（北师大版2019课标）高中数学必修第一册 第一章综合测试（含答案）

第一章综合测试

第I卷（选择题，共60分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的）

1.已知集合A={1,2,3},B={2,3},则（）

A.A=BB.ADB=0C.AUBD.B\JA

2.已知全集U=R,集合知={x|0Vx^lbN={x|x&)},则MD&Nb()

A.{x|0Wl}B.{xpVxWl}C.{x[0^x〈l}D.{x|x<l}

3.已知集合M={1,a2},P={-l,-a},若MUP有三个元素，则加0尸=()

A.{0,1}B.{0,-1}C.{0}D.{-1}

4.命题“VxN0，k|+x2>0”的否定是()

A.BX<0,|X|+X2<0B.3X^0,|X|+X2^0C.3X^0,|X|+X2<0D.3X<0,|X|+X2^0

5.已知aV0,-W),则()

A.—a<ab<GB.—a>abX)C.a>ah>ab2D.ah>>a>ah2

6.已知集合4=卜产+%一2<0},B=则An(48)=()

A.(-1,2)B.(-1,1)C.(-1,2]D.(-1,1]

7.“关于X的不等式-2ax+a>0的解集为R”的一个必要不充分条件是()

A.0<«<1B.0<a<-C.OWaWlD.a<0^a>-

33

8.若正数a,b满足2a+i±=l,则2*+〃的最小值为()

ba

A.472B.85/2C.8D.9

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）

9.有下列命题中，真命题有（）

A.3xeN*,使x为29的约数

B.VxeR,炉+1+2＞。

C.存在锐角a,sina=1.5

D.已知A={4a=2〃},3={耳。=3m},则对于任意的〃，mGN\都有/4门3=0

io.已知L〈_L<o,下列结论中正确的是（）

ab

A.a<bB.a+b<abC.同D.ab（护

11.如下图，二次函数y=«x2+bx+c（aw0）的图像与x轴交于A6两点，与y轴交于C点，且对称轴为

x=l,点8坐标为（-1,0）,则下面结论中正确的是（）

2

A.2a+b=0B.4</—2Z?+c<0C.b-4ac>0D.当y<0时，JV<—1或x>4

12.设尸是一个数集，且至少含有两个元素.若对任意的a,OeP,都有a+6,a-b,“6,幺eP（除数。wO）,

b

则称P是一个数域.则关于数域的理解正确的是（）

A.有理数集Q是一个数域

B.整数集是数域

C.若有理数集则数集M必为数域

D.数域必为无限集

第H卷（非选择题，共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）

13.不等式+6x—8>0的解集为.

14.设某公司原有员工100人从事产品4的生产，平均每人每年创造产值t万元（，为正常数）.公司决定从

原有员工中分流x（0<x<100,XGN*）人去进行新开发的产品8的生产.分流后，继续从事产品A生产的员

工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了L2x%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的

人数是

15.若L+：=g（a>,方>0）,则4a+/?+l的最小值为.

16.已知非空集合AB满足下列四个条件：

①AU8={1,2,3,4,5,6,7}；

③A中的元素个数不是4中的元素；

④6中的元素个数不是8中的元素.

（1）若集合4中只有1个元素，则人=；

（2）若两个集合4和B按顺序组成的集合对（4B）叫作有序集合对，则有序集合对（48）的个数是

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）已知全集为实数集R,集合A={x|lWxW7},B={x\-2m+\<x<m].

（1）若机=5,求4U8,（\A）nB；

（2）若AA5=A,求机的取值范围.

18.（本小题满分12分）已知不等式（1-。）》2-4犬+6>0的解集为3-3<%<1}.

（1）求a的值；

（2）若不等式/+〃a+3却的解集为R,求实数〃?的取值范围.

19.（本小题满分12分）已知P：x2-3x-4<0；q：x2-6x+9-m2^0,若〃是q的充分条件，求机的取

值范围.

20.（本小题满分12分）为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种

化工产品，经测算，该处理成本y（单位：万元）与处理量X（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为

Nf-40X+1600,xe[30,50],已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品.

（1）判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万

元该工厂才不会亏损？

（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？

21.(本小题满分12分)若集合A={X|X2+2X-8<0},B={x||x+l|>3)

C=-2mx+in2-KO,eR.}.

(1)若AC|C=0，求实数机的取值范围.

（2）若（An8）=C,求实数〃?的取值范围.

22.（本小题满分12分）己知正实数a,6满足a+b=l,求（4+工）+（匕+：）的最小值.

第一章综合测试

答案解析

、

1.【答案】D

【解析】由真子集的概念，知BOA,故选D.

2.【答案】B

【解析】••,砂={x|x>0},•••Mn(°N)={x[0<xWl}.故选B.

3.【答案】C

【解析】由题意知让=一0,解得。=0或。=一1.①当。=0时,M={l,0},P={-1.0},M|jP={-bO,l),

满足条件，此时MnP={。}；②当。=一1时，"=1，与集合〃中元素的互异性矛盾，舍去，故选C.

4.【答案】C

【解析】"VxeO，W+x22o”的否定是“王20,凶+/<0”.

5.【答案】B

【解析】V«<0,-l<&<0,:.ab>Q,a<ab2<0,故A,C,D都不正确，正确答案为B.

6.【答案】D

【解析】由X2+X-2<0,得."=[-2,1].由艺，0，得xW-1或x>2,

.,.B=(-oo,-l]U(2,+oo).则$5=(-1,2]，,Afi他8)=(7,1].故选D.

