专题 一次函数与方案选择问题（六大题型）（解析版）

（苏科版）八年级上册数学《第6章一次函数》专题一次函数与方案选择设计问题★★★★★★方法指引：◆1、选择方案是指某一问题中，符合条件的方案有多种，一般要利用数学知识经过分析、猜想、判断筛选出最佳方案的过程，此类问题往往要求所设计的问题中出现路程最短、运费最少、效率最高等词语，解题时常常与函数、不等式、几何知识联系在一起.◆2、在实际问题中，运用一次函数选择最佳方案的一般步骤为：①从数学的角度分析实际问题，建立函数模型（往往有两个及两个以上模型）；②列出关系式，在自变量取不同值时比较对应函数值的大小关系；③结合实际需求,选择最佳方案.◆3、一次函数可以解决生产实践、日常生活中的很多实际问题：①应用一次函数和一元一次方程可以解决行程、面积等实际问题；②应用一次函数和一元一次不等式(组)可以解决生产安排、分工、运输等实际问题；③应用一次函数和二元一次方程组可以解决实际问题中评估、方案选择、决策等问题.题型一方案的选择与设计问题---购买方案题型一方案的选择与设计问题---购买方案购买方案【例题1】（2023春•裕华区期末）某学校积极响应合肥市“争创全国文明典范城市”的号召，绿化校园，美化校园，计划购进A，B两种树苗，共45棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵50元．设购买A种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元．（1）求y与x的函数表达式；（2）若购买A种树苗的数量不少于B种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．【分析】（1）购买两种树苗所需费用＝购买A种树苗的费用+购买B种树苗的费用；（2）根据题目中的不等关系求得x的取值范围，再利用一次函数的性质取y的最小值．【解答】解：（1）根据题意，得：y＝80x+50（45﹣x）＝30x+2250，所以函数解析式为：y＝30x+2250．（2）∵购买A种树苗的数量不少于B种树苗的数量，∴x≥45﹣x．解得：x≥22.5．又∵k＝30＞0，y随x的增大而增大，且x取整数，∴当x＝23时，y最小值＝2940．∴费用最省的方案是购买A种树苗23棵，B种树苗22棵，所需费用为2940元．【点评】本题主要考查了一次函数的应用以及一元一次不等式的应用．依据得出y与x的函数表达式是解题的关键．【变式1-1】（2022春•临沭县期末）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援．”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．（1）求出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于50千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？最少是多少元？【分析】（1）由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．（2）购进甲种水果为x千克，则购进乙种水果（100﹣x）千克，根据实际意义可以确定x的范围，结合付款总金额（元）与种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少．【解答】解：（1）当0≤x≤50时，设y＝k1x（k1≠0），根据题意得50k1＝1500，解得k1＝30；∴y＝30x；当x＞50时，设y＝k2x+b（k2≠0），根据题意得，50k解得：k2∴y＝24x+300．∴y=30x(0≤x≤50)（2）购进甲种水果为x千克，则购进乙种水果（100﹣x）千克，∴50≤x≤60，w＝24x+300+25（100﹣x）＝﹣x+2800．∵﹣1＜0∴y随x的增大而减小，∴当x＝60时，wmin＝2740元，此时乙种水果100﹣60＝40（千克）．答：购进甲种水果为60千克，购进乙种水果40千克，才能使经销商付款总金额w（元）最少，最少是2740元．【点评】本题主要考查了一次函数的图象以及一元一次不等式组的应用．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．【变式1-2】（2023•雁塔区校级模拟）今年的春节假期是文旅行业近三年来最火爆的一年，西安作为十三朝古都，由于其悠久的历史无疑成为最具吸引力的旅游城市之一．西安某景点的A、B两种纪念品深受广大游客们的喜爱，经过了解发现，A种纪念品的进价为11元/件，B种纪念品的进价为13元/件．若某商店决定要购进A、B两种纪念品共300件，设购进A种纪念品x件，购进这300件纪念品所需总费用为y元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该店进货时，厂家要求A种纪念品的数量不超过B种纪念品的一半，试问如何购进A、B两种纪念品使得所需总费用最低，并说明理由．【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以写出y与x之间的函数关系式；（2）根据厂家要求A种纪念品的数量不超过B种纪念品的一半，可以得到x的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到如何购进A、B两种纪念品使得所需总费用最低．【解答】解：（1）由题意可得，y＝11x+13（300﹣x）＝﹣2x+3900，即y与x之间的函数关系式是y＝﹣2x+3900；（2）当购进A种纪念品100件，B种纪念品200件时，所需总费用最低，理由：由（1）可得，y＝﹣2x+3900，∴y随x的增大而减小，∵厂家要求A种纪念品的数量不超过B种纪念品的一半，∴x≤12（300﹣解得x≤100，∴当x＝100时，y取得最小值，此时y＝3700，300﹣x＝200，∴当购进A种纪念品100件，B种纪念品200件时，所需总费用最低．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，列出相应的不等式，利用一次函数的性质求最值．【变式1-3】（2023秋•福田区校级期中）我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售；方案乙：按购买金额打9折付款．学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球x（x≥10）盒．（1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额y甲（元），y乙（元）与x（盒）之间的函数关系式．（2）如果学校需要购买15盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？（3）如果学校提供经费为1800元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？【分析】（1）根据购买费用＝单价×数量建立关系就可以表示出y甲、y乙的解析式；（2）根据（1）中解析式，将x＝15代入分别求出，比较即可；（3）分三种情况进行讨论计算求出需要的费用，再进行比较就可以求出结论．【解答】解：（1）由题意得：y甲＝10×80+25（x﹣10）＝25x+550，y乙＝25×0.9x+80×0.9×10＝22.5x+720，（2）根据（1）中解析式，y甲＝25x+550，y乙＝22.5x+720，当x＝15时y甲＝25×15+550＝925（元），y乙＝22.5×15+720＝1057.5（元），∵925＜1057.5，∴方案甲更省钱；（3）根据（1）中解析式，y甲＝25x+550，y乙＝22.5x+720，当y甲＝1800元时，1800＝25x+550，解得：x＝50，当y乙＝1800元时，1800＝22.5x+720，解得：x＝48，∵50＞48，∴学校提供经费为1800元，选择方案甲能购买更多乒乓球．【点评】本题考查一次函数的实际应用以及方案设计，理清数量关系是解决问题的关键．【变式1-4】（2023•衢州模拟）三八节即将到来，小红打算买一束康乃馨和百合组合的鲜花送给妈妈，已知买2支康乃馨和3支百合需21元，3支康乃馨和2支百合需19元．（1）买1支康乃馨和1支百合各需多少元？