高中数学北师大必修教学案第二章 直线与直线的方程含解析

解橱几何J初步

§1直线与直线的方程

1.1直线的倾斜角和斜率

.贩货通EK［政电■课前自主学习，基稳才能楼高

预习课本P61〜64,思考并完成以下问题

⑴直线倾斜角是怎么定义的？

⑵过两点的直线的斜率公式是什么？斜率与倾斜角的关系如何?

［新和初探］

1.直线的倾斜角

(1)概念：在平面直角坐标系中，直线/与x轴相交，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着

交点旋转到和直线I重合所成的角.

(2)范围：0。Wa<180°,当直线/和x轴平行时,倾斜角为0°.

2.直线的斜率

(1)概念：斜率左是直线倾斜角a(aW90°)的正切值,通常把皿”叫作直线的斜率.

⑵斜率与倾斜角对应关系：

_2L/V一4

图示Z一

O\X-yv

倾斜角

0°<«<

(范围)«=0°a=90°90°<a<180°

90°

斜率

■=0左〉0不存在k<0

(范围)

⑶经过两点Bg%),B(如"皿*必)的直线的斜率公式：kf

［点睛］直线的倾斜角和斜率的关系

⑴直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率.当倾斜角是90°时，直线的斜率

不存在，此时，直线垂直于X轴(平行于y轴或与y轴重合).

(2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度.当0°WaV90°时，斜

率越大，直线的倾斜程度越大；当90°<a<180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大.

1.判断下列命题是否正确.(正确的打“J”，错误的打“X”)

⑴倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法.()

(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.()

(3)斜率公式与两点的顺序无关.()

答案：(1)X(2)X⑸J

2.若直线/的倾斜角为60°,则该直线的斜率为.

答案：小

3.经过两点4(3,2),3(4,7)的直线的斜率是.

答案：5

4.经过两点尸(1,-4),Q(-l,-4)的直线的倾斜角是.

答案：0°

字课堂讲练设计，举一能通类题

题型一直线的倾斜角

［典例］设直线/过坐标原点，它的倾斜角为a,如果将/绕坐标原点按逆时针方向旋转

45°,得到直线3那么的倾斜角为()

A.a+45°

B.a-135°

C.135°-a

D.当0°Wa<135°时，倾斜角为a+45。；当135°Wa<180°时，倾斜角为4一135°

［解析］因为0°WaV180°,显然A,B,C未分类讨论，均不全面，不合题意.

根据题意，画出图形，如图所示：

通过图像可知：

当0°WaV135°,4的倾斜角为a+45°;

当135°<aV180°时，。的倾斜角为45°+a-180°=々-135°.故选D.

［答案］D

求直线倾斜角的常用方法

(1)定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义求出倾斜角.

(2)分类法：根据题意把倾斜角a分为以下四类讨论：

a=0°,0°<a<90°,a=90°及90°<«<180°.

［活学活用］

一条直线/与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为a(0°<«<90°),则其

倾斜角为()

A.a

B.180°-a

C.180°一”或90°-a

D.90°+“或90°~a

解析：选D如图，当I向上方向的部分在y

轴左侧时，倾斜角为90°+a;当，向上方向的部分

在y轴右侧时，倾斜角为90°—a.故选D.

题型二求直线的斜率

［典例］(1)过原点且斜率为竽的直线I绕原点逆时针方向旋转30。到达7位置，则直

线的斜率为.

(2)经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率.

①B(~l,-2)；②4(-2,-3),3(—2,3)；③4(2,2),3(10,2).

［解析］(1)因为直线/的斜率《=乎，所以直线/的倾斜角为30°,所以直线〃的倾斜

角为30°+30°=60°,所以直线，的斜率H=tan60°=木.

答案：小

—2—13

(2)解：①存在，k=_=y.

tJL11.4

②不存在，因为两点的横坐标相等，所以斜率不存在.

③存在，k=,=

求直线斜率的两种方法

(1)已知直线的倾斜角a时，可根据斜率的定义，利用左=tana求得.

(2)已知直线上经过的两点时，可利用两点连线的斜率公式要注意前提条件

X2-X\

与?型.若办=必，则斜率不存在.当两点的横坐标含有字母时，要先讨论横坐标是否相等再

确定直线的斜率.

