第一章　第3课时　自由落体运动和竖直上抛运动　多过程问题-2025物理大一轮复习讲义人教版

第3课时自由落体运动和竖直上抛运动多过程问题目标要求1.掌握自由落体运动和竖直上抛运动的特点，知道竖直上抛运动的对称性和多解性。2.能灵活处理多过程问题。考点一自由落体运动1．条件：物体只受重力，从静止开始下落。2．运动性质：初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动。3．基本规律：(1)速度与时间的关系式：v＝gt。(2)位移与时间的关系式：h＝eq\f(1,2)gt2。(3)速度位移关系式：v2＝2gh。1．重的物体总是比轻的物体下落得快。(×)2．同一地点，轻重不同的物体的g值一样大。(√)3．自由落体加速度的方向垂直地面向下。(×)4．做自由落体运动的物体在1s内速度增加约9.8m/s。(√)5．不计空气阻力，物体从某高度由静止下落，任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差恒定。(√)例1对于自由落体运动(g＝10m/s2)，下列说法正确的是()A．在前1s内、前2s内、前3s内的位移大小之比是1∶3∶5B．在相邻两个1s内的位移之差都是10mC．在第1s内、第2s内、第3s内的平均速度大小之比是1∶2∶3D．在1s末、2s末、3s末的速度大小之比是1∶3∶5答案B解析在前1s内、前2s内、前3s内的位移大小之比是1∶4∶9，故A错误；在相邻两个1s内的位移之差都是Δx＝gT2＝10m，故B正确；在第1s内、第2s内、第3s内的位移大小之比为1∶3∶5，所以平均速度大小之比为1∶3∶5，故C错误；在1s末、2s末、3s末的速度大小之比是1∶2∶3，故D错误。例2(2024·山东临沂市第三中学月考)某校物理兴趣小组，为了了解高空坠物的危害，将一个鸡蛋从离地面20m高的高楼面由静止释放，下落途中用Δt＝0.2s的时间通过一个窗口，窗口的高度为2m，忽略空气阻力的作用，重力加速度g取10m/s2，求：(1)鸡蛋落地时的速度大小和落地前最后1s内的位移大小；(2)高楼面离窗的上边框的高度。答案(1)20m/s15m(2)4.05m解析(1)根据速度位移关系v2＝2gh，解得鸡蛋落地时速度大小为v＝20m/s，设鸡蛋自由下落时间为t，根据速度时间关系得t＝eq\f(v,g)＝2s鸡蛋在第1s内的位移为h1＝eq\f(1,2)gt12＝5m则鸡蛋落地前最后1s内的位移大小为h2＝h－h1＝15m(2)由题意知，窗口的高度为h3＝2m设高楼面离窗的上边框的高度为h0，鸡蛋从高楼面运动到窗的上边框的时间为t0，则h0＝eq\f(1,2)gt02，h0＋h3＝eq\f(1,2)g(t0＋Δt)2联立解得h0＝4.05m。1．自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，故初速度为零的匀加速直线运动的规律、比例关系及推论等规律都适用。2．物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动，等效于竖直下抛运动，应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决此类问题。例3(多选)从高度为125m的塔顶先后自由释放a、b两球，自由释放这两个球的时间差为1s，g取10m/s2，不计空气阻力，以下说法正确的是()A．b球下落高度为20m时，a球的速度大小为20m/sB．a球接触地面瞬间，b球离地高度为45mC．在a球接触地面之前，两球速度差恒定D．在a球接触地面之前，两球离地的高度差恒定答案BC解析b球下落高度为20m时，t1＝eq\r(\f(2h,g))＝eq\r(\f(2×20,10))s＝2s，则a球下落了3s，a球的速度大小为v＝30m/s，故A错误；a球下落的总时间为t2＝eq\r(\f(2×125,10))s＝5s，a球落地瞬间b球下落了4s，b球的下落高度为h′＝eq\f(1,2)×10×42m＝80m，故b球离地面的高度为h″＝(125－80)m＝45m，故B正确；由自由落体运动的规律可得，在a球接触地面之前，两球的速度差Δv＝gt－g(t－1s)＝10m/s，即速度差恒定，两球离地的高度差变大，故C正确，D错误。自由落体运动中的两个物体先后从同一高度下落，两物体加速度相同，故先下落物体相对后下落物体做匀速直线运动，两者的距离随时间均匀增大。考点二竖直上抛运动1．运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为g，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动。2．运动性质：匀变速直线运动。3．基本规律(1)速度与时间的关系式：v＝v0－gt。(2)位移与时间的关系式：x＝v0t－eq\f(1,2)gt2。4．竖直上抛运动的对称性(如图所示)(1)时间对称：物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA相等，同理tAB＝tBA。(2)速度对称：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等。思考物体做竖直上抛运动，竖直向上为正方向，在上述速度与时间的关系式中，把时间t代入后，若v为负值，负号表示什么意义？在上述位移与时间的关系式中，把时间t代入后，若位移为负值，又表示什么意义？答案速度为负值，表示物体运动方向向下；位移为负值，表示物体已经运动到抛出点下方。例4为测试一物体的耐摔性，在离地25m高处，将其以20m/s的速度竖直向上抛出，重力加速度g＝10m/s2，不计空气阻力，求：(1)经过多长时间到达最高点；(2)抛出后离地的最大高度是多少；(3)经过多长时间回到抛出点；(4)经过多长时间落到地面；(5)经过多长时间离抛出点15m。答案(1)2s(2)45m(3)4s(4)5s(5)1s3s(2＋eq\r(7))s解析(1)运动到最高点时速度为0，由v＝v0－gt1得t1＝－eq\f(v－v0,g)＝eq\f(v0,g)＝2s(2)由v02＝2ghmax得hmax＝eq\f(v02,2g)＝20m，所以Hmax＝hmax＋h0＝45m(3)法一：分段，由(1)(2)知上升时间t1＝2s，hmax＝20m，下落时，hmax＝eq\f(1,2)gt22，解得t2＝2s，故t＝t1＋t2＝4s法二：由对称性知返回抛出点时速度为20m/s，方向向下，则由v1＝v0－gt，得t＝－eq\f(v1－v0,g)＝4s法三：由h＝v0t－eq\f(1,2)gt2，令h＝0，解得t3＝0(舍去)，t4＝4s(4)法一：分段法由Hmax＝eq\f(1,2)gt52，解得t5＝3s，故t总＝t1＋t5＝5s法二：全程法由－h0＝v0t′－eq\f(1,2)gt′2解得t6＝－1s(舍去)，t7＝5s(5)当物体在抛出点上方时，h＝15m，由h＝v0t－eq\f(1,2)gt2，解得t8＝1s，t9＝3s，当物体在抛出点下方时，h＝－15m，由h＝v0t－eq\f(1,2)gt2，得t10＝(2＋eq\r(7))s，t11＝(2－eq\r(7))s(舍去)。1．竖直上抛运动的研究方法：分段法上升阶段：a＝g的匀减速直线运动下降阶段：自由落体运动全程法初速度v0向上，加速度g向下的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－eq\f(1,2)gt2(以竖直向上为正方向)若v>0，物体上升，若v<0，物体下落若h>0，物体在抛出点上方，若h<0，物体在抛出点下方2.竖直上抛运动的多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解，在解决问题时要注意这个特性。例5打弹弓是一款传统游戏，射弹花样繁多，燕子钻天是游戏的一种，如图所示，一表演者将弹丸竖直向上射出后，弹丸上升过程中在最初1s内上升的高度与最后1s内上升的高度之比为9∶1，不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2，则弹丸在上升过程中最初1s内中间时刻的速度大小和上升的最大高度分别为()A．