九年级数学实验手册参考答案

2011年秋季用九年级数学实验手册参考答案第一章图形与证明（二）1.1等腰三角形的性质和判定例1．提示：∠DBC=90°－∠C=90°－（180°－∠A）=∠A，或作AE⊥BC例2．提示：作AF⊥BC，或证△ABD≌△ACE回顾与反思：引导学生从不同角度入手，合理选用证明方法【训练与提高】1.C2.B3.A4.22；20或22；205.50°、80°或65°、65°；30°、30°6.20或357.38.略9.提示：证△ABD≌△ACE【拓展与延伸】1.等腰三角形，提示：连MA，证△MDE≌△MAC2.30°，提示，连EC，证△BED≌△BEC1.2.直角三角形全等的判定（1）例1.略例2.略【训练与提高】1.C2.D3.5或104.1：35.∠CAB=∠DAB；∠ABC=∠ABD；AC=AD或BC=BD6.提示：证△ACF≌△HBF【拓展与延伸】提示：证△ABD≌△CAE1.2.直角三角形全等的判定（2）例1．提示：作FG⊥AE，FH⊥BC，FI⊥AD，例2．提示：证△CDF≌△CBE【训练与提高】1.C2.D3.D4.D5.1.56.257.108.提示：证CE=CF=CG【拓展与延伸】1.提示：证△FCD≌△FBE，得FD=FE2.略1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定（1）例1．提示：证△CDF≌△ABE例2．略【训练与提高】1.B2.C3.104.265.86.4和67.38.8、4.8【拓展与延伸】1.略2.略1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定（2）例1．⑴略；⑵例2．3【训练与提高】1.C2.D3.D4.22或265.10、56.6.57.1288.189.略【拓展与延伸】1.（，2），（，）2.略1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定（3）例1．提示：证△ADE≌△ABF或连AC，证△ACE≌△ACF例2．⑴提示：连AC；⑵60°【训练与提高】1.C2.A3.D4.略5.60°、60°、12、、6.17.8.60°9.9.610.略【拓展与延伸】1.242.略1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定（4）例1．提示：△ADE≌△BAF例2．略【训练与提高】1.D2.C3.1+2a5.86.BE⊥CF且BE=CF7.【拓展与延伸】1.提示：取BC中点F，连AF并延长交DC的延长线于点G2.⑴提示：证△AOF≌△BOE，⑵成立，证△AOF≌△BOE1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定（5）例1．略例2．略【训练与提高】1.B2.A3.8.4、5.44.略5.平行四边形6.略7.略【拓展与延伸】1.略2.⑴略，⑵BC∥AD且BC=AD1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定（6）例1．略例2．【训练与提高】1.C2.C3.244.125.96.(2,4)(3,4)(8,4)7.略8.略【拓展与延伸】1.矩形2.⑴8秒，⑵秒1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定（7）例1．略例2．略【训练与提高】1.D2.B3.4.555.AE=2AD6.菱形【拓展与延伸】1.⑴略，⑵直角三角形2.⑴25，⑵1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定（8）例1．略例2．略【训练与提高】1.B2.D3.D4.，1.55.46.70°7.58.略【拓展与延伸】1.⑴平行四边形，⑵∠A=150°⑶AB=AC且∠BAC≠60°⑷AB=AC且∠A=150°2.⑴略，⑵AB=AC1.4等腰梯形的性质和判定例1．略例2．⑴略，⑵等腰三角形【训练与提高】1.B2.B3.3、34.305.36.367.308.略【拓展与延伸】1.⑴提示：作DG⊥AB⑵2.t=6秒，平行四边形；t=7秒，等腰梯形1.5中位线（1）例1．略例2．提示：延长AD交BC于点F【训练与提高】1.D2.B3.20或224.405.AB=AC6.37.提示：连AC、BD，交于点O，作OO’⊥l【拓展与延伸】1.略2.⑴略，⑵6.51.5中位线（2）例1．提示：延长AE交BC的延长线于点F例2．提示：取AB中点G，连EG、FG【训练与提高】1.A2.B3.A4.225.46.2407.AC=BD8.菱形【拓展与延伸】略第1章复习题1.B2.B3.C4.C5.C6.A7.B8.D9.C10.B11.C12.D13.C14.A15.C16.2或617.18.14或16或2619.6420.125°21.2622.23.1624.325.提示：证AD=AE，ED=EF26.提示：证MQ=AC=PN27.28.129.⑴略，⑵2BC=3AB30.⑴提示：三线合一，⑵略31.⑴提示：证△ADP≌△DCG，⑵等腰三角形32.⑴C（－2，3），D（－3，0）⑵提示：证△DOE≌△BOA，33.34.⑴t=2，⑵AB=，不能35.⑴略，⑵3636.⑴4：5，⑵9：11，⑶16：19，37.提示：在AF上取AG=AD，连EG第1章自我检测题1.C2.B3.B4.A5.D6.C7.8.略9.1210.11.9.612.7613.提示：连ME、MD14.略15.略16.BE=5，CD:DE=第2章数据的离散程度极差【实践与探索】例1解：甲队队员身高极差为179–177＝2cm；乙队队员身高极差为180–176＝4cm．因为甲队队员身高变化幅度小，所以甲队更为整齐．例2解：中位数是：2534元/m2；极差是：3515–2056＝1459元/m2．【训练与提高】1．B2．D3．B4．B5．B6．9；7．乙8．3；39．169910．16011．(1)略；（2）＝90分；＝90分；（3）火箭队的极差为18分，湖人队的极差为30分；（4）从平均分看，两队的平均得分相同，实力大体相当；从折线走势看，火箭队的比赛成绩呈上升趋势，湖人队的比赛成绩呈下降趋势；从获胜场次看，火箭队胜3场，湖人队胜2场，火箭队获胜场数多；从极差看，火箭队的成绩较稳定．所以预测下一场比赛火箭队更能取得好成绩．方差与标准差【实践与探索】例解：（1）7；7；1．2（2）两队成绩的平均数相同；乙队的众数比甲队大；乙队的方差比甲队小，说明乙队较稳定．所以乙队的射击水平较甲队高．【训练与提高】1．B2．D3．4；24．＞；乙5．06．33．6；110；甲7．甲8．（1）略；（2）甲机床的方差是0．0002；乙机床的方差是0．00045；（3）甲机床加零件的质量比较稳定【拓展与延伸】1．（1）①平均数：5；方差：eq\f(20,3)②平均数：15；方差：eq\f(20,3)③平均数：50；方差：eq\f(2000,3)（2）＋a；S2；m；m2S2用计算器求方差与标准差【实践与探索】例解：甲的平均数为12．6s；方差为0．64；乙的平均数为12．4s；方差为1．04．所以乙的成绩更好些，甲的成绩稳定些．【训练与提高】1．A2．C3．C4．(1)平均数：50．50；方差：181．3；标准差：13．46；(2)平均数：7．714；方差：1．061；标准差1．030．5．(1)15；1．8；5．5；6(2)①平均数、中位数、众数均可；②不能，因为乙队游客的年龄有两个极端值，导致年龄的方差较大，平均年龄高于大部分游客的年龄．6．S甲2≈0．01，S乙2≈0．