高三数学单元知识点复习试题28

第2讲导数在研究函数中的应用★知识梳理★函数的单调性与导数的关系一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内；如果，那么函数在这个区间内.解析：单调递增；单调递减2.判别f(x0)是极大、极小值的方法若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是解析：极大值点；极小值.3．解题规律技巧妙法总结:求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x).(2)求方程f′(x)=0的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.4．求函数最值的步骤：（1）求出在上的极值.（2）求出端点函数值.（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.★重难点突破★1.重点：熟悉利用导数处理单调性、极值与最值的一般思路，熟练掌握求常见函数的单调区间和极值与最值的方法2.难点：与参数相关单调性和极值最值问题3.重难点：借助导数研究函数与不等式的综合问题（1）在求可导函数的极值时，应注意可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。问题1.设，．令，讨论在内的单调性并求极值；点拨:根据求导法则有，故，于是，2减极小值增列表如下：故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．（2）借助导数处理函数的单调性，进而研究不等关系关键在于构造函数.问题2.已知函数是上的可导函数，若在时恒成立.（1）求证：函数在上是增函数；（2）求证：当时，有.点拨:由转化为为增函数是解答本题关键.类似由转化为为增函数等思考问题的方法是我们必须学会的.（1）由得因为，所以在时恒成立，所以函数在上是增函数.（2）由（1）知函数在上是增函数，所以当时，有成立，从而两式相加得★热点考点题型探析★考点1:导数与函数的单调性题型1.讨论函数的单调性例1(08广东高考)设，函数，，，试讨论函数的单调性．【解题思路】先求导再解和【解析】对于，当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是减函数，在上是增函数；对于，当时，函数在上是减函数；当时，函数在上是减函数，在上是增函数。【名师指引】解题规律技巧妙法总结:求函数单调区间的一般步骤.求函数的导数（2）令解不等式，得的范围就是单调增区间;令解不等式，得的范围就是单调减区间（3）对照定义域得出结论.[误区警示]求函数单调区间时，容易忽视定义域，如求函数的单调增区间，错误率高，请你一试，该题正确答案为.题型2.由单调性求参数的值或取值范围例2:若在区间[－1,1]上单调递增，求的取值范围.【解题思路】解这类题时,通常令(函数在区间上递增)或(函数在区间上递减),得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解.解析：又在区间[－1,1]上单调递增在[－1,1]上恒成立即在[－1,1]的最大值为故的取值范围为【名师指引】:本题主要考查函数的单调性与导数正负值的关系,要特别注意导数值等于零的用法.题型3.借助单调性处理不等关系例3.当，求证【解题思路】先移项,再证左边恒大于0解析：设函数当时，，故在递增，当时，,又，，即，故【名师指引】若要证的不等式两边是两类不同的基本函数，往往构造函数，借助于函数的单调性来证明【新题导练】.1.若函数f(x)=x3－ax2+1在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是A.a≥3B.a=2 C.a≤3 D.0<a<3分析：本题主要考查导数的应用.利用函数的单调性及二次函数的图象确定参数的范围.解析：f′(x)=3x2－2ax=3x(x－a),由f(x)在(0，2)内单调递减，得3x(x－a)≤0,即a≥2,∴a≥3.答案：A2.函数y=x3+x的单调增区间为A.(－∞,+∞) B.(0,+∞) C.(－∞,0) D.不存在解析：∵y′=3x2+1>0恒成立，∴y=x3+x在(－∞,+∞)上为增函数，没有减区间.答案：A3.已知函数,,设．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；解析：（I），∵，由，∴在上单调递增。 由，∴在上单调递减。∴的单调递减区间为，单调递增区间为。（II），恒成立当时，取得最大值。∴，∴考点2:导数与函数的极值和最大(小)值.题型1.利用导数求函数的极值和最大(小)值例1.若函数在处取得极值,则.【解题思路】若在附近的左侧，右侧，且,那么是的极大值；若在附近的左侧，右侧，且,那么是的极小值.[解析]因为可导,且,所以,解得.经验证当时,函数在处取得极大值.【名师指引】若是可导函数，注意是为函数极值点的必要条件.要确定极值点还需在左右判断单调性.例2．（2008·深圳南中）设函数（），其中，求函数的极大值和极小值．【解题思路】先求驻点，再列表判断极值求出极值。解析：.，．令，解得或．由于，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且．【名师指引】求极值问题严格按解题步骤进行。例3.(广东省深圳外国语学校2009届高三上学期第二次统测)已知函数.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若对所有都有，求实数的取值范围.【解题思路】先求极值再求端点值,比较求出最大(小)值.当区间只有一个极大(小)值时,该值就是最大(小)值解析：的定义域为，…………1分的导数.………………3分令，解得；令，解得.从而在单调递减，在单调递增.………………5分所以，当时，取得最小值.…………6分（Ⅱ）解法一：令，则，……8分=1\*GB3①若，当时，，故在上为增函数，所以，时，，即.……10分=2\*GB3②若，方程的根为，此时，若，则，故在该区间为减函数.所以时，，即，与题设相矛盾.……13分综上，满足条件的的取值范围是.……14分解法二：依题意，得在上恒成立，即不等式对于恒成立.……8分令，则.……10分当时，因为，故是上的增函数，所以的最小值是，………………13分所以的取值范围是.