高中数学讲义微59 新信息背景下的数列问题

微专题59新信息背景下的数列问题

含“新信息”背景的数列问题，以其难度通常位于试卷的最后一题。此类问题有以下几

个难点：一是对于新的概念与规则，学生在处理时会有一个熟悉的过程，不易抓住信息的关

键部分并用于解题之中，二是学生不易发现每一问所指向的知识点，传统题目通常在问法上

就直接表明该用哪些知识进行处理，例如“求通项，求和”。但新信息问题所问的因为与新信

息相关，所以要运用的知识隐藏的较深，不易让学生找到解题的方向。三是此类问题在设计

时通常注重几间之间的联系，即前面问题的处理是为了最后一问做好铺垫。但学生不易发现

其中联系，从而导致在处理最后一问时还要重整旗鼓，再加上可能要进行的分类讨论，解题

难度陡然增加。本节通过10道例题来说明如何对这种“新信息”题目进行理解与分析，如何

寻找到解题的突破口与思路

一、基础知识：

1、此类问题常涉及的知识点

(1)等差数列与等比数列的性质与求和公式

(2)数列的单调性

(3)放缩法证明不等式

(4)简单的有关整数的结论

(5)数学归纳法与反证法

2、解决此类问题的一些技巧：

(1)此类问题在设立问题中通常具有“环环相扣，层层递进”的特点，第(1)问让你熟悉

所创设的定义与背景，第(2),(3)问便进行进一步的应用，那么在解题的过程中要注意解

决前面一问中的过程与结论，因为这本身就是对“新信息”的诠释与应用。抓住“新信息”

的特点，找到突破口，第(2)(3)间便可寻找到处理的思路

(2)尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基也是我们所学的一

些基础知识与方法。所以在考虑问题时也要向一些基本知识点靠拢，弄清本问所考察的与哪

个知识点有关，以便找到一些线索。

(3)在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程

中会发现复杂情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章

可循。

二、典型例题：

例1：定义：若对任意〃eN*,数列｛4｝的前〃项和S“都为完全平方数，则称数列｛2｝为“完

全平方数列”；特别的，若存在〃wN*,使得数列｛6,｝的前〃项和S,为完全平方数，则称数

列｛4｝为“部分平方数列”

2几一1

⑴若数列｛4｝为“部分平方数列”，且:T-(〃eN*),求使数列｛4｝的前〃项

和S〃为完全平方数时〃的值

⑵若数列也｝的前〃项和7；=(〃-『(fGN*),那么数列他1｝是否为“完全平方数列”？

若是，求出，的值；若不是，请说明理由

(3)试求所有为“完全平方数列”的等差数列

解：(1)思路：依题意可知先求出S,,的表达式，再根据表达式的特点寻找到完全平方式即可

”=1时，Sn=2

2(2"T-1)

“22时，=4+。，+=2+2+4+--.2n-'=2+—-----

S"12"2-1'-=T

二〃=2Z(ZGN*)时，S2k=2泉=(2*丫是完全平方数

(2)思路：若要观察｛|2|｝的前〃项和是否为完全平方数，则要先求出。”的通项公式。由7；

可求得〃=<"一口理=1,因为7；=(〃-为完全平方式，所以若

[2n-2t-1,n>2,n&N''

｛WJ｝有些项为｛"｝中对应项的相反数，则再求和时很有可能不是完全平方数。根据〃22时，

〃=2〃一2/-1,可知只有r=l时，"恒大于0,即可=2,所以｛同｝是“完全平方数列”；

.22时，｛勿｝中存在部分项小于0,可知｛|2|｝不是“完全平方数列”

解：刀之2时,bn=T〃一刀­=2〃-21—1

〃=1时，々

当「=1,2,〃£N时，帆?|=|2〃一3|=2〃­3=2

・•・｛同｝的前〃项和即为7；=(〃-1)2,所以｛间｝为''完全平方数列”

当/N2时，同+陶|=«T)2+|3—2f|=*—2r+I+2r—3=/一2不是完全平方数

；.｛同｝不是“完全平方数列”

综上所述：r=l时，｛|勿|｝是“完全平方数列”，.22时，｛帆力不是“完全平方数列”

