黑龙江省龙西北地区八校2024-2025学年高一数学下学期3月联考试题

PAGE7-黑龙江省龙西北地区八校2024-2025学年高一数学下学期3月联考试题本试卷分Ⅰ、Ⅱ卷，总分150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分)一、单选题(本题共8个小题，每小题5分，共40分．)1.已知集合A＝{-3,-2,0,1,4}，B＝{x|x＝QUOTE，n∈A}，则A∩B的真子集个数A．3B．4C．7D．8()2．若，且，则θ是()A．第一象限角B．其次象限角C．第三象限角D．第四象限角3．设a，b是非零向量，则“存在实数λ，使得a＝λb”是“|a＋b|＝|a|＋|b|”的()A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件4．下列命题中的假命题为()A．∀x∈R，ex>0 B．∃x0∈N*，sineq\f(πx0,2)＝1C．∃x0∈R，lnx0<1 D．∀x∈N，x2>05．已知向量a＝(1，cosα)，b＝(sinα，1)，且0<α<π，若a⊥b，则α＝()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(3π,4)6．定义在R上的偶函数f(x)，对随意x1，x2∈[0，＋∞)，x1≠x2，有eq\f(fx2－fx1,x2－x1)<0，则()A．f(1)<f(－2)<f(3) B．f(3)<f(－2)<f(1)C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(－2)7．已知α∈R，sinα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)，则tan2α＝()A.－eq\f(4,3)B.－eq\f(3,4)C．eq\f(3,4)D．eq\f(4,3)8.在平行四边形ABCD中，M是DC的中点，向量QUOTE，设QUOTE＝a，QUOTE＝b，则QUOTE＝()A.eq\f(1,6)a＋eq\f(7,6)bB．－eq\f(1,6)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(1,6)a－eq\f(2,3)b D.eq\f(1,6)a－eq\f(1,3)b二、多选题(本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的不得分．)9．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤－1，,x2，－1<x<2，,2x，x≥2，)),则函数y=f(x)－1的零点为()A．－eq\r(3)B.－1C．eq\f(1,2)D．110．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是()A．y＝QUOTEB．y＝QUOTEC．y＝QUOTE D．y＝eq\f(1,x)－x11.在腰长为1的等腰直角三角形ABC中，，记QUOTE是与QUOTE同向的单位向量，则QUOTE在QUOTE上的投影向量不为()A．QUOTEB.eq\f(1,2)QUOTEC．QUOTED.QUOTE12.以下结论正确的是()A．cosQUOTE的值为eq\f(\r(3),2)B．若sin(π－α)＝－2，则sinαcosα＝－eq\f(2,5)C．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为2－eq\r(3)D.将函数y＝sinx的图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得各点向右平行移动eq\f(π,10)个单位长度，所得图象的函数解析式是y＝sin.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题（每题5分，共20分）13.已知|a|=1，|b|=2，QUOTE向量a与b的夹角为，向量bQUOTE，则QUOTE________．14.若eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2)(a>0，b>0)，则4a＋b＋2的最小值为________，此时a的取值为________．15．奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(－1)＝－1，则f(2024)＋f(2024)＝________．16．关于函数f(x)＝cos＋cos，给出下列命题：①f(x)的最大值为2；②f(x)的最小正周期是π；③f(x)在区间上是减函数；④将函数y＝eq\r(2)cos2x的图象向右平移eq\f(π,24)个单位长度后，与函数y＝f(x)的图象重合．其中正确命题的序号是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)（1）求不等式eq\f(x－1,x＋1)≥2的解集(2)log3eq\f(\r(4,27),3)＋lg25＋lg4＋7eq\s\up15(log72).18.(本小题满分12分)已知|a|＝2|b|＝2，单位向量e与向量b方向相同且向量a在向量b方向上的投影向量为－e.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a－2b|(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b相互垂直？19．(本小题满分12分)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)当x∈时，求f(x)的取值范围．20.(本小题满分12分)已知向量a＝(1,2sinθ)，b＝，θ∈R.(1)若a⊥b，求tanθ的值；(2)若a∥b，且θ∈，求θ的值．21.(本小题满分12分)已知A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，其中α，β为锐角，且|QUOTE|＝eq\f(\r(10),5).(1)求cos(α－β)的值；(2)若cosα＝eq\f(3,5)，求cosβ的值．22.(本小题满分12分)已知向量a＝(sinωx＋cosωx，sinωx)，向量b＝(sinωx－cosωx，2eq\r(3)cosωx)，设函数f(x)＝a·b＋1(x∈R)的图象关于直线x＝eq\f(π,3)对称，其中常数ω∈(0，2).(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)将函数f(x)的图象向左平移eq\f(π,12)个单位，再向下平移1个单位，得到函数g(x)的图象，求出函数g(x)对称中心．2024-2025学年度下学期八校联考高一数学月考试卷本试卷分Ⅰ、Ⅱ卷，总分150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分)一、单选题(本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．)1.A2．D3．C4．D5．D6．B7．B.8.C二、多选题(本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的不得分．)9．BD10．ACD11.ABD12.BC第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题（每题5分，共20分）13.QUOTE14．