（2）小红准备买康乃馨和百合共12支，且百合花的支数不少于康乃馨的12，设买这束鲜花所需费用w元，康乃馨有x支，求w与x【分析】（1）根据买2支康乃馨和3支百合需21元，3支康乃馨和2支百合需19元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；（2）根据题意和题目中的数据，可以写出w与x之间的函数关系式，然后根据百合花的支数不少于康乃馨的12，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到w【解答】解：（1）设买1支康乃馨需要a元，买1支百合需要b元，由题意可得：2a+3b=213a+2b=19解得a=3b=5答：买1支康乃馨需要3元，买1支百合需要5元；（2）由题意可得，w＝3x+5（12﹣x）＝﹣2x+60，∴w随x的增大而减小，∵百合花的支数不少于康乃馨的12∴12﹣x≥12解得x≤8，∴当x＝8时，w取得最小值，此时w＝44，12﹣x＝4，答：w与x之间的函数关系式是w＝﹣2x+60，费用最少的买花方案是买康乃馨8支，买百合4支．【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．【变式1-5】（2023•文山州二模）某中学开展了关于“构建书香校园”的读书活动，以建设书香校园、和谐校园为目标，引领广大师生“走进五千年文明，品读祖国经典文章”．学校计划采购两类图书，通过市场了解到每套A类图书的价格是每套B类图书价格的1.5倍，用4000元购买的B类图书比用3000元购买的A类图书多20套．（1）A、B两类图书每套分别是多少元？（2）现学校计划采购60套图书，且A类图书的数量不低于B类图书数量的一半，该校应该如何采购两类图书才能使得总费用最低，并求出最低费用．【分析】（1）设B种图书每套x元，则A种图书每套1.5x元，根据用4000元购买的B种图书比用3000元购买的A种图书多20套列出方程，解方程即可，注意验根；（2：设学校购买A种图书a套，则购买B种图书（60﹣a）套，购买图书的总费用为y元，根据总费用＝两种图书费用之和列出函数解析式，再根据A种图书数量不低于B种图书数量的一半求出a的取值范围，由函数的性质求最值．【解答】解：（1）设B种图书每套x元，则A种图书每套1.5x元，根据题意得：4000x解得x＝100，经检验，x＝100是原方程的解，此时1.5x＝150，答：A种图书每套150元，B种图书每套100元；（2）设学校购买A种图书a套，则购买B种图书（60﹣a）套，购买图书的总费用为y元，由题意得：y＝150a+100（60﹣a）＝50a+6000，∵50＞0，∴y随x的增大而增大，∵A种图书数量不低于B种图书数量的一半，∴a≥12（60﹣解得a≥20，∴当a＝20时，y最小，最小值为7000，此时60﹣20＝40（套），答：学校购买A种图书20套，则购买B种图书40套时，总费用最低，最低费用为7000元．【点评】本题考查一次函数的应用，分式方程的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，关键是找到数量关系列出函数解析式或方程和不等式．【变式1-6】（2022秋•东阳市期末）某校为“防疫知识小竞赛”准备奖品，购进A，B两种文具共40件作为奖品，设购进A种文具x件，总费用为y元．已知A、B文具的费用与x的部分对应数据如下表．x（件）81012A种文具费用（元）120150bB种文具费用（元）640a560（1）将表格补充完整：a＝；b＝；（2）求y关于x的函数表达式．（3）当A种文具的费用不大于B种文具的费用时，求总费用y的最小值．【分析】（1）根据表格中的数据，可以先计算出A种文具的单价，然后再计算出B种文具的单价，再计算a和b的值即可；（2）根据题意和（1）中两种文具的单价，可以写出y与x的函数关系式；（3）根据题意，可以得到相应的不等式，然后求出x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到y的最小值．【解答】解：（1）由表格可得，A种文具每件的价格为：120÷8＝15（元），B种文具每件的价格为：640÷（40﹣8）＝20（元），则a＝20×（40﹣10）＝600，b＝12×15＝180，故答案为：600，180；（2）设购进A种文具x件，则购进B种文具（40﹣x）件，由题意可得：y＝15x+20（40﹣x）＝﹣5x+800，即y关于x的函数表达式是y＝﹣5x+800；（3）∵A种文具的费用不大于B种文具的费用，∴15x≤20（40﹣x），解得x≤2267∵y＝﹣5x+800，∴y随x的增大而减小，∴当x＝22时，y取得最小值，此时y＝690，答：总费用y的最小值是690．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式和不等式，利用一次函数的性质求最值．【变式1-7】（2023春•涪城区期末）花卉基地出售两种盆栽花卉：太阳花6元/盆，绣球花10元/盆．若一次购买的绣球花超过20盆时，超过20盆部分的绣球花价格打8折．（1）（2）分别写出两种花卉的付款金额y（元）关于购买量x（盆）的函数解析式；（3）为了美化环境，花园小区计划到该基地购买这两种花卉共90盆，其中太阳花数量不超过绣球花数量的一半．两种花卉各买多少盆时，总费用最少，最少费用是多少元？【分析】（1）设绣球花买了x盆，则太阳花买了（60﹣x）盆，根据题意可知x＞20，再根据“总价＝单价×数量”列方程解答即可；（2）首先根据总价＝单价×数量，求出太阳花的付款金额y（元）关于购买量x（盆）的函数解析式；然后分两种情况：①一次购买的绣球花不超过20盆；②一次购买的绣球花超过20盆；根据总价＝单价×数量，求出绣球花的付款金额y（元）关于购买量x（盆）的函数解析式即可．（3）首先太阳花数量不超过绣球花数量的一半，可得太阳花数量不超过两种花数量的13，即太阳花数量不超过30盆，所以绣球花的数量不少于60盆；然后设太阳花的数量是x盆，则绣球花的数量是（90﹣x【解答】解：（1）设绣球花买了x盆，则太阳花买了（60﹣x）盆，根据题意可知x＞20，可得：6（60﹣x）+20×10+10×0.8×（x﹣20）＝460，解得x＝30，60﹣30＝30（盆），答：太阳花和绣球花各买了30盆；（2）太阳花的付款金额y（元）关于购买量x（盆）的函数解析式是：y＝6x，①一次购买的绣球花不超过20盆时，付款金额y（元）关于购买量x（盆）的函数解析式是：y＝10x（x≤20），②一次购买的绣球花超过20盆时，付款金额y（元）关于购买量x（盆）的函数解析式是：y＝10×20+10×0.8×（x﹣20），＝200+8x﹣160，＝8x+40，综上，可得，绣球花的付款金额y（元）关于购买量x（盆）的函数解析式是：y=10x(x≤20)（3）根据题意，可得太阳花数量不超过：90×1所以绣球花的数量不少于：90﹣30＝60（盆），设太阳花的数量是x盆，则绣球花的数量是（90﹣x）盆，购买两种花的总费用是y元，其中x≤30，90﹣x≥60，则y＝6x+[8（90﹣x）+40]，＝6x+[760﹣8x]，＝760﹣2x，此时当x＝30时，ymin＝760﹣2×30＝700（元），综上所述，太阳花30盆，绣球花60盆时，总费用最少，最少费用是700元．【点评】此题主要考查了一次函数解析式的求法，以及一次函数的最值的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．此题还考查了单价、总价、数量的关系：总价＝单价×数量，单价＝总价÷数量，数量＝总价÷单价，要熟练掌握．题型二方案的选择与设计问题--选择方案题型二方案的选择与设计问题--选择方案购买方案【例题2】（2023•秦都区校级一模）尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活动中表现优秀的同学，某班准备购买钢笔和笔记本作为奖品．某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．该班班长准备购买x支钢笔和（x+10）本笔记本，设选择第一种方案购买所需费用为y1元，选择第二种方案购买所需费用为y2元．（1）请分别写出y1，y2与x之间的关系式；（2）若该班班长准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠．【分析】（1）根据题意直接写出y1，y2与x之间的关系式；（2）把x＝10代入（1）中解析式求出y的值进行比较即可．