四川省眉山市东坡区东坡区东坡中学2023-2024学年中考数学全真模拟试卷含解析

四川省眉山市东坡区东坡区东坡中学2023-2024学年中考数学全真模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）A． B． C． D．2．如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A＝60°，连接OB、OC，则边BC的长为()A． B． C． D．3．下列计算正确的是（）A．（﹣2a）2＝2a2 B．a6÷a3＝a2C．﹣2（a﹣1）＝2﹣2a D．a•a2＝a24．下列各式中，不是多项式2x2﹣4x+2的因式的是（）A．2 B．2（x﹣1） C．（x﹣1）2 D．2（x﹣2）5．下列计算，结果等于a4的是（）A．a+3aB．a5﹣aC．（a2）2D．a8÷a26．如图，已知，，则的度数为()A． B． C． D．7．我国古代数学著作《九章算术》卷七“盈不足”中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：几个人合伙买一件物品，每人出8元，则余3元；若每人出7元，则少4元，问几人合买？这件物品多少钱？若设有x人合买，这件物品y元，则根据题意列出的二元一次方程组为（）A． B． C． D．8．一元二次方程x2+kx﹣3=0的一个根是x=1，则另一个根是（）A．3 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣29．如图，∠AOB＝45°，OC是∠AOB的角平分线，PM⊥OB，垂足为点M，PN∥OB，PN与OA相交于点N，那么的值等于（）A． B． C． D．10．下表是某校合唱团成员的年龄分布.年龄/岁13141516频数515x对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）A．众数、中位数 B．平均数、中位数 C．平均数、方差 D．中位数、方差11．若分式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是()A． B． C． D．12．如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，求出这支蜡烛在暗盒中所成像的长（）A． B． C． D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．若方程x2+（m2﹣1）x+1+m＝0的两根互为相反数，则m＝______14．菱形ABCD中，∠A=60°，AB=9，点P是菱形ABCD内一点，PB=PD=3，则AP的长为_____．15．不等式组的解集是_____．16．（2016辽宁省沈阳市）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是______．17．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：x…－5－4－3－2－1…y…3－2－5－6－5…则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－2的根是______．18．若向北走5km记作﹣5km，则+10km的含义是_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图1，在圆中，垂直于弦，为垂足，作，与的延长线交于.（1）求证：是圆的切线；（2）如图2，延长，交圆于点，点是劣弧的中点，，，求的长.20．（6分）如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是三角形；（2）若抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求的值；（3）如图，△是抛物线的“抛物线三角形”，是否存在以原点为对称中心的矩形？若存在，求出过三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．21．（6分）如图，一根电线杆PQ直立在山坡上，从地面的点A看，测得杆顶端点P的仰角为45°，向前走6m到达点B，又测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别为60°和30°，求电线杆PQ的高度．（结果保留根号）.22．（8分）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点E．(1)求证：DE⊥AC；(2)连结OC交DE于点F，若，求的值．23．（8分）随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？24．（10分）如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，．点在函数图像上，轴，且，直线是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点．求、的值；如图①，连接，线段上的点关于直线的对称点恰好在线段上，求点的坐标；如图②，动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点．试问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．25．（10分）计算：27﹣（﹣2）0+|1﹣3|+2cos30°．26．（12分）（1）计算：（﹣2）2﹣+（+1）2﹣4cos60°；（2）化简：÷（1﹣）27．（12分）（1）计算：|﹣3|+（π﹣2018）0﹣2sin30°+（）﹣1．（2）先化简，再求值：（x﹣1）÷（﹣1），其中x为方程x2+3x+2=0的根．

参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、D【解析】根据“左加右减、上加下减”的原则，将抛物线向左平移1个单位所得直线解析式为：；再向下平移3个单位为：．故选D．2、D【解析】

延长BO交圆于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又BD=2R，根据锐角三角函数的定义得BC=R.【详解】解：延长BO交⊙O于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，∴∠CBD=30°，∵BD=2R，∴DC=R，∴BC=R，故选D.【点睛】此题综合运用了圆周角定理、直角三角形30°角的性质、勾股定理，注意：作直径构造直角三角形是解决本题的关键.3、C【解析】

解:选项A，原式=；选项B，原式=a3；选项C，原式=-2a+2=2-2a；选项D，原式=故选C4、D【解析】

原式分解因式，判断即可．【详解】原式＝2（x2﹣2x+1）＝2（x﹣1）2。故选：D．【点睛】考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．5、C【解析】

