【中小学数学教学设计案例】人教版高中必修2案例教学设计资料

人教版高中必修2案例教学设计资料汇总

3.1.1直线的倾斜角和斜率（教学设计）

湖南省岳阳县第一中学邓超华

教学目标：

知识与技能

正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.

理解直线的倾斜角的唯一性.

理解直线的斜率的存在性.

斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.

情感态度与价值观

（1）通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观

察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力.

（2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养

学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.

重点与难点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式.

教学用具：计算机

教学方法：启发、引导、讨论.

教学过程：

（一）直线的倾斜角的概念

我们知道，经过两点有且只有（确定）一条直线.那么，经过一点P的直线1的位置能确定

吗？如图，过一点P可以作无数多条直线a,b,c,…易见，答案是否定的.这些直线有什么联系呢?

(1)它们都经过点P.(2)它们的‘倾斜程度’不同.怎样描述这种‘倾斜程度’的不同？

引入直线的倾斜角的概念：

当直线1与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线1向上方向之间所成的角a叫

做直线1的倾斜角.特别地,当直线1与x轴平行或重合时,规定a=0。.

问：倾斜角a的取值范围是什么？0°<180°.

当直线1与x轴垂直时，a=90°.

因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度，引入直线的倾斜角之后，我

们就可以用倾斜角a来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.

如图，直线a〃b〃c,那么它们的倾斜角a相等吗？答案是肯定的.所以一个倾斜角a不

能确定一条直线.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜

角a.

(二)直线的斜率：

一条直线的倾斜角a(a*90°)的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表

示,也就是

k=tana

⑴当直线1与x轴平行或重合时，a=0。，k=tanO°=0;

⑵当直线1与x轴垂直时，a=90°,k不存在.

由此可知,一条直线1的倾斜角a一定存在，但是斜率k不一定存在.

例如，a=45°时,k=tan45°=1;

a=135°时，k=tanl35°-tan(180°—45°-tan45°=-l.

学习了斜率之后，我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.

(三)直线的斜率公式：

给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1#x2,如何用两点的坐标来表示直线PlP2的斜率？

可用计算机作动画演示：直线P1P2的四种情况,并引导学生如何作辅助线，

共同完成斜率公式的推导.(略)

斜率公式

对于上面的斜率公式要注意下面四点：

(1)当xl=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角a=90°,直线与x轴

垂直；

(2)k与Pl、P2的顺序无关，即yl,y2和xl,x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分

子与分母不能交换；

(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；

(4)当yl=y2时，斜率k=0,直线的倾斜角a=0。，直线与x轴平行或重合.

(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.

(四)例题:

例1己知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率，并判断它们的倾斜角是

钝角还是锐角.(用计算机作直线，图略)

分析：已知两点坐标，而且xlWx2,由斜率公式代入即可求得k的值；

而当k=lana<0时,倾斜角a是钝角；

而当k=tana>0吐倾斜角a是锐角；

而当k=tana=0时，倾斜角a是0°.

略解：直线AB的斜率kl=l/7>0,所以它的倾斜角a是锐角;

直线BC的斜率k2=-0.5<0,所以它的倾斜角a是钝角;

直线CA的斜率k3=l>0,所以它的倾斜角a是锐角.

例2在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1,-1,2,及-3的直线a,b,c,1.

分析：要画出经过原点的直线a,只要再找出a上的另外一点M.而M的坐标可以根据

直线a的斜率确定；或者k=tan。=1是特殊值，所以也可以以原点为角的顶点,x轴的正半轴为

角的一边,在x轴的上方作45°的角，再把所作的这一边反向延长成直线即可.

略解：设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有

l=(y—0)/(x—0)

所以x=y

可令x=1,则y=1,于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点

M(l,l),可作直线a.

同理,可作直线b,c,1.(用计算机作动画演示画直线过程)

(五)练习：P911.2.3.4.

(六)小结：

(1)直线的倾斜角和斜率的概念.