(3)思路：依题意可知该等差数列的前n项和公式应为完全平方式，由等差数列求和公式

Sn=a.n+△——工出发，可将其通过配方向完全平方式进行靠拢，可得：

2

\fld一

--eZ

2

所以有.•.'々■-LeZ,再根据

cl2

二幺+4=0

2d28

!r\1I

———6Z,———eZ利用整数的特性求解即可。

2d2

解：设所求等差数列｛q｝的首项为%,公差为d

若｛%｝为“完全平方数列”

则V〃eN*,S“为完全平方式

/T7

由①可令工^=%(%eZ)nd=2/

由②令=/〃(meZ),可得：q=(m+；］

d=（2m+1*

代入到③可得：

=>k2m2=0.♦・左=0或加=0

当k=0时，ax=0,J=0an=0

2=公（

当〃2=0时，ax-k~,d-2k/.an=ax+(n--1”2〃—1）

当左=0时，a〃=0符合上式

,综上所述，an=%2(2〃-l),Z£Z

例2：己知数列｛an｝的前〃项和为S,,,且满足q=a｛a丰3),an+]=S„+3",设2=S,,-3〃，

〃eN*.

(1)求证：数列｛2｝是等比数列；

(2)若a“+]2a“，〃wN*,求实数a的最小值；

(3)当。=4时，给出一个新数列｛如｝,其中,=<设这个新数列的前〃项和为C.，

[bn,n>2.

若C,可以写成〃，(f,peN*且，的形式，则称C为“指数型和”.问｛C,｝中的项

是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由.

(1)思路：证明｛%｝为等比数列，可以利用条件中的S,,,凡作为中间桥梁寻找久+1,2的关系，

'b-S-3,1+l

则有「二"二，，只需找到Sw，S”的关系，由S“+I=S,,+a向及a“M=S"+3"可得：

也=*—3"

S„+1=2s“+3”,进而代入解出bn+｝=2bn

解:b„=sn-r

.•.也｝为公比是2的等比数列

(2)思路：由(1)可解出S,=(a—3>2"T+3",进而可求出

a.n=1

由a“+|24可在“N2的情况下得到关于a,〃的恒成立

不等式，从而通过参变分离可求出a的范围：a>-9,再验证a22al是否成立即可

解：由(1)可得：Sn=bn+3"=(a-3)-2"T+3"

22时，

n2

・•・2时，an+x之a〃o2・3〃+(a—3)♦2〃一】22•3八一+(a—3)・2-

Aq〃T/a、'』

即4.3"TN(a—3).(—2"").-.a-3>--^---8-^-

当〃=1时，a2=6+a—3=a+3>a成立

[3,H=1

(3)思路：a=4时，可代入求出々=2”T,从而配=!.,利用“指数型和”的

[2w-1,n>2

定义，可先求出｛e“｝前”项和C“=2"+1,从而将问题转化为2"+1可否写成〃'的形式，本

题不便将2"+1变形为产的形式，所以考虑利用等式转化为方程是否有解的问题。即判断

(pP\

2〃+l=M是否有解。2〃+1=产=2〃=产一1,〃为偶数时，tp-l=Q—1M+1

\7\7

P为奇数时，zp-l=(r-l)(rp_1+f,_2+---+r+l)o而2”只是〃个2相乘，所以可通过对

分解后的每个因式能否表示为2"'的形式进行讨论即可。

解：由(1)可得：当a=4时，"=2"T

2(2"T—1)

当“22时，C,=3+2+4+…+2"T=3+-^-----^=2"+1

"2-1

”=1时，G=3=2,+1

假设｛C,J中的项存在“指数型和"，则小,peN*,f>l,p>l

使得：产=2"—1=>'―1=2"

/p\/P\

当P为偶数时：产一1=”一1M+1

\7\7

pP

・•・设产+1=2=产-i=2\则g>/z

2"=2h=i

可解得：《

2s-/,-1=1超=2

:.n=3,即。3=9=3?,为“指数型和”

当P为奇数时，〃—l=（f—。（尸+产以+…+/+1）

若f为偶数，则1一1为奇数，产7+产-2+...+，+1为奇数

二产―1为奇数，

若f为奇数，则r—1为偶数，〃T+〃-2+...+/+1为p个奇数之和也为奇数

当P为奇数时，不存在“指数型和”

