9.10独立性检验答案

9.10独立性检验课标要求精细考点素养达成1.掌握运用二维列联表的方法,会求χ2的值,并给出判断列联表及其统计意义通过学习列联表及其统计的意义,利用独立性检验求χ2的值,提升学生的数学运算素养独立性检验的应用2.理解独立性检验的基本思想,明确独立性检验的基本步骤,并能利用独立性检验解决实际问题独立性检验与频率分布直方图、概率的综合应用通过学习独立性检验与频率分布直方图、概率的综合应用,提升学生的数据分析与逻辑推理素养1.(概念辨析)(多选)下面结论正确的是().A.若事件X,Y关系越密切,则由统计数据计算得到的χ2的值越大B.假设检验的原理和反证法相似C.如果χ2的观测值很大,那么在一定程度上说明假设不合理D.由独立性检验可知,有99%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩有关,若某人数学成绩优秀,则他有99%的可能物理成绩优秀答案AB2.(对接教材)下面是2×2列联表:y1y2合计x1a2173x2222547合计b46120则表中a,b的值分别为().A.94,72 B.52,50 C.52,74 D.74,52答案C解析因为a+21=73,所以a=52.又a+22=b,所以b=74.3.(对接教材)已知变量X,Y,由它们的样本数据计算得到χ2的观测值χ2≈4.328,χ2的部分临界值表如下:P(χ2≥xα)0.100.050.0250.0100.005xα2.7063.8415.0246.6357.879则最大有的把握说变量X,Y有关系(填百分数).

答案95%解析因为χ2≈4.328>3.841=x0.05,所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量X,Y有关系,所以最大有95%的把握说变量X,Y有关系.4.(易错自纠)某医疗机构通过抽样调查(样本容量n=1000),利用2×2列联表和χ2统计量研究患肺病是否与吸烟有关.计算得χ2=4.453,经查阅临界值表知P(χ2≥3.841)≈0.05,现给出四个结论,其中正确的是().A.在100个吸烟的人中约有95个人患肺病B.若某人吸烟,那么他有95%的可能性患肺病C.有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”D.只有5%的把握认为“患肺病与吸烟有关”答案C解析由已知数据可得,有10.05=95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”.5.(2023·全国甲卷(理))为探究某药物对小鼠的生长抑制作用,将40只小鼠均分为两组,分别为对照组(不加药物)和实验组(加药物).(1)设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X,求X的分布列和数学期望;(2)测得40只小鼠体重如下(单位:g):(已按从小到大排好)对照组:17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3实验组:5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.214.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0①求40只小鼠体重的中位数m,并完成下面2×2列联表:<m≥m对照组实验组②根据2×2列联表,能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.参考数据:P(χ2≥x0)0.100.050.010x02.7063.8416.635解析(1)依题意,X的可能取值为0,1,2,则P(X=0)=C200C202C402=1978,P(X=1)=C201C20所以X的分布列为X012P192019故E(X)=0×1978+1×2039+2×1978(2)①依题意,可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起,从小到大排后第20位与第21位数据的平均数,由于原数据已经排好,所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可,可得第11位数据为14.4,后续依次为17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6,…,故第20位为23.2,第21位数据为23.6,所以m=23.2+23.62=23.4故列联表为:<m≥m合计对照组61420实验组14620合计202040②由①可得,χ2=40×(6×6-14×14)220×20×20×20=6.400>3所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.列联表及其统计意义典例1(多选)某医疗研究机构为了了解免疫与注射疫苗的关系,进行一次抽样调查,得到数据如表1.表1免疫不免疫合计注射疫苗101020未注射疫苗63440合计164460表2P(χ2≥x0)0.100.0500.0100.001x02.7063.8416.63510.828参考公式:χ2=n(ad-bc)2(则下列说法中正确的是().A.χ2≈8.35B.P(χ2≥6.635)≈0.001C.我们有99%以上的把握认为免疫与注射疫苗有关系D.我们有99.9%以上的把握认为免疫与注射疫苗有关系答案AC解析由表中数据,得χ2=60×(10×34-6×10)220×40×16×44≈8.352≈8.35,所以A正确;因为P(χ2≥6.635)≈0.010,所以B错误;我们有99%以上的把握认为免疫与注射疫苗有关系,所以C正确;我们没有99.9%以上的把握认为免疫与注射疫苗有关系,所以1.