02，所以甲的成绩比较稳定．第二章复习题1．A2．C3．A4．37505．76．1．57．乙8．甲＝70分；乙＝70分；S甲2＝300；S乙2＝120．甲、乙两名同学的平均分相同，但乙的方差小，比较稳定，应让乙参加数学竞赛．9．（1）甲＝（6＋2＋7＋5）＋80＝85，乙＝（5＋1＋5＋9）＋80＝85．（2）S甲2＝[（86－85）2＋（82－85）2＋（87－85）2＋（85－85）2]＝3．5，S乙2＝[（85－85）2＋（81－85）2＋（85－85）2＋（89－85）2]＝8．（3）∵S乙2＞S甲2，∴甲组学习成绩较稳定．10．乙11．解：（1）两段台阶的相同点是：两段台阶路高度的平均数相同；不同点是：两段台阶路高度的中位数、方差和极差均不相同．（2）S甲2＝eq\f(2,3)，S乙2＝eq\f(35,3)，甲路段走起来更舒服一些，因为它的台阶高度的方差小．（3）每个台阶高度均为15cm，使方差为0．第3章二次根式3．1二次根式⑴【实践与探索】例1分析要使二次根式有意义，只要满足被开方数大于等于零即可．解（1）由x–1≥0，得x≥1．（2）、（3）略．例2解（1）(2eq\r(3))2＝22×(eq\r(3))2＝4×3＝12．（2）(–3eq\r(5))2＝(–3)2×(eq\r(5))2＝9×5＝45．(3)(–eq\f(3eq\r(2),2))2＝eq\f(32×(eq\r(2))2,22)＝eq\f(9×2,4)＝eq\f(9,2)．回顾反思：2eq\r(3)表示2×eq\r(3)，但2×eq\r(3)通常写成2eq\r(3)．例3分析因为当a≥0时，（eq\r(a))2＝a，所以当a≥0时，a＝（eq\r(a))2，即任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式．解（1）a2–4＝a2–22＝(a＋2)(a＋2)．（2）9b2–5＝(3b)2–(eq\r(5))2＝(3b＋eq\r(5))(3b–eq\r(5))．（3）略．【训练与提高】1．B2．B3．(1)x≤eq\f(5,2)（2）x可以取一切实数（3）x≤2（4）x＝1（5）x＝2（6）3≤x≤54．（1）eq\f(1,2)（2）45（3）eq\f(8,3)（4）a2b（5）（-eq\f(5eq\r(2),2)）2（6）155．（1）（x＋eq\r(6)）(x–eq\r(6))(2)(eq\r(3)b＋eq\r(2))(eq\r(3)b–eq\r(2))(3)(3y2＋1)(eq\r(3)y＋1)(eq\r(3)y–1)【拓展与延伸】1．22．–23．1二次根式（2）【实践与探索】例1（1）eq\r((－7))2＝eq∣－7∣＝7；（2）eq\r((3－π))2＝eq∣3－π∣＝π–3例2略回顾反思：式子eq\r(a)具有双重非负性，即：（1）a≥0；（2）eq\r(a)≥0．一个式子是二次根式必须满足两个条件：（1）根指数是2；（2）被开方数大于或等于零．注意(eq\r(a))2与eq\r(a2)的不同，两者不能混淆．两者的平方运算不一样，前者在根号外，后者在根号内；②a的取值不一样，前者a必须大于等于零，后者a可为任何数；③计算结果不一样，前者计算结果为a，后者计算结果为eq∣a∣．【训练与提高】1．D2．A3．eq\r(2)–14．–beq\r(a)5．a≤16．x≤27．（1）1（2）28．a–b9．–aeq\r(－a)–a【拓展与延伸】1．–12．2x3.4eq\r(6)+23．2二次根式的乘除⑴【实践与探索】例1（1）解：原式＝eq\r(7×63)＝eq\r(7×7×9)＝21；（2）解：原式＝eq\r(27×eq\f(1,3))＝3．回顾反思：当a≥0，b≥0时，eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)．例2（1）解：原式＝eq\r(72)×eq\r(52)＝35；（2）解：原式＝eq\r(63×14×2)＝eq\r(32×72×22)＝eq\r(32)×eq\r(72)×eq\r(22)＝＝42．回顾反思：当a≥0，b≥0时，eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)也可以写成eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)，利用它们可以进行二次根式的化简，在对二次根式化简时，一般先将被开方数写成几个平方数与另一个数的积的形式．【训练与提高】1．B2．A3．D3．(1)18(2)4a（3）15(4)5(5)4(6)ab【拓展与延伸】1．8eq\r(2)2．3．2二次根式的乘除（2）【实践与探索】例1（1）解：原式＝eq\r(32×22×5)＝6eq\r(5)；（2）解：原式＝eq\r(32×52×2)＝15eq\r(2)；（3）解：原式＝eq\r(22×a2×b)＝2aeq\r(b)；（4）解：原式＝eq\r(x2(x2＋y2))＝xeq\r(x2＋y2)．回顾反思：化简二次根式时，把被开方数中能开得尽方的因数开方．例2（1）解：原式＝eq\r(14×7)＝eq\r(72×2)＝7eq\r(2)；(2）解：原式＝(2×3)×eq\r(50)＝30eq\r(2)；(3)、(4)略回顾反思：第（2）题先把根号外面的有理数相乘，再利用一次根式的乘法法则进行计算．例3（1）解：原式＝–eq\r(eq\f(3,4)×eq\f(8,3)×56)＝–eq\r(42×7)＝–4eq\r(7)；(2）解：原式＝10eq\r(2)；回顾反思：在运算中注意符号变化，有理数乘法中的符号法则在实数范围内也适用．【训练与提高】1．2eq\r(2)；2eq\r(3)；3eq\r(2)；3eq\r(3)；4eq\r(2)．2．(1)3eq\r(6)(2)4eq\r(10)(3)20eq\r(5)(4)7(5)x2yeq\r(xy)(6)(x＋y)eq\r(x)3．(1)3eq\r(6)(2)24eq\r(10)(3)a2（4）10eq\r(2)a（5）12eq\r(10ab)（6）–4xyeq\r(3y)（7）xeq\r(y)【拓展与延伸】1．4–eq\r(5)2．±13．2二次根式的乘除（3）【实践与探索】例1（1）解：原式＝eq\r(12)＝2eq\r(3)；（2）解：原式＝eq\r(eq\f(3,2)×6)＝3；（3）解：原式＝2eq\r(eq\f(9,2)×eq\f(4,9))＝2eq\r(2)．回顾反思：化简二次根式时，把被开方数中能开得尽方的因数开方．例2（1）解：原式＝eq\f(8,7)；(2)、(3)略．例3（1）解：原式＝eq\f(5,2)；(2）解：原式＝eq\r(eq\f(90×121,36×100))＝eq\f(11eq\r(10),20)；回顾反思：化简二次根式时，如果被开方数是带分数，把它化成假分数的形式再开方；如果被开方数是不能直接开方的小数，一般都化成分数再开方．【训练与提高】1．C2．D3．(1)3(2)eq\f(1,2)(3)2(4)eq\f(eq\r(3)b,2a)4．(1)eq\f(2eq\r(3),7)(2)eq\f(7,3)(3)eq\r(7)(4)eq\f(b2eq\r(ab),c)5．(1)eq\r(5)(2)2eq\r(10)(3)eq\r(2)(4)eq\f(2eq\r(5),3)(5)eq\f(5eq\r(6),14)(6)–eq\f(4,3)【拓展与延伸】1．–eq\r(－y)2．–eq\r(1－a)3．