综上所述：只有。3为''指数型和"

例3：如果存在常数a使得数列｛4｝满足：若x是数列｛%｝中的一项，则a-x也是数列｛4｝

中的一项，那么就称数列｛4｝为“兑换数列”，常数a是它的“兑换系数”

(1)若数列：1,2,3,加(加>4)是“兑换系数”为。的“兑换数列”，求用和。的值

(2)若有穷递增数列｛4｝是“兑换系数”为。的“兑换数列”，求证：数列圾｝的前“项和

cn

=一•a

"2

(3)已知有穷等差数列｛%｝的项数是〃o(〃o?3),所有项之和是B,试判断数列｛c,｝是否

为“兑换数列”？如果是，给予证明，并用〃。和B表示它的“兑换系数”；如果不是，请说明

理由

(1)思路：依照“兑换数列”的定义可知，应均在数列中，在第(1)问中涉及两个

变量a,相，故考虑寻找两个等量，通过方程解决。其最重要的等量关系就是找到a-x是数列

中的哪一项。通过排序可知1<2<4<加，则通过不等式性质可知：

,t\a—m=l

a-m<a-4<a-2<a-l,此数列一共就4项且单调递增，所以得《,从而解

a-4=2

得

解：由已知可得：1,2,4,m在“兑换数列”中，且l<2v4vm

a-m,a-4,a-2,a-1也在该数列中，且a—m<a—4va—2<a—I

(2)思路：第(1)问提供了这样一个思路：如果数列是有限数列且单调，则由。-x对应生

成的数列也单调，且单调性相反。由“兑换数列”的定义即可知两个数列中项应存在相等关

系。所以利用这个特征可知在｛〃｝中，由々<么<…v2且a一勿<〃一仇<Q一伪能

伪+2=。

b+b—0

够得到“=a—b"，瓦=a—b,T，…力k=a—b“_k+i,即《2"-1,根据首尾和是个常

Pk+b…=a

数的特点可知求和时使用倒序相加法即可得到Sn

解：不妨设有穷数列初“｝的项数为〃

•.•｛4｝为递增数列

即h+b„=a,b2+..也+b,,_k+l=a

（3）思路：由（2）可得：若有穷单调数列｛4｝为“兑换数列”，则要满足

4+>=瓦+Oi=…="+。那么在等差数列｛qJ中，有性质cm+c“=c?+%当

且仅当m+/2=〃+q,所以就可得到：《+%=。2+%_[=,・・=Q+%M+i，且等差数列若

不是常数列，则为单调数列。由这两点并结合（2）的思路则可证明等差数列均为“兑换数列”,

2B

a=q+%,再通过等差数列前〃项和公式即可解出。=——

%

数列｛%｝是“兑换数列”，证明如下：

设｛%｝的公差为d若d>0,贝递增

设a=G+q,°，由G+c,“=。2+q10T=…=q+%广八|可得：

同理，若d<0,则｛c,J递减

若d=0,则｛c,J为常数列，只需a=2q即可，则。=2《=2瓜=也

«0«0

.•.｛%｝为“兑换数列”

由（2）可知：8=色也—

2«（）

例4：设数列｛”“｝满足：①6=1；②所有项a“eN*；③1=q<出<…<”“<a"+i

设集合A”=｛n\an<将集合A“中的元素的最大值记为bm,即超是数列｛4｝中

满足不等式/的所有项的项数的最大值.我们称数列物,“｝为数｛%｝的伴随数列.例如，

数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3.