45m/s125m B．45m/s75mC．36m/s125m D．36m/s75m答案A解析射出的弹丸做竖直上抛运动，可看成自由落体运动的逆运动，由运动学公式h＝eq\f(1,2)gt2，弹丸最后1s内上升的高度h1＝eq\f(1,2)×10×12m＝5m，则最初1s内上升的高度h2＝9h1＝45m，最初1s内中间时刻的速度v＝eq\f(h2,t)＝eq\f(45,1)m/s＝45m/s，弹丸的初速度v0＝v＋gt′＝45m/s＋10×0.5m/s＝50m/s，故上升的最大高度为h＝eq\f(v02,2g)＝eq\f(502,2×10)m＝125m，故选A。考点三匀变速直线运动中的多过程问题例6(2024·湖北武汉市第二中学月考)无人机在生产生活中有广泛应用。我国林业部门将无人机运用于森林防火工作中，如图所示，某架无人机执行火情察看任务，悬停在目标正上方且距目标高度为H1＝205m处，t＝0时刻，它以加速度a1＝6m/s2竖直向下匀加速运动距离h1＝75m后，立即向下做匀减速直线运动直至速度为零，重新悬停在距目标高度为H2＝70m的空中，然后进行拍照。重力加速度大小取10m/s2，求：(1)无人机从t＝0时刻到重新悬停在距目标高度为H2＝70m处的总时间t；(2)若无人机在距目标高度为H2＝70m处悬停时动力系统发生故障，自由下落2s后恢复动力，要使其不落地，恢复动力后的最小加速度大小。答案(1)9s(2)4m/s2解析(1)设无人机下降过程最大速度为v，向下加速时间为t1，减速时间为t2，则由匀变速直线运动规律有h1＝eq\f(1,2)a1t12，v＝a1t1，H1－H2－h1＝eq\f(v,2)t2，联立解得t＝t1＋t2＝9s(2)无人机自由下落2s末的速度为v0＝gt′＝20m/s2s内向下运动的位移为x1＝eq\f(1,2)gt′2＝20m设其向下减速的加速度大小为a2时，恰好到达地面前瞬间速度为零，此时a2为最小加速度大小，则H2－x1＝eq\f(v02,2a2)，代入数据解得a2＝4m/s2。匀变速直线运动多过程的解题策略1．一般的解题步骤(1)准确选取研究对象，根据题意画出物体在各阶段运动的示意图，直观呈现物体运动的全过程。(2)明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求未知量，设出中间量。(3)合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程及物体各阶段间的关联方程。2．解题关键多运动过程的连接点的速度是联系两个运动过程的纽带，因此，对连接点速度的求解往往是解题的关键。课时精练1．(2023·广东卷·3)铯原子喷泉钟是定标“秒”的装置。在喷泉钟的真空系统中，可视为质点的铯原子团在激光的推动下，获得一定的初速度。随后激光关闭，铯原子团仅在重力的作用下做竖直上抛运动，到达最高点后再做一段自由落体运动。取竖直向上为正方向。下列可能表示激光关闭后铯原子团速度v或加速度a随时间t变化的图像是()答案D解析铯原子团仅受重力的作用，加速度g竖直向下，大小恒定，在v－t图像中，斜率绝对值等于重力加速度，故斜率不变，所以v－t图像应该是一条倾斜的直线，故选项A、B错误；因为加速度恒定，且方向竖直向下，故为负值，故选项C错误，D正确。2．(2021·湖北卷·2)2019年，我国运动员陈芋汐获得国际泳联世锦赛女子单人10米跳台冠军。某轮比赛中，陈芋汐在跳台上倒立静止，然后下落，前5m完成技术动作，随后5m完成姿态调整。假设整个下落过程近似为自由落体运动，重力加速度大小取10m/s2，则她用于姿态调整的时间约为()A．0.2sB．0.4sC．1.0sD．1.4s答案B解析陈芋汐下落的整个过程所用的时间为t＝eq\r(\f(2H,g))＝eq\r(\f(2×10,10))s≈1.4s下落前5m的过程所用的时间为t1＝eq\r(\f(2h,g))＝eq\r(\f(2×5,10))s＝1s则陈芋汐用于姿态调整的时间约为t2＝t－t1＝0.4s，故B正确。