新教材2021-2022学年人教A版选择性必修第二册 - 导数的概念及其几何意义 学案

5.1.2导数的概念及其几何意义

新课程标准解读核心素养

1.了解导数的概念数学抽象

2.通过函数图象直观理解导数的几何意义直观想象

・MMk富酸物知识椀理…

b情境导入

下雨天，当我们将雨伞转动时，伞面边沿的水滴沿着伞的切线方向飞出.实际上物体（看

作质点）做曲线运动时，运动方向在不停地变化，其速度方向为质点在其轨迹曲线上的切线

方向，我们可以利用导数研究曲线的切线问题.

水滴沿伞边切线飞出

［问题］你还能列举出生活中的其他实例吗？

移新知初探

知识点一导数的概念

i.函数的平均变化率

对于函数y=/（x）,设自变量x从xo变化到&+△%,相应地，函数值y就从人比）变化到

Av

>o+Ax）,这时，尤的变化量为Ax,>的变化量为Ay=Axo+Ax）—Axo）.我们把比值仄:，

n

即笠1当十（"°）叫做函数y=Ax）从X0到xo+AX的平均变化率.

2.函数在x=x0处的导数

Ay△y

如果当Ax-O时，平均变化率大无限趋近于一个确定的值，即曾有极限，则称y=/(x)

在x=xo处可导，把这个确定的值叫做y=y(x)在x=xo处的导数(或瞬时变化率)，记作了(沏)

［、口口Ayf(xo+Ax)—f(xo)

或y'」x。，即了a°)=购工=如五•

••＞点一点•

对导数概念的再理解

(1)函数应在点X0的附近有定义，否则导数不存在；

(2)导数是一个局部概念，它只与函数y=Ax)在x=xo及其附近的函数值有关，与Ax无

关；

(3)导数的实质是一个极限值.

0想二想

Ax,Ay的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？

△V

提示：可正可负，也可以为零，但Ax不能为零.平均变化率仄；可正、可

负、可为零.

。做一做

函数式x)=3尤-2在x=5处的导数值为

f(5+Ax)~f(5)3(5+Ax)—2—15+2

解析：7(5)-丁刁吗

3Ax

=如七=3

答案：3

知识点二导数的几何意义

函数y=/(x)在冗=%0处的导数/(xo)就是切线PoT的斜率无，即=Jim

f(Xo+Ax)-f(%o)，/.\

-==f(xo).

•点一点•

曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多.与曲线只有

一个公共点的直线也不一定是曲线的切线.

力想二想

1.若函数产危)在点项处的导数存在，则曲线尸危)在点尸(犹，加0))处的切线方程是

什么？

提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y—/(沏)=/(%0)(%—xo).

2.函数》=黄%)的部分图象如图，根据导数的几何意义，你能比较/叫B

(Xl),f(%2)和/(%3)的大小吗？----LJ_：----->

Q的42x3%

提示：根据导数的几何意义，因为在A,B处的切线斜率大于零且

kA>kB,在C处的切线斜率小于零，所以(Xl)T(X2)V(X3).

C做一做

1.若曲线y=Ax)在点(xo,八项))处的切线方程为2x+y+l=0,则()

A./(x0)>0B.f(xo)=O

C.f(x0)<0D./(xo)不存在

答案：C

2.已知函数式x)在xo处的导数为/(xo)=l,则函数八x)在xo处切线的倾斜角为.

答案：45°

3.若函数Kx)在点A(l,2)处的导数是一1,那么过点A的切线方程是.

答案：x+y—3=0

知识点三导函数的概念

1.定义：当无变化时，y=F(x)就是x的函数,我们称它为了=加)的导函数(简称导数).

2.记法：y=/(x)的导函数记作“尤)(或V),即〃x)=y'=叵/晨・

点一点•

导数与导函数之间既有区别又有联系，导数是对一个点而言的，它是一个确定的值，与

给定的函数及M或X0)的位置有关，而与Ax无关；导函数是对一个区间而言的，它是一个

确定的函数，依赖于函数本身，也与Ax无关.

。做一做

求函数的导数.

△vf(x+△x')—f(x)

解：函数的导数为f(x)=Jim-^=Jim—,而fix+Ax)-y(x)=

山+Ax-于是/(x)=4喝二'二㈣(5+△%—g)(y/x+Ax+W)

△x•(5+△%+,)

11

㈣

y[x+~KJc+y[x2也

葡酸锢典明精析

LMfiM求函数在某点处的导数

［例1］(链接教科书第65页例1)求函数>=尤+£在x=l处的导数.

［解］因为△>=(1+△.»)+哥晨一(1+1)=AX+哥晨一1,

所以A管y=11--

所以如)I?一—获1=在

求函数y=Ax)在点(尤o,人冲))处的导数的三个步骤

简称：一差、二比、三极限.

［跟踪训练］

利用导数的定义，求函数y="+2在x=l处的导数.

解：因为”=［(1+-)2+2」一早+2)=(1+-)2

—(Ax)2~2Ax

Ay_____(1+△♦)2_____—2—bx

△xAx(1+Ax)2，

小△V-2-Ax

所以外=尸»世二=小$一(］+瓯)厂一2.

导数的意义在实际问题中的应用

［例2］(链接教科书第65页例2)柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的.铺

路工人需要对沥青加热使其由固体变成粘稠液体，如果开始加热后第尤h的沥青温度(单

位：℃)为>=为工)=80x2+20,OWxWL求/(0.25),并说明它的实际意义.

［解］因为应》=80炉+20,OWxWl,

，…Ryf(0.25+Ax)~f(0.25)

所以-△「x=-----------A7--x------------------

80(0.25+Ax)2+20—(80X0.252+20)

Ax

40—+80(Ax)2

=Ax=40+80Ax.

