高中数学选修第一册：3.1.1椭圆

3.1.1椭圆

【题组一椭圆的定义】

1.(2020•全国高三其他(理))已知平面内两个定点”(3,0)和点N(—3,0),P是动点，且直线PM,PN的

斜率乘积为常数设点p的轨迹为C.

①存在常数使C上所有点到两点(Y,0),(4,0)距离之和为定值；

②存在常数使C上所有点到两点(0,-4),(0,4)距离之和为定值；

③不存在常数使C上所有点到两点(Y,0),(4,0)距离差的绝对值为定值；

④不存在常数使C上所有点到两点(0,-4),(0,4)距离差的绝对值为定值.

其中正确的命题是.(填出所有正确命题的序号)

【答案】②④

【解析】设点P的坐标为：P(x,y),

依题意，有：X一】一=4,

x+3x-3

尤2

整理，得：—2-^v-=1，

99a

对于①，点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且c=4,。＜0,

椭圆在x轴上两顶点的距离为：2也=6,焦点为：2x4=8,不符；

对于②，点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且c=4,

椭圆方程为：-^—+—=1,则一9a—9=16,解得：a=—一，符合：

-9a99

7r2v2

对于③，当。=’时，二_乙=1,所以，存在满足题意的实数”，③错误；

997

2r2

对于④，点的轨迹为焦点在y轴上的双曲线，即上v一+二=1,

一9。9

不可能成为焦点在y轴上的双曲线，

所以，不存在满足题意的实数“，正确.

所以，正确命题的序号是②④.

2.（2018•福建高二期末（理））已知AABC的周长为20,且顶点B（0,-4）,C（0,4）,则顶点A的轨

迹方程是（）

C.—+-^-=1(x#))D.—+-^-=1(x#))

620206

【答案】B

【解析】:△ABC的周长为20,顶点8(0,-4),C(0,4),

/.BC=8,48+CC=20-8=12,

•；12>8.•.点A到两个定点的距离之和等于定值，.•.点A的轨迹是椭圆,

V«=6,c=4，〃=20,

.•.椭圆的方程是工+二=l（xwo）故选8.

2036''

22

3.（2020•全国高三其他（文））已知椭圆会+春=1,A（3,0）,8（—2,1）,点M是椭圆上的一动点，则

|M4|+|A叫的最小值为（）

A.6-V2B.10-V2C.11-V2D.12-V2

【答案】B

【解析】由题意知A为椭圆的右焦点，设左焦点为耳，由椭圆的定义知|“制+|加4|=10,

所以+|MB|=10+-|讨|.

又他5|-|岬g忸制,

如图，设直线期交椭圆于M，%两点.当用为点M时，眼目-附用最小，最小值为lo—JL故选:

B

4.（2019.湖北襄阳。高二期中）椭圆会+?=1的左右焦点分别为耳，工，点尸在椭圆上，若|尸耳|=4,

则/月产乙=.

【答案】90°

22

【解析】根据题意，椭圆三+匕=1,其中。=3,b=2,则。=百，

94

点P在椭圆上，若［P/"=4,则|尸/冒=2〃-|9|=6—4=2,

在△耳「心中，I?耳1=4.|?鸟|=2,I片6|=2c=2石，

则|「£『+|明|2=|耳玛|2,则有N耳P£=90。，故答案为90°.

22

5.（2020・上海高二课时练习）椭圆±+弓1=1上一点M到左焦点£的距离为2,N是的中点，则|ON|

等于______

【答案】4

【解析】：根据椭圆的定义：町|+陷引=10,所以陷胃=8・抑是知《中点，O是耳鸟的中点，所以

CW=2M|=4.

2

【题组二椭圆定义的运用】

1.（2019•吉林省实验高二期末（理））方程/+与。=2表示焦点在x轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是

（）

A.k>0B.l<k<2C.k>\D.0（后〈1

【答案】B

J12

【解析】方程N+妒=2可变形为：22一，表示焦点在x轴上的椭圆，则有：0<-<2,

I左

解得k>l.易知当1（人<2时，k>l.当k>l时未必有1〈左<2,所以1<%<2是k>l的充分但不必要

条件.故选B.

22

2.（2018天津静海一中高二期末（理））已知方程-------=1表示椭圆，则实数m的取值范围是（）

2+mm+1

A.(-oo,-1)B.(—2,+oo)

C.（-00,-|）U（-l,+00）D.（-2,-1）

【答案】D

【解析】（2+加）（〃，+1）＜0,且2+〃件一（〃?+1）,所以一2＜/〃＜一］或一：（根＜一1.