根据公式计算出χ2的观测值,并对照临界值表给出判断结果;2.利用计算结果,可以更好地优化调查方法,提高统计的实际价值.训练1(多选)某市为了研究该市空气中的PM2.5浓度和SO2浓度之间的关系,环境监测部门对该市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5浓度和SO2浓度(单位:μg/m3),得到如下所示的2×2列联表:SO2PM2.5[0,150](150,475][0,75]6416(75,115]1010经计算χ2=100×(64×10−16×10)280×20×74×26≈7.4844,则可以推断出(附:χ2=n(P(χ2≥x0)0.0500.0100.001x03.8416.63510.828A.该市一天空气中PM2.5浓度不超过75μg/m3,且SO2浓度不超过150μg/m3的概率估计值是0.64B.若2×2列联表中的天数都扩大到原来的10倍,则χ2的观测值不会发生变化C.有超过99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关D.在犯错的概率不超过1%的条件下,认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关答案ACD解析补充完整列联表如下:SO2PM2.5[0,150](150,475]合计[0,75]641680(75,115]101020合计7426100对于A,该市一天中空气中PM2.5浓度不超过75μg/m3,且SO2浓度不超过150μg/m3的概率估计值为64100=0.64,故A正确对于B,χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+对于C,D,因为7.4844>6.635,根据临界值表可知,在犯错的概率不超过1%的条件下,即有超过99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关,故C,D均正确.独立性检验的应用典例2为加强素质教育,提升学生综合素养,某中学为高一年级提供了“书法”和“剪纸”两门选修课.为了了解选择“书法”或“剪纸”是否与性别有关,调查了高一年级1500名学生的选择倾向,随机抽取了100人,统计选择两门课程人数如下表:(1)补全2×2列联表;选书法选剪纸共计男生4050女生共计30(2)是否有95%的把握认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关?(计算结果保留到小数点后三位,例如:3.841)参考附表:P(χ2≥x0)0.1000.0500.025x02.7063.8415.024参考公式:χ2=n(ad-解析(1)根据题意补全2×2列联表,如下:选书法选剪纸共计男生401050女生302050共计7030100(2)根据列联表中数据,得χ2=100×(40×20-10×30)250×50×70×30≈4.762>3所以有95%的把握认为选“书法”或“剪纸”与性别有关.(1)独立性检验的一般步骤:①根据样本数据制成2×2列联表;②根据公式χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+(2)解独立性检验的应用问题的关注点①两个明确:明确两类主体;明确研究的两个问题.②两个准确:准确画出2×2列联表;准确理解χ2.(3)理解独立性检验在统计中的实际意义.训练2为了了解班级线上学习情况,某位班主任老师进行了有关调查研究.(1)从班级随机选出5名同学,对比研究了线上学习前后两次数学考试成绩,如下表:线上学习前成绩x145130120105100线上学习后成绩y110901027870求y关于x的线性回归方程;参考公式:b＾=∑i=1n(xi-(2)针对全班50名同学(30名男生,20名女生)的线上学习满意度调查中,男生满意率为70%,女生满意率为80%,填写下面2×2列联表,判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为线上学习满意度与学生性别有关?满意人数不满意人数合计男生女生合计附:χ2=n(ad-P(χ2≥x0)0.0500.0100.001x03.8416.63510.828解析(1)因为x=145+130+120+105+1005=120y=110+90+102+78+705=90所以b＾=∑i=15(xi-xa＾=yb＾x=900.8×120=所以y关于x的线性回归方程为y＾=0.8x6(2)填写列联表如下:满意人数不满意人数合计男生21930女生16420合计371350提出假设H0:学生线上学习满意度与学生性别无关,所以χ2=50×(21×4-16×9)230×20×37×13=300481≈0.624<所以在犯错误概率不超过0.01的前提下,不能认为线上学习满意度与学生性别有关.决策问题典例为落实十三五规划节能减排的国家政策,某职能部门对市场上两种设备的使用寿命进行调查统计,随机抽取A型和B型设备各100台,得到如图所示的频率分布直方图:(1)估算A型设备的使用寿命的第80百分位数;(2)将使用寿命超过2500小时和不超过2500小时的台数填入下面的列联表:超过2500小时不超过2500小时总计A型B型总计根据上面的列联表,能否有99%的把握认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关?(3)现有一项工作需要10台同型号设备同时工作2500小时才能完成,工作期间设备损坏立即更换同型号设备(更换设备时间忽略不计),A型和B型设备每台的价格分别为1万元和0.6万元,A型和B型设备每台每小时耗电分别为2度和6度,电价为0.75元/度.