数学-湖北省荆州市沙市中学2025届（2022级）（新）高三上学期7月月考试题和答案

12023-2024学年度下学期2022级7月月考数学试卷命题人：镇祥平审题人：冷劲松一、单选题1．已知m为实数，若复数z=(m2−4)+(m+2)i为纯虚数，则复数z的虚部为()∈(0,+∞)，使得x−λx0+1<0成立.若p为假命题，则λ的取值范围是(){λ≤−2或λ≥2}3．质数（primenumber）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数．数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”．如：3和5，5和7，ⅆ,那么，如果我们在不超过32的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A＝“这两个数都是素数”，事件B＝“这两个数不是孪生素数”，则P(B|A)=()4．已知两个非零向量，满足则+在上的投影向量为()A.−B．iC．D.5．设a=log52，b=log253，c=0.60.2，则()2+x+2，若对任意的1<x1<x2<2，都有>−3成立，则实数a的取值范围是()D.2 7．设F1,F2分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，过点F1的直线交椭A．B．C．D.8．已知b是a,c的等差中项，直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y−1=0交于A,B两点，则ABI的最小值为() 二、多选题A．ab的最小值是B．2a2+b2最小值为10．关于函数j(x)=2sin下列结论正确的是(A．是f(x)的一个对称中心B．函数f(x)在上单调递增C．函数f(x)图像可由函数g(x)=2cos2x+1的图像向右平移个单位得到D．若方程2f(x)−m=0在区间上有两个不相等的实根，则m∈11．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点，则下列结论正确的是A．直线D1D与EF所成的角为30。B．直线A1G与平面AEF平行C．若正方体棱长为1，三棱锥A1−AEF的体积是3三、填空题12．已知x1,x2是方程x2−(k−2)x+k2+3k+5=0(k∈R)的两个实数根，则x+x的最大值13．已知圆锥的顶点S和底面圆周都在球O的球面上，且母线长为2，A,B为其底面圆周上的两点，若△SAB面积的最大值为，则球O的表面积为.14．椭圆C：+y2=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2，设∠F1PF2的平分线PQ交椭圆C的长轴于点Q(m,0)，则m的取值范围1513分）已知数列{a,}满兄an+1=，a1=，数列{b,}的前n项和为Sn，且2Sn=3n+1−3.（2）求数列的前n项和为Tn.1615分）某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动．现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加.（1）求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率；（2）记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望E(X)；（3）若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”4积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的1715分）在四棱锥P−ABCD中，PA丄平面ABCD,AB丄AD,AB=AD=8,PA=6，平面PBC丄平面PAC,M,N分别为PB,PD的中点.（1）证明：MN//平面ABCD.（2）证明：BC丄AC.（3）若二面角C−PB−A的正切值为，求三棱锥C−PAD的体积.1817分）已知椭圆的右焦点为F，点P在椭圆C上．且离心（1）求椭圆C的方程；（2）直线l斜率存在，交椭圆C于A，B两点，A，B，F三点不共线，且直线AF和直线BF关于PF对称.（i）证明：直线l过定点；(ⅱ)求△ABF面积的最大值.1917分）已知函数−lnx+x−a.（1）当a=1，求函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程；（2）若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；（3）证明：若f(x)有两个零点x1,x2，则x1x2<1.57月月考数学答案【详解】(1):an+1=，+1，:数列是以为首项，1为公差的等差数=2+n−1=n+1，:an=；:当n=1时，2S1=31+1−3=6，即b1=S1=3，当n≥2时，2Sn−1=3n−3，所以16.(1(2)分布列及期望见解析.(3)E(Y)=13【详解】（1）设“有女教师参加活动”为事件A，“恰有一名女教师参加活动”为事件B，（2）依题意知X服从超几何分布6所以X的分布列为：X012P25 （3）设一名女教师参加活动可获得分数为X1，一名男教师参加活动可获得分数为X2，则X1的所有可能取值为3,6，X2的所有可能取值为6,9，P名女教师参加活动，则男教师有2−X名参加活动=15−3X，所以即两个教师得分之和的期望为13分.17(3)48【详解】（1）如图，连接BD.因为M,N分别为PB,PD的中点，所以MN为△PBD的中位线，则MN∥BD.因为MN丈平面ABCD,BD⊂平面ABCD，所以MN//平面ABCD.（2）如图，过A作AH丄PC交PC于H.因平面PBC丄平面PAC，平面PBC∩平面PAC=PC，AH⊂平面PAC，故AH丄平面PBC．因为BC⊂平面PBC，所以AH丄BC．因为PA丄平面ABCD,BC⊂平面ABCD，所以PA丄BC．因为PA∩AH=A，所以BC丄平面PAC，又AC⊂平面PAC，所以BC丄AC.（3）如图3，过C作CF丄AB交AB于F，过F作FE丄PB交PB于E，连接CE．因PA丄平面ABCD，CF⊂平面ABCD,则CF⊥PA,因AB∩PA=A,AB,PA⊂平面PAB,故得CF丄平面PAB.因PB⊂平面PAB,则CF丄PB．因为FE丄PB,FE∩CF=F，FE,CF⊂平面CEF,所以PB丄平面CEF.又CE⊂平面CEF，则PB丄CE，则∠FEC即为二面角C−PB−A的平面7AB=8,PA=6，所以PB=10．由△BEF∽△BAP，得，即则BF=5x,AF=8−5x．又由△BFC∽△CFA，得，即解得 18．+y2=1(2)(i)证明见解析i）【详解】（1）因为椭圆离心率为击·则a=c,a2=b2+c2=2c2,b2=c2，2a2=2，所以椭圆C的方程为+y2=1.（2i）设直线l的方程为y=kx+m，由得1+2k2x2+4kmx+2m2−2=0，因为l交椭圆C于A,B两点，所以,x1x2=x1+,x1x2=因为直线AF和直线BF关于PF对称，PF丄x轴，所以4km2−4k−4km2+4k2m−4mk2−2m=0，解得m=−2k.所以直线l的方程为y=kx−2k=k(x−2)，所以直线l过定点(2,0).（i）由题意知l斜率不可能为0,设直线l的方程为x=ny+2，由1n2+28y1解得n2>2，则y1+y2=−y12−4==−所以y1−y2=2−4==−,t=4即n2=6时取等号，所以△ABF面积的最大值为.【详解】（1）当a=1，f(x)=−lnx+x−1，,因为f(1)=e,f′(1)=0,所以函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=e.,令f′(x)=0,得x=,令f′(x)=0,得x=1当x∈(0,1),f′(x)<0,f(x)在(0,1)上单调递减，当x∈(1,+∞),f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上单调递增，f(x)≥f(1)=e+1−a，若f(x)≥0,则e+1−a≥0,即a≤e+1，所以a的取值范围为(−∞,e+1].（3）由题知,f(x)一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设x1<1<x2，要证x1x2<1,即证−lnx+x−xe: