九年级数学下册试题 5.2.1 二次函数的图像与性质（y=ax2、y=ax2 ka≠0）-沪科版（含答案）

5.2.1二次函数的图像与性质（y=ax2、y=ax2+k，a≠0）一．单选题1．关于二次函数y＝﹣12x2A．开口向下 B．顶点是原点 C．对称轴是y轴 D．y随x的增大而减小2．若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（）A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）3．已知抛物线y＝ax2（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（）A．y1＞y2＞0 B．y2＞y1＞0 C．y1＞0＞y2 D．y2＞0＞y14．已知点（x1，﹣7）和点（x2，﹣7）（其中x1≠x2）均在抛物线y＝ax2上，则当x＝x1+x2时，y值是（）A．0 B．﹣3.5 C．﹣7 D．﹣145．如图，ab＞0时，当二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+a的图象大致是（）A． B． C． D．6．如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝x2的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线AC的长为（）A．2 B．23 C．25 D．267．二次函数y＝﹣x2+3的图象的顶点坐标是（）A．（0，0） B．（0，3） C．（0，﹣3） D．（3，0）8．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝a（x+c）2的图象大致为（）A． B．C． D．二．填空题9．关于二次函数y＝﹣14x2（1）其图象开口向，对称轴是，顶点坐标为，当x＞0时，y随x的增大而，当x＜0时，y随x的增大而，当x＝时，y有最值，其值是．（2）若A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（﹣3，y3）为函数图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是．10．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为．11．如图，抛物线y＝x2与矩形ABCD交于E、F两点，y=12x2与矩形ABCD交于A、D两点，y=﹣14x2与矩形ABCD交于B、C两点，若点A的横坐标为﹣1，则图中阴影部分面积的和为12．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上，则a的值为．13．与抛物线y＝﹣12x2+3的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，﹣2）的抛物线解析式是三．解答题14．已知函数y＝（m+2）xm2+求：（1）满足条件的m值；（2）当m为何值时，抛物线有最低点？求出此最低点，在这种情况下，当x为何值时，y随着x增大而增大？15．有一座桥，桥孔的形状是一条开口向下的抛物线y＝﹣12x（1）画出桥孔抛物草图；（2）利用图象求：当水平线离开抛物线顶点2米时，水面的宽是多少米？（3）利用图象求：当水面宽为6米时，水平线离顶点的距离为多少米？（精确到0.1米）16．已知二次函数y＝ax2的图象经过点A（12，18）、B（3，（1）求a与m的值；（2）当﹣2＜x＜4时，函数值y的取值范围．17．不画函数y＝﹣x2和y＝﹣x2+1的图象，回答下面的问题：（1）抛物线y＝﹣x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y＝﹣x2？（2）函数y＝﹣x2+1，当x时，y随x的增大而减小；当x时，函数y有最大值，最大值y是；其图象与y轴的交点坐标是；与x轴的交点坐标是．（3）试说出抛物线y＝x2﹣3的开口方向、对称轴和顶点坐标．18．如图所示，直线l经过点A（4，0）和B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于P点，若△AOP的面积为4．（1）求点P的坐标；（2）求二次函数的解析式；（3）能否将抛物线y＝ax2上下平移，使平移后的抛物线经过点A？如果能，请求出平移后的解析式；如果不能，请说明理由．19．如图，已知抛物线y＝ax2+c过点（﹣2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l；y＝kx+2与抛物线交于A，B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为点C．（1）求抛物线的表达式；（2）当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系，并证明你的判断．20．如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y＝x2（x≥0）和抛物线C2：y＝14x2（x≥0）交于A、B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C、D，过点B作BE∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E、F，求S△OFB：S△EAD21．如图，直线l过x轴上一点A（2，0），且与抛物线y＝ax2相交于B，C两点，B点坐标为（1，1）．