(2)直线的斜率公式.

(七)课后作业：P94习题3.11.3.

(八)板书设计：

§3.1.1……

1.直线倾斜角的概念3.例1……练习1练习3

2.直线的斜率

4.例2……练习2练习4

3.2.1直线的点斜式方程（教学设计）

湖南省岳阳县第一中学邓超华

一、教学目标

1、知识与技能

（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；

（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。

（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.

2、过程与方法

在己知直角坐标系内确定一条直线的几何要素一一直线上的一点和直线的倾斜角的基

础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的

区别。

3、情态与价值观

通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思

想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。

二、教学重点、难点：

（1）重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。

（2）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。

三、教学设想

问题设计意图师生活动

1、在直线坐标系内确定一条直使学生在己有学生回顾，并回答。然后教师指

线，应知道哪些条件？知识和经验的基出，直线的方程，就是直线上任意

础上，探索新一点的坐标（工，了）满足的关系式。

知。

2、直线，经过点与（/，居），且培养学生自主学生根据斜率公式，可以得到，

探索的能力，并

体会直线的方

斜率为ik。设点尸（x,y）是直线/卜--一儿

程，就是直线上

王意一点，请建立“J与

上的彳任意一点的坐标当时，X—XQ,即

Jo之间的关系。（x，y）满足的关

系式，从而掌握了一九=37。）（1）

根据条件求直线

y」方程的方法。教师对基础薄弱的学生给予关

/注、引导，使每个学生都能推导出

这个方程.

0X

3、（1）过点片（飞，居），斜率使学生了解方学生验证，教师引导。

程为直线方程必

是左的直线2上的点，其坐标都满须满两个条件.

足方程（1）吗？

问题设计意图师生活动

（2）坐标满足方程（1）的点都在使学生了解方学生验证，教师引导。然后教师

经过舄（/，凡），斜率为上的直程为直线方程必指出方程（1）由直线上一定点及

须满两个条件。其斜率确定，所以叫做直线的点斜

线/上吗？

式方程，简称点斜式（pointslope

form）.

4、直线的点斜式方程能否表示使学生理解直线学生分组互相讨论，然后说明理

坐标平面上的所有直线呢？的点斜式方程的由O

适用范围。

5、（1）X轴所在直线的方程是进一步使学生教师学生引导通过画图分析，求

什么？y轴所在直线的方程是什理解直线的点斜得问题的解决。

式方程的适用范

么？

围，掌握特殊直

线方程的表示形

（2）经过点4（/，九）且平行于式。

JZX

工轴（即垂直于＞轴）的直线方

程是什么？

（3）经过点与（飞，月））且平行于

y轴（即垂直于工轴）的直线方

程是什么？

6、例1的教学。学会运用点斜式教师引导学生分析要用点斜式

方程解决问题，求直线方程应已知那些条件？题目

清楚用点斜式公那些条件已经直接给予，那些条件

式求直线方程必还有待已去求。在坐标平面内，要

须具备的两个条画一条直线可以怎样去画。

件：（1）一个

定点；（2）有

斜率。同时掌握

已知直线方程画

直线的方法。

7、已知直线，的斜率为上，且引入斜截式方学生独立求出直线，的方程：

程，让学生懂得

与轴的交点为（°，力），求直线，

斜截式方程源于

+b（2）

的方程。点斜式方程，是

点斜式方程的一

种特殊情形。再此基础上，教师给出截距的概

念，引导学生分析方程（2）由哪两

个条件确定，让学生理解斜截式方

程概念的内涵。

8、观察方程了=狂+匕，它的深入理解和学生讨论，教师及时给予评价。

掌握斜截式方程

形式具有什么特点？

的特点？

问题设计意图师生活动

9、直线=以+匕在工轴上的使学生理解学生思考回答，教师评价。

“截距”与“距

截距是什么？

离”两个概念的

区别。

10、你如何从直线方程的角度认体会直线的斜学生思考、讨论，教师评价、归纳

识一次函数y="+"?—次函截式方程与一次概括。

函数的关系.