…………14分【名师指引】求函数在闭区间上的最大值（或最小值）的步骤：①求在内的极大（小）值，=2\*GB3②将极大（小）值与端点处的函数值进行比较，其中较大者的一个是最大者，较小的一个是最小者．题型2.已知函数的极值和最大(小)值，求参数的值或取值范围。例3．（广东省六校2009届高三第二次联考）已知函数图像上的点处的切线方程为．（1）若函数在时有极值，求的表达式（2）函数在区间上单调递增，求实数的取值范围【解题思路】求函数的解析式一般用待定系法法，求参数的取值范围一般需建立关于参数的不等式（组）解析：，-----------------2分因为函数在处的切线斜率为-3，所以，即，------------------------3分又得。------------------------4分（1）函数在时有极值，所以，-------5分解得，------------------------------------------7分所以．------------------------------------8分（2）因为函数在区间上单调递增，所以导函数在区间上的值恒大于或等于零，--------------------------------10分则得，所以实数的取值范围为----14分【名师指引】已知在处有极值，等价于。【新题导练】4．在区间上的最大值为，则=（）A. B. C. D.或解析：选B在上的最大值为，且在时，，解之或（舍去），选B.5．在区间上的最大值是A．B．0C．2[解析]，令可得或（2舍去），当时，0，当时，0，所以当时，f（x）取得最大值为2.选C6．已知函数是上的奇函数，当时取得极值.（1）求的单调区间和极大值；（2）证明对任意不等式恒成立.[解析]（1）由奇函数定义，有.即因此，由条件为的极值，必有故,解得 因此当时，，故在单调区间上是增函数.当时，，故在单调区间上是减函数.当时，，故在单调区间上是增函数.所以，在处取得极大值，极大值为（2）由(1)知，是减函数，且在上的最大值为最小值为所以，对任意恒有[方法技巧]善于用函数思想不等式问题,如本题.★抢分频道★基础巩固训练1．（广东省六校2009届高三第二次联考试卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在内有极小值点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解析：观察图象可知，只有一处是先减后增的，选A2．、函数有（）A.极小值－1，极大值1 B.极小值－2，极大值3C. 极小值－2，极大值2 D.极小值－1，极大值3解析：，令得当时，；当时，；当，EMBEDEquation.DSMT4 时，，当，故选D.3．函数y=f(x)=lnx－x,在区间(0,e］上的最大值为A.1－e B.－1 C.－e D.0解析：y′=－1,令y′=0,即x=1,在(0，e］上列表如下：x(0,1)1(1,e)ey′+0－y增函数极大值－1减函数1－e由于f(e)=1－e,而－1＞1－e,从而y最大=f(1)=－1.答案：B4．(广东深圳外国语学校2008—2009学年高三第二次月考)若，求函数的单调区间.[解析]（当a.>1时，对x∈（0，+∞）恒有>0，∴当a.>1时，f(x)在（0，+∞）上为增函数；5．（汕头市金山中学2009届高三上学期11月月考）已知函数f（x）=ax3+3x2－x+1，问是否存在实数a，使得f（x）在（0，4）上单调递减？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由。解：（x）=3ax2+6x－1.要使f（x）在[0，4]递减，则当x∈（0，4）时，（x）<0。∴或，解得a≤－3.综合拔高训练6．（东莞高级中学2009届高三上学期11月教学监控测试）已知函数f(x)=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；（Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤4；（Ⅲ）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.解：（I）f′(x)=3ax2+2bx－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0，即…………2分解得a=1，b=0.∴f(x)=x3－3x.……………………4分（II）∵f(x)=x3－3x,∴f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，当－1<x<1时，f′(x)<0，故f(x)在区间[－1，1]上为减函数，fmax(x)=f(－1)=2，fmin(x)=f(1)=－2……6分∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)||f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|=2－(－2)=4………………8分（III）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，∵曲线方程为y=x3－3x，∴点A（1，m）不在曲线上.设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足因，故切线的斜率为，整理得.∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，∴关于x0方程=0有三个实根.……10分设g(x0)=，则g′(x0)=6，由g′(x0)=0，得x0=0或x0=1.∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.∴函数g(x0)=的极值点为x0=0，x0=1………………12分∴关于x0方程=0有三个实根的充要条件是，解得－3<m<－2.故所求的实数a的取值范围是－3<m<－2.……14分7．（广东省北江中学2009届高三上学期12月月考）已知，其中是自然常数，（Ⅰ）讨论时,的单调性、极值；（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，;（Ⅲ）是否存在实数，使的最小值是3，若