2二次根式的乘除（4）【实践与探索】例1（1）解：原式＝eq\f(2×eq\r(3),eq\r(3)×eq\r(3))＝eq\f(2eq\r(3),3)；（2）解：原式＝eq\f(eq\r(5),2eq\r(6))＝eq\f(eq\r(5)×eq\r(6),2eq\r(6)×eq\r(6))＝eq\f(eq\r(30),12)；（3）解：原式＝eq\r(eq\f(ab4,ab2))＝eq\r(b2)＝b；(4)解：原式＝eq\f((eq\r(3)＋2),(eq\r(3)－2)(eq\r(3)＋2))＝–(eq\r(3)＋2)＝–eq\r(3)–2．回顾反思：化去根号内的分母，可以用以下几种方法处理：（1）eq\r(eq\f(a,b))＝eq\r(eq\f(a·a,b·b))＝eq\f(eq\r(ab),b)，（2）eq\f(eq\r(a),eq\r(b))＝eq\f(eq\r(a)·eq\r(b),eq\r(b)·eq\r(b))＝eq\f(eq\r(ab),b)；（3）若分母是eq\r(a)＋b的形式，那么分母、分子上同时乘eq\r(a)–b可以达到分母有理化的目的．例2（1）解：原式＝–eq\f(eq\r(6),6)；(2)解：原式＝–3a．回顾反思：二次根式运算的结果一般要求分母中不含根号，被开方数中也不能含有分母．【训练与提高】1．C2．C3．C4．(1)eq\f(eq\r(3),3)(2)eq\f(eq\r(3),3)(3)eq\f(eq\r(14),2)(4)eq\r(3)(5)eq\f(eq\r(2m),2)(6)eq\r(2)–15．(1)–eq\f(eq\r(5),5)(2)eq\f(10eq\r(3xy),3y)6．略【拓展与延伸】1．eq\r(14)2．（1）eq\f(3eq\r(mn),5)（2）–eq\f(ab3eq\r(ab),2)3．3二次根式的加减（1）【实践与探索】例1略．回顾反思：在判断两个二次根式是否是同类二次根式时，应先将各二次根式化简，然后看其被开方数是否相同．例2（1）解：原式＝（3eq\r(2)–2eq\r(2)）＋（eq\r(3)–3eq\r(3)）＝eq\r(2)–2eq\r(3)；(2)解：原式＝（3eq\r(a)–4eq\r(a)）＋（–2eq\r(5)–2eq\r(5)）＝–eq\r(a)–4eq\r(5)．例3（1）解：原式＝5eq\r(2)＋4eq\r(2)＝9eq\r(2)；(2)解：原式＝（3eq\r(3)＋2eq\r(3)）＋3eq\r(5)＝eq\r(3)＋3eq\r(5)；(3)解：原式＝eq\f(eq\r(2),2)–2eq\r(3)–eq\f(eq\r(2),2)＋eq\f(2eq\r(3),3)＝–eq\f(4eq\r(3),3)．回顾反思：二次根式的加减实际是对同类二次根式的合并，不是同类二次根式不能合并．进行二次根式加减时应先将没有化简的二次根式化简，然后再合并同类二次根式，且计算结果要化成最简形式．【训练与提高】1．D2．A3．B4．B5．略6．(1)4eq\r(5)–5eq\r(2)(2)–13eq\r(3)(3)eq\f(15eq\r(2),2)(4)eq\r(2)–eq\f(13eq\r(3),3)(5)13eq\r(2)–eq\r(13)（6）–10eq\r(3)–eq\f(9eq\r(5),5)（7）eq\f(140eq\r(3),9)(8)eq\f(eq\r(2),4)＋eq\f(13eq\r(3),3)【拓展与延伸】(1–a)eq\r(－a)3．3二次根式的加减（2）【实践与探索】例1（1）解：原式＝eq\r(3)–6eq\r(3)＝–5eq\r(3)；(2)解：原式＝eq\r(eq\f(3,8)×6)–3eq\r(3×6)）＝eq\f(3,2)–9eq\r(2)；(3)解：原式＝2–eq\r(2)＋2eq\r(2)–2＝eq\r(2)．回顾反思：在进行二次根式的混合运算时要注意运算顺序．例2（1）解：原式＝eq\f((eq\r(3))2＋2eq\r(3)＋12,2)–〔(3eq\r(2))2–(2eq\r(3))2〕＝eq\f(4＋2eq\r(3),2)–（18–12）＝–4＋eq\r(3)；(2)解：原式＝〔(3eq\r(2))2–(2eq\r(3))2〕2＝36．回顾反思：．进行二次根式运算时，要先对所给式子进行观察，有些可以直接类比整式的乘法公式进行运算．【训练与提高】1．(1)–19(2)2＋eq\r(2)(3)eq\r(3)–eq\f(18eq\r(5),5)(4)95–30eq\r(10)2．(1)5eq\r(2)(2)4（3）22–2eq\r(21)（4）2＋eq\r(3)【拓展与延伸】1．(1)–64＋36eq\r(2)(2)10–eq\f(eq\r(15),2)2．eq\f(5eq\r(3),3)第三章复习题1．C2．B3．D4．D5．C6．(1)6eq\r(2)(2)5（3）36（4）5xyeq\r(3x)（5）–17．28．(1)–24eq\r(3)(2)1（3）eq\f(a,3)（4）eq\f(2eq\r(3),3)–4eq\r(2)（5）eq\f(4,3)–15eq\r(2)（6）16eq\r(2)–4eq\r(6)9．（1）–2（2）eq\f(2－eq\r(3),2)（3）2eq\r(6)（4）110．–2eq\r(mn)11．212．（1）2eq\r(6)（2）eq\r(6)＋eq\r(5)（3）–4eq\r(2)–4eq\r(6)13．514．–215．①由8–x≥0；3x＋4≥0；x＋2≥0，得–eq\f(4,3)≤x≤8②若c为斜边，则a2＋b2＝c2，x＝–10(舍)；若b为斜边，则a2＋c2＝b2，x＝2；若a为斜边，则c2＋b2＝a2，x＝eq\f(2,5)所以，x＝2或x＝eq\f(2,5)．第二章自我检测1．D2．A3．D4．B5．A6．2；27．2；48．2；0．59．＞10．(1)84．5；83(2)甲＜乙(3)乙的成绩更稳定11．(1)甲＝9．8环；乙＝9．8环（2）S甲2＝0．214；S乙2＝0．146，所以乙发挥更稳定12．（1）70；6（2）数学13．（1）6；7；8；2．2（2）只要说得有理即可第三章自我检测1．D2．C3．D4．C5．D6．C7．x≤3，且x≠18．（1）eq\r(2)；（2）eq\f(14,55)；（3）3eq\r(x)；（4）eq\f(8,3)eq\r(3)–1；（5）1；（6）eq\f(3,2)．9．m–n10．111．2；eq\r(17)–412．(1)2eq\r(2)；(2)3eq\r(2)；(3)eq\r(2)–2eq\r(3)；（4）8y；(5)eq\f(5,3)eq\r(6)–eq\f(3,4)eq\r(2)；（6）4；(7)4；(8)–95＋30eq\r(10)．13．eq\r(x)14．－2b15．–4eq\r(2)16．9期中自我检测1．B2．D3．B4．D5．D6．B7．B8．D9．x≥－110．511．eq\r(2)12．105°13．1614．菱形15．500或80016．2.517．eq\r(2)－118．4019．（1）－a2beq\r(ab)；（2）－eq\f(2,9)eq\r(3)；（3）eq\f(14,3)；（4）eq\f(5,4)eq\r(2)．20．(1)矩形；(2)菱形；(3)正方形（证明略）21．（1）AAS证明；（2）连结AD，由勾股定理得AD＝4，因为DC·AD＝AC·DF，所以DF＝2.422．(1)80；80；60；80；90；（2）王成；(3)略．23．（1）因为∠A＝60°，AC＝1，所以AB＝2，BC＝eq\r(3)，设AB边上的高为h，则AB·h＝AC·BC，所以h＝eq\f(eq\r(3),2)，由平移性质可得CF∥AD，CF＝AD，所以S＝eq\f(1,2)（CF＋DB）h＝eq\f(1,2)（AD＋DB）h＝eq\f(1,2)AB·h＝eq\f(eq\r(3),2)；（2）菱形，理由略．