【解答】解：（1）根据题意得：方案①：y₁＝15x+4×（x+10﹣x）＝15x+40；方案②：y₂＝{15x+4（x+10）]×80%＝15.2x+32．∴y₁与x之间的关系式为y1＝15x+40，y2与x之间的关系式为y2＝15.2x+32；（2）当x＝10时，y1＝15×10+40＝190；y2＝15.2×10+32＝184，∵190＞184，∴选择方案②更为优惠．【点评】本题考查一次函数的应用，关键是求出y1，y2与x之间的关系式．【变式2-1】（2023秋•蜀山区校级期中）某校需要采购一批办公桌，A，B两家器材公司都愿意成为这批办公桌的供应商．经了解，两家公司生产的办公桌的质量和单价都相同，即每张办公桌500元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是所有办公桌按单价打九折，但校方需承担1000元的运费；B公司的优惠条件是每张办公桌的售价不变，但公司承担运费．设该校需要采购x张办公桌，去A公司购买所付的总费用为y1元，去B公司购买所付的总费用为y2元．（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式．（2）问该校选择哪家公司来购买办公桌比较合算？请说明理由．【分析】（1）根据总价＝单价×数量（+运费），可分别求出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）根据（1）的结论列方程或不等式解答即可．【解答】解：（1）由题意，得y1＝500×0.9x+1000＝450x+1000；y2＝500x；（2）当y1＝y2时，450x+1000＝500x，解得：x＝20．即学校购买的办公桌数量为20时，去A、B两家器材公司购买所需费用相同；当y1＞y2时，450x+1000＞500x，解得x＜20，即学校购买的办公桌数量小于20时，去B两家器材公司购买所需费用较少；当y1＜y2时，450x+1000＜500x，解得x＞20，即学校购买的办公桌数量多于20时，去A两家器材公司购买所需费用较少．【点评】本题考查了一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，根据题意得出y1，y2与x之间的函数关系式是解答本题的关键．【变式2-2】（2022秋•大丰区期末）某中学计划寒假期间安排4名老师带领部分学生参加红色旅游．甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人1000元．经协商，甲旅行社的优惠条件是：老师、学生都按八折收费；乙旅行社的优惠条件是：四位老师全额收费，学生都按七折收费．（1）设参加这次红色旅游的老师和学生共有x名，y甲，y乙（单位：元）分别表示选择甲、乙两家旅行社所需的费用，求y甲，y乙关于x的函数解析式；（2）若该校共有30名老师和学生参加活动，则选择哪家旅行社支付的旅游费用较少？【分析】（1）甲旅行社需要的费用为：0.8×1000x，；乙旅行社的收费为：2×1000+0.75×1000×（x﹣2）；（2）将x＝30分别代入（1）求得的函数解析式，计算即可求解．【解答】解：（1）y甲＝0.8×1000x＝800x，y乙＝4×1000+0.7×1000×（x﹣4）＝700x+1200；（2）当x＝30时，y甲＝800x＝800×30＝24000，y乙＝700x+1200＝700×30+1200＝22200，y甲＞y乙，答：选择乙旅行社支付的旅游费用较少．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，得出相应的函数解析式．【变式2-3】（2023秋•西安期中）紫阳富硒茶是陕西省著名特产茶叶，此茶叶硒元素含量高，具有特种保健功效．某公司采购员到紫阳茶叶市场购买该种茶叶，商家推出了两种购买方式：会员卡费用（元/张）茶叶价格（元/kg）方式一：金卡会员5001300方式二：银卡会员2001500设该公司此次购买茶叶xkg，按方式一购买茶叶的总费用为y1元，按方式二购买茶叶的总费用为y2元．（1）分别求出y1，y2与x之间的关系式；（2）若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购买茶叶的质量；（3）若该公司此次购买茶叶的总预算为5375元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶？【分析】（1）根据方式一、方式二的总费用的组成列式即可；（2）根据方式一、方式二的费用相等列出方程，解方程即可；（3）把y＝5375分别代入方式一、方式二的解析式中求出x，然后比较即可．【解答】解：（1）根据题意得：y1＝500+1300x，y2＝200+1500x，∴y1关于x的函数解析式为y1＝500+1300x，y2关于x的函数解析式为y2＝200+1500x；（2）根据题意得：500+1300x＝200+1500x，解得x＝1.5，答：该公司此次购买茶叶的质量为1.5kg．（3）方式一：500+1300x＝5375，解得x=15方式二：200+1500x＝5375，解得x=69∵154∴按照方式一购买可以获得更多的茶叶．【点评】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两种方式的费用表达式是解题的关键．【变式2-4】（2023秋•中原区校级期中）从2024年起，郑州市中招体育考试总分将提高至100分，为了适应新的中考要求，学校准备从网上订购一批足球和跳绳，网络搜索后发现足球每个定价150元，跳绳每条定价30元，现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．A网店：买一个足球送一条跳绳；B网店：足球和跳绳都打九折．已知要购买足球60个，跳绳x条（x＞60）．（1）分别求出在A，B两家网店购买所需的费用yA和yB；（2）若yA＝yB，求出x的值；（3）试从函数图象的角度说明何时在哪家网店购买更划算？【分析】（1）根据题意写出yA和yB关于x的函数解析式；（2）令yA＝yB，解方程即可；（3）画出函数简图，由图象得出结论．【解答】解：（1）由题意得：yA＝150×60+30（x﹣60）＝30x+7200；yB＝150×60×0.9+30x×0.9＝27x+8100．∴yA＝30x+7200；yB＝27x+8100；（2）令yA＝yB，30x+7200＝27x+8100，解得x＝300；（3）画出yA，B关于x的函数图象，由图象可知，当x＜300时，到A店买更合算；当x＞300时，到B店买更合算；当x＝300时，到A，B买一样合算．【点评】本题考查了一次函数的应用，关键是写出函数解析式．【变式2-5】（2022秋•海曙区期末）随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题．（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）求出入园多少次时，两者花费一样？费用是多少？（3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？【分析】（1）运用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式；（2）根据（1）的结论联立方程组解答即可；（3）分别令（1）中的y＝240，求出对应的x的值，再比较即可．【解答】解：（1）设y甲＝k1x，根据题意得4k1＝80，解得k1＝20，∴y甲＝20x；设y乙＝k2x+80，根据题意得：12k2+80＝200，解得k2＝10，∴y乙＝10x+80；（2）解方程组y=20x解得：x=8y=160∴出入园8次时，两者花费一样，费用是160元；（3）当y＝240时，y甲＝20x＝240，∴x＝12；当y＝240时，y乙＝10x+80＝240，解得x＝16；∵12＜16，∴选择乙种更合算．【点评】本题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得出正确信息是解题关键．【变式2-6】（2022春•潼南区期末）某校组队参加庆祝中国共青团成立100周年经典诵读比赛，需要为参赛选手每人配备一个朗诵文件夹．已知甲、乙两家店铺销售同款文件夹，原价相同，但销售方式不同，在甲店铺，无论一次性购买多少个文件夹，一律打8.5折；在乙店铺，当购买数量不超过30个时，按原价出售，当购买数量超过30个时，超过的部分打7折．