""［活学活用I

经过点P(2,叫和0(2m,5)的直线的斜率等于最则机的值是()

A.4B.3

C.1或3D.1或4

解析：选B由条件知年隐=；.解得机=3.

题型三直线的倾斜角和斜率的综合应用

［典例］已知两点4(-3,4),5(3,2),过点尸(1,0)的直线/与线段A5有公共点.

⑴求直线/的斜率"的取值范围；

⑵求直线I的倾斜角«的取值范围

［解］如图所示，

4—0

由题意可知kpA=_3_]

⑴要使I与线段AB有公共点,

故直线/的斜率左的取值范围是(一8,-1］U［1,+8).

(2)由题意可知直线/的倾斜角介于直线P8与PA的倾斜角之间，又尸3的倾斜角是45°,

24的倾斜角是135°,故a的取值范围是45°WaW135°.

000©

(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式上=tana(aW90°)解决.

(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式求解.

X2—Xi

(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解.

―［活学活用］

已知4(3,3),5(—4,2),C(0,-2),

⑴求直线AB和AC的斜率.

⑵若点D在线段5c(包括端点)上移动时，求直线AO的斜率的变化范围.

2-^313s

解:⑴由斜率公式可得直线的斜率［===".直线AC的斜率/=不不=*

故直线A5的斜率为直线AC的斜率为点.

⑵如图所示，当。由3运动到C时，直线AO的斜率由MB增大到底C,

所以直线AO的斜率的变化范围是最（

后维统阳盛泳池内课后层级训练，步步提升能力

层级一学业水平达标

1.给出下列说法，正确的个数是（）

①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；

②一条直线的倾斜角为一30°；

③倾斜角为0°的直线只有一条；

④直线的倾斜角a的集合｛a|0°WaV180°｝与直线集合建立了一一对应关系.

A.0B.1

C.2D.3

解析：选A若两直线的倾斜角为90°,则它们的斜率不存在，①错；直线倾斜角a

的取值范围是0°WaV180°,②错；所有垂直于y轴的直线倾斜角均为0°,③错；不同

的直线可以有相同的倾斜角，④错.

2.已知直线/的倾斜角为120°,则直线/的斜率为（）

A.一小B.小

C.1D.-乎

解析：选A由题意可知，A：=tan120°=一小.

3.过点4（一方，爽）与仇一也，3）的直线的倾斜角为（）

A.45°B.135°

C.45°或135°D.60°

^3—^2\[3—y[2

解析：选A

—g-(-5)=产『

4.若经过A（2,l）,B（l,雨）的直线/的倾斜角为锐角，则机的取值范围是（）

A.（一8,1）B.（1,+8）

C.（-8,-1）D.（-1,+8）

m—1

解析：选A由/的倾斜角为锐角，可知以B=W>0,即机VI.

5.若A,5两点的横坐标相等，则直线A5的倾斜角和斜率分别是（）

A.45°,1B.135°,-1

C.90°,不存在D.180°,不存在

解析：选C由于A,5两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90°,斜

率不存在.故选C.

6.若过点4(4,2)和3(5,力的直线与过点C(l,2),0(3,4)的直线的斜率相等，则b的值

为.

b—24—2

解析：由题意，可得5_4=3-1=1,"=3.

答案：3

7.已知点A(3,4),在坐标轴上有一点5,若BB=2,则5点的坐标为.

解析：若5点在x轴上，则设8点坐标为(x,0),

4—0

由题意知^^=2,解得x=l,即B(l,0);

若8点在y轴上，则设8点坐标为(0,y),

由题意知在^=2,解得》=-2,即8(0,-2).

...点5的坐标可以为(1,0)或(0,-2).

答案：(1,0)或(0,-2)

8.已知三点A(a,2),3(3,7),C(-2,—9a)在同一条直线上，实数。的值为.

解析：•.,A,B,C三点共线，KB=^BC,即&_“=-c—,

、2

.\a=2或$

答案：2或,

9.已知直线过点A(2m,3),B(2,—1),根据下列条件求机的值.

(1)直线的倾斜角为135°；

(2)直线的倾斜角为90°；

(3)点C(3,M在直线上.

解：(1)由题意，得\(?=tanl35°=~1,得m=-1.

Zm—2

(2)由题意，得2机=2,得机=1.

⑶由题意，得缶导=号”，得h

10.已知直线/上两点4(-2,3),8(3,-2),求其斜率.若点C(a,力在直线/上，求a,

6间应满足的关系，并求当a=T时，的值.

—2—3

解：由斜率公式得3+，=-L

•••C在/上，kAC=~l,即1

.*.a+Z>—1=0.

当a=5时,b=l—a=^.

层级二应试能力达标

1.设点尸在y轴上，点N是点M关于丁轴的对称点，若直线PM的斜率为-AWO),

则直线PN的斜率是()

A.kB.—k

C.TD.-7

kk

解析：选B设P点的坐标为(0,jo),M(X19jx),N(-X19%),由题意知PM斜率为4

=浑上，而直线PN的斜率为=一上,故选B.

0—Xi0c-,(。―/X"i)、

2.1经过第二、四象限，则直线/的倾斜角a的范围是()

A.0°Wa<90°B.90°^a<180°

C.90°<a<180°D.0°<a<180°

解析：选C直线,经过第二、四象限，所以直线，的倾斜角a的范围是90°<a<180°.

3.如图，设直线A，12,，3的斜率分别为品，k2,k3,则由，k2,后的大小关系为()

r

A.2VA3B.ki<k3<k2lI,

11

C.k2<ki<k3D.k3<k2<k1V!K'

解析：选A根据“当0°WaV90°时，斜率越大，直线的倾斜程度。/1—5

越大”可知选项A正确.

4.已知直线/经过点4(1,2),且不经过第四象限，则直线I的斜率k的取值范围是()

A.(-1,0]B.[0,1]

C.[1,2]D.[0,2]

解析：选D由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线

I的斜率满足0WAW2.故选D.

5.已知4(一1,2),3(3,2),若直线AP与直线3P的斜率分别为2和-2,则点P的坐标

是.

V-2v—2

解析：设点P(x,j),则有云7=2且七三=-2,解得x=l,y=6,即点P坐标是(1,6).

答案：(1,6)

6.若经过点尸(l-a,l+a)和0(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为

,-*l+a-2aa~l

解析：由题意知，斜率k=]_&_3=“+2<°，

解得一2V“<1.

答案：(一2,1)

7.已知直线/过点4(1,2),3(附3),求直线/的斜率和倾斜角的取值范围.

解：设直线/的斜率为左，倾斜角为a,

当机=1时，斜率左不存在，a=90°,

.L3—21

当血手1时，k=~=

当机>1时，左=’7>0,此时a为锐角，0°VaV90°,

当机<1时，笈=」~;<0，此时a为钝角，90°<a<180°.

所以直线/的斜率左的取值范围为(一8,0)U(0,+8),倾斜角a的取值范围为0°<

a<180°.

选傲题

8.点拉(x,y)在函数y=-2x+8的图像上，当xG[2,5]时，求当的取值范围.

v+1v—(-1)

解：的几何意义是过M(x,y),N(-l,—1)两点的直线的斜率.

人*IA.人*tJL〈J

•・•点M在函数丁=-2了+8的图像上，且x£[2,5],

，设该线段为AS且4(2,4),5(5,-2).

・・_5_1

.••阮4=§,kNB=—%,

.-1<2±1<5

,•6、+1、3°

.y±l的取值范围为Y，f.

*,x+l

1.2直线的方程

第一课时直线方程的点斜式

■理我通夏麻I政迫■课前自主学习，基稳才能楼高

预习课本P65〜67,思考并完成以下问题

(1)直线的点斜式方程是什么？

⑵直线的斜截式方程是什么？两种形式的方程适用的条件是什么?

⑶直线在y轴上的截距指的是什么？

［新的初探］

1.直线的点斜式与斜截式方程

点斜式斜截式

已知条件点尸0(4，M)和斜率k斜率上直线与y轴的交点为(0,b)

方程形式y_y@=4(尤一星0y=fcv+.

图示力0,6)

/。,

适用条件斜率存在

2.直线在y轴上的截距

(1)条件：直线的斜截式方程v=kr+(

⑵结论：幺叫做直线?=区+6在y轴上的截距.