7.【答案】C

【解析】因为关于x的不等式2or+a>0的解集为R,所以函数〃力=苫2-2办+。的图象始终落在x

轴的上方，即△=4/-4。<0,解得0<aVl,因为要找其必要不充分条件，从而得到(0,1)是对应集合的真

子集，故选C.

8.【答案】D

【解析】bX),B.2b+-=\,则2+方=(2+6丫24+1]=5+2+2"，5+4=9,当且仅当

ba(a人刈ah

上7=2a匕即a=1L,匕=3时取等号，故选D.

ab3

9.【答案】AB

【解析】A中命题为真命题.当x=l时，x为29的约数成立;B中命题是真命题.炉+》+2=［工+()+(>0

恒成立；C中命题为假命题.根据锐角三角函数的定义可知，对于锐角。，总有OVsinaVl；D中命题为假

命题.易知6eA6e8,故4口8力。.

10.【答案】BD

【解析】因为工<工<0,所以片4<0,故A错误；因为片。<0,所以a+X：0,ab>Q,所以a+H必，

ah

故B正确；因为XaVO,所以时>网不成立，故C错误；ab-b2=b(a-h),因为XaVO,所以a-bX),

即"="a-/?)VO,所以a/Y〃成立，故D正确.故选BD.

11.【答案】ABC

【解析】•.•二次函数y=a?+bx+c("O)图象的对称轴为x=l,.•.-(=1,得加+。=0,故A正确；

当x=-2时，y=4a-2b+c<0,故B正确；该函数图象与x轴有两个交点，则〃一4。。>0,故C正确；

•.•二次函数y=av2+bx+c(c*0)的图象的对称轴为％=1,点8的坐标为(-1,0),...点4的坐标为(3,0),

...当yVO时，—或x>3,故D错误，故选ABC.

12.【答案】AD

【解析】若a,bwQ,贝Ua+6eQ,a-bwQ,abwQ,：WQ0HO),所以有理数Q是一个数域，故A

正确；因为lwZ,2eZ,geZ,所以整数集不是数域，B不正确；令数集M=QU{0}，则

但1+五任知，所以C不正确；根据定义，如果a,匕eN0)在数域中，那么a+〃，a+2b,,,,,a+kb(k

k为整数)，…都在数域中，故数域必为无限集，D正确.故选AD.

三、

13.【答案】(2,4)(或写成{x|2VxV4})

【解析】原不等式等价于f—6x+8V0,即(x-2)(x-4)<0,得2<x<4.

14.【答案】16

【解析】由题意，分流前每年创造的产值为1007(万元)，分流x人后，每年创造的产值为

(100-x)(l+1.2x%)r,

f0<x<100

由4,、，、

(100-x)(l+1.2x%)^l00/,

解得OVxW3,因为XEN*,所以X的最大值为16.

3

15.【答案】19

11172

【解析】由上+已=上，得*+*=1,

ab2ab

.,[乙.\（22、i门-8。2bI、-_[8a~2b_.

4〃+。+1二（4。+/?）—+-+1=8+2+—+—+1211+2/一0—=19.

\ab）ba\ba

当且仅当也=笠，即4=3,8=6时，4。+6+1取得最小值19.

ba

16.【答案】（1）{6}

（2）32

【解析】（1）若集合A中只有1个元素，则集合6中有6个元素，所以6e8,故4={6}.

（2）当集合A中有1个元素时，A={6},8={1,2,345,7},此时有序集合对（48）有1个；当集合A中

有2个元素时，5任5,2任A,此时有序集合对（AB）有5个；当集合A中有3个元素时，4任8,3任A,

此时有序集合对（48）有10个；当集合4中有4个元素时，3任A,4任A,此时有序集合对（48）有10

个；当集合A中有5个元素时，2/B,5任4,此时有序集合对（48）有5个；当集合A中有.6个元素时，

A={1,2,345,7},B={6},此时有序集合对（4B）有1个.综上，可知有序集合对（A,B）的个数是

1+5+10+10+5+1=32.

四、

17.【答案】解：（1）'：m=5,/.B={x|-9<x<5},又A={冲《7},

.*.AU8={H-9«7}.

又4A={X|X<1,垢>7},

.,.低A）nB={x|-9<x<l}.

（2）'：Ar\B=A,：.A^B,

.J-2w+Kl

即产

解得加>7.

二机的取值范围是｛〃梅＞7｝.

18.【答案】解(1)由己知，1一口V0,且方程(l-a)f-4x+6=0的两根为一3,1,

-^-=-3+1

有j

工=-3,

J-a

解得。=3.

(2)不等式―+g+320的解集为R,

贝ijA=m2-4x3x3W0,解得-6W/77W6,

实数机的取值范围为卜6,6].

19.【答案】解：由寸―3x—4W0,解得一

由x2-6X+9-TW2^0,

可得[冗_(3+〃明口_(3-〃2)]＜0,①

当〃2=0时，①式的解集为｛小=3｝；

当加＜0时，①式的解集为｛x|3+mWxW3-〃?｝；

当加＞0时，①式的解集为｛目3-机«+“｝；

当〃是夕的充分条件，则集合｛x|-lW忘4｝是①式解集在的子集.

m＜0

可得13+〃忘一1

324

m＞0

或＜3—机＜—1

3+团24,

解得mW-4或m三4.

故机的取值范围是(fo,-4]U[4,+oo).

20.【答案】解：(1)当XE[30,50]时，设该工厂获利为S万元，

则S=20x—(x2—40x+1600)=—(x—30)2-700,所以当xe[30,50]时，S