3．(2023·北京市东城区期末)甲、乙两物体距地面的高度之比为1∶2，所受重力之比为1∶2。某时刻两物体同时由静止开始下落。不计空气阻力的影响。下列说法正确的是()A．甲、乙落地时的速度大小之比为1∶eq\r(2)B．所受重力较大的乙物体先落地C．在两物体均未落地前，甲、乙的加速度大小之比为1∶2D．在两物体均未落地前，甲、乙之间的距离越来越近答案A解析由于不计空气阻力，两物体均做自由落体运动，由v2＝2gh可知v＝eq\r(2gh)，所以甲、乙落地时的速度大小之比为1∶eq\r(2)，故A正确；由h＝eq\f(1,2)gt2可知t＝eq\r(\f(2h,g))，所以物体做自由落体运动的时间取决于高度，与物体所受重力的大小无关，即甲物体先落地，故B错误；由于两物体都做自由落体运动，加速度均为重力加速度，故C错误；由于两物体都做自由落体运动且同时下落，则在两物体均未落地前，甲、乙之间的距离不变，故D错误。4．(2023·黑龙江大庆市三模)一个物体从离地某一高度处开始做自由落体运动，该物体第1s内的位移恰为最后1s内位移的二分之一，已知重力加速度大小取10m/s2，则它开始下落时距落地点的高度为()A．15mB．12.5mC．11.25mD．10m答案C解析物体第1s内的位移为h1＝eq\f(1,2)gt02＝eq\f(1,2)×10×12m＝5m，则物体最后1s内的位移为h2＝2h1＝10m，又eq\f(1,2)gt总2－eq\f(1,2)g(t总－1s)2＝h2，解得t总＝1.5s，则物体开始下落时距落地点的高度为h＝eq\f(1,2)gt总2＝eq\f(1,2)×10×1.52m＝11.25m，故选C。5.(2024·山东德州市第一中学开学考)物理研究小组正在测量桥面某处到水面的高度。如图所示，一同学将两个相同的铁球1、2用长L＝3.8m的细线连接。用手抓住球2使其与桥面等高，让球1悬挂在正下方，然后由静止释放，桥面处的接收器测得两球落到水面的时间差Δt＝0.2s，g＝10m/s2，则桥面该处到水面的高度为()A．22mB．20mC．18mD．16m答案B解析设桥面该处到水面的高度为h，根据自由落体运动位移公式，对铁球2有h＝eq\f(1,2)gt22，对铁球1有h－L＝eq\f(1,2)gt12，又t2－t1＝Δt，解得h＝20m，故选B。6.如图所示，2022年3月5号，西昌卫星发射中心发射了“长征二号”丙运载火箭，上面有六颗02批卫星和一颗商业遥感卫星。若“长征二号”丙运载火箭及其卫星总质量为240吨，总长为43m，发射塔高100.0m，点火后经5.0s火箭离开发射塔。假设火箭离开发射塔的过程中做匀加速直线运动，忽略空气阻力和运载火箭质量的变化，取重力加速度大小g＝10m/s2。求：(1)火箭离开发射塔瞬间的速度大小；(2)火箭起飞时推动力大小；(3)若火箭刚离开发射塔瞬间，某个发射用到的部件完成使命正好从火箭尾部自然脱落，求该部件脱落后经多长时间落地。答案(1)40m/s(2)4.32×106N(3)10s解析(1)设发射塔高为h，根据平均速度公式h＝eq\f(v,2)t，得v＝eq\f(2h,t)＝40m/s(2)火箭上升时的加速度为a＝eq\f(v,t)＝8m/s2根据牛顿第二定律F－mg＝ma得F＝m(g＋a)＝4.32×106N(3)方法一：脱离后部件还将继续做竖直上抛运动，d＝eq\f(v2,2g)＝80m，所以离地高度为H＝h＋d＝180m上升过程所用的时间t1＝eq\f(v,g)＝4s下降过程所用的时间t2＝eq\r(\f(2H,g))＝6s所以脱落后到落地时间为10s。方法二：根据－h＝vt－eq\f(1,2)gt2，得t＝10s。7.如图，篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮，离地后重心上升的最大高度为H。上升第一个eq\f(H,4)所用的时间为t1，第四个eq\f(H,4)所用的时间为t2。