（1）若数列｛凡｝的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3,请写出数列｛%｝；

（2）设4=3"[求数列｛a,J的伴随数列也｝的前30项之和；

（3）若数列｛q｝的前〃项和S”="+c（其中c常数），求数列｛a,｝的伴随数列也｝的前加

项和

(1)思路：首先要根据例子及定义理解什么是“伴随数列”，“超是数列｛2｝中满足不等式

an〈m的所有项的项数的最大值”，则意味着加每取一个值(6=1,2,3,-)，则可通过解不

等式/4机得到〃的最大值即为鬣，那么按此规律可知在(1)中，bI=b2=b3=\,

b4=b5=b6=2bl=3,说明在｛““｝中，小于等于3的只有1项，即q=1,d=2,则

3<a2<4,所以生=4,同理6<247,则%=7

解：。〃：1,4,7

(2)思路：由(1)可知：伴随数列｛2｝中的项即为解不等式。〃工加得到〃的最大值，本题

,,"|

已知=3,则可建立不等式3〃“<m=>71<log3m+1,则对m取每一个值，计算"的

最大值即可。例如772=1,则〃<1=4=1；m=2f则〃Wlogs2+1=>力<1=>打=1；

以此类推便可寻找到规律，即机C[3*T,3"—1]时，n<k,即鬣=&,抓住这个规律即可得

到｛4｝的前30项，进而求和

若考虑解关于〃的不等式3"T<m^n<\+log3m

当14根42,m£N时，/?,=Z?2=1

当34加〈8,根£N时，/="=…=々=2

当9<“<26,m£N时，匕9=Ao=…=人26=3

当27sms30,m£N时，b21=b2S=b29=瓦。=4

・•・｛，｝的前30项和为1x2+2x6+3x18+4x4=84

(3)思路：已知5〃即可求出数列｛4｝的通项公式=2〃—1,再结合(2)对“伴随数列”

m+1

定义的使用，即可建立不等式2〃-14机=>〃<-----,从而可得到：

2

4=4=1也=匕4=2,…%_1+%=/,根据项的的特点可考虑以相邻两项为一组进行求和，

则需对项数进行奇偶分类讨论，进而得到7；

2

Sn=n+c9则S,1二(〃—Ip+>2)

>17+1

解关于〃的不等式-----

2

.•.m=2t—l«eN")时，即1=也1

当7〃=2r(reN*)时，即/

(m+1)'*

综上所述：7；=4

m(m+2\

—-------L,=2t,teN

I4m

例5：对于数列A：4M2,…，/，若满足a,e{O,l}(i=1,2,%••,〃)，则称数列A为“0-1数

列”，定义变换T：将“0-1数列”A中原有的每个1都变成0,1,原有的每个0都变成1,0.

例如：A:1,0,1,则T(A):0,1,1,0,0,1,设人是“0—1数列”，令&=T(&T),Z=1,2,3,…

(1)若数列&：1。0,1,01,1,0,1,0,0,1,求数列4,4

(2)若数列4共有10项，则数列A2中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由

(3)若4：0」，记数列4中连续两项都是0的数对个数为/*«=1,2,3,…，求"关于左的

表达式

(1)思路：依题意可知变换T的特点为1项分裂为2项，所以可将中的项两两一组，再

根据规则即可还原为人,照此方法即可得到4

解：由变换T的规则可知：4：0」,1,0,0,14：1,0,1

(2)思路：首先可先观察两次变换的特点，可知

0」^今发现无论是从1开始还是从0开始，两次变换后均可得到一对相

邻的数，且首尾也相同，这意味着若4中若含相邻的数，则两次变换后这两个数生成的数首

尾也将连接成相邻的数对，例如：1,1」今0,1,0,1」^今1,0,01,1,0,0,1。进而可知：4共

有io项，那么两次变换后至少会有io对，(例如当4=1,0,1,0,1,0,1,0,1,0时)