只考虑设备的成本和电费,用频率估计概率,你认为应选择哪种型号的设备,请说明理由.参考公式:X2=n(ad参考数据:P(χ2≥x0)0.0500.0100.001x03.8416.63510.828解析(1)因为前3组的频率之和为(0.0002+0.0004+0.0006)×500=0.6,前4组频率之和为(0.0002+0.0004+0.0006+0.0005)×500=0.85,所以第80百分位数一定位于[3000,3500),故第80百分位数为3000+0.8−0.60.85−0.6×500=3400(小时)(2)由频率分布直方图可知,A型超过2500小时的有100×(0.0006+0.0005+0.0003)×500=70(台),则A型不超过2500小时的有10070=30(台);B型超过2500小时的有100×(0.0006+0.0003+0.0001)×500=50(台),则B型不超过2500小时的有10050=50(台),故2×2列联表如下:超过2500小时不超过2500小时总计A型7030100B型5050100总计12080200因为χ2=200×(70×50−30×50)2100×100×120×80≈8.333>6所以有99%的把握认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关.(3)因为A型设备每台更换的频率为30100=0.3,所以10台A型设备估计要更换3台B型设备每台更换的频率为50100=0.5,所以10台B型设备估计要更换5台选择A型设备的总费用y1=(10+3)×1+10×2×0.75×2500×104=16.75(万元),选择B型设备的总费用y2=(10+5)×0.6+10×6×0.75×2500×104=20.25(万元),故选择A型设备.1.在概率与统计的问题中,决策的工具是样本的数字特征或有关概率.决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或数学期望最大(最小)的方案作为最佳方案,这往往借助于函数、不等式或数列的有关性质去实现.2.独立性检验常与统计中的频率分布直方图、概率知识自然交汇,不要割裂其内在联系.训练某企业新研发了一种产品,产品的成本由原料成本及非原料成本组成,每件产品的非原料成本y(单位:元)与生产该产品的数量x(单位:千件)有关,经统计得到如下数据:x12345678y1126144.53530.5282524根据以上数据,绘制了如图所示的散点图,观察散点图,两个变量不具有线性相关关系,现考虑用反比例函数模型y=a+bx和指数函数模型y=cedx分别对两个变量的关系进行拟合,已求得用指数函数模型拟合的回归方程为y＾=96.54e-0.2x,lny与x的相关系数r1=(1)用反比例函数模型求y关于x的经验回归方程.(2)用相关系数(精确到0.01)判断上述两个模型哪一个拟合效果更好,并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本.(3)该企业采取订单生产模式(根据订单数量进行生产,即产品全部售出).根据市场调研数据,若该产品单价定为100元,则签订9千件订单的概率为0.8,签订10千件订单的概率为0.2;若单价定为90元,则签订10千件订单的概率为0.3,签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为10元,根据(2)的结果,企业要想获得更高利润,产品单价应选择100元还是90元?请说明理由.参考数据其中μ∑i=18uiuu∑∑i=18∑0.61×6185.5e2183.40.340.1151.5336022385.561.40.135参考公式:回归方程y＾=a＾+b＾x中斜率和截距计算公式b＾=∑i=1nxiy相关系数r=∑i=1nxiyi-nx解析(1)令u=1x,则y=a+bx可转化为因为y=3608=45所以b＾=183.4−8×0.34×451.53−8×0.115=610.61则a＾=yb＾u=45100×0.34所以y＾=11+100u所以y关于x的经验回归方程为y＾=11+100(2)y与1x的相关系数r2=610.61×6185.5≈6161.4≈0因为|r1|<|r2|,所以用反比例函数模型拟合效果更好.当x=10时,y=10010+11=21(元所以当产量为10千件时,每件产品的非原料成本估计为21元.(3)①若产品单价为100元,记企业利润为X千元,当订单为9千件时,每件产品的成本为1009+21元,企业的利润为611当订单为10千件时,每件产品的成本为31元,企业的利润为690千元,则企业利润X的分布列为X611690P0.80.2所以E(X)=611×0.8+690×0.2=626.8(千元).②若产品单价为90元,记企业利润为Y千元,当订单为10千件时,每件产品的成本为31元,企业的利润为590千元;当订单为11千件时,每件产品的成本为10011+21元,企业的利润为659则企业利润Y的分布列为Y590659P0.30.7所以E(Y)=590×0.3+659×0.7=638.3(千元).因为626.8<638.3,所以企业要想获得更高利润,产品单价应选择90元.一、单选题1.给出下列实际问题,其中不可以用独立性检验解决的是().A.喜欢参加体育锻炼与性别是否有关B.喝酒者得胃病的概率C.喜欢喝酒与性别是否有关D.青少年犯罪与上网成瘾是否有关答案B解析独立性检验是对两个分类变量是否有关进行检验,A,C,D选项中均是对两个分类变量是否有关进行检验,而B选项不是.2.