BCADEF第20题图24．（1）1；eq\f(8,5)（2）能，①当DE∥QB时，四边形QBED是直角梯形，由△APQ∽△ABC得t＝eq\f(9,8)；②当PQ∥AC时，四边形QBED是直角梯形，由△AQP∽△ABC得t＝eq\f(15,8)．BCADEF第20题图第四章一元二次方程参考答案4.1一元二次方程【实践与探索】例1根据题意，列出方程，并将其化成一般形式：图4.1.1（1）如图4.1.1，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3图4.1.1那么铁皮各角应切去多大的正方形？．（2）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？解：（1）角度一：等量关系是底面的长×宽等于底面积，设切去的正方形的边长是xcm，则有方程(100－2x)(50－2x)＝3600；角度二：等量关系是底面积等于大长方形的面积减去四个小正方形的面积，再减去四个小长方形的面积，同样设正方形的长是xcm，则有方程100×50－4x2－2x(50－2x)－2x(100－2x)＝3600；以上方程通过整理均可得到一般形式：x2－75x＋350＝0．(2)全部比赛共28场，若设邀请x个队参赛，每个队要与其他(x－1)个队各赛一场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共x(x－1)场，于是得到方程x(x－1)＝28，经过整理得到方程x2－x－56＝0．例2当满足条件时，关于的方程是一元二次方程；当满足条件时，关于的方程是一元一次方程．解：当，即时，关于的方程是一元二次方程；当＝2时，关于的方程是一元一次方程．【训练与提高】1．B2．D3．D4．8(1－x)2＝4.55．50＋50（1＋x）＋50(1＋x)2＝1826．方程一般形式二次项系数一次项系数常数项1023－211－61－607．－18．（1）；（2）9．；【拓展与延伸】10．4.2一元二次方程的解法（1）【实践与探索】例1用直接开平方法解下列方程：（1）；（2）；（3）．解：（1）原方程变形为，∴，∴，即，∴，；（2）原方程变形为，∴；（3）原方程变形为，即．∵负数没有平方根，故使方程成立的实数不存在，∴原方程没有实数根．例2解下列方程：（1）；（2）；（3）．解：（1）方程两边开平方，得，即，或，∴，．（2）移项，得，方程两边同除以9，得，两边直接开平方，得，即，或，解得，．（3）方程两边开平方，得，即，或，解得，．【训练与提高】1．B2．D3．C4．A5．±13；－3；1±6．3，－77．（1），；（2），；（3），；（4），8．（1），；（2），；（3），；（4），【拓展与延伸】9．（1）ac＜0；（2）an＞04.2一元二次方程的解法（2）【实践与探索】例1解下列方程：（1）；（2）；（3）解：（1）移项，得，配方，得，∴，解这个方程，得，即，．（2）移项，得，配方，得，∴，解这个方程，得，即，．（3）配方，得，∴，解这个方程，得，即，．例2用配方法说明代数式的值恒大于零．解：＝，∵≥0，∴＞0，即代数式的值恒大于零.【训练与提高】1．B2．D3．D4．⑴9，3；⑵，；⑶，；⑷，；⑸，；⑹，5．(1)±8；（2）8，－26．，7．48．（1），；（2），；（3），；（4），；（5）；（6），【拓展与延伸】9．∵＝，∴当x＝2时，有最小值1，∴不可能为0，且无最大值，只有小华、小明是正确的4.2一元二次方程的解法（3）【实践与探索】例1解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）两边都除以1，得，移项，得，配方，得，，解这个方程，得，∴，．（2）两边都除以3，得，移项，得，，配方，得，，，解这个方程，得，∴，．（3）两边都除以，得，配方，得，，解这个方程，得，∴．（4）两边都除以，得，移项，得配方，得，＜0，∴原方程没有实数根．例2小华把二次三项式配成的形式，过程如下：解：＝．问：小华的解法是否有错误；如有，指出错在哪里？并给出正确的解答．解：小华的解法错在把二次三项式当成一元二次方程，正确的解答如下：＝．【训练与提高】1．A2．A3．（1）；（2）；（3）1，1；（4）－12y，24．5.16．（1），；（2），；（3），；（4）7．－1，28．（1）；（2）【拓展与延伸】9．，10．1s或2s4.2一元二次方程的解法（4）【实践与探索】例1用公式法解下列方程：（1）；（2）；（3）．解：（1）∵，，，，∴，∴，．（2）∵，，，，∴，∴．（3）将原方程化成一般形式，得，即．∵，，，＜0，∴原方程没有实数根．例2周老师：“两个连续偶数的平方和为100，求这两个数．”小依说：“这两个数是6和8”；小琳说：“这两个数是－8和－6”．你认为她们的说法正确吗？若不正确，请写出正确的结果．解：设两个连续偶数为、，则，将原方程化成一般形式，得，解得，，∴，或，，即这两个数是6和8或－8和－6．∴她们的说法都不完整．【训练与提高】1．C2．D3．3，－14．，；原方程无实数根5．（1），；（2），；（3），；（4），；（5），；（6）原方程无实数根6．1，【拓展与延伸】7．108．DC＝15－5，AD＝－5＋59．k＜－14.2一元二次方程的解法（5）【实践与探索】例1不解方程，判别下列方程根的情况：（1）；（2）；（3）．解：（1）∵△＝＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．（2）原方程可变形为，∵△＝，∴原方程有两个相等的实数根．（3）原方程可变形为，∵△＝＜0，∴原方程没有实数根．例2已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，试求出这两个根．解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，且△＝0，而△＝，由，解得，．∵，∴．把代入原方程，整理后，得，，解这个方程，得．例3阅读材料：若关于的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a)根据上述材料解答：（1）设方程2x2－4x－1＝0的两个根分别为x1、x2，你能写出x1＋x2，x1x2的值吗？（2）如果方程的一个根是，你会利用一元二次方程根与系数的关系求出方程的另一个根和的值吗？解：（1）x1＋x2＝2，x1x2＝－eq\f(1,2)（2）设方程的另一个根为，由一元二次方程根与系数的关系，得，，解上述方程，得，．【训练与提高】1．A2．C3．D4．C5．－8，没有实数根6．±47．1，，2，8．2，－249．（1）方程没有实数根；（2）方程有两个不相等的实数根；（3）方程有两个相等的实数根10．（1）；（2）若k是负整数，k只能为－1或－2．如果k＝－1，原方程为．解得，，．（如果k＝－2，原方程为，解得，，．）【拓展与延伸】11．（1）；（2）由得．若，即，解得．∵＞，不合题意，舍去．若，即，，由（1）知．故当时，12．（1）∵△＝≥0，∴方程有两个实数根；（2）△ABC的周长为54.2一元二次方程的解法（6）【实践与探索】例1用因式分解法解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解：（1）化简得，，，，∴或，∴，；（2），，∴或，∴，；（3），或；∴，；（4），，，∴或，∴，．（5），，，或，∴，；（6），，∴，．