

【解析】如图,把平面展开图还原成正四面体，知GH与所为异面直线,A不正确;

3。与为异面直线，B正确；

GH//AD,MN//AF,而ZDAE=60°，,NGHM=6（X,

•••GH与MN成60°角，C正确；

连接AG,FG,AGVDE,FGA.DE

.♦.r>£_L平面4RG,

：.DE±AF,

又MN//AF

DE与MN垂直，

D正确.

故选：BCD

30

二、填空题

7.如图，在正方体ABCD-ABCD中,E,F,G,H分别为AA“AB,BB”BC的中点,

则异面直线EF与GH所成的角等于.

AFB

【答案】［

3

【解析】七口\\\B,GH||6C1,所以异面直线EF与GH所成的角等于4注BQ所成角,

一71

•.•△A5G为正三角形，所以所成角为不

8.已知正方体ABCO—AgGA中，E为G2的中点，则异面直线AE与BC所成角

的余弦值为.

2

【答案】一

3

【解析】

连接DE,设AD=2,易知AD〃BC,，NDAE就是异面直线AE与BC所成角，

在△RtADE中，由于DE=JG，AD=2,可得AE=3,.•.cosZDAE=-^=-^.

AE3

9.在直三棱柱ABC—A4a中，ZACB=90，=2,AC=BC=\,则异面直

线48与AC,所成角的余弦值是—

连接A片交AB于点。，取用G中点E，连接OE，则OE||AG，连接

"DE为异面直线AXB与ACt所成角

在卡心4。|片中，4G=1,GE=1C£=L

,.A,E——>

»2

同理可得4。=逅，DE=—

22

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