115．20316．②③④三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)（1）求不等式eq\f(x－1,x＋1)≥2的解集(2)log3eq\f(\r(4,27),3)＋lg25＋lg4＋7eq\s\up15(log72).解：不等式可化为2－eq\f(x－1,x＋1)≤0，即eq\f(x＋3,x＋1)≤0，解得－3≤x<－1，∴不等式的解集是{x|－3≤x<－1}．………5分（2）原式＝log33＋lg100＋2＝－eq\f(1,4)＋2＋2＝eq\f(15,4).………5分18.(本小题满分12分)已知|a|＝2|b|＝2，单位向量e与向量b方向相同且向量a在向量b方向上的投影向量为－e.(1)求a与b的夹角θ；(2)求QUOTE；(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b相互垂直？[解](1)∵|a|＝2|b|＝2，∴|a|＝2，|b|＝1.………1分又向量a在向量b方向上的投影向量为|a|cosθe＝－e，∴|a|cosθ＝－1∴a·b＝|a||b|cosθ＝－1.………3分又∵|a|＝2，|b|＝1，∴cosθ＝－eq\f(1,2)，………4分∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(2π,3).………5分(2)QUOTE＝2QUOTE………9分(3)∵λa＋b与a－3b相互垂直，∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝eq\f(4,7).………12分19．(本小题满分12分)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的部分图象如图所示．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,6)))时，求f(x)的取值范围．[解](1)由函数图象得A＝1，………1分eq\f(T,4)＝eq\f(2π,3)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，所以T＝2π，则ω＝1.………3分将点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，1))代入得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋φ))＝1，而－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,3)，………5分因此函数的解析式为f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))).………6分(2)由于－π≤x≤－eq\f(π,6)，－eq\f(2π,3)≤x＋eq\f(π,3)≤eq\f(π,6)，………9分所以－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))≤eq\f(1,2)，所以f(x)的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))).………12分20.(本小题满分12分)已知向量a＝(1,2sinθ)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))，1))，θ∈R.(1)若a⊥b，求tanθ的值；(2)若a∥b，且θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求θ的值．[解](1)因为a⊥b，所以a·b＝0，所以2sinθ＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝0，………2分即eq\f(5,2)sinθ＋eq\f(\r(3),2)cosθ＝0.………4分因为cosθ≠0，所以tanθ＝－eq\f(\r(3),5).………6分(2)由a∥b，得2sinθsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝1，………7分即2sin2θcoseq\f(π,3)＋2sinθcosθsineq\f(π,3)＝1，………8分即eq\f(1,2)(1－cos2θ)＋eq\f(\r(3),2)sin2θ＝1，整理得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，………10分又θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以2θ－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，………11分所以2θ－eq\f(π,6)＝eq\f(π,6)，即θ＝eq\f(π,6).……12分21.(本小题满分12分)已知A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，其中α，β为锐角，且|QUOTE|＝eq\f(\r(10),5).(1)求cos(α－β)的值；(2)若cosα＝eq\f(3,5)，求cosβ的值．[解](1)由|QUOTE|＝eq\f(\r(10),5)，得eq\r((cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2)＝eq\f(\r(10),5)，……2分∴2－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝eq\f(2,5)，∴cos(α－β)＝eq\f(4,5).………4分(2)∵cosα＝eq\f(3,5)，cos(α－β)＝eq\f(4,5)，α，β为锐角，∴sinα＝eq\f(4,5)，sin(α－β)＝±eq\f(3,5).………6分当sin(α－β)＝eq\f(3,5)时，cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝eq\f(24,25).………9分当sin(α－β)＝－eq\f(3,5)时，cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝0.∵β为锐角，∴cosβ＝eq\f(24,25).………12分22.(本小题满分12分)已知向量a＝(sinωx＋cosωx，sinωx)，向量b＝(sinωx－cosωx，2eq\r(3)cosωx)，设函数f(x)＝a·b＋1(x∈R)的图象关于直线x＝eq\f(π,3)对称，其中常数ω∈(0，2).(1)求函数f(x)的单调递减区间；；(2)将函数f(x)的图象向左平移eq\f(π,12)个单位，再向下平移1个单位，得到函数g(x)的图象，求出函数g(x)对称中心．[解](1)∵向量a＝(sinωx＋cosωx，sinωx)，向量b＝(sinωx－cosωx，2eq\r(3)cosωx)，∴f(x)＝a·b＋1＝sin2ωx－cos2ωx＋2eq\r(3)sinωxcosωx＋1＝eq\r(3)sin2ωx－cos2ωx＋1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx－\f(π,6)))＋1.………3分∵图象关于直线x＝eq\