［点睛］点斜式与斜截式的选择条件

(1)点斜式的选择条件：①已知斜率(或直线的倾斜角)；②已知直线上一点可选点斜式方

程.

(2)斜截式的选择条件：①已知在y轴上的截距；②已知斜率可选斜截式方程.

［口•铁-一］

1.判断下列命题是否正确.(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)直线的点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的任何直线.()

(2)直线/的斜率为鼠与x轴交点的横坐标为儿则直线方程可表示为,=h+瓦()

(3)经过点P(*o,必)的直线有无数条，这无数条直线都可写出点斜式方程.()

答案：(1)J(2)X⑶X

2.过点P(—2,0),斜率为3的直线方程是()

A.y=3x—2B.j=3x+2

C.j=3(x-2)D.j=3(x+2)

答案：D

3.直线y=2x-3的斜率和在y轴上的截距分别等于()

A.2,2B.-3,-3

C.-3,2D.2,-3

答案：D

4.直线/的点斜式方程是y+2=3(x+l),则直线/的斜率是

答案：3

课堂讲练设计，举一能通类题

题型一"直线方程的点斜式

［典例］根据条件写出下列直线的方程，并画出图形：

⑴经过点4(—1,4),斜率先=一3；

⑵经过坐标原点，倾斜角为45°；

(3)经过点3(3,-5),倾斜角为90°；

(4)经过点C(2,8),。(一3,-2).

［解］(l)j—4=—3［x—(―1)］,即y=-3x+l.图形如图

⑴所示.

(2)«=tan45°=1,.,.j-O=x-O,即y=x.图形如图(2)

所示.

⑶斜率k不存在，直线方程为x=3.图形如图⑶所示.

8—(—2)

(4)k=,_〉W=2,Aj-8=2(x-2),即y=2x+4.图形如图(4)所示.

000©

求直线的点斜式方程的方法步骤

(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(xo，X))一定斜率后一写出方程y—yo=4(x—x()).

(2)点斜式方程y—必=兀。-xo)可表示过点尸(xo,为)的所有直线，但x=x()除外.

［活学活用］

1.过点(-1,2),且倾斜角为135°的直线方程为一

解析：ft=tan135°=-1,由直线的点斜式方程得

j—2=—(x+1),即x+j—1=0.

答案：x+j—1=0

2.斜率为岸，与x轴交点的横坐标为一7的直线的点斜式方程为

解析：由直线与x轴交点的横坐标为-7,得直线过点(-7,0).

又斜率为坐，

所以所求直线的点斜式方程为:

y-0=乎(x+7).

答案：y-0=坐(x+7)

直线方程的斜截式

［典例］根据条件写出下列直线的斜截式方程.

⑴斜率为2,在y轴上的截距是5；

⑵倾斜角为150°,在y轴上的截距是一2；

(3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3.

［解］(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y=2x+5.

A

(2厂・•倾斜角a=150°,・••斜率A=tanl50°=一生，

由斜截式可得方程为y=一争一2.

(3)；直线的倾斜角为60°,其斜率上=tan60°=小,

二•直线与y轴的交点到原点的距离为3,

.•.直线在y轴上的截距b=3或b=-3.

.,.所求直线方程为y=-\［3x+3或j=^/3x_3.

直线的斜截式方程的求解策略

(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点

斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示.

(2)直线的斜截式方程y=h+8中只有两个参数，因此要确定某直线，只需两个独立的

条件.

(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率左，只需引入参数同理如果已

知截距儿只需引入参数左

［活学活用］

已知斜率为2,在y轴上截距为机的直线方程/,若直线/过点(1,1),求机的值.

解：由直线方程的斜截式，得直线方程为y=2x+m.

•.,直线/过点(1,1),

将x=l,y=l代入方程y=2x+»i,l=2X1+m，

*.m=-l即为所求.

课后层级训练，步步提升能力

层级一学业水平达标

1.已知直线的方程是y+2=—x—1,贝！|()

A.直线经过点(-1,2),斜率为一1

B.直线经过点(2,-1),斜率为一1

C.直线经过点(-1,-2),斜率为一1

D.直线经过点(-2,-1),斜率为1

解析：选C方程变形为y+2=—(x+1),.♦.直线过点(一1,—2),斜率为-1.

2.已知直线的倾斜角为60。，在y轴上的截距为一2,则此直线方程为()

A.y—y[ix+2B.y——\[3x+2

C.y=一小x—2D.j=^/3x_2

解析：选D斜率4=tan60°=木,则此直线方程为2.

3.方程y=A(x+4)表示()

A.过点(一4,0)的所有直线

B.过点(4,0)的一切直线

C.过点(一4,0)且不垂直于x轴的一切直线

D.过点(一4,0)且除去x轴的一切直线

解析：选C显然y=A:(x+4)中斜率存在，因此不包含过点(一4,0)且斜率不存在即垂直

于x轴的直线.

4.如果方程为的直线经过二、三、四象限，那么有()

A.Q0,b>0B.k>0,b<0

C.k<0,b>0D.k<0,b<0

解析：选D因为直线y=kx+b经过二、三、四象限，所以直线的斜率为负值，在y

轴上的截距为负，因此JtVO,b<0,故选D.

5.直线y=ox—:的图像可能是()

解析：选B由7=依一:可知，斜率和在y轴上的截距必须异号，故B正确.

6.直线4在y轴上的截距是

4

解析：由4,令x=0,得y=-4.

答案：-4

7.直线y=x+加过点(%，一1),则其在y轴上的截距是.

—

解析：J=x+机过点W,1),/.—l=m+m9即机=一；,从而在y轴上的截距为一；.

答案：一;

8.已知一条直线经过点尸(1,2),且其斜率与直线y=2x+3的斜率相同，则该直线的方

程是.

解析：直线的斜率与y=2x+3的斜率相同，故左=2,又过尸(1,2),二直线的方程为y

-2=2(x-l),即2x-y=0.

答案：2x—y=0

9.直线A过点P(—1,2),斜率为一看，把A绕点P按顺时针方向旋转30°角得直线5

求直线。和，2的方程.

解：直线A的方程是y—2=—^^(x+1).

即45x+3y-6+4§=0.

；品=一为-=tana”...6(1=150°.如图，&绕点尸按顺时针方向旋转30°,得到直线白

的倾斜角为g=150°-30°=120°,

.,.左2=tan120°=—y[3,

.,.匀的方程为y—2=-]5(*+1),即由x+y—2+由=0.

10.求倾斜角是直线y=-由x+l的倾斜角的j且分别满足下列条件的直线方程.

(1)经过点(43,-1)；

(2)在y轴上的截距是一5.

解：，.,直线y=—小x+1的斜率上=一小，

...其倾斜角a=120°,

由题意，得所求直线的倾斜角«1=1«=300,

故所求直线的斜率自=tan30°=等，

(I；•所求直线经过点(小，-1),斜率为雪，

.•.所求直线方程是y+l=R一5)，

即切%—3y—6=0.

(2):•所求直线的斜率是半，在y轴上的截距为一5,

所求直线的方程为y=唱一5.

层级二应试能力达标

1.直线3x+2y+6=0的斜率为K在y轴上的截距为心则有()

A.ft=—b=3B.*=—I，b=—2

32

C.k=~2fb=-3D.k=-1,b=—3

33

解析：选C由3x+2y+6=0,得y=一>一3,知左=-5,b=~3.

2.直线ky=^ix+历与L：y=左2了+52的位置关系如图所示，则有()

A.心〈心且历〈加

B.自〈42且bi>b?

C.心>心且仇>历

D.心>左2且bi<b2

解析：选A设直线4，，2的倾斜角分别为幻，©.由题图可知90°<a1<a2<180°,

所以自〈心.又名V0,必>0,所以瓦V岳.故选A.

3.在等腰aABO中，AO=ABf点0(0,0),4(1,3),而点5在x轴的正半轴上，则直线

AB的方程为()

A.j—l=3(x—3)B.j—1=—3(x—3)r|八

C.j-3=3(x-l)D.j-3=-3(x-l)

解析：选D如图，由几何性质知，与A3的倾斜角互补，—oT*kOA

=3,3,，直线A3的方程为y—3=-3(x—1).