（1）求直线AB的表达式及抛物线y＝ax2的表达式．（2）求点C的坐标．（3）点P（m，y1）在直线AB上，点Q（m，y2）在抛物线y＝ax2上．若y2＜y1，直接写出m的取值范围．（4）若抛物线上有一点D（在第一象限内）使得S△AOD＝S△OBC，求D点坐标．（5）在x轴上是否存在一点P，使△POC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图1，抛物线y＝ax2+b的顶点坐标为（0，﹣1），且经过点A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，若将抛物线y＝ax2+b中在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不变，就得到了函数y＝|ax2+b|，P是y＝|ax2+b|图象上的任意一点，直线l是经过（0，1）且平行于x轴的直线，过点P作直线l的垂线，垂足为D，猜想并探究：PO与PD的差是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．23．如图，已知抛物线y＝ax2+c过点（﹣4，5），（1，54）过定点F（0，2）的直线l：y＝kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C（1）求抛物线的解析式；（2）设点D（a，0）在x轴上运动，连接FD，作FD的垂直平分线与过点D作x轴的垂线交于点I，判断点I是否在抛物线y＝ax2+c，并证明你的判断；（3）若k＝1，设AB的中点为M，抛物线上是否存在点P，使得△PMF周长最小，若存在求出周长的最小值，若不存在说明理由；（4）若B（2+22，4+22），在抛物线上是否存在点Q，使得△QAB的面积为42，若存在求出点Q的坐标，若不存在说明理由．答案一．单选题1．【详解】解：A、由a＝﹣12B、顶点坐标为（0，0），此选项正确；C、对称轴是直线x＝0，即y轴，此选项正确；D、在y轴的左侧y随x的增大而增大，在y轴的右侧，y随x的增大而减小，此选项错误．故选：D．2．【详解】解：∵二次函数y＝ax2的对称轴为y轴，∴若图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（2，4）．故选：A．3．【详解】解：∵抛物线y＝ax2（a＞0），∴x＜0时，y随x的增大而减小，∵﹣2＜﹣1＜0，∴y1＞y2＞0．故选：A．4．【详解】解：∵抛物线y＝ax2的对称轴为y轴，点（x1，﹣7）和点（x2，﹣7）（x1≠x2）均在抛物线y＝ax2上，∴x＝x1+x2＝0，将x＝0代入y＝ax2，则y＝0．故选：A．5．【详解】解：当a＞0时，b＞0，二次函数开口向上，一次函数交y轴的正半轴，且呈上升趋势，没有符合题意的选项；当a＜0时，b＜0，二次函数开口向下，一次函数交y轴的负半轴，且呈下降趋势，A选项符合，B选项不符合．故选：A．6．【详解】解：设点B的横坐标为为a，∵点B的横坐标与纵坐标之和等于6，∴点B的纵坐标为6﹣a，∵点B在抛物线y＝x2的第一象限的图象上，∴6﹣a＝a2，解得：a1＝﹣3（不合题意，舍去），a2＝2，∴6﹣a＝4，∴点B的坐标为（2，4），如图，连接OB，则OB＝22+4∵四边形OABC是正方形，∴AC＝OB＝25．故选：C．7．【详解】解：∵二次函数的表达式为y＝﹣x2+3，∴二次函数y＝﹣x2+3的顶点坐标是（0，3）．故选：B．8．【详解】解：A、函数y＝ax+c中，a＞0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＜0，c＜0，故A错误；B、函数y＝ax+c中，a＜0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＜0，c＞0，故B正确；C、函数y＝ax+c中，a＞0，c＜0，y＝a（x+c）2中，a＞0，c＞0，故C错误；D、函数y＝ax+c中，a＜0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＞0，c＜0，故D错误．故选：B．二．填空题9．解：（1）∵y＝﹣14x2∴该图象开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0），当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＝0时，y有最小值，其值是0．故答案为：下，y轴，（0，0），减小，增大，0，小，0；（2）∵当x＜0时，y随x的增大而增大，﹣3＜﹣2＜﹣1，∴y3＜y1＜y2．故答案为：y3＜y1＜y2．10．【详解】解：∵直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），∴a＞b＞d＞c．11．【详解】解：∵点A的横坐标为﹣1，∴y＝12×（﹣1）2＝12，y＝﹣14×（﹣1）2∴点A（﹣1，12），B（﹣1，﹣1∴AB＝12﹣（﹣14）＝根据二次函数的对称性，BC＝1×2＝2，阴影部分的面积＝12S矩形ABCD＝12×2×34故答案为：3412．【详解】解：如图，连接OB，∵四边形OABC是边长为1的正方形，∴∠BOC＝45°，OB＝2，过点B作BD⊥x轴于D，∵OC与x轴正半轴的夹角为15°，∴∠BOD＝45°﹣15°＝30°，∴BD＝12OB＝2OD＝22−2∴点B的坐标为（62，﹣2∵点B在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上，∴a（62）2＝﹣2解得：a＝﹣23故答案为：﹣2313．