设该校需购买x个朗诵文件夹，在甲店铺购买所需的费用为y1元，在乙店铺购买所需的费用为y2元，y1，y2关于x的函数图象如图所示．（1）分别求出y1，y2关于x的函数解析式；（2）求图中m的值，并说明m的实际意义；（3）若该学校一次性购买朗诵文件夹的数最超过40个，但不超过90个，到哪家店铺购买更优惠？【分析】（1）根据甲、乙商店的不同销售方案，可得关系式，注意乙商店的；（2）根据等量关系：甲商店所需费用＝乙商店所需费用，列出方程并求解即可；（3）注意分情况讨论，当172m＝7m+90时，当172m＜7m+90时，当172m【解答】解：（1）文件夹的原价：300÷30＝10（元），30个文件夹的价格：30×10×0.85＝255（元），由题意得，设y1＝kx，把（30，255）代入得，k=17∴y1=172当0≤x≤30时，设y2＝kx，把（30，300）代入得，k＝10，∴y2＝10x；当x＞30时，y2＝10×30+10×0.7×（x﹣30）＝7x+90，∴y2=10x(0≤x≤30)答：y1关于x的函数解析式是y1=172x，y2关于x的函数解析式是y2（2）当172m＝7m+90时，mm的实际意义是当购买60个朗诵文件夹时，甲乙两家商店花费相同．（3）当172x＝7x+90时，即x当172x＜7x+90时，即40＜x当172x＞7x+90时，即60＜x【点评】本题考查了一次函数和一元一次方程的应用．题目难度不大．理解两个店铺不同的销售方案是解决本题的关键．【变式2-7】（2023春•农安县期中）某人需要经常去复印资料．甲复印社直接按每次印的张数计费，乙复印社可以加入会员，但需按月付一定的会员费．两复印社每月的收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题；（1）乙复印社要求客户每月支付的会员费是元；（2）求出乙复印社收费y（元）关于复印量x（页）的函数解析式；（3）当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同？（4）如果每月复印210页，应选择哪家复印社？【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以直接写出乙复印社要求客户每月支付的承包费是多少元；（2）先设出乙复印社一次函数解析式，用待定系数法可以求得，再说明一次项系数的实际意义；（3）先求得甲复印社对应的函数关系式，然后令两个解析式的函数值相等，即可求得当复印多少页时，两复印社实际收费相同；（4）将x＝210代入（2）（3）中的函数解析式，然后比较它们的大小，即可解答本题．【解答】解：（1）由图可知，乙复印社要求客户每月支付的承包费是18元；故答案为：18；（2）设乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式为y＝kx+b，把（0，18）和（50，22）代入解析式，得：b=1850k+b=22解得：k=0.08b=18∴乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式为y＝0.08x+18；（3）由（1）知，甲复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式为y＝0.2x，令0.2x＝0.08x+18，解得，x＝150，答：当每月复印150页时，两复印社实际收费相同；（4）当x＝210时，甲复印社的费用为：0.2×210＝42（元），乙复印社的费用为：0.08×210+18＝34.8（元），∵42＞34.8，∴当x＝210时，选择乙复印社．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．题型三方案的选择与设计问题--租车方案题型三方案的选择与设计问题--租车方案购买方案【例题3】（2022秋•金水区校级期末）2022年秋，郑州新冠疫情牵动全国，社会各界筹集的医用，建设等物资不断从各地向郑州汇集．这期间，恰逢春节承运资源短缺，紧急情况下，多家物流企业纷纷开通特别通道，驰援郑州，为生产药品，口罩，医疗器械等紧急物资的企业提供全方位支持．已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨，某物流公司计划租用这两种车辆运输物资．根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？（2）若A型车每辆需租金90元/次，B型车每辆需租金110元/次．物流公司计划共租用8辆车，请写出总租车费用w（元）与租用A型车数量a（辆）的函数关系式．（3）如果汽车租赁公司的A型车只剩了6辆，B型车还有很多．在（2）的条件下，请选出最省钱的租车车方案，并求出最少租车费用．【分析】（1）设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨、y吨，根据用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨列出方程组，解之即可；（2）用A型车和B型车的总费用相加即可；（3）求出a的范围，根据一次函数的性质求解即可．【解答】解：（1）设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨、y吨，由题意得：2x+y=10x+2y=11解得x=3y=4∴1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨、4吨．（2）由题意可得：w＝90a+110（8﹣a）＝﹣20a+880；（3）在一次函数w＝﹣20a+880中，∵﹣20＜0，∴w随a的增大而小；由题意知：a≤6，则当a＝6时，总租车费用最少，最少费用为：w＝﹣20×6+880＝760．8﹣6＝2．∴最省钱的租车方案为租6辆A型车，2辆B型车，租车费用最少，最少费用为760元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是正确列出方程组和一次函数表达式．【变式3-1】（2022春•雁塔区校级期末）某中学参加“喜迎二十大，永远跟党走”暨“红领巾，手拉手一一我在西安有个家”陕藏家庭结对活动，该中学七年级共430名师生，计划租用8辆客车，现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表：甲种客车乙种客车载客量（座/辆）6045租金（元/辆）550450（1）设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．求出y与x之间的函数表达式；（2）当甲种客车有多少辆时，能保障所有的师生能参加结对活动且租车费用最少，最少费用是多少元？【分析】（1）根据表格可以求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式；（2）由表格中的数据可以得到甲乙两辆车的载客量应至少为430人，从而可以列出相应的不等式得到x的值，因为x为整数，从而可以解答本题．【解答】解：（1）由题意，得y＝550x+450（8﹣x），化简，得y＝100x+3600，∴y与x之间的函数表达式是y＝100x+3600；（2）由题意，得：60x+45（8﹣x）≥430，解得：x≥14∵y＝100x+3600，x为整数，∵100＞0，∴y随x的增大而增大，∴x＝5时，租车费用最少，最少为100×5+3600＝4100（元），即租甲种客车5辆，乙种客车3辆时，能保障所有的师生能参加活动且租车费用最少，最少费用是4100元．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．【变式3-2】（2022秋•双流区期末）临近春节，各大商场内虎年吉祥物、红灯笼、春联等商品需求量大增，各大工厂为应对“年货”模式，提高商品生产量以满足广大群众的需求．某工厂计划租用A、B两种型号的货车运送一批年货商品到外地进行销售，已知3辆A型货车和4辆B型货车一次可以运送850箱商品，6辆A型货车和5辆B型货车一次可以运送1400箱商品．（1）求一辆A型货车和一辆B型货车一次分别可以运送多少箱商品；（2）工厂计划租用A、B两种型号的货车共15辆，A型货车的租车费用为每辆500元，B型货车的租车费用为每辆300元，若运送的商品不少于1850箱，且租车费用小于6500元，请问工厂应该选择哪种租车方案所需费用最少，最少费用是多少元？