例2用适当的方法解下列方程：（1）7(2x－3)2＝28；（2）y2－2y－99＝0；（3）3t2－1＝6t；（4）4x(2x－3)＝3(2x－3)；（5）9y2－6y＋1＝0；（6）(x－1)2－7(x－1)－8＝0．解：（1）用直接开平方法解得x1＝eq\f(1,2)，x2＝eq\f(5,2)；（2）用配方法或因式分解法解得y1＝－9，y2＝11；（3）用公式法解得t1，t2；（4）用因式分解法解得x1＝eq\f(3,2)，x2＝eq\f(3,4)；（5）用因式分解法解得y1＝y2＝eq\f(1,3)；（6）用因式分解法解得x1＝0，x2＝9.【训练与提高】1．C2．，3．，4．，5．36．（1），；（2），；（3），；（4）；（5），；（6），7．（1），；（2），；（3），；（4），；（5），；（6），【拓展与延伸】8．59．13cm，10．0，1，－4.3用一元二次方程解决问题（1）【实践与探索】例1一个两位数，个位数字比十位数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数．解：设这个两位数的十位数字为，则个位数字为（）.根据题意，得．整理，得．解这个方程，得，（不合题意，舍去）．∴，．答：这个两位数是84.例2如图4.3.1，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1解：设上下边衬的宽均为，左右边衬的宽均为，则中央矩形的长为，宽为．图4.3.1根据题意，得．图4.3.1整理，得．解这个方程，得≈2.8（不合题意，舍去），≈0.2．∴，答：上下边衬的宽均为，左右边衬的宽均为．【训练与提高】1．25或362．2，4，6或4，6，83．0.5cm4．28m5．横路宽度约为1.8m，纵路宽度约为【拓展与延伸】6．36岁7．（1）不符合.设小路宽度均为m，根据题意得：，解这个方程得：但不符合题意，应舍去，∴.∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度均为2m（2）答案不唯一.例如：4.3用一元二次方程解决问题（2）【实践与探索】例1某市2010年国内生产总值（GDP）比2009年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2010年增长7%，求这两年GDP年平均增长率．（结果精确到1%）解：设这两年GDP年平均增长率为．根据题意，得，解这个方程，得≈0.09，≈－2.09（不合题意，舍去）．∴0.09．答：这两年GDP年平均增长率约为9%．例2两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元．哪种药品成本的年平均下降率较大？解：设甲种药品成本的年平均下降率为，则，解这个方程，得≈0.225，≈1.775（不合题意，舍去），∴甲种药品成本的年平均下降率为22.5%．设乙种药品成本的年平均下降率为，则，解这个方程，得≈0.225，≈1.775（不合题意，舍去），∴乙种药品成本的年平均下降率为22.5%．答：两种药品成本的年平均下降率相等．【训练与提高】1．40%2．10%3．41%4．30%5．第一次八折，第二次六折【拓展与延伸】6．略7．9%4.3用一元二次方程解决问题（3）【实践与探索】例1将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm（1）解：设剪成两段后其中一段为，则另一段为．由题意得：．解得：，．当时，；当时，∴这段铁丝剪成两段后的长度分别是16cm和4（2）不能．理由是：．整理得：．∵△＝＜0．∴此方程无解．即不能剪成两段使得面积和为12cm例2两条公路相交成直角，有甲、乙两辆汽车同时由两条公路通过这个十字路口．已知甲车距十字路口40km，速度为0.8km/min，乙车距十字路口30km，速度为0.5km/min解：设后这两辆汽车相距16km．根据题意，得，．整理，得，．解这个方程，得，．答：经过或这两辆汽车相距16km．【训练与提高】1．（1）平行于墙的一边长为5m，垂直于墙的一边长为42．10m3．10尺4．20【拓展与延伸】6．（1）鸡场的长15m，宽10m或长20m，宽7.5m；（2）当a＜15m时，此题无解；当15m≤a＜20m时，7．(1)2s或4s；（2）7s4.3用一元二次方程解决问题（4）【实践与探索】例1某公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入广告费为（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的倍，且．如果把利润看作是销售额减去成本费和广告费，试求当年利润为16万元时，广告费为多少万元？解：根据题意，得，．整理，得．解这个方程，得．答：当年利润为16万元时，广告费为3万元.例2有一批图形计算器，原售价为每台800元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台每台都为760元．依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减20元，但最低不能低于每台440元；乙公司一律按原售价的75%促销．某单位在同一家公司购买了一定数量的图形计算器恰好花费7500元，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？解：设该单位买台，若在甲公司购买则需要花费元；若在乙公司购买则需要花费元．①若该单位是在甲公司花费7

500元购买的图形计算器，则有，解之得．当时，每台单价为，符合题意，当时，每台单价为，不符合题意，舍去．②若该单位是在乙公司花费7

500元购买的图形计算器，则有，解之得，不符合题意，舍去．故该单位是在甲公司购买的图形计算器，买了15台．【训练与提高】1．30元2．0.2元或0.3元3．10.5万元或15万元4．20元【拓展与延伸】5．（1）略（2）70元6．25天第4章复习题A组1．（1），；（2），；（3），；（4），；（5），；（6），；（7），；（8），2．另一个根为，3．，，4．6.5，1.55．6．梯形上底，下底，高，图略7．长方体长，宽，高，图略8．69．平行于墙的一边长10，垂直于墙的一边长10．（1）5%；（2）不会11．每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台12．（1）；（2）B组13.；，14．30名15．16．（1）2或；（2）收益无差别，但修公顷占地多、投入大；（3）63000元；（4）不一定第5章中心对称图形（二）5.1圆（1）【实践与探索】例1如图5.1.1，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4（1）以B为圆心，BC长为半径画⊙B，点A、C及AB中点E与⊙B有怎样的位置关系?（2）以A为圆心，R为半径画⊙A，若B、C、E三点中至少有一点在圆内，至少有一点在圆外，则⊙A的半径R应满足什么条件呢?解：（1）∵∠C＝90°∴AB2＝AC2＋BC2.∴AB＝5∵⊙B半径BC＝3∴AB＞BC.∴点A在⊙B外.又∵BC＝3cm，∴点C在⊙图5.1.1∵AB＝5cm，E图5∴BE＝AB＝cm＜3cm.∴点E在⊙B内.（2）cm＜＜5cm.例2画出由所有到已知点O的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm解：满足条件的点的集合是以O为圆心，分别以2cm和3cm为半径的两个圆组成的圆环，【训练与提高】1．A2．B3．A4．上，外，上5．