数中上和b的几何意义是什么？你

能说出一次函数

y=21-L八3x,y=-x+3

图象的特点吗？

11、例2的教学。掌握从直线方教师引导学生分析：用斜率判断两

程的角度判断两条直线平行、垂直结论。思考（1）

条直线相互平4加2时，上1冉;&也有何关

行，或相互垂

直；进一步理解系？（2）4时，

斜截式方程中

b?有何关系？在此由学

k,b的几何意

生得出结论：

义。

/1B上2,且4*“2:

3,=-1

12、课堂练习第100页练习第巩固本节课所学学生独立完成，教师检查反馈。

1,2,3,4题。过的知识。

13、小结使学生对本节课教师引导学生概括：（1）本节课我

所学的知识有一们学过那些知识点；（2）直线方程

个整体性的认的点斜式、斜截式的形式特点和适

识，了解知识的用范围是什么？（3）求一条直线

来龙去脉。的方程，要知道多少个条件？

14、布置作业：第106页第1题巩固深化学生课后独立完成。

的(1)、(2)、(3)和第3、5

题

3.2.3直线的•般式方程(教学设计)

湖南省岳阳县第一中学邓超华

一、教学目标

1、知识与技能

(1)明确直线方程一般式的形式特征；

(2)会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距;

(3)会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。

2、过程与方法

学会用分类讨论的思想方法解决问题。

3、情态与价值观

(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化；

(2)用联系的观点看问题。

二、教学重点、难点：

1、重点：直线方程的一般式。

2、难点：对直线方程一般式的理解与应用。

三、教学设想

问题设计意图师生活动

1、(1)平面直角坐标系中的每使学生理解直教师引导学生用分类讨论的方法思考

一条直线都可以用一个关于线和二元一次探究问题(1),即直线存在斜率和直

xJ的二元一次方程表示吗？方程的关系。线不存在斜率时求出的直线方程是否

都为二元一次方程。对于问题(2),

（2）每一个关于X，J’的二元一教师引导学生理解要判断某一个方程

是否表示一条直线，只需看这个方程

次方程4c+By+C=°

是否可以转化为直线方程的某种形

（A,B不同时为0）都表示一式。为此要对B分类讨论，即当

条直线吗？BW0时和当B=o时两种情形进行变

形。然后由学生去变形判断，得出结

论：

关于的二元一次方程，它都表

示一条直线。

教师概括指出：由于任何一条直线都

可以用一个关于的二元一次方程

表示；同时，任何一个关于工，了的二

元一次方程都表示一条直线。

我们把关于关于的二元一次方

程4++C=°（A,B不同时

为0）叫做直线的一般式方程，简称一

般式（generalform）.