【分析】（1）设一辆A型货车一次可以运送a箱，一辆B型货车一次可以运送b箱商品，根据题意可列出二元一次方程组，解之即可；（2）设租用A种型号货车x辆，则租用B型货车（15﹣x）辆，租车费为w元，根据题意列出不等式组，解之即可．【解答】解：（1）设一辆A型货车一次可以运送a箱，一辆B型货车一次可以运送b箱商品，根据题意可得，3a+4b=8506a+5b=1400，解得a=150∴一辆A型货车一次可以运送150箱，一辆B型货车一次可以运送100箱商品．（2）设租用A种型号货车x辆，则租用B型货车（15﹣x）辆，租车费为w元∴w＝500x+300（15﹣x）＝200x+4500，根据题意可得，150x+100(15−x)≥1850200x+4500＜6500解得7≤x＜10且x为整数，∵200＞0，∴w随x的增大而增大，∴当x＝7时，w最小，此时15﹣x＝8，w＝200×7+4500＝5900（元），∴租用A种型号货车7辆，则租用B型货车8辆，租车费用最少，为5900元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出不等式组．【变式3-3】（2022秋•简阳市期末）今年夏天成都突发新冠疫情，“巴蜀儿女，命运与共；'疫'无反顾，共克时艰．”按照成都市应对新型冠状病毒肺炎疫情应急指挥部统一部署，我市将组织435名医务工作者前往支援，计划租用8辆客车，现有甲、乙两种型马客车，它们的载客量和租金如表：甲种客车乙种客车载客量（座/辆）6045租金（元/辆）1080900（1）如果恰好一次性将435名医务工作者送往成都，应安排租用甲、乙两种车各几辆？（2）设租用甲种客车m辆，租车总费用为w元．①求出w（元）与m（辆）之间的函数表达式；②当甲种客车有多少辆时，能保障所有的医务工作者都能被送往成都且租车费用最少，最少费用是多少元？【分析】（1）根据题意先设未知数，然后根据题中的等量关系列出方程组，解出方程的解即可；（2）①根据题意先写出租用的乙车数量，然后根据能保障所有的医务工作者都能被送往成都，可列出不等式组，解出m的取值范围，再根据两种客车的租金即可写出w（元）与m（辆）之间的函数表达式；②根据一次函数的增减性即可求出w的最小值．【解答】解：（1）设租用甲种客车x辆，乙种可车y辆，根据题意可列方程组为：x+y=860x+45y=435，解得：x=5答：租用甲种客车5辆，乙种可车3辆；（2）①根据题意可得：租用乙种客车（8﹣m）辆，且8−m≥060m+45(8−m)≥435，解得：5≤m根据图表可得：w＝1080m+900（8﹣m），整理得：w＝180m+7200，∴w（元）与m（辆）之间的函数表达式为：w＝180m+7200（5≤m≤8）；②由①可知w＝180m+7200，∵180＞0，∴w随m的增大而减小，∵5≤m≤8，∴当m＝5，w有最小值，此时最小值＝8100，答：当甲车租用5辆时，能保障所有的医务工作者都能被送往成都且租车费用最少，最少费用为8100元．【点评】本题考查的是一次函数的应用，解题关键：一是根据等量关系列出方程组，二是掌握函数的增减性．【变式3-4】（2023秋•淮北期中）2023年暑假，多地发生水灾，某企业组织了20辆货车装运甲、乙、丙三种共120吨救援物资前往灾区，按计划20辆货车都要装运，每辆货车只能装运同一种物资且必须装满．已知每辆货车单独装甲种物资可装8吨，单独装乙种物资可装6吨，单独装丙种物资可装5吨．（1）设装运甲种物资的车辆数为x辆，装运乙种物资的车辆数为y辆，求y与x之间的函数关系式；（2）如果装运每种物资的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有哪几种？（3）若购买甲种物资需每吨3万元，乙种物资每吨4万元，丙种物资每吨2万元，在（2）的条件下，该公司此次购买捐赠物资至少花费多少万元？【分析】（1）设装运甲种物资的车辆数为x辆，装运乙种物资的车辆数为y辆，则装运丙种物资的车辆为（20﹣x﹣y）辆，根据“甲、乙、丙三种共120吨救援物资前往灾区”得出8x+6y+5（20﹣x﹣y）＝120，整理即可得到答案；（2）根据装运每种物资的车辆都不少于3辆，可得一元一次不等式，解不等即可得到答案；（3）设该公司此次购买捐赠物资花费w万元，由题意得：w＝8x×3+6（20﹣3x）×4+5×2x×2＝﹣28x+480，再根据一次函数的性质进行计算即可得到答案．【解答】解：（1）设装运甲种物资的车辆数为x辆，装运乙种物资的车辆数为y辆，则装运丙种物资的车辆为（20﹣x﹣y）辆，根据题意得：8x+6y+5（20﹣x﹣y）＝120，解得：y＝﹣3x+20，∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣3x+20；（2）由（1）得：装运甲种物资的车辆数为x辆，装运乙种物资的车辆数为（20﹣3x）辆，则装运丙种物资的车辆为2x辆，由题意得：x≥320−3x≥3解得：3≤x≤17∵x为整数，∴x的值为3，4，5，∴安排方案有3种：①装运甲种物资的车辆数为3辆，装运乙种物资的车辆数为11辆，则装运丙种物资的车辆为6辆；②装运甲种物资的车辆数为4辆，装运乙种物资的车辆数为8辆，则装运丙种物资的车辆为8辆；③装运甲种物资的车辆数为5辆，装运乙种物资的车辆数为5辆，则装运丙种物资的车辆为10辆；（3）设该公司此次购买捐赠物资花费w万元，由题意得：w＝8x×3+6（20﹣3x）×4+5×2x×2＝﹣28x+480，∵﹣28＜0，∴w随着x的增大而减小，∴当x＝5时，w最小＝﹣28×5+480＝340（万元），∴该公司此次购买捐赠物资花费340万元．【点评】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，找准变量之间的关系是解此题的关键．【变式3-5】（2022秋•吴兴区期末）依靠国家强有力的政策引导和全国人民的共同努力，我国的新冠疫情态势得到了有效控制．但当前疫情发展形势依旧严峻，常态化防控工作仍然不能松懈．为了打赢这场没有硝烟的战争，某公司积极响应国家号召，采购了口罩、防护服、消毒剂等医疗物资若干箱，进行物资援助．该公司计划租用某货运公司的A、B型两种货车共6辆完成物资运送，它们的载货量和租金如表：AB载货量（箱/辆）4530租金（元/辆）800550设租用A型货车x辆，根据要求回答下列问题：（1）用含有x的式子填写下表：车辆数（辆）载货量（箱）租金（元）Ax45x800xB（2）若保证租车费用不超过4550元，求x的最大值；（3）若该公司援助防疫物资共200箱，设这批物资的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并求出最少运费为多少元？【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以将表格补充完整；（2）根据题意，可以列出相应的不等式组，从而可以求得x的取值范围；（3）根据题意和题目中的数据，可以写出y与x之间的函数关系式，并求出最少运费．【解答】解：（1）由题意可得，车辆数（辆）载货量（箱）租金（元）Ax45x800xB6﹣x30（6﹣x）550（6﹣x）故答案为：6﹣x，30（6﹣x），550（6﹣x）；（2）由题意可知：800x+550（6﹣x）≤4550，解得x≤5，∴x的最大值是5；（3）由题意可得，y＝800x+550（6﹣x）＝250x+3300，∴y随x的增大而增大，∵45x+30（6﹣x）≥200，解得x≥4又∵x为整数，∴当x＝2时，y取得最小值，此时y＝3800，答：y与x之间的函数关系式是y＝250x+3300，最少运费为3800元．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，列出相应的不等式，利用一次函数的性质求最值．【变式3-6】某学校计划在总费用为3200元的限额内，租用汽车送312名学生和8名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有1名教师；现有甲乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表：甲种客车乙种客车载客量（单位：人/辆）4530租金（单位：元/辆）400280（1）通过计算与分析后，直接写出共需租用辆汽车；（2）求出有哪几种租车方案；（3）求出最节省的租车费用是多少元．