若作两次T变换：1,1,0

••.4中的每一项通过两次T变换均生成一对两项相等的数对，所以至少有10对

（3）思路：依题意可将｛4｝视为一个数列，则所求即为该数列的通项公式。由数列的知识可

知，求通项公式常用的手段有三种：利用数列中的项寻找规律并证明；通过递推公式；通过

求和公式。所以若不愿列出具体项寻找规律，则需要先找到关于乙的一个递推公式，即寻找

第k次变换与前几次变换0,0数对的联系。由（2）可知，若产生0,0数对，则上一步只能为0,1,

所以0,0数对的个数与上一步0』数对（记为4）的个数相同。即心|=%，再考虑0,1数对

的来源，共有两个，一个是由上一步的1得到，一个是由上一步的0,0得到

由T变换的规则及（2）可知：A/中0,0数对只能由中的0,1数对生成，A*中的1共有

个（因为每一次变换生成相同个数的0,1,所以A*中含21个1,2及T个0）,所以

I=b

4=/«_1+2«T,联立两个等式可得：（Zk一，消去仄即可得到关于4的递推公式，

%=/*_]+2

然后再求得｛/J的通项公式即可

解：设4中有4个0,1数对:.lg=bk①

另一方面：4：°』，且

・•.4中0和1的总个数相等•.•义中项有2川个

.•.4中0有2,个，1有2”个

而4中的0,1数对从4T处只有两条途径能够得到：一个是由4T中的1得到（2*T个），-

个是由4_]中的00得到（L个）

.•.%=/1+2』②

由①②可得：

由4：o,i,可得：?1,：1,0,0,1；A：0,1,1,0,1,0,0,1

当女为偶数时

当女为奇数时：

:优-1）,人为偶数

综上所述：4=J3

1（.+1）.为奇数

例6：已知数列A:q,…，4（〃22,〃eN*）是正整数1,2,3,…，〃的一个全排列，若对每个

%G{2,3,…〃}都有|4—%」=2或3,则称A"为“数列

（1）写出满足%=5的所有“数列4

（2）写出一个满足%=5%住=1,2,、403）的“数列&15的通项公式

（3）在“数列&）”中，记优=%.仅=12…,403）,若数列出}是公差为d的等差数列，

求证：＜7=5或1=-5

解：（1）4:3,1,4,2,5或&:2,4,1,3,5

（2）思路：4013中的项为L2,3,…,2013的一个全排列，所以在构造A。”最好符合一定的规

律，以便于写出通项公式，由（1）的启发可知Ax.的前5个数可为第（1）问中的一种情况，

因为-a*」=2或3,即只关心相邻两项的差，故a6M7，a8M9,4（）可为6,7,8,9,10的一个

排列，且4+5-%=5,这样就保证了在第2组a6M7M8M9，60中，相邻项的差均符合条件，

只需验证4一。5即可：以A：3,1,4,2,5为例，则&=8,可知。6一%=3符合题意。按此规

律构造，5个数为一组，第，组的数为第『一1组对应的数加上5,从而得到&oi5

解：由（1）可知4:3,1,4,2,5,记为A265的第一组数

考虑构造数列满足a“+5=a“+5,则对任意的左a1,2,3,…,403},ie{2,3,4,5}

1%-T®+54）-（％+5研=k_q1=2或3

且当i=1时，|。5八1一%J=|（4+5Z）-+5左_5）|=|q+5|=3符合要求

n+2,〃=5攵+1

n-l,n=5攵+2

综上所述：4〃+=5氏+3wN

〃-2/=5攵+4

n,”=5女+5

（3）思路：若{4}的公差为d,则d=4+1—4=。5A+5—a*，因为。〃中相邻项的差为±2,±3,

所以％+5一%人必然由若干个±2,±3组成，但不会同时出现±2且不会同时出现±3（否则数

列会出相同项，不符题意）即。可以写成2x+3y的形式，且国+|），|=5,由此可解得

（m，IV）=（°，5）,（1,4）,（2,3）,（3,2）,（4,1）,（5,。），然后根据苍y的取值分别进行验证，看也｝

中的项是否在&0I5中（主要抓住区）3），即可判断出1的值只能是±5

解：•.•｛4｝为等差数列

a5k+5-a5k=（a5k+5~。5*-4）+（%+4—。5«+3）+（。5«+3—%t+2）+（阳+2-。5*+1）+（。5*+1—45&）

且由=2或3,可得：4-a«_]=±2或±3

:.d=2x+3y（x,yeZ）且国+|y|=5

①若（IM，3）=（0,5），则4=±15bm=b1±402X15=ft,±6030gAOI5,不符题意

②若（国,=4）,则2=±10,±14.•.瓯3=4±4024e4°15,不符题意

③若（国,加=（2,3）,则〃=±13,±5

当d=±13时，，瓯3=4±402d£4o]5，不符题意

当]=±5时，.・.d03=4±4024=4+2010或4一2010,所以可以找到这样的使之

成立（例如第（2）问中的结论）

④若（|X|,|M）=（3,2）,则1=±12,0,可得.•也03=伪±402424015不符题意

⑤若（国,|川=（4,1）,则4=±5,±11

当4=±11时，二％03=4±4。21e4（）15,不符题意

当〃=±5时，同③可以找到这样的40J5使之成立（例如第（2）问中的结论）

⑥若（国,|y|）=（5,0）,则4=±10.•.瓯3=4±4024史Azo.不符题意

综上所述，若｛4｝为等差数列，则d=5或d=-5

例7：若有穷数列即%…必（〃23）满足：（1）fq=0；⑵£同=1，则称该数列为

i=li=l

“〃阶非凡数列”