4.不论机为何值，直线机”—y+2m+l=0恒过定点()

A.(1,2)B.(-2,1)

C.(2,-1)D.(2,1)

解析：选B•直线方程可化为y—1=机[工一(一2)],

・•・直线恒过定点(一2,1).

5.已知直线1)+2不经过第二象限，则儿的取值范围是.

解析：由/的方程知，过定点4(1,2),斜率为左，则MM=2(O为坐标〃原

点），如图所示，则由数形结合可得，左》2时满足条件.

答案：［2,+8）

6.给出下列四个结论：

①方程仁后与方程厂2=秘+1）可表示同一直线；

②直线/过点尸（如Ji）,倾斜角为90°,则其方程是*=巧；

③直线/过点P（xi，ji）,斜率为0,则其方程是7=%;

④所有的直线都有点斜式和斜截式方程.

其中正确结论的序号为.

解析：①不正确.方程兀=台1不含点（一1,2）;②正确；③正确；④只有左存在时成立.

答案：②③

7.已知直线/的斜率为6,且被两坐标轴截得的线段长为西，求直线/的方程.

解：设所求的直线/的方程为y=6x+，，

令x=0,y=bf令y=0,x=-不

.•・/与x,y轴的交点分别为（一/，0）,（0,b）.

由题意，得（一§2+*=37,得b=±6.

...直线/的方程为y=6x±6.

|；就选做题

8.求与两坐标轴围成的三角形的周长为9,且斜率为一g的直线方程.

4

解：设直线/的方程为y=—瓦令x=0,得y=5;

令J=0,得x=~^b.

由题意，得叫+：网+弋*+0。2=9.

35

：.\b\+^\b\+^\b\=9,

：.b=±3.

4

-一条一3.第二课时直线方程的两点式和一般式

...所求直线方程为y3

・班荽E0机电卷，课前自主学习，基稳才能楼高

预习课本P67〜69,思考并完成以下问题

⑴如何由直线上的两点确定直线的方程?

（2）直线的两点式方程的适用范围是什么？直线的截距式方程与两点式方程的关系是什

么？

（3）直线的一般式方程是什么？

［新加初探］

1.直线方程的两点式和截距式

名称两点式截距式

已知

P1（X”%），尸2（必，）2），在x,y轴上的截距分别为a,b

条件

示意匚y

图

x—Xix.y.

方程

V2~V1松一利a-b----

适用

且Xi=^=X2Q£0

范围

［点睛］在求直线方程时，应适当选用方程的形式，并注意各种形式的适用条件，两点

式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和经过原点的直线.

2.直线的一般式方程

把关于x,y的二元一次方程Ax+3y+C=0叫做直线的一般式方程,简称一般式.其

中系数A,8满足A,3不同时为0.

"•献身手］

1.判断下列命题是否正确.（正确的打“J”，错误的打“X”）

（1）两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程.（）

⑵截距式可表示除过原点外的所有直线.（）

⑶任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化.（）

（4）平面上任一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程Ax+8y+C=0（A,5不同

时为0）表示.（）

答案：⑴J（2）X⑶X（4）7

2.直线"1=1（成＜0）的图像可能是（）

答案：c

3.过两点Q015,2016),(2015,2017)的直线方程是()

A.x=2015B.x=2016

C.y=2015D.x+y=2017

答案：A

4.直线x—y+5=0的倾斜角为(

A.45°

C.120°

答案：A

课堂讲练设计，举一能通类题

直线方程的两点式和截距式

［典例］(1)求满足下列条件的直线方程：

⑴过点4(-2,3),3(4,-1)；

⑵在x轴，y轴上的截距分别为4,-5；

(3)过点P(2,3),且在两坐标轴上的截距相等.

［解］(1)由两点式得/1—3=干,化简得2x+3y—5=0.

(2)由截距式，得j+T^=l,化简得5x—4y—20=0.

(3)当直线过原点时，所求直线方程为3x-2y=0.

当直线不过原点时，设直线方程为》+与=1,

2+3

•・•直线过产(2,3),，一，一=1,：.a=5,

直线方程为x+j—5=0,

所以所求直线方程为3x—2y=0或x+j—5=0.