【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以得到需要租用多少辆汽车，本题得以解决；（2）根据（1）中的结果和表格中的数据可以得到有几种租车方案，并写出相应的租车方案；（3）根据题意可以得到租车费用和租用甲种客车的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得到最节省的租车费用是多少元．【解答】解：（1）如果全部租用甲种客车，则需要（312+8）÷45＝719如果全部租用乙种客车，则需要（312+8）÷30＝1023∵汽车辆数为整数，且有8名教师，每辆汽车上至少要有1名教师，∴共租用8辆汽车，故答案为：8；（2）设租用x辆甲种客车，则租用乙种客车（8﹣x）辆，则租车费用y＝400x+280（8﹣x）＝120x+2240，∵45x+30(8−x)≥320400x+280(8−x)≤3200解得，513≤∵x为整数，∴x＝6或7或8，∴共有3种租车方案，方案一：6辆甲种客车，2辆乙种客车；方案二：7辆甲种客车，1辆乙种客车；方案三：8辆甲种客车；（3）∵y＝120x+2240中，k＝120＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x＝6时，y有最小值，最节省的租车费用是2960元，答：最节省的租车费用是2960元．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．题型四方案的选择与设计问题--利润方案题型四方案的选择与设计问题--利润方案购买方案【例题4】已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产甲、乙两种型号的时装共80套．已知做一套甲种型号的时装或一套乙种型号的时装所需A、B两种布料如下表：时装布料甲乙A种（米）0.61.1B种（米）0.90.4若销售一套甲种型号的时装可获利润45元，销售一套乙种型号的时装可获利润50元．设生产乙种型号的时装为x套，用这批布料生产这两种型号的时装利润为y元．（1）写出y（元）与x（套）的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）雅美服装厂在生产这批时装中，当生产两种型号的时装各多少套时，获得的总利润最大，最大利润是多少元？【分析】（1）生产这两种时装的利润＝生产甲的利润+生产乙时装的利润，然后化简得出函数关系式，再根据有A种布料70米，B种布料52米来判断出自变量的取值范围；（2）跟（1）中得出的函数式的性质来判定出哪种方案最好．【解答】解：（1）y＝50x+（80﹣x）×45y＝5x+36001.1x+0.6×（80﹣x）≤700.4x+0.9×（80﹣x）≤52故40≤x≤44；（2）y＝5x+3600图象成直线，是增函数，所以当x取最大值44时y有最大值，y＝5×44+3600＝3820．该服装厂在生产这批服装中，当生产乙型号44套，甲型号36套时，所获利润最多，最多是3820元．【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．【变式4-1】（2023•洛龙区一模）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个．（1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？（2）该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？【分析】（1）设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个（1﹣20%）x＝0.8x（元），根据同样花费320元，购进“天官”模型的数量比“神舟”模型多4个．列出方程，解方程即可，注意验根；（2）①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型（100﹣a）个，根据总利润＝两种模型利润之和列出函数解析式即可；②根据购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半求出a的取值范围，由函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个（1﹣20%）x＝0.8x（元），根据题意得：320x解得x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，且符合实际意义，0.8x＝16（元），答：“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元；（2）①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型（100﹣a）个，则w＝（35﹣20）a+（25﹣16）（100﹣a）＝6a+900，∴w与a的函数关系式为w＝6a+900；②∵购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半，∴a≤12（100﹣解得a≤100∵w＝6a+900，4＞0，a是正整数，∴当a＝33时，w最大，最大值为1098，答：购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是1098元．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和分式方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程．【变式4-2】（2023•秦都区校级模拟）某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示：AB进价（万元/套）32.4售价（万元/套）3.32.8（1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？（2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套（10≤m≤20），当把购进的两种多媒体全部售出，求购进A种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；（2）根据题意可以写出利润与m的函数关系式，然后根据m的取值范围和一次函数的性质，可以求得利润的最大值．【解答】解：（1）设购进A种多媒体a套，B种多媒体b套，由题意可得：a+b=503a+2.4b=132解得a=20b=30答：购进A种多媒体20套，B种多媒体30套；（2）设利润为w元，由题意可得：w＝（3.3﹣3）m+（2.8﹣2.4）×（50﹣m）＝﹣0.1m+20，∴w随m的增大而减小，∵10≤m≤20，∴当m＝10时，w取得最大值，此时w＝19，答：购进A种多媒体10套时，能获得最大利润，最大利润是19万元．【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．【变式4-3】（2022秋•无为市月考）某蔬菜生产基地组织10辆汽车装运黄瓜、西红柿、卷心菜三种蔬菜共60吨去外地销售，要求10辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种蔬菜，且装运每种蔬菜的车辆均不少于2辆，其他信息如下表所示：黄瓜西红柿卷心菜每辆汽车载货量（吨）765每吨蔬菜获利（万元）0.150.20.1（1）设装运黄瓜的车辆为x辆，装运西红柿的车辆为y辆，求y与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围．（2）怎样安排车辆能使此次销售利润w最大？并求出w的最大值．【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以写出y与x之间的函数表达式，再根据每辆汽车只能装运同一种蔬菜，且装运每种蔬菜的车辆均不少于2辆，即可得到x的取值范围；（2）根据题意和（1）中的结果，可以写出w与x的函数关系式，再根据一次函数的性质，即可得到怎样安排车辆能使此次销售利润w最大，并求出w的最大值．