2、直线方程的一般式与其他儿使学生理解直学生通过对比、讨论，发现直线方程

种形式的直线方程相比，它有什线方程的一般的一般式与其他形式的直线方程的一

么优点？式的与其他形个不同点是：

问题设计意图师生活动

式的不同点。直线的一般式方程能够表示平面上的

所有直线，而点斜式、斜截式、两点

式方程，都不能表示与工轴垂直的直

线。

3、在方程恁+为+0=0使学生理解二教师引导学生回顾前面所学过的与X

元一次方程的

中，A,B,C为何值时，方程轴平行和重合、与y轴平行和重合的

系数和常数项

表示的直线直线方程的形式。然后由学生自主探

对直线的位置

索得到问题的答案。

的影响。

（1）平行于工轴；（2）平行

于»轴；（3）与X轴重合；

（4）与重合。

4、例5的教学使学生体会把学生独立完成。然后教师检查、评

直线方程的点价、反馈。指出：对于直线方程的一

已知直线经过点A（6,-4）,斜式转化为一般式，一般作如下约定：一般按含X

4般式，把握直项、含y项、常数项顺序排列；工项

线方程一般式

的系数为正：x,＞的系数和常数项

斜率为3,求直线的点斜式的特点。

和一般式方程。一般不出现分数；无特加要时，求直

线方程的结果写成一般式。

5、例6的教学使学生体会直先由学生思考解答，并让一个学生上

线方程的一般黑板板书。然后教师引导学生归纳出

把直线’的一般式方程式化为斜截由直线方程的一般式，求直线的斜率

式，和已知直和截距的方法：把一般式转化为斜截

x_2,+6=0化成斜截式，线方程的一般式可求出直线的斜率的和直线在歹轴

式求直线的斜

求出直线’的斜率以及它在工轴上的截距。求直线与工轴的截距，即

率和截距的方

求直线与工轴交点的横坐标，为此可

与y轴上的截距，并画出图法。

在方程中令y=o,解出工值，即为与

形。

直线与X轴的截距。

在直角坐标系中画直线时，通常找

出直线下两个坐标轴的交点。

6、二元一次方程的每一个解与使学生进一步学生阅读教材第105页，从中获得对

坐标平面中点的有什么关系？直理解二元一次问题的理解。

线与二元一次方程的解之间有什方程与直线的

么关系？关系，体会直

解坐标系把直

线与方程联系

起来。

7、课堂练习巩固所学知识学生独立完成，教师检查、评价。

和方法。

第105练习第2题和第3(2)

问题设计意图师生活动

8、小结使学生对直线(1)请学生写出直线方程常见的几

方程的理解有种形式，并说明它们之间的关系。

一个整体的认

识。(2)比较各种直线方程的形式特点

和适用范围。

(3)求直线方程应具有多少个条

件？

(4)学习本节用到了哪些数学思想

方法？

9、布置作业巩固课堂上所学生课后独立思考完成。

学的知识和方

第106页习题3.2第10题和第法。

11题。

一、教学目标

知识与技能

⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法:

“分割一一求和一一化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。

⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。

⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

过程与方法

4

通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式V=5nR，和面积公

式S=4nR2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，

体现了极限思想。

情感与价值观

通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思

维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。

二、教学重点、难点

重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。

三、学法和教学用具

学法：学生通过阅读教材.，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值

的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。

教学用具：投影仪

四、教学设计

创设情景

⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图

形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。

⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激

发学生推导球的体积和面积公式。

探究新知

1.球的体积:

如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆

片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积

也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按

“分割一一求和一一化为准确和”的方法来进行。

步骤:

第一步：分割

如图：把半球的垂直于底面的半径oA作n等分，过这些等分点，用一组平行于底面

£

的平面把半球切割成n个“小圆片一”，“小圆片”厚度近似为:，底面是“小圆片•”的底

面O

如图:

匕内兀岛4=空口力(i=t2«)

得nnn

第二步：求和

=++电+…+{w^3[1--■―——]

第三步：化为准确的和

1

当n-8时，M-0（同学们讨论得出）

产成3（i-斗，成3

所以“463

V4=二加?

得到定理：半径是R的球的体积律3

练习：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径（钢的密度是7.9g/cm:,）

2.球的表面积:

球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R的函数，由于球面是不可展的曲面,

所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式，所以仍然用“分割、求

近似和，再由近似和转化为准确和”方法推导。

思考：推导过程是以什么量作为等量变换的？

半径为R的球的表面积为S=4JtR2

练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5,是它的八个顶点都在同一球面

上，则这个球的表面积是o（答案50元）

典例分析

课本P”例4和P29例5

巩固深化、反馈矫正

⑴正方形的内切球和外接球的体积的比为,表面积比

为。

（答案：3石1:3：1）

⑵在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49ncm，和400ncm2,

求球的表面积。（答案：2500Jrcm2）

分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质求球的半径

课堂小结

本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决相关的球的

问题，了解了推导中的“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”的解题方法。

评价设计

作业Pso练习1、3,B(1)

1.2.2空间几何体的直观图(1课时)