【详解】解：∵形状与抛物线y＝﹣12x2∴设抛物线的关系式为y＝12x2+k将顶点坐标是（0，﹣2）代入，解得：k＝﹣2，∴y＝12x2故答案为：y＝12x2三．解答题14．解：（1）∵函数y＝（m+2）xm2+∴m+2≠0m2+m−4=2，解得：即m的值是﹣3或2；（2）由（1）知，m＝﹣3或m＝﹣2，∴m+2＝﹣1或m+2＝4，∴当m＝2时，y＝4x2，该抛物线有最低点，在这种情况下，该函数的最低点的坐标为（0，0），当x＞0时，y随x的增大而增大．15．解：（1）函数图象如图所示：（2）将y＝﹣2代入解析式得：﹣12x2＝﹣2，解得：x1＝﹣2，x2故水面的宽度＝2﹣（﹣2）＝4（米）；（3）由抛物线的对称性可知：x1＝﹣3，x2＝3，将x＝3代入得：y＝﹣12×3216．解：（1）把A（12，18）代入y＝ax2得：a×（12）2＝18，解得：∴二次函数的解析式为y＝12x2把B（3，m）代入函数解析式得：m＝12×32＝9（2）x＝4时，y＝12×42＝8，x＝0时，y∴当﹣2＜x＜4时，函数值y的取值范围0＜y＜8．17．解：（1）根据抛物线平移的知识可知：y＝﹣x2+1向下平移1个单位长度才能得到抛物线y＝﹣x2；（2）函数y＝﹣x2+1，当x＞0时，y随x的增大而减小；∵当x＝0时，y＝1，∵当x＝0时，函数y有最大值，最大值y是1；其图象与y轴的交点坐标是（0，1）；∵当y＝0时，﹣x2+1＝0，解得：x＝±1，∴与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（1，0）．故答案为：＞0；＝0；1；（0，1）；（﹣1，0），（1，0）；（3）抛物线y＝x2﹣3开口向上，对称轴为x＝0即y轴，顶点坐标为（0，﹣3）．18．解：（1）设直线l的解析式为：y＝kx+b，∵直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点，∴4k+b＝0，b＝4，∴k＝﹣1，b＝4，∴y＝﹣x+4，∵△AOP的面积为4，∴12×4×yp∴yp＝2，∴2＝﹣x+4，解得：x＝2，∴点P的坐标为（2，2）；（2）把点P（2，2）代入y＝ax2得：2＝a×（2）2，解得：a＝12∴二次函数的解析式为y＝12x2（3）能，理由如下：设将抛物线y＝12x2上下平移后的解析式为y＝12x2+把点A（4，0）代入得：y＝12×42+m，解得：m∴能将抛物线y＝ax2向下平移8个单位长度，使平移后的抛物线经过点A，平移后的解析式为：y＝12x219．解：（1）把点（﹣2，2），（4，5）代入y＝ax2+c得：4a+c∴抛物线解析式为y＝14x2（2）BF＝BC，证明：设B（x，14x2+1），而BC⊥x轴，F∴BC＝14x2+1，BF2＝x2+（14x2+1﹣2）2＝x2+（14x2﹣1）2＝（14x∴BF＝14x2∴BF＝BC．20．解：设点A、B横坐标为a，则点A纵坐标为a2，点B的纵坐标为a2∵BE∥x轴，∴点F纵坐标为a2∵点F是抛物线y＝x2上的点，∴点F横坐标为x＝y＝12a∵CD∥x轴，∴点D纵坐标为a2，∵点D是抛物线y＝x2∴点D横坐标为x＝4y＝2a∴AD＝a，BF＝12a，CE＝34a2，OE＝14∴S△OFB：S△EAD＝（12•BF•OE）：（12•AD•CE）＝18×4故答案为：1621．解：（1）把B（1，1）代入y＝ax2得a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2，设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（2，0），B（1，1）代入得：2k+b∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2；（2）解方程组y=−x+2y=∴C点坐标为（﹣2，4）；（3）若y2＜y1，m的取值范围为﹣2＜m＜1；（4）S△COB＝S△COA﹣S△AOB＝12×2×4﹣1设D（t，t2）（t＞0），∵S△AOD＝S△COB，∴12•2•t2＝3，解得：t＝3或t＝﹣3∴D（3，3）；（5）由（2）可知：C（﹣2，4）、B（1，1），∴OC＝22+4①当OC＝OP＝25时，P1（﹣25，0），P2（25，0）；②当OP＝PC时，点P是线段OC的垂直平分线与x轴的交点．∵C（﹣2，4），∴OC中点D的坐标是（﹣1，2），∴直线PD的解析式为：y＝12x+5则易得：P3（﹣5，0）；③当OC＝PC＝25时，P4（﹣4，0）．综上，点P的坐标为：P1（﹣25，0），P2（25，0），P3（﹣5，0），P4（﹣4，0）．22．解：（1）根据题意，设抛物线解析式为y＝ax2﹣1，将点A（﹣2，0）代入得：4a﹣1＝0，解得：a＝14∴抛物线的解析式为y＝14x2（2）不一定是定值，理由如下：根据点的对称性，翻折后的抛物线表达式为y＝﹣14x2①设点P（m，﹣14m2+1），则点D（m，1），即点P在AB之间的抛物线上时，即﹣2＜m由勾股定理得：OP＝m2+−14∵PD＝1﹣（﹣14m2+1）＝14m∴PO﹣PD＝1；②设点P（m，14m2﹣1），则点D（m，1），即点P在AB两侧的抛物线上，且m＞22或m＜﹣22由勾股定理得：OP＝m2+14m∵PD＝（14m2﹣1）﹣1＝14m∴PO﹣PD＝3；③设点P（m，14m2﹣1），则点D（m，1），即点P在AB两侧的抛物线上，且2＜m≤22或﹣22≤m由勾股定理得：OP＝m2+14m∵PD＝1﹣（14m2﹣1）＝2﹣14m∴PO﹣PD＝12m2∴PO﹣PD