【解答】解：（1）由题意可得，7x+6y+5（10﹣x﹣y）＝60，化简，得：y＝10﹣2x，∵装运每种蔬菜的车辆均不少于2辆，∴2≤x≤10−42≤10−2x≤10−4解得2≤x≤4，即y与x的函数关系式为y＝10﹣2x（2≤x≤4）；（2）由题意可得，w＝0.15×7x+0.2×6（10﹣2x）+0.1×5[10﹣x﹣（10﹣2x）]＝﹣0.85x+12，∴w随x的增大而减小，∵2≤x≤4，∴当x＝2时，w取得最大值，此时w＝10.3，10﹣2x＝6，10﹣2﹣6＝2，答：安排装运黄瓜的车2辆，装运西红柿的车6辆，装运卷心菜的车2辆销售利润w最大，w的最大值为10.3．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．【变式4-4】（2022春•茌平区期末）北京冬奥会期间，某商店为专注冬奥的商机决定购进A、B两款“冰墩墩、雪容融”纪念品，若购进A款纪念品4件，B款纪念品6件，需要960元；若购进A款纪念品2件，B款纪念品5件，需要640元．（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进两种纪念品共100件，考虑到资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不能超过9920元，那么该商店最多可购进A纪念品多少件．（3）若销售每件A种纪念品每件可获利润30元，B种纪念品每件可获利润20元，在（2）中的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？【分析】（1）根据购进A款纪念品4件，B款纪念品6件，需要960元；购进A款纪念品2件，B款纪念品5件，需要640元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；（2）根据用于购买这100件纪念品的资金不能超过9920元和（1）中的结果，可以列出相应的不等式，从而可以得到该商店最多可购进A纪念品多少件；（3）根据题意和（2）中的结果，可以写出利润和购进A种纪念品数量的函数关系式，再根据一次函数的性质，即可得到在（2）中的各种进货方案中，哪一种方案获利最大，最大利润是多少元．【解答】解：（1）设购进A种纪念品每件a元，购进B种纪念品每件b元，由题意可得：4a+6b=9602a+5b=640解得a=120b=80答：购进A种纪念品每件120元，购进B种纪念品每件80元；（2）设购进A种纪念品x件，则购进B种纪念品（100﹣x）件，∵用于购买这100件纪念品的资金不能超过9920元，∴120x+80（100﹣x）≤9920，解得x≤48，∴x的最大取值为48，答：该商店最多可购进A纪念品48件；（3）设购进A种纪念品x件，利润为w元，由题意可得：w＝30x+20（100﹣x）＝10x+2000，∴w随x的增大而增大，∵x≤48，∴当x＝48时，w取得最大值，此时w＝2480，100﹣x＝52，答：当购进A种纪念品48件，B种纪念品52件时获利最大，最大利润是2480元．【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．【变式4-5】某书店决定用不多于20000元的资金购进甲、乙两种图书共1200本进行销售．已知甲、乙两种图书的进价分别为20元/本、14元/本，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在书店购买甲种图书，其购买本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本．（1）列方程求解：甲、乙两种图书的售价分别为每本多少元？（2）书店为了促销，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，设甲种图书进货数量为n本，两种图书全部售完后，所获总利润为W元．①求W与n的函数关系式．②书店应该如何进货，才能使购进的两种图书全部售完后，所获利润最大？【分析】（1）设乙种书售价为每本x元，可得1400x（2）①根据题意得W＝n+4800；根据用不多于20000元的资金购进甲、乙两种图书，有n≤16003；即得W＝n+4800（n≤1600②由一次函数的性质可得书店应该甲种图书进货533本，乙种图书进货667本，才能使购进的两种图书全部售完后，所获利润最大．【解答】解：（1）设乙种书售价为每本x元，则甲种书售价为每本1.4x元，由题意得1400x解得x＝20，经检验：x＝20是原方程的解，且符合题意，∴1.4x＝1.4×20＝28（元），答：甲种图书售价为每本28元，乙种图书售价为每本20元；（2）①根据题意得：W＝（28﹣3﹣20）n+（20﹣14﹣2）（1200﹣n）＝n+4800；∵用不多于20000元的资金购进甲、乙两种图书，∴20n+14（1200﹣n）≤20000，解得n≤1600∴W＝n+4800（n≤16003且②在W＝n+4800中，∵1＞0，∴W随n的增大而增大，∴n＝533时，W取最大值，最大值为533+4800＝5333（元），此时1200﹣n＝1200﹣533＝667（本），答：书店应该甲种图书进货533本，乙种图书进货667本，才能使购进的两种图书全部售完后，所获利润最大．【点评】本题考查分式方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．【变式4-6】（2023•原平市模拟）2022年第19届亚运会（The19thAsianGamesHangzhou2022），简称“杭州2022年亚运会”，将于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州举行．杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”．它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进A，B两种杭州亚运会吉祥物礼盒共50个，共花去7500元，这两种吉祥物礼盒的进价、售价如表：进价（元/个）售价（元/个）A种礼盒168198B种礼盒138158（1）求A，B两种吉祥物礼盒分别购进了多少个；（2）由于销售情况很好，第一次购进的50个礼盒很快就销售完了，专卖店老板又计划用不超过12000元购进A，B两种礼盒共80个，则应该如何进货，才能使得第二批礼盒全部售完后获得最大利润？最大利润为多少？【分析】（1）设购进A种吉祥物礼盒x个，则购进B种吉祥物礼盒（50﹣x）个，根据购进A，B两种杭州亚运会吉祥物礼盒共花去7500元列方程，解方程即可；（2）设购进A种礼盒a个，B种礼盒（80﹣a）个，获得利润为y元，根据总利润＝两种礼盒利润之和列出函数解析式，再根据两种礼盒进价不超过12000元求出a的取值范围，由函数的性质求最值．【解答】解：（1）设购进A种吉祥物礼盒x个，则购进B种吉祥物礼盒（50﹣x）个，根据题意：168x+138（50﹣x）＝7500，解得x＝20，此时50﹣x＝30，答：购进A种吉祥物礼盒20个，购进B种吉祥物礼盒30个；（2）设购进A种礼盒a个，B种礼盒（80﹣a）个，获得利润为y元，根据题意得：y＝（198﹣168）a+（158﹣138）（80﹣a）＝10a+1600，∵购买A，B两种礼盒的费用不超过12000元，∴168a+138（80﹣a）≤12000，解得a≤32，∵10＞0，∴当a＝32时，y有最大值，最大值为320+1600＝1920，此时80﹣a＝48，答：购进A种礼盒32个，B种礼盒48个售完后获得最大利润，最大利润1920元．【点评】本题考查一次函数和一元一次方程的应用，关键是列出函数解析式和方程．题型五方案的选择与设计问题--进货方案题型五方案的选择与设计问题--进货方案购买方案【例题5】（2022秋•泰兴市期末）某体育用品店计划花7000元购进篮球和足球，已知足球比篮球进价贵20元．若花3000元购买篮球，4000元购买足球，则可以够买到相同数量的篮球和足球．（1）求篮球和足球的进价；（2）篮球的销售单价为100元，足球的销售单价为120元，求该商店将购进的篮球和足球全部售出后能获取的利润w（元）与购买的篮球的数量m（只）之间的函数关系式，并直接写出w最大时的进货方案．【分析】（1）根据题意，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意要检验；（2）根据题意和题目中的数据，可以写出w与m的函数关系式，然后根据（1）中的结果和一次函数的性质，可以求得使得w最大时的进货方案．