（1）分别写出一个单调递增的“3阶非凡数列”和一个单调递减的“4阶非凡数列”

（2）设左eN*,若“2k+1阶非凡数列”是等差数列，求其通项公式

（3）记“〃阶非凡数歹的前加项的和为S,“W=1,2,3,…，耳，求证:

①闻后

解：（1）3阶非凡数列：一,,0,4阶非凡数列：-,0,--,--

22288

（2）思路：首先明确其通项公式应该是关于左和序数〃的表达式，要求得通项公式，关键要

确定q,d,因为非常数列的等差数列为单调数列，所以由=0一方面利用等差数列性质

/=!

可得到%+i=0,另一方面也可知该数列以外+|=0为分界线，左右两侧分为正项与负项（与

d的符号有关），可分d>0,d<0进行讨论。当d>0时，｛%｝为递增数列，从而可知

]_

%,〃2,…为负项，。&+2，％+3,，，，M2A+1为正项。再由=1可得,+“2+…+4

1=12

从而用女可表示出d,另一方面%=（ik+1—kd=kd,进而q,"均可用人表示，所以可求得

其通项公式。按同样的方法可求出d<0时的通项公式

解：设等差数列的公差为d

4+kd=0即ak+i-0

当d>0时，｛%｝为递增数列

二卬<4<•••<%<°，且％=4d^ak+2<ak+3<---<a2k+l

•.二生=°且2同=1

/=1

当d<0时，｛%｝为递减数列，同理可得:

「・a1>a2>•­•>ak>0,ak=-d,

口r—kd—d.1,1

即---------k=—=d=——------

22攵（攵+1）

(3)①证明：当机=〃时.，国=区4=。

;=1

当机＜〃时，＜二0

/=1

②思路一：本题的难点在于不知｛2｝中各项的符号，但从(1)(2)问可得到一个规律，任

意''归化数列”｛q｝,其正项和为g,负项和为一5,进而可以考虑在求和时正项一组，负

项一且进行放缩。

解：依题意可得：｛4｝中的项有正有负

设｛。“｝中的正项为为，4,…,4,负项为4，咋，，零项为%=4?=0

111(111)(111、

Cl}H-----H—Cl^+•••H------------Q”=-a；H-------CL-+•••-!---CI-+—CI7-1H--------CI-+••H---------CIJ■

2-33〃"U""24Jhhjm1"J

而工令+—ai+■■■+—at<ai+…+q=-(所有系数放大为1)

z,'i,2i,*,*2

—a,+—a：+■■■+—a：<-(af+a：+…+a；)=--—(所有系数变为上)

