2023-2024学年山东省东营市广饶县七年级（下）期末数学试卷（五四学制） （含解析）

2023-2024学年山东省东营市广饶县七年级（下）期末数学试卷（五四学制）一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来。每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分。1．下列事件中是确定事件的是（）A．打开电视机，正在播放中央电视台的《开学第一课》 B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C．早上的太阳从东方升起 D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数2．若x＜y，则下列各不等式中成立的是（）A．x﹣6＞y﹣6 B．﹣3x＜﹣3y C．xz＜yz D．2x+1＜2y+13．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（）A．m2﹣4＝（m+2）（m﹣2） B．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1 C．（a﹣3）（a+3）＝a2﹣9 D．（x+2）2＝x2+4x+44．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（）A．5 B．6 C．8 D．105．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠A的度数为（）A．56° B．34° C．36° D．24°6．两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大990．若设较大的两位数为x，较小的两位数为y，根据题意可列方程组（）A． B． C． D．7．如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E．若AE＝2cm，△ABC的周长为15cm，则△ABD的周长为（）A．11cm B．13cm C．15cm D．17cm8．若点P（a+1，2﹣2a）关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（）A． B． C． D．9．已知方程组和有相同的解，则a，b的值为（）A． B． C． D．10．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③CP＝CQ；④OC平分∠BCD；⑤∠AOB＝60°．其中正确的结论有（）A．①③⑤ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分。只要求填写最后结果。11．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在白色区域的概率是．12．已知一次函数y＝3x﹣1与y＝2x图象的交点是（1，2），则方程组的解为．13．多项式3a3m﹣6a2m+12am的公因式是．14．已知关于x、y的二元一次方程组满足x﹣y＞0，则a的取值范围是．15．等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角为度．16．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，AD＝20，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE＝DF，则DE的长度为．17．关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰Rt△AOE∠OAB＝90°，直角边AO在x轴上，且AO＝1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰Rt△A1OB1，且A1O＝2AO；再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰Rt△A2OB2，且A2O＝2A1O；……依此规律，得到等腰Rt△A2024OB2024，则点B2024的坐标为．三、解答题：本大题共7小题，共62分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19．（1）解方程组：；（2）求不等式组的解㷛，并在数轴上表示它的解集．20．（1）因式分解：4xy2﹣4x2y﹣y3；（2）因式分解：（x2+1）2﹣4x2．21．课堂上，老师提出问题：如图，OM，ON是两条马路，点A，B处是两个居民小区，现要在两条马路之间的空场处建活动中心P，使得活动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等，如何确定活动中心P的位置？（1）利用尺规作图确定点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）写出作图依据：．22．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，∠B＝30°．（1）求∠C的度数；（2）若DE＝2，求BC的长．23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣2，6），与x轴交于点B，与正比例函数y2＝3x的图象交于点C，且点C的横坐标为1．（1）求k，b的值；（2）请根据图象直接写出kx+b＞3x的解集；（3）若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标．24．新能源汽车越来越受到人们的喜爱，某新能源汽车厂为了满足订单需求，决定扩大产能，计划招聘A，B两个工种的工人．若招聘A工种4人与招聘B工种3人工厂每月需要支付的基本工资相同；已知招聘A工种3人，B工种2人．工厂每月需要支付的基本工资为17000元．（1）求A工种和B工种工人每月的基本工资是多少？（2）该工厂决定招聘A，B两个工种工人共150人，现要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍，那么招聘A工种工人多少人时，可使每月所付的基本工资总额最少？最少工资总额是多少？25．阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．（1）问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，求证：△ADC≌△CEB；（2）问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．（3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），C（1，3），△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，求B点坐标．四、附加题：写出必要的推理过程或演算步骤。26．在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：甲：x2﹣xy+4x﹣4y＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）＝（x﹣y）（x+4）乙：a2﹣b2﹣c2+2bc＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）请在他们的解法启发下解答下面各题：（1）因式分解：a2+b2﹣9﹣2ab；（2）若a﹣b＝﹣5，b﹣c＝3，求式子ab﹣bc+ac﹣a2的值．（3）已知△ABC的三边a、b、c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，则△ABC为三角形．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来。每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分。1．下列事件中是确定事件的是（）A．打开电视机，正在播放中央电视台的《开学第一课》 B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C．早上的太阳从东方升起 D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数解：A、打开电视机，正在播放中央电视台的《开学第一课》是随机事件；B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件；C、早上的太阳从西方升起是不可能事件即是确定事件；D、任意买一张电影票，座位号是2的倍数是随机事件；故选：C．2．若x＜y，则下列各不等式中成立的是（）A．x﹣6＞y﹣6 B．﹣3x＜﹣3y C．xz＜yz D．2x+1＜2y+1解：A、∵x＜y，∴x﹣6＜y﹣6，则此项不成立，不符题意；B、∵x＜y，∴﹣3x＞﹣3y，则此项不成立，不符题意；C、∵x＜y，∴当z＜0时，xz＞yz，则此项不成立，不符合题意；D、∵x＜y，∴2x＜2y，所以2x+1＜2y+1，则此项成立，符合题意；故选：D．3．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（）A．m2﹣4＝（m+2）（m﹣2） B．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1 C．（a﹣3）（a+3）＝a2﹣9 D．（x+2）2＝x2+4x+4解：A、运用平方差公式进行的因式分解，故是因式分解，符合题意；B、右边不是积的形式，故不是因式分解，不符合题意；C、右边不是积的形式，故不是因式分解，不符合题意；D、右边不是积的形式，故不是因式分解，不符合题意；故选：A．4．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（）A．5 B．6 C．8 D．10解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∵AB＝5，AD＝3，∴BD＝＝4，∴BC＝2BD＝8，故选：C．5．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠A的度数为（）A．56° B．34° C．36° D．24°解：如图，∵∠1＝58°，a∥b，∴∠3＝∠1＝58°．∵∠2＝24°，∠A＝∠3﹣∠2，∴∠A＝58°﹣24°＝34°．故选：B．6．两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大990．若设较大的两位数为x，较小的两位数为y，根据题意可列方程组（）A． B． C． D．解：根据题意，得．故选：C．7．如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E．若AE＝2cm，△ABC的周长为15cm，则△ABD的周长为（）A．11cm B．13cm C．15cm D．17cm解：由作图可知，MN垂直平分线段AC，∴AD＝DC，AE＝EC＝2cm，∵△ABC的周长为15cm，∴AB+BC＝15﹣4＝11（cm），∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝11（cm）．故选：A．8．若点P（a+1，2﹣2a）关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（）A． B． C． D．解：∵点P（a+1，2﹣2a）关于x轴的对称点在第四象限，∴点P在第一象限，∴，解得：﹣1＜a＜1，在数轴上表示为：，故选：C．9．已知方程组和有相同的解，则a，b的值为（）A． B． C． D．解：∵方程组和有相同的解，∴方程组的解也它们的解，解得：，代入其他两个方程得，解得：，故选：D．10．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③CP＝CQ；④OC平分∠BCD；⑤∠AOB＝60°．其中正确的结论有（）A．①③⑤ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤解：∵△ABC和△DCE是等边三角形，∴BC＝AC＝AB，DE＝DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCA+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE．在△DCA和△ECB中，，∴△DCA≌△ECB（SAS），∴AD＝BE，故①正确，符合题意；∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，∵∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠BCD＝60°，∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，在△ACP和△BCQ中，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴CP＝CQ，故③正确，符合题意；∵CP＝CQ，∠PCQ＝60°，∴△PCQ是等边三角形，∴∠CPQ＝60°，∴∠ACB＝∠CPQ，∴PQ∥AE，故②正确，符合题意；过点C作CH⊥EQ于H，CG⊥DP于G，∵△DCA≌△ECB，∴S△DCA＝S△ECB，AD＝BE，∴，∴CH＝CG，∴OC平分∠AOE，而不是平分∠BCD，故④错误，不符合题意；∵△DCA≌△ECB，∴∠ADC＝∠AEO，∴∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，∴故结论⑤正确．综上所述，正确的结论有①②③⑤，故选：B．二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分。只要求填写最后结果。11．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在白色区域的概率是．解：指针落在白色区域的概率是＝．故答案为：．12．已知一次函数y＝3x﹣1与y＝2x图象的交点是（1，2），则方程组的解为．解：∵一次函数y＝3x﹣1与y＝2x图象的交点是（1，2），∴方程组的解为，故答案为：．13．多项式3a3m﹣6a2m+12am的公因式是．解：多项式3a3m﹣6a2m+12am的公因式是3am，故答案为：3am．14．已知关于x、y的二元一次方程组满足x﹣y＞0，则a的取值范围是．解：，①﹣②得：x﹣y＝4a﹣3，代入x﹣y＞0得：4a﹣3＞0，解得：a＞．15．等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角为度．解：①如图，∵BD是△ABC的高，AB＝AC，BD＝AB，∴∠A＝30°，②如图，∵CD是△ABC边BA上的高，DC＝AC，∴∠DAC＝30°，∴∠BAC＝180°﹣30°＝150°，故答案为：30或150．16．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，AD＝20，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE＝DF，则DE的长度为．解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°，在Rt△ADE中，∠BAD＝30°，∴DE＝AD＝10，故答案为：10．17．关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是．