【解答】解：（1）设篮球进价为x元/只，则足球的进价为（x+20）元/只，由题意可得：3000x解得x＝60，经检验x＝60是方程的解，∴x+20＝80，答：篮球进价为60元/只，足球的进价为80元/只；（2）由题意可得，w＝（100﹣60）m+（120﹣80）×7000−60m80=∴w随m的增大而增大，∵60m＜7000，∴m＜11623又∵7000−60m80∴m的最大值为114，此时7000−60m80∴当m＝114时，利润w最大，对应的方案是购买篮球114只，足球2只，答：该商店将购进的篮球和足球全部售出后能获取的利润w（元）与购买的篮球的数量m（只）之间的函数关系式w＝10m+3500，w最大时的进货方案是购买篮球114只，足球2只．【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．【变式5-1】（2022秋•敦煌市期中）进入8月以来某些海鱼的价格逐渐上涨，某农贸市场水产商户老王在进货数量上作出调整，8月份前两周两种海鱼的价格情况如下表：鲅鱼价格带鱼价格第一周8元/千克18元/千克第二周10元/千克20元/千克（1）老王第一周购进了一批鲅鱼和带鱼，总货款是1700元，且购进的鲅鱼千克数是带鱼的2倍，求老王第一周购进的鲅鱼和带鱼分别是多少千克？（2）若第二周将这两种鱼的进货总量减少到120千克，且购进鲅鱼a千克，需要支付的货款为w元，则w与a的函数关系式为．（3）在（2）的条件下，若购进鲅鱼不超过80千克，则第二周老王购进这两种鱼的总货款最少应是多少元？【分析】（1）设老王第一周购进带鱼x千克，购进鲅鱼2x千克，根据“总货款是1700元，列方程解答即可；（2）根据总价＝单价×购进数量，即可得出w关于a的函数关系式；（3）根据购进鲅鱼不超过80千克，可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设老王第一周购进带鱼x千克，购进鲅鱼2x千克，根据题意，18x+8×2x＝1700，解得x＝答：老王第一周购进鲅鱼100千克，购进带鱼50千克；（2）由题意，得w＝10a+20（120﹣a）＝﹣10a+2400；故答案为：w＝﹣10a+2400；（3）根据题意，得a≤80，由（2）得，w＝﹣10a+2400，∵﹣10＜0，∴w随a的增大而减小，∴当a＝80时，w有最小值，w最小＝﹣10×80+2400＝1600（元），答：第二周老王购进这两种鱼的总货款最少应是1600元．【点评】本题考查了一元一次方程的应用、以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．【变式5-2】（2022•寿阳县模拟）两会期间聂震宁委员提出，把孔子诞生日9月28日定为我国的“全国读书节”．以此唤醒3000年来国民读书的热情，进一步推动中华文化在全球范围的传播．某学校为更好的创设阅读环境，营造读书氛围，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高20%，用5400元购进的甲种书柜的数量比用6300元购进乙种书柜的数量少6个．（1）学校购进的两种书柜进价各是多少元？（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．该校应如何进货使得购进书柜所需费用最少？【分析】（1）设每个乙种书柜的进价是x元，则每个甲种书柜的进价是（1+20%）x元，根据题意列出分式方程，解方程即可求解；（2）设购进乙种书柜a个，则购进甲种书柜（60﹣a）个．设购进书柜所需费用w元，根据题意列出不等式求得a的范围，进而根据一次函数的性质求得最小值即可求解．【解答】解：（1）设每个乙种书柜的进价是x元，则每个甲种书柜的进价是（1+20%）x元，根据题意，得5400(1+20%)x解得x＝300，经检验x＝300是原方程的解，当x＝300时，（1+20%）x＝360，答：每个乙种书柜的进价是300元，每个甲种书柜的进价是360元；（2）设购进乙种书柜a个，则购进甲种书柜（60﹣a）个．设购进书柜所需费用w元，根据题意，得w＝360（60﹣a）+300a＝﹣60a+21600，∵2（60﹣a）≥a，∴a≤40，∵﹣60＜0，∴当a＝40时，w最小，答：该校应购进乙种书柜40个，购进甲种书柜20个时，购进书柜所需费用最少．【点评】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程、不等式、以及函数关系式是解题的关键．【变式5-3】（2022•香洲区校级三模）荷城街道某学校饭堂为改善学生的就餐环境，拟购进甲、乙两种规格的餐台，已知每张甲种餐台的进价比每张乙种餐台的进价高20%，用5400元购进的甲种餐台的数量比用6300元购进乙种餐台的数量少6张．（1）求甲、乙两种餐台每张的进价各是多少元？（2）若该校计划购进这两种规格的餐台共60张，其中乙种餐台的数量不大于甲种餐台数量的2倍．该校应如何进货使得购进两种餐台所需总费用最少？【分析】（1）设每张乙种餐台的进价为x元，根据题意列出方程即可求出答案．（2）设甲餐台的数量为y个，根据题意列出求出y的范围，再设购进书柜所需费用为z元，求出z与y的函数关系即可求出答案．【解答】解：（1）设每张乙种餐台的进价为x元，则每张甲种餐台的进价为（1+20%）x＝1.2x元，根据题意得5400(1+20%)x=6300解得x＝300，经检验，x＝300是原分式方程的解．∴1.2x＝360．答：甲、乙两种餐台每张的进价分别是360元，300元．（2）设甲餐台的数量为y张，则乙餐台的数量为（60﹣y）张，根据题意得60−y≤2yy＜60解得20≤y＜60，设购进餐台所需总费用为z元，∴z＝360y+300（60﹣y），∴z＝60y+18000，∵k＝60＞0，∴z随y的增大而增大，∴当y＝20时，z有最小值，此时60﹣y＝40．答：甲、乙餐台进货数量分别为20张和40张时，所需总费用最少．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确求出甲与乙的单件进货价，以及列出餐台总费用与甲餐台数量之间的函数关系．【变式5-4】（2022秋•义乌市期末）12月、浙江突发疫情，我市立即启动疫情应急处置模拟演练．为配合演练顺利开展，某校需要购进A、B两款体温枪共100只．已知购进A型体温枪花费1000元，B型体温枪花费1500元，A型体温枪的价格比B型高50元，B型体温枪的数量是A型的两倍．（1）求每只A型、B型体温枪的价格；（2）若购进B型体温枪的数量不超过A型体温枪的2倍，设购进A型体温枪x只．这100只体温枪的总费用为y元．①求y关于x的函数关系式；②某校实际购买时，发现某店对A型体温枪进行降价处理，比原价降低a元出售（10＜a＜100），且限定一次性最多购买A型体温枪50只，当a满足什么条件时，能使该校购进这100只体温枪总费用最小．【分析】（1）设每只A型体温枪的价格为m元，则每只B型体温枪的价格（m﹣50）元，根据B型体温枪的数量是A型的两倍列方程求解即可；（2）①设购进A型体温枪x只，则购进B型体温枪（100﹣x）只，根据题意列不等式组求得x的取值范围，再根据总费用＝A型费用+B型费用即可求解；②根据y关于x的函数关系式以及一次函数的性质解答即可．【解答】解：（1）设每只A型体温枪的价格为m元，则每只B型体温枪的价格（m﹣50）元，根据题意得，1000m解得m＝200，经检验：m＝200是原分式方程的解，且符合题意，m﹣50＝200﹣50＝150，答：每只A型体温枪的价格为200元，每只B型体温枪的价格150元；（2）①设购进A型体温枪x只，则购进B型体温枪（100﹣x）只，根据题意得，100−x≤2xx≤100解得3313≤设这100只体温枪的总费用为y元，根据题意得，y＝200x+150（100﹣x），即y＝50x+15000，∴y关于x的函数关系式为y＝50x+15000（3313≤x≤100，且②∵限定一次性最多购买A型体温枪50只，∴3313≤x≤50，且∵某店对A型体温枪进行降价处理，比原价降低a元出售（10＜a＜100），∴y＝（200﹣a）x+150（100﹣x），即y＝（50﹣a）x+15000，当10＜a＜50时，50﹣a＞0，∴y随x的增大而增大，∵3313≤x≤50，且∴当x＝34，a＝49时，y取最小值，即该校购进这100只体温枪总费用最小，最小费用为y＝34（50﹣a）+