J,71hhjm〃\八h幻2nn

s-S

思路二：本题从通项公式入手，考虑a一归,从而

nn

s+,—H+邑―S2+...+s“一S“T合并同类项即可得到：

'23n

宁q._£S2S〃_]S

fl,联想到裂项相消，且由第①问可知

=i1x22x3n(n-l)n

'111、Ifl-1

可利用放缩及绝对值不等式得到<1-----1------!-•••+

/=112(1x22x3n\(n〃-1)J2I

解：...久生=a+丝+色+...+勺=$邑二十邑Z邑+...+3一1一

i123n23n

•;|S“|<(,(，〃=1,2,…，〃—1),且S“=0

即不等式得证

小炼有话说：(1)对于''新概念”的题目，要善于利用具体实例或者前面的小问掌握其规律,

为最后一问做准备。在本题中通过前两问所总结出的“正项和为负项和为——”即为第

22

三问的突破口

(2)从一个已知数列中抽出若干项形成新数列，要善于运用双字母进行书写。可参考本题中

的写法。4,可以表示出新数列的项源自于｛。,,｝的第几项，而1,2,…次表示新数列中

该项的序数。一种写法，两个含义均显现其中。

例8：对于数列｛q｝,把％作为新数列他,｝的第一项，把火或一q(i=2,3,4,…，“)作

为新数列仍“｝的第i项，数列｛耙｝称为数列5“｝的一个生成数列.例如，数列1,2,3,4,5的一

个生成数列是1,-2,-3,4,5.已知数列｛〃｝为数列｛5｝(〃eN*)的生成数列，S“为数列｛2｝

的前几项和.

(1)写出$3的所有可能值；

(2)若生成数列｛2｝满足S3.=L(1—J),求数列｛〃｝的通项公式；

(3)证明：对于给定的〃cN*，的所有可能值组成的集合为

2k-1

，n

A=｛x|x=-^r-,^eN^<2-'｝.

(1)思路：由“生成数列”的定义可知｛々｝的前三项可能的值为4=；也=±；也=±g,

进而通过不同的组合可求得S3

解：由已知可得：4=；,且同=最

°1117111311]__5J_

324882488248-8524-8-8

S3可能的取值为上1二3，5二7

38888

(2)思路：本题已知$3”的表达式，可类比在数列中已知S.求数列通项的方式，得到

=5,由出｝为法｝生成

=

^3n~^3(n-l)+4"-1+4",计算可得：&“+4,I+4“-2

数列可得：b3n=士1r=±5也“T=±击=土看也“一2=士*=±'，通过合理组合

即可得到：怎=一或也,1=一也,一2=白，从而得到4通项公式

・二当〃=1时，+h+b=—

238

当“22时，bin+%1+b3ll_2=S3,,_$3"-3=-一一古)="

・・•数列｛〃｝为数列｛5｝(〃eN*)的生成数列

若t=4，则以上各种组合中，只有

O

(3)思路：由生成数列的定义可知=±f22),所以其S〃='±4±二±…±—共

计2'i中情况。而观察A中元素的个数恰好也为2"一个(攵从1取到2'i个)，且本题无法一

一计算出S“，故从S”可取的值的个数与A元素个数相等作为突破口，若要证S〃取值集合所

给集合相等，则可通过两个步骤证明：一是证明S〃的值一定都在A中，可通过

5„=-±^±-^±-±-=一~~~,其中2"T±2"-2±・..±I为奇数可得，二

是证明对于不同的生成数列，其和也必然不同(利用反证法)，进而再利用s“可取的值的个数

与A的个数均为2"T即可证明结论

5〃=；±±±最±…士£共有2"T种情况

1111—1111

-------z------一・•----〈SW1——HT+•••-!-----，即un:

222232〃222232〃

c11112'1±2”一2±.・・±1

・・・S〃=-±—±—±---±—=------------------------，可知2'i±2〃一2±・.・±1为奇数

"222232nT

112”-1

满足L<S〃<1-上=---且分子为奇数的S〃共有2〃T种

2"2"2"

・・・S〃共有2〃T种情况

・•・只需证明两个不同的生成数列，其和不同即可

设数列也｝,｛c,｝为两个不同的生成数列，且和分别记为Sn,Tn

则s,,一北=(4+4+…+2)—(G+G+…+qJ

•.•｛4｝,£｝为生成数列,所以四=同=/

=C"或勿=-C"

・••也｝，£｝不同

...端K，…心(加使得〃=一

所以2"~'种不同的生成数列，其和共有2'一种可能

•••S"只有2"T种可能

，s”可能值必恰为_L,a,w,土ii,共2"-'个.

2"2"2"2"

2〃一1

s”的所有可能值组成的集合为{xIx=二^"eN*"<2"T}

例9：有限数列A,：4，出，…,4・(〃23)同时满足下列两个条件：

①对于任意的i,j(1<z<J<n),a,<aj；

②对于任意的(14i</<氏4〃)，q勺，atak三个数中至少有一个数是数列A.

中的项.