点P在⊙A内6．点P在⊙O上7．（1）以点A为圆心、1.5cm为半径的圆；（2）以点B为圆心、1.5cm（3）分别以点A和B为圆心、1.5cm为半径的圆的两个公共点；（4）分别以点A和B为圆心、1.5cm为半径的圆的两个公共部分（不含边界）8．（1）圆9．点B在⊙O外，点C在⊙O上，点M在⊙O内10．在同一个圆上【拓展与延伸】11．生活区内至少要有两个商场，r＞120m；三个商场都在生活区内，r＞15012．A城受风暴影响的时间为小时5.1圆（2）图5.1.图5例1如图5.1.2，大圆的弦AB交小圆于点C、D则∠AOC与∠BOD相等吗？为什么？解：(1)∠AOC与∠BOD相等．∵OA＝OB（同圆的半径相等），∴∠A＝∠B．∵OC＝OD（同圆的半径相等），∴∠OCD＝∠ODC．又∵∠OCD＝∠A＋∠AOC，∠ODC＝∠B＋∠BOD，∴∠AOC＝∠BOD.如图5.1.3，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，且AD＝1，CD＝3，求直径AB的长．解：连接OC．设⊙O的半径为R，则OC＝R，OD＝R－1，在Rt△ODC中，由勾股定理得，OD2＋CD2＝OC2，∴（R－1）2＋32＝R2，图5.1.3∴图5∴直径AB的长为10.【训练与提高】1．C2．C3．AB，AB、CD、EF，eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(EA))、eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(EB))、eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(EC))、eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(ED))、eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(EF))，eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(ABC))、eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(ABD))、eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(ABE))、eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(ABF))4．②④⑤5．66．60º7．（16，0）8．50º9．（1）略；（2）矩形【拓展与延伸】10．B11．26º5.2圆的对称性（1）【实践与探索】例1如图5.2.1，在⊙O中，eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))＝eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AC))，∠ACB＝60°，则∠AOB＝∠BOC＝∠AOC吗？为什么？解：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．∵eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))＝eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AC))，∴AB＝AC（在同圆中，相等的弧所对的弦相等），图5.2.1图5又∵∠ACB＝60°．∴△ABC是等边三角形，AB＝BC＝CA．∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC（在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等）．例2如图5.2.2，在△ABC中，∠C＝90º，∠B＝28º，以C为圆心，以CA长为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，求eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AD))，eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(DE))的度数．解：连接CD．∵∠C＝90º，∠B＝28º，∴∠A＝90º－28º＝62º．图5.2.2∵CA＝CD，∴∠CDA＝∠图5∴∠ACD＝56º，即eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AD))的度数为56º（圆心角的度数等于与它所对的弧的度数相等）．∴∠DCE＝34º，即eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(DE))的度数为34º（圆心角的度数等于与它所对的弧的度数相等）．【训练与提高】1．（1）eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))＝eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(CD))，∠AOB＝∠COD；（2）AB＝CD，∠AOB＝∠COD；（3）eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))＝eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(CD))，AB＝CD2．①②③，①③，图略3．30º4．75º5．AD与BC相等6．四边形OABC是菱形【拓展与延伸】7．相等．提示：分别连接OC、OD8．不同意小林的说法．eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))＝2eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(CD))，但AB＜2CD5.2圆的对称性（2）【实践与探索】例1你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（精确到解：如图5.2.3，用eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))表示主桥拱，设eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))相交于点C，图5.2.3则D是AB的中点，C是eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))的中点，CD就是拱高图5（垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧）∵AB＝37.4，CD＝7.2，∴AD＝AB＝×37.4＝18.7，∴OD＝OC－CD＝R－7.2.在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2＝AD2＋OD2，即R2＝18.72＋（R－7.2）2.解得R≈27.9因此，赵州桥主桥拱的半径约为27.9m例2如图5.2.4，AB、CD都是⊙O的弦，且AB∥CD．eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AC))与eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BD))相等吗？为什么？解：eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AC))＝eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BD))．过点O作OE⊥AB，∴eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AE))＝eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BE))（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）．又∵AB∥CD，∴OE⊥CD，∴eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(CE))＝eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(DE))（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）．图5.2.4∴eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AE))－eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(CE))＝eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BE))－eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(DE)).图5即eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AC))＝eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BD))【训练与提高】1．B2．C3．提示：（1）连接OA，过点A作弦MN⊥OA；（2）弦MN的长最短4．（1）BE＝CE；eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BD))＝eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(CD))；AC∥OD等（2）R＝55．545m6．四边形ADOE是正方形7．3cm或21【拓展与延伸】9．20图5.2.510．如图5.2.5，设⊙O图5由垂径定理可知，AD＝DB＝3.6，在Rt△ODB中，由勾股定理，得OD2＋DB2＝OB2，即（R－2.4）2＋3.62＝R2，解得R＝3.9.∴OD＝OC－CD＝3.9－2.4＝1.5.在Rt△OHF中，由勾股定理，得OH2＋HF2＝OF2，即（DH＋1.5）2＋1.52＝3.92，解得DH＝2.1.∵2.1＞2∴这艘船能顺利通过这座拱桥．5.3圆周角（1）【实践与探索】如图5.3.1，⊙O的两条弦AB、CD相交于点P，（1）试说明：PA·PB＝PC·PD．（2）若PD＝2PB，PC＝2cm，求PA的长解：（1）连接AC、BD，则∠A＝∠D（同弧所对的圆周角相等）．图5.3.1又∠APC＝图5∴△APC∽△DPB.∴.∴PA·PB＝PC·PD.（2）把PD＝2PB，PC＝2cm代入（1）式，得PA·PB＝2·2PB，∴PA＝4例2如图5.3.2，△ABC是等边三角形，⊙O过点B，C，且与BA、CA的延长线分别交于点D，E．弦DF∥AC，EF的延长线交BC的延长线于点G．（1）判断△BEF的形状，并说明理由；（2）若BA＝4，CG＝2，求BF的长．图5.3.2解：（1）△图5∵是等边三角形，∴，∵DF∥AC，∴∴（同弧所对的圆周角相等）．又∵（同弧所对的圆周角相等），∴是等边三角形．（2）∵，∴，又，∴∽．∴，又＝，，∴·＝24，可得【训练与提高】1．C2．1403．28º4．80º5．42º6．略7．（1）60º；（2）60º或120º【拓展与延伸】8.75º9．（1）22.5°，67.5°；（2）∠B1＝15°，∠B2＝45°，∠B3＝75°；（3）5.3圆周角（2）【实践与探索】例1如图5.3.3，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，BC交于E，AC交于D，∠DOE＝60°.求∠C的度数.解：连接DB.∵AB为⊙O的直径，图5.3.3∴∠图5∴∠BDC＝90°.∵∠DOE＝60°，∴∠DBC＝30°(同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半).∴∠C＝180°－∠BDC－∠DBC＝180°－90°－30°＝60°.例2如图5.3.4，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G．试说明：BC2＝BG·BF解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°（直径所对的圆周角是直角）．又CD⊥AB于D，∴∠BCD＝∠A．又∠A＝∠F（同弧所对的圆周角相等），∴∠F＝∠BCD＝∠BCG．在△BCG和△BFC中，图5图5∴△BCG∽△BFC，∴，即．【训练与提高】1．552．33．704．B5．BC＝8cm，AD＝BD＝cm6．提示：连接BE7．略8．A（－，0），C（－，）【拓展与延伸】9．10．（1）相等．提示：连接BC；（2）提示：连接CF5.4确定圆的条件【实践与探索】例1如图5.4.1，有一破残的轮片，现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件，请你能根据本课的有关知识设计一种确定零件的半径的方案，并说明理由．图5.4.1解：在残片弧上任取三点A、B、C，图5CB，分别作AC、BC的中垂线交于点O．则OA的长即为所求半径．ACDOBI例2如图5.4.2，圆是的外接圆，与的平分线相交于点，延长交圆于点，连接．ACDOBI（1）试说明：．（2）若⊙O的半径为10cm，，求的面积．解：（1）平分，．平分，，图5.图5又，为等腰三角形．．（2）当时，为钝角三角形，圆心在外，连接．，，为正三角形．又知，【训练与提高】1．B2．D3．⊙O，△ABD，△ABD，直角4．cm5.6．27．（1）10cm；（2）cm28．（1）提示：作△ABC的外接圆即可；（2）25平方米9．提示：(1)有2个；(2)存在最小圆，其圆心是AB的中点，半径为2.5【拓展与延伸】10．或11．(1)正方形、矩形、等腰梯形等；(2)∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°；(3)对角互补5.5直线与圆的位置关系（1）【实践与探索】例1如图5.5.1，已知Rt△ABC的斜边AB＝6cm，直角边AC＝3cm．问：圆心为C，半径分别为2cm、4cm的两个圆与直线AB有怎样的位置关系？半径r多长时，直线AB与⊙C相切？若⊙C与边图5.5.1解：过点C作CD⊥AB图5∵斜边AB＝6cm，直角边AC＝3cm，∴BC＝cm，CD＝cm．因此，圆心为C，半径分别为2cm、4cm的两个圆与直线相交；而半径r＝cm时，直线AB与⊙C相切；若⊙C与边AB相交，则圆半径r应满足cm＜r＜cm．