根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可．【详解】A．a+3a=4a，错误；B．a5和a不是同类项，不能合并，故此选项错误；C．（a2）2=a4，正确；D．a8÷a2=a6，错误．故选C．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方，关键是正确掌握计算法则．6、B【解析】分析：根据∠AOC和∠BOC的度数得出∠AOB的度数，从而得出答案．详解：∵∠AOC=70°，∠BOC=30°，∴∠AOB=70°－30°=40°，∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=40°+70°=110°，故选B．点睛：本题主要考查的是角度的计算问题，属于基础题型．理解各角之间的关系是解题的关键．7、D【解析】

根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题．【详解】由题意可得：，故选D．【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．8、C【解析】试题分析：根据根与系数的关系可得出两根的积，即可求得方程的另一根．设m、n是方程x2+kx﹣3=0的两个实数根，且m=x=1；则有：mn=﹣3，即n=﹣3；故选C．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．9、B【解析】

过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PM，再根据两直线平行，内错角相等可得∠POM=∠OPN，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PNE=∠AOB，再根据直角三角形解答．【详解】如图，过点P作PE⊥OA于点E，∵OP是∠AOB的平分线，∴PE＝PM，∵PN∥OB，∴∠POM＝∠OPN，∴∠PNE＝∠PON+∠OPN＝∠PON+∠POM＝∠AOB＝45°，∴＝．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．10、A【解析】

由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．【详解】由题中表格可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为，则总人数为，故该组数据的众数为14岁，中位数为（岁），所以对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，故选A.【点睛】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．11、D【解析】

根据分式有意义的条件即可求出答案．【详解】解：由分式有意义的条件可知：，，故选：．【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型.12、D【解析】

过O作直线OE⊥AB，交CD于F，由CD//AB可得△OAB∽△OCD，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比列方程求出CD的值即可.【详解】过O作直线OE⊥AB，交CD于F，∵AB//CD，∴OF⊥CD，OE=12，OF=2，∴△OAB∽△OCD，∵OE、OF分别是△OAB和△OCD的高，∴，即，解得：CD=1.故选D.【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，熟记相似三角形对应边的比等于对应高的比是解题关键.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、﹣1【解析】

根据“方程x2+（m2﹣1）x+1+m＝0的两根互为相反数”，利用一元二次方程根与系数的关系，列出关于m的等式，解之，再把m的值代入原方程，找出符合题意的m的值即可．【详解】∵方程x2+（m2﹣1）x+1+m＝0的两根互为相反数，∴1﹣m2＝0，解得：m＝1或﹣1，把m＝1代入原方程得：x2+2＝0，该方程无解，∴m＝1不合题意，舍去，把m＝﹣1代入原方程得：x2＝0，解得：x1＝x2＝0，（符合题意），∴m＝﹣1，故答案为﹣1．【点睛】本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程两根之和，两个之积与系数之间的关系式解题的关键．若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：，.14、3或6【解析】

分成P在OA上和P在OC上两种情况进行讨论，根据△ABD是等边三角形，即可求得OA的长度，在直角△OBP中利用勾股定理求得OP的长，则AP即可求得．【详解】设AC和BE相交于点O．当P在OA上时，∵AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=9，OB=OD=BD=．则AO=．在直角△OBP中，OP=．则AP=OA-OP-；当P在OC上时，AP=OA+OP=．故答案是：3或6．【点睛】本题考查了菱形的性质，注意到P在AC上，应分两种情况进行讨论是解题的关键．15、2＜x≤1【解析】

本题可根据不等式组分别求出每一个不等式的解集，然后即可确定不等式组的解集．【详解】由①得x＞2，由②得x≤1，∴不等式组的解集为2＜x≤1．故答案为：2＜x≤1．【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．16、或．【解析】由图可知，在△OMN中，∠OMN的度数是一个定值，且∠OMN不为直角.故当∠ONM=90°或∠MON=90°时，△OMN是直角三角形.因此，本题需要按以下两种情况分别求解.(1)当∠ONM=90°时，则DN⊥BC.过点E作EF⊥BC，垂足为F.(如图)∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∵BC=20，∴在Rt△ABC中，，∵DE是△ABC的中位线，∴，∴在Rt△CFE中，，.∵BM=3，BC=20，FC=5，∴MF=BC-BM-FC=20-3-5=12.∵EF=5，MF=12，∴在Rt△MFE中，，∵DE是△ABC的中位线，BC=20，∴，DE∥BC，∴∠DEM=∠EMF，即∠DEO=∠EMF，∴，∴在Rt△ODE中，.(2)当∠MON=90°时，则DN⊥ME.过点E作EF⊥BC，垂足为F.(如图)∵EF=5，MF=12，∴在Rt△MFE中，，∴在Rt△MFE中，，∵∠DEO=∠EMF，∴，∵DE=10，∴在Rt△DOE中，.综上所述，DO的长是或.故本题应填写：或.点睛：在解决本题的过程中，难点在于对直角三角形中直角的分类讨论；关键点是通过等角代换将一个在原直角三角形中不易求得的三角函数值转换到一个容易求解的直角三角形中进行求解.另外，本题也可以用相似三角形的方法进行求解，不过利用锐角三角函数相对简便.17、x1=-4，x1=2【解析】解：∵x=﹣3，x=﹣1的函数值都是﹣5，相等，∴二次函数的对称轴为直线x=﹣1．∵x=﹣4时，y=﹣1，∴x=2时，y=﹣1，∴方程ax1+bx+c=3的解是x1=﹣4，x1=2．故答案为x1=﹣4，x1=2．点睛：本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，读懂图表信息，求出对称轴解析式是解题的关键．18、向南走10km【解析】