不计空气阻力，则eq\f(t2,t1)满足()A．1<eq\f(t2,t1)<2 B．2<eq\f(t2,t1)<3C．3<eq\f(t2,t1)<4 D．4<eq\f(t2,t1)<5答案C解析由逆向思维和初速度为零的匀加速直线运动比例式可知eq\f(t2,t1)＝eq\f(1,2－\r(3))＝2＋eq\r(3)，即3<eq\f(t2,t1)<4，选项C正确。8．在离水平地面高H处，以大小均为v0的初速度同时竖直向上和向下抛出甲、乙两球，不计空气阻力，下列说法中正确的是()A．甲球相对乙球做匀变速直线运动B．在落地前甲、乙两球间距离均匀增大C．两球落地的速度差与v0、H有关D．两球落地的时间差与v0、H有关答案B解析甲、乙两球加速度相同，故甲球相对于乙球做匀速直线运动，在落地前二者距离不断均匀增大，A错误，B正确；根据竖直上抛的对称性，甲球回到抛出点时速度大小为v0，方向竖直向下，两球落地的速度差为零，与v0、H均无关，C错误；由竖直上抛的对称性可知，两球落地的时间差Δt＝eq\f(2v0,g)，与v0有关，与H无关，D错误。9.(多选)(2024·黑龙江佳木斯市开学考)如图所示的自由落锤式强夯机将8～30t的重锤从6～30m高处自由落下，对土进行强力夯实。某次重锤从某一高度自由落下，已知重锤在空中运动的时间为t1、从自由下落到运动至最低点经历的时间为t2，重锤从地面运动至最低点的过程可视为做匀减速直线运动，当地重力加速度为g，不计空气阻力，则该次夯土作业()A．重锤下落时离地高度为eq\f(1,2)gt12B．重锤接触地面后下降的距离为eq\f(1,2)gt1t2C．重锤接触地面后的加速度大小为eq\f(gt1,t2－t1)D．重锤在空中运动的平均速度大于接触地面后的平均速度答案AC解析作出重锤的v－t图像，如图所示，根据自由落体运动规律可知，重锤下落时离地高度为h1＝eq\f(1,2)gt12，根据匀变速直线运动中平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(v,2)可知，重锤在空中运动的平均速度等于接触地面后的平均速度，A正确，D错误；根据s＝eq\f(v,2)t可知，重锤下落时离地高度h1和重锤接触地面后下降距离h2之比为eq\f(h1,h2)＝eq\f(t1,t2－t1)，故重锤接触地面后下降的距离为h2＝eq\f(1,2)gt1(t2－t1)，B错误；根据v＝at可知，重锤接触地面后的加速度大小为a＝eq\f(v,t2－t1)＝eq\f(gt1,t2－t1)，C正确。10.(2023·山东烟台市一模)甲、乙两个小球先后从同一水平面的两个位置，以相同的初速度竖直向上抛出，小球距抛出点的高度h与时间t的关系图像如图所示。不计空气阻力，重力加速度为g，则两小球同时在同一水平线上时，距离抛出点的高度为()A.eq\f(1,2)gt22 B.eq\f(1,2)g(t22－t12)C.eq\f(1,4)g(t22－t12) D.eq\f(1,8)g(t22－t12)答案D解析根据竖直上抛运动规律，竖直向上运动到同一水平线上时，乙小球的运动时间为t＝eq\f(t2－t1,2)，甲小球到达的最高点高度为h＝eq\f(1,2)g(eq\f(t2,2))2＝eq\f(1,8)gt22，甲小球下落的高度为h′＝eq\f(1,2)g(eq\f(t2,2)－eq\f(t2－t1,2))2＝eq\f(1,8)gt12，故该位置距离抛出点的高度为h″＝h－h′＝eq\f(1,8)g(t22－t12)，故选D。11.(多选)(2024·四川成都市石室中学月考)小红用频闪照相法研究竖直上抛运动，拍照频率为5Hz，某次实验时小球以某一初速度竖直上抛，照相机在此过程中曝光了8次，由于上升过程和下降过程小球经过相同位置时都被曝光，所以在底片上记录到如图所示的4个位置，a、b两点间距离为l1，b、c两点间距离为l2，c、d两点间距离为l3，重力加速度g＝10m/s2。下列说法中正确的是()A．小球经过b点时的速度大小为0.4m/sB．a