所以/(0.25)=购)(40+80Ax)=40.

它的实际意义表示，在x=0.25h附近，沥青的温度以40°C/h的速率上升.

关于导数的实际意义

根据物体的路程关于时间的函数求速度与加速度、求已知曲线的切线直接促使了导数的

产生.可以利用上述实际问题理解导数的实际意义，导数是在某一时刻附近的瞬时变化率，

是路程、速度等在这一时刻附近增加(减小)的大小.

［跟踪训练］

建造一栋面积为尤n?的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y=f(x)=^+^+03,求

了(100),并解释它的实际意义.

解：根据导数的定义，得了(100)=/画

f(100+Ax)~f(100)

=蛔Ax

..100+Ax+-\/100+Ax+3-(100+V100+3)

=lim-iK

10Ax

(1,JlOO+Ax-lO^

一回)ljo+10AxJ

=J出|_1010X(^/lOO+A.r+lO)_

」+_______1_______

W^iox(10+10)

=0.105.

(100)=0.105表示当建筑面积为lOOn?时，成本增加的速度为1050元/nB

LE且求切线方程

［例3］(链接教科书第70页练习2题)已知曲线C：>=出

(1)求曲线C在横坐标为x=l的点处的切线方程；

(2)求曲线C过点(1,1)的切线方程.

［解］(1)将x=l代入曲线C的方程得y=l,...切点尸(1,1).

△y(1+Ax)3—1

，岛=」场三=1西直

=J为[3+3△x+(△x)2]=3.

r=

•'•k=y\x=i3.

J曲线在点尸(1,1)处的切线方程为y-l=3(x-l),

即3x—y—2=0.

(2)设切点为Q(xo,州)，由(1)可知y［x=xo=3x8,由题意可知32=y'|x=xo,

即^~=3x§,又为=焉，-=3x§,即2x8-3x§+1=0,解得沏=1或xo=一不

XQ—1XQ—12

①当沏=1时，切点坐标为(1,1),相应的切线方程为3x—y—2=0.

②当xo=-3时，切点坐标为(一看—£),相应的切线方程为y+|=,1(x+^),即3x—

4y+l=0.

［母题探究］

1.(变条件)本例中条件“y=R”改为“y=N”，求曲线在x=l处的切线方程.

解：外=1=如―包蚂(—+2)=2,

k=2.

故切线方程为2x—y—1=0.

2.(变条件、变设问)求曲线y=9+l过点尸(1,0)的切线方程.

解：设切点为Q(a,4+i),

f(a+Ax)—/(〃),人

k7=lim-------------7--------------=lim(2a+Ax)=2a,

jx->oAxA->o'7'

•・•在点Q处的切线方程为丁一(层+1)=2〃。-4),*

把点(1,0)代入(*)式得一(层+1)=2。(1~a).

解得a=l±Vl

再把〃=1地代入到(*)式中.即得y=(2+2艰)x-(2+2媳)或y=(2—25比一(2一

2g.这就是所求的切线方程.

1.利用导数的几何意义求曲线y=/W在点(M),八演)))处的切线方程的步骤：

(1)求函数负X)在M)处的导数，即切线的斜率；

(2)根据直线方程的点斜式可得切线方程为y―大比)=/(xo)(x—Xo).

2.运用导数的几何意义解决切线问题时，一定要注意所求切线是在某点处的切线还是

过某点的切线的区别，若求在某点处的切线方程，该点一定在曲线上，则该点的导数值就是

该点处的切线的斜率；若求过某点的切线，则先设切点坐标再转化求解.

....必组^酸锢思维升华…

导数几何意义的应用

(链接教科书第70页练习2题)函数八尤)的图象如图所示，下列数值排序正确的是()

A.f(l)W)W)>0

B.-⑴勺⑶<0

C.0勺7⑴4⑵勺Q)

D.一⑴次2)>0月(3)

［问题探究］

1.函数y=/(x)在点x=xo处的切线斜率为左,那么斜率与/(项)有什么关系？

提示：k>0Qf'(xo)>O;k<00于'(xo)<O;k=Q=f'(%o)=O.

2.导数与函数图象的升降有什么关系？

提示：若函数y=/(x)在天=比处的导数存在且了(比)>0(即切线的斜率大于零)，则函数y

=/(x)在x=xo附近的图象是上升的；若/(沏)<0(即切线的斜率小于零)，则函数y=/(x)在x

=xo附近的图象是下降的.导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢.

［迁移应用］

1.已知函数尸危)的图象如图所示，则其导函数y=f(x)的图象可能是()

解析：选B由y=/3的图象及导数的几何意义可知，当x<0时，/'(x)>0;当x=0时，

f(x)=0;当x>0时，f(0)<0,故B符合.

2.某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能

在规定时间T内完成预期的运输任务Qo,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下

所示.在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是()

解析：选B从函数图象上看，要求图象在［0,为上越来越陡峭，在各选项中，只有B

解析：选B由于圆口杯是“下细上粗”，则开始饮料高度增加较快,以后饮料高度增

加得越来越慢，仅有B符合.

■随堂检测

1.（多选）下列关于导数了（3）的意义与表示正确的是（）

f(x)一/⑶

A.

%—3

/⑶一/⑴

B./(3)=顾

X—3

/(3+。)+/(3)

C.了（3）=蚂

Ax

/(3+Ax)—f(3)

D.f（3）=M

解析：选AD/（3）表示函数八x）在x=3处的瞬时变化率，即八3）=］四）

于(3+Ax)-于(3)

,令x=3+Ax,得△x=x—3,由得3,于