ABFEPC例2如图5.5.2，A、B两城市相距100km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和ABFEPC解：过点作，是垂足，则，，AC＝PC·tan30º，BC＝PC·tan45º，，∴PC·tan30º＋PC·tan45º＝100图5.图5，因为森林保护区的中心与直线的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．【训练与提高】1．B2．C3．A4．相交，5，相离5．（1）相交，1；（2）4.86．相切7．直线和圆分别相交、相切、相离，分别有2、1、0个公共点8．59．（1）大于30º；（2）等于30º；（3）小于30º【拓展与延伸】10．答案不唯一．可供参考的有：相离：相切：相交：其它：11．(1)向右平移2个单位，此时⊙A与x轴相交、点O在⊙A外，或⊙A向左平移4个单位，此时⊙A与x轴相交、点O在⊙A外；(2)⊙A向上平移1个单位，此时⊙A与y轴相交、点O在⊙A外，或⊙A向下平移5个单位，此时⊙A与y轴相交、点O在⊙A外；(3)(3，3)，(－3，3)，(－3，－3)，(3，－3)；(4)点A在以点O为圆心，3为半径的圆上5.5直线与圆的位置关系（2）【实践与探索】例1如图5.5.3，OA、OB是⊙O中互相垂直的两条半径，M是OB上任一点，连接AM并延长交⊙O于C，过C作直线交MB的延长线于D，如果满足条件DM＝DC，那么直线CD是⊙O的切线吗？请说明理由．解：直线CD是⊙O的切线.连接OC.∵OA＝OC，∠ACO＝∠A．∵OA⊥OB，∴∠A＋∠AMO＝90°.图5.5.3∵DM＝DC，∴∠DCM＝图5∵∠AMO＝∠DMC，∴∠AMO＝∠DCM.∴∠ACO＋∠DCM＝90°.即∠DCO＝90°.∴直线CD是⊙O的切线(经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线).例2如图5.5.4，在Rt△ABC中，∠C＝90º，AC＝12，BC＝9，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于E，求AD的长．解：连接OE，由题意得，OE⊥AC（圆的切线垂直于经过切点的半径）．∵∠C＝90º，AC＝12，BC＝9，∴AB＝15.由△AOE∽△ABC，得．图5.5.4设⊙O的半径为R，则，解得R＝图5∴AD＝AB－2R＝．【训练与提高】1．①②⑤2．36º3．（－1，－2）4．AC是⊙O的切线5．直线BD和⊙O相切6．(1)5；(2)27．AE平分∠FAB，提示：连接OE8．（1）30º；（2）40º；（3）α；（4）圆的切线与弦所成的角等于它所夹的弧所对的圆周角【拓展与延伸】9．解：如图，（1）AE与⊙O相切．理由：连接OC．∵CD∥OA∴，．又∵ODOC，∴．∴．在△AOC和△AOB中，OA＝OA，，OB＝OC，∴△AOC≌△AOB，∴．∵AB与⊙O相切，∴＝90°．∴AE与⊙O相切．（2）①选择a、b、c，或其中2个②解答举例：若选择a、b、c；方法一：由CD∥OA，，得．方法二：在Rt△ABE中，由勾股定理，得．方法三：由Rt△OCE∽Rt△ABE，，得．若选择a、b；方法一：在Rt△OCE中，由勾股定理：，得；方法二：连接BC，由△DCE∽△CBE，得．若选择a、c；需综合运用以上多种方法，得．10．(1)∠P＋2∠A＝90°.提示：连接OC；(2)PB＝⊙O的半径；(3)不能.若∠A＝45°，则过点C的切线与AB平行；(4)过点C的切线与直线AB的交点P在线段AB的反向延长线上5.5直线与圆的位置关系（3）【实践与探索】例1如图5.5.5，⊙I切△ABC的边分别于点D，E，F，∠B＝70°，∠C＝60°，M是eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(DEF))上的动点（与D，F不重合），∠DMF的大小一定吗？若一定，求出∠DMF的大小；若不一定，请说明理由．解：∠DMF的大小一定．连接ID、IF．由题意得，ID⊥AB，IF⊥AC．图5.5.5由四边形的内角和知，∠A＋∠DIF＝图5在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝60°，得∠A＝50º．所以，∠DIF＝180º－∠A＝130º．因此，∠DMF＝∠DIF＝65º（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）．例2如图5.5.6，在Rt△ABC中，∠C＝90º，AB＝5，，求△ABC的内切圆半径r．解：设切点分别为D、E、F，分别连接OD、OE、OF、OA、OB、OC．则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC．∴由题意得，，，解得AC＋BC＝7图5.5.6图5所以r＝1.【训练与提高】1．C2．B3．C4．A5．C6．∠AOB＝120º，∠DEF＝60º7．8．提示：画三角形的内切圆【拓展与延伸】9．△DEF是锐角三角形10．（1）r＝eq\f(2s,L)；（2）；（3）5.5直线与圆的位置关系（4）【实践与探索】如图5.5.7，过半径为6cm的⊙O外一点切线PA、PB，连接PO交⊙O于F，过F作⊙O的切线交PA、PB分别于D、E，如果PO＝10cm，∠APB＝40º（1）求△PED的周长；图5.5.7（2）求∠图5解：（1）连接OA、OB，则OA⊥PA，OB⊥PB．∴.∵PA、PB、DE均为⊙O的切线，∴PA＝PB，DA＝DF，FE＝BE（从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等）．∴△PED的周长＝PE＋EF＋FD＋PD＝PA＋PB＝2PA＝16cm（2）∵PA、PB、DE均为⊙O的切线，∴∠AOD＝∠DOF，∠EOF＝∠EOB（从圆外一点引圆的两条切线，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角）∴∠DOE＝∠AOB＝（180º－∠APB）＝（180º－40º）＝70º.例2如图5.5.8，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝9cm，BC＝14cm，CA＝13cm，求AF、BD解：设AF＝x，则AE＝x，图5.5.8CD＝CE＝AC－AE＝13图5BD＝BF＝AB－AF＝9－x（从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等）．由BD＋CD＝BC可得(13－x)＋(9－x)＝14，解得x＝4.因此，AF＝4cm，BD＝5cm，CE＝【训练与提高】1．502．23．704．（1）60°；（2）5．提示：连接AB6．(1)3a；(2)7．(1)四边形OECF是正方形；(2)AC＝8，⊙O的半径为2【拓展与延伸】8．AB＋CD＝AD＋BC，圆的外切四边形的两组对边之和相等9．（1）；（2）∠ACB＝60°；（3）5.6圆与圆的位置关系【实践与探索】例1已知两圆的圆心距O1O2＝4，两圆半径R、r（R≥r）分别是方程x2－5x＋6＝0的两根，试判断这两圆的位置关系.解：∵方程x2－5x＋6＝0的两根为2和3，∴R＋r＝5，R－r＝1.∵圆心距O1O2＝4cm，∴R－r＜O1O2＜R＋r∴两圆相交.例2⊙O半径为2cm，P为⊙O外一点，OP＝3cm，以P为圆心画⊙P与⊙O相切，试确定⊙P解：设⊙P与⊙O外切于点A，则PA＝OP－OA＝1cm设⊙P与⊙O内切于点B，则PB＝OP＋OB＝5cm.【训练与提高】1．C2．D3．A4．(1)相交；(2)