(1)若〃=4,且q=l,g=2，a3—a,a4—6,求a的值；

(2)证明:2,3,5不可能是数列A,,中的项；

(3)求”的最大值

解：(1)由①可知：2<a<6

考虑a2M3,4，依题意外火=2a,a3a4=6a,a2a4=12三个数至少有一个在中

,/a4=6且2<a<6

.•.6a,12均不在中

(2)思路：本题并不容易去证明“不可能”，故考虑用反证法，先假设可能，再推出矛盾。

若2,3,5均在A“中，则6,10,15中至少有一项在A“里，此时就会“创造出一项“位于A,中，

进而可知这种“创造”是无休止的，所生成的新的项要大于之前的每一个数(数列递增)那

么以此类推下去，A”的项数会无限增加下去，与“A”为有限数列”矛盾。所以本题的证明可

以以“A”为有限数列”为突破口，假定最后的三项为a„_2,则an>a,->an_2>1,

则a,-•a“-2比。0TM”2都大，那么只能为明,即4一1•a7=/，同理对于，

也可得到an_3-a,-=%,从而推出a“_2=«,.-3，与数列递增矛盾。所以2,3,5不可能是数列An

中的项

解：(反证法)：假设2,3,5是数列4中的项

由②可知：6,10,15中至少有一个是数列A.中的项，则有限数列的最后一项q,〉5,且

n>4.

由①,%>%>%>限>1.

对于数4_2，勺-1，”"，由②可知：%一2""-1=%；对于数。"-3，%-1，。"，由②可知：=%・

所以an_2=an_3,这与①矛盾.

所以2,3,5不可能是数列4中的项.

(3)思路：本题的主旨在于尽可能构造项数多的A“，由(2)的证明过程可提供一条线索，

当大于1的项超过3项时，则不成立，所以可知A“中至多有3项，且这3项中两项的乘积等

于第三项。同时还可对其进行推广得到A“中至多有3项，绝对值大于1;然后可将这种思路

拓展至其它范围，比如绝对值在。至1之间同理也至多只有3项。再补充上±1,0,所以〃的

最大值为9,可构造为4：-4,-2,—1,—3,一:,0,；,1,2

解：〃的最大值为9,证明如下：

(1)令4:—4,—2,—1,—10,5,1,2,则A；符合①、②.

(2)设4“：弓,？，》3)符合①、②，则:

①A“中至多有三项，其绝对值大于1.

假设A,,中至少有四项，其绝对值大于1,不妨设色,a.,是A“中绝对值最大的四项,

其中l<|q|W|为国出凶可|.

则对即见,。/有,阂>同,|%①|>|aj,,所以华”。必均不是数列A“中的项，即％出是数

列A,,中的项

同理：与4也是数列A,,中的项

但|空/>4|,,闻>㈤

=Clj,与①矛盾

②A.中至多有三项，其绝对值大于0且小于1.

假设A,中至少有四项，其绝对值大于0且小于1,类似(i)得出矛盾.

③A“中至多有两项绝对值等于1.

④A“中至多有一项等于0.

综合①②③④可知A“中至多有9项.

由(1),(2)可得，〃的最大值为9.

例10：对于实数x,将满足"04y<l且x-y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，

用记号|4表示，对于实数a,无穷数列｛4｝满足如下条件：

%=|同，其中”=1,2,3,….

0,aa=0.

(1)若〃=后，求数列｛〃“｝；

(2)当时，对任意的〃eN*,都有求符合要求的实数。构成的集合A.

(3)若。是有理数，设a=K(”是整数，q是正整数，p、乡互质)，问对于大于q的任

q

意正整数〃，是否都有。“=0成立，并证明你的结论.

(1)思路：按照题目规则可知％即为a的小数部分，所以只有确定a介于哪两个整数之间，

才能够求出同。由&e(l,2)得q卜&—1,2='=|也+1|，由

V2+1e(2,3)得卜C+“卜+1—2=\/2—1,进而发现a?=%，且a3M4,…计算的过

程与计算的相同，可猜想考虑到a.+i可由明求出，所以用数学归纳法即可证

明

解：=||^||-V2-1

猜想a“=Q-1,下面用数学归纳法证明：

当〃=1时，4=V2—1

假设〃=Z时，ak=V2—1,则〃=%+1时

\an=收一1成立

(2)思