求直线的两点式方程的策略以及注意点

(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用

条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程.

(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致

错位.在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系.

［活学活用］

若直线/过点P(4,-3),且在两坐标轴上截距的绝对值相等，求直线/的方程.

解：法一：设直线在x轴，y轴上的截距分别为a,b.

⑴当a手0,方手。时，设/的方程为，卡=1.

43

•・•点P(4,—3)在直线上，

若a=b,则a=b=l,直线方程为x+y=l.

若〃=一瓦则〃=7,b=-7,此时直线的方程为尤一y=7.

(2)当〃=>=0时，直线过原点，且过点(4,-3),

・•・直线的方程为3x+4j=0.

综上知，所求直线方程为x+j—1=0或X—j—7=0或3x+4y=0.

法二：设直线/的方程为y+3=-x-4),

.AR44+3

令％=0,付y=-4A-3;令y=0,付x=-7—・

又・・•直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等.

44+3

・・・|一4左一3|=

3

解得k=1或k=—1或k=一不

；・所求的直线方程为x—7=0或x+j—1=0或3x+4j=0.

题型二直线方程的一般式

［典例］设直线I的方程为(帆2—2加-3)x+(2机2+机-l)y=2%-6,根据下列条件分别确

定小的值;

(1)/在X轴上的截距是一3；

(2)Z的斜率是一1.

机2—2机—3W0,①

［解］(1)由题意可得“2m—6o

m2-2m-3'2

由①得：帆手—1且机手3,

由②得：帆=3或次=一

.5

••机=一彳・

2m2+m—1^0,③

(2)由题意得"/-2加一3_0

2m2+zn_1°4

由③得：机手一1且机手;，

由④得：帆=-1或帆=—2.

:.m=­2・

直线方程的几种形式的转化

点斜式”两点式

y-yi4Tl

y-y^k（4一巧）

72-71X2-X.

•般式、

式

距

/斜截式、8#0sijZ

AC+C

《4,8不同时为0》-B

［活学活用］

根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式.

⑴斜率是一，经过点4(8,-2)；

⑵经过点5(4,2),平行于x轴；

⑶在x轴和y轴上的截距分别是*-3；

(4)经过两点Pi(3,-2),P2(5,-4).

解：(1)由点斜式得y—(-2)=一；(丫一8),即*+2/—4=0.

⑵由斜截式得y=2,即y-2=0.

(3)由截距式得芯+d^=l,即2x—y—3=0.

(4)由两点式得/4,(_$=三，即x+y-l=0.

题型三直线方程的综合应用

［典例］已知直线I：5ax—5y—a+3=0.

(1)求证：不论“为何值，直线/总经过第一象限;

(2)为使直线不经过第二象限，求”的取值范围.

［解］⑴证明：将直线/的方程整理为

.•.直线/的斜率为a,且过定点415

而点46，号在第一象限内，故不论a为何值，/恒过第一象限.

(2)直线OA的斜率为k=j-=3.

5­°

如图所示，要使/不经过第二象限，需斜率。泌OA=3,：.a>3.

故a的取值范围为［3,+<»).

含有一个参数的直线方程，一般表示无穷多条直线，称为直线系.这无穷多条直线是过

同一个点的.这里对一般式灵活变形后变成点斜式是解决问题的关键.

_［活学活用］

设直线I的方程为(a+l)x+y+2—a=0(aGR).

⑴求证：不论。取何值，直线/必过定点，并求出这个定点;

⑵若/不经过第二象限，求实数a的取值范围.

解：(1)证明：直线/的方程可变形为

(a+l)x+j+3_(a+l)=0.

即y+3=-(a+l)(x-l).

故不论“取何值，直线/恒过定点(1,-3).

(2)将I的方程化为j=—(a+l)x+a_2,

一(a+l)>0,或1)=。,

2W0,a—2W0.

...aW—1.故〃的取值范围是(一8,—1］,

课后层级训练，步步提升能力

层级一学业水平达标

1.过Pi(2,0),尸2(0,3)两点的直线方程是()

A.r+^=0B.；+《=0

C2+3=131

解析：选C由截距式得，所求直线的方程为4+4=1.

2.直线1一；=1在两坐标轴上的截距之和为（）

A.1