湖南省岳阳县第一中学邓超华

一、教学目标

1.知识与技能

(1)掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。

(2)采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方

法的各自特点。

2.过程与方法

学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。

3.情感态度与价值观

(1)提高空间想象力与直观感受。

(2)体会对比在学习中的作用。

(3)感受几何作图在生产活动中的应用。

二、教学重点、难点

重点、难点：用斜二测画法画空间几何值的直观图。

三、学法与教学用具

1.学法：学生通过作图感受图形直观感，并自然采用斜二测画法画空间几何体的过

程。

2.教学用具：三角板、圆规

四、教学思路

(一)创设情景，揭示课题

1.我们都学过画画，这节课我们画一物体：圆柱

把实物圆柱放在讲台上让学生画。

2.学生画完后展示自己的结果并与同学交流，比较谁画的效果更好，思考怎样才能画

好物体的直观图呢？这是我们这节主要学习的内容。

(-)研探新知

1.例1,用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图，由学生阅读理解，并思考斜

二测画法的关键步骤，学生发表自己的见解，教师及时给予点评。

画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位

置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时.，直观图

的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。

练习反馈

根据斜二测画法，画出水平放置的正五边形的直观图，让学生独立完成后，教师检

查。

2.例2,用斜二测画法画水平放置的圆的直观图

教师引导学生与例1进行比较，与画水平放置的多边形的直观图一样，画水平放置的

圆的直观图，也是要先画出一些有代表性的点，由于不能像多边那样直接以顶点为代表

点，因此需要自己构造出一些点。

教师组织学生思考、讨论和交流，如何构造出需要的一些点，与学生共同完成例2并

详细板书画法。

3.探求空间几何体的直观图的画法

(1)例3,用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A'B'

C'D'的直观图。

教师引导学生完成，要注意对每一步骤提出严格要求，让学生按部就班地画好每一

步，不能敷衍了事。

(2)投影出示儿何体的三视图、课本P15图1.2-9,请说出三视图表示的几何体？并

用斜二测画法画出它的直观图。教师组织学生思考，讨论和交流完成，教师巡视帮不懂的

同学解疑，引导学生正确把握图形尺寸大小之间的关系.

4.平行投影与中心投影

投影出示课本P17图1.2-12,让学生观察比较概括在平行投影下画空间图形与在中心

投影下画空间图形的各自特点。

5.巩固练习，课本P16练习1(1),2,3,4

三、归纳整理

学生回顾斜二测画法的关键与步骤

四、作业

1.书画作业，课本P17练习第5题

2.课外思考课本P16,探究(1)(2)

《直线与平面垂直的判定(一)》的教案

宁夏银川市第二中学周军

一、教学目标

1.借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线

与平面垂直的定义。

2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证

明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。

3.让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

二、教学重点、难点

1.教学重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。

2.教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。

三、课前准备

1.教师准备：教学课件

2.学生自备:

三角形纸片、铁丝（代表直线）、纸板（代表平面）、三角板

四、教学过程设计

1.直线与平面垂直定义的建构

（1）创设情境

①请同学们观察图片，说出旗杆与地面、高楼的侧棱与地面的位置有什么关系？

②请把自己的数学书打开直立在桌面上，观察书脊与桌面的位置有什么关系？

③请将①中旗杆与地面的位置关系画出相应的几何图形。

(2)观察归纳

①思考：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？

②多媒体演示：旗杆与它在地面上影子的位置变化。

③归纳出直线与平面垂直的定义及相关概念。

定义：如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线1与平面a互

相垂直，记作：a.