解：解不等式2x﹣3≥x得：x≥3，∵关于x的不等式组无解，∴m＜3，故答案为：m＜3．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰Rt△AOE∠OAB＝90°，直角边AO在x轴上，且AO＝1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰Rt△A1OB1，且A1O＝2AO；再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰Rt△A2OB2，且A2O＝2A1O；……依此规律，得到等腰Rt△A2024OB2024，则点B2024的坐标为．解：∵△AOB是等腰直角三角形，且AO＝1，∴AB＝AO＝1，∴点B的坐标为（1，1）．由旋转可知，∠A1OA＝90°，∠OA1B1＝90°，∵A1O＝2AO，∴A1O＝A1B1＝2，∴点B1的坐标为（2，﹣2）．同理可得，点B2的坐标为（﹣22，﹣22），点B3的坐标为（﹣23，23），点B4的坐标为（24，24），点B5的坐标为（25，﹣25），…，由此可见，每旋转四次，点Bn所在象限重复出现，且其横纵坐标的绝对值都是2n（n为正整数），因为2024÷4＝506，则点B2024在第一象限，所以点B2024的坐标为（22024，22024）．故答案为：（22024，22024）．三、解答题：本大题共7小题，共62分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19．（1）解方程组：；（2）求不等式组的解㷛，并在数轴上表示它的解集．解：（1）整理得，由①×3﹣②×4得：7y＝28，解得y＝4，将y＝4代入①得：4x﹣12＝12，解得x＝6，∴方程组的解为：；（2），由①得：x≥1，由②得：x＜4，∴原不等式组的解集为：1≤x＜4．将不等式组的解集表示在数轴上如下：．20．（1）因式分解：4xy2﹣4x2y﹣y3；（2）因式分解：（x2+1）2﹣4x2．解：（1）4xy2﹣4x2y﹣y3＝﹣y（4x2﹣4xy+y2）＝﹣y（2x﹣y）2；（2）（x2+1）2﹣4x2＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）＝（x+1）2（x﹣1）2．21．课堂上，老师提出问题：如图，OM，ON是两条马路，点A，B处是两个居民小区，现要在两条马路之间的空场处建活动中心P，使得活动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等，如何确定活动中心P的位置？（1）利用尺规作图确定点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）写出作图依据：．解：（1）如图1，点P为所求；（2）作∠MON的平分线OC，线段AB的垂直平分线DE，DE交OC于点P，连接PA，PB，过点P作PF⊥ON于点F，PG⊥OM于点G．∵PF⊥ON，PG⊥OM，且点P在∠MON的平分线上，∴PF＝PG（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），即活动中心P到两条马路的距离相等，∵点P在线段AB的垂直平分线DE上，∴PA＝PB（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），即活动中心P到两个小区的距离也相等，∴点P为所求作的点．故答案为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．22．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，∠B＝30°．（1）求∠C的度数；（2）若DE＝2，求BC的长．解：（1）∵DE是边AB上的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠B＝∠BAE＝30°．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠EAC＝30°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝30°+30°＝60°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°；（2）∵AE平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴EC＝ED＝2，∵DE垂直平分AB，∴∠BDE＝90°．在△BDE中，∵∠BDE＝90°．∠B＝30°．∴BE＝2DE＝4．∴BC＝BE+EC＝4+2＝623．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣2，6），与x轴交于点B，与正比例函数y2＝3x的图象交于点C，且点C的横坐标为1．（1）求k，b的值；（2）请根据图象直接写出kx+b＞3x的解集；（3）若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标．解：（1）∵点C的横坐标是1，∴当x＝1时，y2＝3，∴C（1，3）把（1，3）和（﹣2，6）分别代入y1＝kx+b可得：，解得：；（2）由图象可知：kx+b＞3x的解集是x＜1时；（3）当y＝0时，则：﹣x+4＝0，解得：x＝4，∴B（4，0），设点D坐标为：（0，m）（m＜0），∵，∴，解得：m＝±4．∴D（0，﹣4）或（0，4）．24．新能源汽车越来越受到人们的喜爱，某新能源汽车厂为了满足订单需求，决定扩大产能，计划招聘A，B两个工种的工人．若招聘A工种4人与招聘B工种3人工厂每月需要支付的基本工资相同；已知招聘A工种3人，B工种2人．工厂每月需要支付的基本工资为17000元．（1）求A工种和B工种工人每月的基本工资是多少？（2）该工厂决定招聘A，B两个工种工人共150人，现要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍，那么招聘A工种工人多少人时，可使每月所付的基本工资总额最少？最少工资总额是多少？解：（1）设A工种工人每月的基本工资是x元，B工种工人每月的基本工资是y元，根据题意得：，解得：．答：A工种工人每月的基本工资是3000元，B工种工人每月的基本工资是4000元；（2）设招聘A工种工人m人，则招聘B工种工人（150﹣m）人，根据题意得：150﹣m≥2m，解得：m≤50，设该工厂招聘A，B两个工种工人每月所付的基本工资总额是w元，则w＝3000m+4000（150﹣m），即w＝﹣1000m+600000，∵﹣1000＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝50时，w取得最小值，最小值为﹣1000×50+600000＝550000＝55（万元）．答：招聘A工种工人50人时，可使每月所付的基本工资总额最少，最少工资总额是55万元．25．阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．（1）问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，求证：△ADC≌△CEB；（2）问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．（3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），C（1，3），△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，求B点坐标．【解答】（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠ECB＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解