分析：与北相反的方向是南，由题意，负数表示向北走，则正数就表示向南走，据此得出结论.详解：∵向北走5km记作﹣5km，∴+10km表示向南走10km.故答案是：向南走10km.点睛：本题考查对相反意义量的认识：在一对具有相反意义的量中，先规定一个为正数，则另一个就要用负数表示.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）详见解析；（2）【解析】

（1）连接OA，利用切线的判定证明即可；

（2）分别连结OP、PE、AE，OP交AE于F点，根据勾股定理解答即可．【详解】解：（1）如图，连结OA，

∵OA=OB，OC⊥AB，

∴∠AOC=∠BOC，

又∠BAD=∠BOC，

∴∠BAD=∠AOC

∵∠AOC+∠OAC=90°，

∴∠BAD+∠OAC=90°，

∴OA⊥AD，

即：直线AD是⊙O的切线；

（2）分别连结OP、PE、AE，OP交AE于F点，

∵BE是直径，

∴∠EAB=90°，

∴OC∥AE，

∵OB=，

∴BE=13

∵AB=5，在直角△ABE中，AE=12，EF=6，FP=OP-OF=-=4

在直角△PEF中，FP=4，EF=6，PE2=16+36=52，

在直角△PEB中，BE=13，PB2=BE2-PE2，

PB=＝3．【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．20、（1）等腰（2）（3）存在，【解析】解：（1）等腰（2）∵抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，∴该抛物线的顶点满足．∴．（3）存在．如图，作△与△关于原点中心对称，则四边形为平行四边形．当时，平行四边形为矩形．又∵，∴△为等边三角形．作，垂足为．∴．∴．∴．∴，．∴，．设过点三点的抛物线，则解之，得∴所求抛物线的表达式为．21、（6+）米【解析】

根据已知的边和角,设CQ=x，BC=QC=x，PC=BC=3x，根据PQ=BQ列出方程求解即可.【详解】解：延长PQ交地面与点C，由题意可得：AB=6m，∠PCA=90°，∠PAC=45°，∠PBC=60°，∠QBC=30°，设CQ=x，则在Rt△BQC中，BC=QC=x，∴在Rt△PBC中PC=BC=3x，∵在Rt△PAC中，∠PAC=45°，则PC=AC，∴，3x=6+x，解得x==3+，∴PQ=PC-CQ=3x-x=2x=6+，则电线杆PQ高为（6+）米．【点睛】此题重点考察学生对解直角三角形的理解，掌握解直角三角形的方法是解题的关键.22、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）连接OD，根据三角形的中位线定理可求出OD∥AC，根据切线的性质可证明DE⊥OD，进而得证．（2）连接AD，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB表示出OF、CF的长，根据三角函数的定义求解．【详解】解：(1)连接OD.∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，即∠ODE=90°.∵AB是⊙O的直径，∴O是AB的中点.又∵D是BC的中点，.∴OD∥AC.∴∠DEC=∠ODE=90°.∴DE⊥AC.(2)连接AD.∵OD∥AC，∴.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠ADC=90°.又∵D为BC的中点，∴AB=AC.∵sin∠ABC==，设AD=3x,则AB=AC=4x,OD=2x.∵DE⊥AC，∴∠ADC=∠AED=90°.∵∠DAC=∠EAD，∴△ADC∽△AED.∴.∴.∴.∴.∴.23、（1）打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元．（2）打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元．【解析】分析：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据节省钱数=原价购买所需钱数-打折后购买所需钱数，即可求出节省的钱数．详解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