某市对公共场合禁烟进行网上调查,在参与调查的2500名男性市民中有1000名持支持态度,2500名女性市民中有2000人持支持态度,在运用数据说明市民对在公共场合禁烟是否支持与性别有关系时,用()方法最有说明力.A.平均数与方差 B.回归直线方程 C.独立性检验 D.概率答案C解析因为独立性检验研究的是两个分类变量之间的相关关系,所以市民对在公共场合禁烟是否支持与性别有关系时,用独立性检验最有说明力.3.为考察一种新药预防疾病的效果,某科研小组进行动物实验,收集整理数据后将所得结果填入相应的2×2列联表中,由列联表中的数据计算得χ2≈9.616.参照附表,下列结论正确的是().附表:P(χ2≥x0)0.0500.0250.0100.0050.001x03.8415.026.6357.87910.828A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“药物有效”B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“药物无效”C.有99%以上的把握认为“药物有效”D.有99%以上的把握认为“药物无效”答案C解析因为χ2≈9.616,即7.879<χ2<10.828,所以有99%以上的把握认为“药物有效”.4.两个分类变量X和Y,值域分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数分别是a=10,b=21,c+d=35.若X与Y有关系的可信程度不小于97.5%,则c等于().A.3 B.4 C.5 D.6附:P(χ2≥xα)0.050.025xα3.8415.024答案A解析列2×2列联表如下:YXy1y2合计x1102131x2cd35合计10+c21+d66故χ2=66×[10(35−c)-21c]231×35×(10+c)(56-c)≥5.024.把选项二、多选题5.某大学为了了解学生对学校食堂服务的满意度,随机调查了50名男生和50名女生,每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价,得到如图所示的列联表,则可以推断出().满意不满意男3020女4010P(χ2≥x0)0.1000.0500.010x02.7063.8416.635A.该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为3B.调研结果显示,该学校男生比女生对食堂服务更满意C.有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异D.有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异答案AC解析对于A,该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为3030+20=35,故A正确;对于B,该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为4040+10=45>35,故B错误;因为χ2=100×(30×10−20×40)250×50×70×30≈4.762>3.841,所以有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异6.为预防近视,某校对“学生性别和喜欢躺着看书”是否有关做了一次调查,其中被调查的男女生人数相同,男生喜欢躺着看书的人数占男生人数的25,女生喜欢躺着看书的人数占女生人数的45,若有95%的把握认为是否喜欢躺着看书和性别有关,则调查人数中男生人数不可能是(附:χ2=n(ad-P(χ2≥x0)0.050.010x03.8416.635A.5 B.10 C.21 D.15答案ABC解析由题意知被调查的男女生人数相同,设男生的人数为5m(m∈N*),由题意可列出2×2列联表:男生女生合计喜欢躺着看书2m4m6m不喜欢躺着看书3mm4m合计5m5m10mχ2=n=10m·(2因为有95%的把握认为是否喜欢躺着看书和性别有关,所以3.841≤5m3<6.解得11.523≤5m<19.905,因为m∈N*,所以5m的可能取值为15.故选ABC.三、填空题7.下面是一个2×2列联表:y1y2合计x1a2173x222527合计b46100则表中a,b的值分别为.

答案52,54解析a=7321=52,b=10046=54.8.某校团委对“学生性别和喜欢足球是否有关”做了一次调查,其中被调查的男女生人数相同,男生喜欢足球的人数占男生人数的45,女生喜欢足球的人数占女生人数的35.若有95%的把握认为是否喜欢足球和性别有关,则调查人数中男生至少有答案45解析设男生有x人,则女生有x人,可得2×2列联表如下:喜欢足球不喜欢足球总计男生4515x女生3525x总计75352x若有95%的把握认为是否喜欢足球和性别有关,则χ2=2x·45x·25x-15x·35x275x·35x·x·四、解答题9.为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性,某校需要了解学生是否经常锻炼与性别因素有关,为此随机对该校100名学生进行问卷调查,得到如下列联表.经常锻炼不经常锻炼总计男35女25总计100已知从这100名学生中任选1人,经常锻炼的学生被选中的概率为12(1)完成上面的列联表;(2)根据列联表中的数据,判断能否有90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关.附:χ2=n(ad-bcP(χ2≥x0)0.10.050.010.001k2.7063.8416.63510.828解析(1)设这100名学生中经常锻炼的学生有x人,