直线/叫做平面a的垂线，平面a叫做直线/的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一

的公共点P叫做垂足。

用符号语言表示为:

（3）辨析（完成下列练习）：

①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂

直。

②若a_l_a,ba,则a_Lb。

在创设情境中，学生练习本上画图，教师针对学生出现的问题，如不直观、不标字母

等加以强调，并指出这就叫直线与平面垂直，引出课题。

在多媒体演示时，先展示动画1使学生感受到旗杆AB所在直线与过点B的直线都垂

直。再展示动画2使学生明确旗杆AB所在直线与地面内任意一条丕过点B的直线BG也垂

直，进而引导学生归纳出直线与平面垂直的定义。

在辨析问题中，解释“无数”与“任何”的不同，并说明线面垂直的定义既是线面

垂直的判定又是性质，线线垂直与线面垂直可以相互转化，给出常用命题：

2.直线与平面垂直的判定定理的探究

(1)设置问题情境

提出问题：学校广场上树了一根新旗杆，现要检验它是否与地面垂直，你有什么好

办法？

(2)折纸试验

如图，请同学们拿出准备好的一块(任意)三角形的纸片，我们一起来做一个实

验：过AABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，

(BD、DC与桌面接触).观察并思考:

①折痕AD与桌面垂直吗？

②如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？

③多媒体演示翻折过程。

(3)归纳直线与平面垂直的判定定理

①思考：由折痕ADLBC,翻折之后垂直关系，即ADJ_CD,ADLBD发生变化吗？由

此你能得到什么结论？

②归纳出直线与平面垂直的判定定理。

定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

用符号语言表示为:

在讨论实际问题时，学生同桌合作进行试验（将铁丝当旗杆，桌面当地面）后交流方

案，如用直角三角板量一次，量两次等。教师不作点评，说明完成下面的折纸试验后就有

结论。

在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导这两类学生进行交

流，根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因。学生再次折纸，进而探究直线与

平面垂直的条件，经过讨论交流，使学生发现只要保证折痕AD是BC边上的高，即AD,

BC,翻折后折痕AD就与桌面垂直，再利用多媒体演示翻折过程，增强几何直观性。

在归纳直线与平面垂直的判定定理时，先让学生叙述结论，不完善的地方教师引导、

补充完整，并结合“两条相交直线确定一个平面”的事实，简要说明直线与平面垂直的判

定定理。然后，学生试用图形语言表述，练习本上画图，可能出现垂足与两相交直线交点

重合的情况（如图），教师加以说明，同时给出符号语言表述。

在理解直线与平面垂直的判定定理时，强调“两条”、“相交”缺一不可，并结合前

面“检验旗杆与地面垂直”问题再进行确认。指出要判断一条直线与一个平面是否垂直，取

决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，这充分体现了“直线与平面垂

直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想。

3.直线与平面垂直的判定定理的初步应用

（1）尝试练习：

求证：与三角形的两条边同时垂直的直线必与第三条边垂直。

学生根据题意画图，将其转化为几何命题：不妨设

请三位同学板演，其余同学在练习本上完成，师生共同评析，明确运用线面垂直判

定定理时的具体步躲，防止缺少条件，同时指出：这为证明“线线垂直”提供了一种方

法。

（2）尝试练习：如图，有一根旗杆AB高8m,它的顶端A挂有两条长10m的绳子，拉

紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一条直线上）C、D»如果这两点

都和旗杆脚B的距离是6m,那么旗杆就和地面垂直.为什么？

本题需要通过计算得到线线垂直。学生练习本上完成后，对照课本P69例1,完善自己

的解题步骤。

(3)尝试练习：如图，已知a〃b,a±a,求证：b±ao

此题有一定难度，教师引导学生分析思路，可利用线面垂直的定义证，也可用判定定

理证，提示辅助线的添法，学生练习本上完成，对照课本P69例2,完善自己的解题步骤。

4.总结反思

(1)通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？

(2)在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题？

(3)本节课你还有哪些问题？

学生发言，互相补充，教师点评，归纳出判断直线与平面垂直的方法，给出框图

(投影展示)，同时，说明本课蕴含着转化、类比、归纳、猜想等数学思想方法，强调

“平面化”是解决立体几何问题的一般思路，并鼓励学生反思，大胆质疑，教师作好记

录，以便查缺补漏。

5.布置作业

(1)如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，0是对角线AC与BD的交点,

且PA=PC,PB=PD.

求证：PO_L平面ABCD

(2)课本P70练习2

(3)探究：如图，PAL圆0所在平面，AB是圆0的直径，C是圆周上一点，则图中

有几个直角三角形？由此你认为三棱锥中最多有几个直角三角形？四棱锥呢？

【板书设计】

教学设计说明

在这次新课程数学教学内容中，立体几何不论从教材编排还是教学要求上都发生了很

大变化，因而，我在本节课的处理上也作了相应调整，借助多媒体辅助教学，采用“引导

一探究式”教学方法。整个教学过程遵循“直观感知一操作确认一归纳总结”的认知规

律，注重发展学生的合情推理能力，降低几何证明的难度，同时，加强空间观念的培养，

注重知识产生的过程性，具体体现在以下几个方面:

1.线面垂直的定义没有直接给出，而是让学生在对图形、实例的观察感知基础上，借

助动画演示帮助学生概括得出，并通过辨析问题深化对定义的理解。这样就避免了学生死

记硬背概念，有利于理解数学概念的本质。

2.线面垂直的判定定理不易发现，在教学中，通过创设问题情境引起学生思考，安排

折纸试验，讨论交流，给学生充分活动的时间与空间，帮助学生从自己的实践中获取知

识。教师尽量少讲，学生能做的事就让他们自己去做，使学生更好的参与教学活动，展开

思维，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

3.本节中教师不作例题示范，而是让学生先尝试完成，后讲评明晰。为更好地巩固判

定定理，设置了有梯度的练习，其中练习（1）是补充题，是判定定理的最简单的运用。作

业中增加了基础题（第1题）和开放性题目（第3题），这样，有助于培养学生的发散思

维，使学生在不同的几何体中体会线面垂直关系，发展学生的几何直观能力与一定的推理

论证能力。同时，在教学中，始终注重训练学生准确地进行三种语言（文字语言、图形语

言和符号语言）的转换，培养运用图形语言进行交流的能力。

4.以问题讨论的方式进行小结，培养学生反思的习惯，鼓励学生对问题多质疑、多概

括。

圆的方程（第1课时）一圆的标准方程

天津四中杨赫梁

1、教学目标

（1）知识目标：a、在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程;

b、会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方

程;

C、利用圆的方程解决与圆有关的实际问题.

(2)能力目标：a、进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力；

b、使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解；

c、增强学生用数学的意识.

(3)情感目标：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激

发学生的学习兴趣.

2、教学重点、难点

(1)教学重点：圆的标准方程的求法及其应用.

(2)教学难点：①会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程

②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题.

3、教学过程

(-)创设情境(启迪思维)

问题一：已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆

宽为2.7m,高为3m的货车能不能驶入这个隧道？

［引导］：画图建系

［学生活动］:尝试写出曲线的方程(对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复

习)

解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐

标系，则半圆的方程为x?+y2=16(y^O)

将x=2.7代入，得

即在离隧道中心线2.7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个

隧道。

（二）深入探究（获得新知）

问题二：1、根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程?

答：—

2、如果圆心在，半径为时又如何呢?

［学生活动］:探究圆的方程。

［教师预设］:方法一：坐标法

如图，设M（x,y）是圆上任意一点，根据定义点M到圆心C的距离等于r,所以圆C就

是集合P={M||MC|=r)

由两点间的距离公式，点”适合的条件可表示为

©

把①式两边平方，得（X—a¥+（y—b）2=d

方法二：图形变换法

方法三：向量平移法

（三）应用举例（巩固提高）

I.直接应用（内化新知）

问题三：1、写出下列各圆的方程（课本P77练习1）

（1）圆心在原点，半径为3；

（2）圆心在，半径为

（3）经过点，圆心在点

2、根据圆的方程写出圆心和半径

(1)(2)

II.灵活应用（提升能力）

问题四：1、求以为圆心，并且和直线