故选D.

r2V2

3.（2019•福建城厢.莆田一中高二期中）"1＜%＜4”是“方程」一+二一=1表示的曲线为椭圆”的（）

4-kk-\

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

4-攵〉0

【解析】若方程表示椭圆，则4攵一1＞0，解得：1＜左＜2或』＜4＜4

...22

）%2V2

伏1＜女＜。或2＜z＜4｝是｛川1vZv4｝的真子集，所以r＜攵＜4”是“方程」一+二一二1表示的曲线

22J4—kk-\

为椭圆”的必要不充分条件.故选：B

22

4.（2020•四川射洪中学高二期中（文））若椭圆C：L+上-=i的一个焦点坐标为（0,。，则。的长轴

mm-1

长为（）

A.73B.2C.2V2D.2V3

【答案】D

m>0

22m2-1>0

【解析】由于方程工+W—=1为椭圆,且焦点（0,1）在y轴上，所以v，解得利二2,所

mm-1m2-1>m

m2-l-m=1

以a=亚二i=5长轴长为2a=2百•故选：D

5.（2020・湖北江岸.武汉二中高二期末）0＜〃2＜1是方程式——匚=1表示椭圆的（）.

2mm-\

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

2m>0

r221

【解析】若方程」----J=1表示椭圆，则有〈加-1<0，解得0<〃2<1且加，彳

2mm-\C13

2m1-m

22

所以。（加<1是方程三——J=1表示椭圆的必要不充分条件故选：B

2mm-1

6.（2020.江西九江一中高二月考（理））方程二+匕=1表示椭圆的一个必要不充分条件是（）

4m

A.m>0B.m>4C.〃7>0且"#4D.m<0

【答案】A

r22

【解析】若方程二-+乙=1表示椭圆，则加>0且加#4,

4m

是方程三+2-=1表示椭圆的一个必要不充分条件，故选：A

4m

7.（2019•浙江高三其他）已知p：方程，+-2_=1表示椭圆，q：一5<攵<3.则p是q的（）

5+k3-k

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

5+k>0,

22

【解析】若方程」一+二一=1表示椭圆，则13—%>0,解得一5（左<3且攵。一1，

5+&3—&_.o,

5+k手3—k,

易知。可以推出q,但是q不能推出〃，故〃是q的充分不必要条件.故选：A.

r2v2

8.（2020•广西钦州一中高三开学考试（理））设椭圆C彳+4=13>0">0）的左、右焦点分别为片，F2,

ah

离心率为由.尸是。上一点，且耳PJ.F?P.若居的面积为4,则。=（）

2

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【解析】v-=-^，.-.3a2=4c2,由椭圆定义，||产用+归国=2"

a2

由耳PJ.KP得|助『+归用2=QC)2,

△P/第的面积为4,则;|户用•归国=4,即|尸耳|归用=8,

：.(\PF^\PF^-2\PF\-\PF^=Ac2,即4/-16=3/,解得/=16,即。=4,故选：C.

【题组三椭圆的标准方程】

1.(2020.四川青羊.树德中学高三月考(文))已知椭圆C的焦点为耳(7,0),外(1,0).过点6的直线与C

交于A，B两点、.若A4BK的周长为8,则椭圆。的标准方程为().

22222222

A.—+—=1B.—+—=1C・1=1D.----F—=1

1615874334

【答案】c

【解析】根据椭圆的定义知AABK的周长为4a=8,...0=2,又c=l，,...〃=/一02=3,

22

二椭圆C的标准方程为土+汇=1.

43

22

2.(2020・四川外国语大学附属外国语学校高一期末)过点(-3,2)且与工+匕=1有相同焦点的椭圆的方程

94

是()

2222

AA•-x---1--y--=11B0.--％----1---y--=11

1510225100

2222

C.土+匕=1D,工+』1=1

1015100225

【答案】A

22

【解析】椭圆二+二=1,

94

，焦点坐标为：(石,0),(-^5,0),c=#),

•••椭圆的焦点与椭圆工+义-=1有相同焦点

94

22

设椭圆的方程为：=+与=1

a2h2

二椭圆的半焦距c=y[5，即a2-b2=5

94

结合一5"+T7=1,解得：a2=15,b2=10

a~b

Y2V2

，椭圆的标准方程为—+^-=b故选A.

1510

3.（2020・上海高二课时练习）中心在原点，焦点在丁轴上，焦距为8,且过点（3,0）的椭圆方程为（）.

72

r2..2

AA•-厂--F—y—1B.'+匕=1

259925

.2,222,222

X'x2

C.，士1或JJD.—+工1或土+匕=1

259925916169

【答案】B

【解析】因为焦距为8,所以2c=8,即c=4

22

乂因为椭圆的焦点在y轴上，且过点（3,0）,所以方3,a225,所以椭圆的方程为三+二=1.

925

故选：B

4.（2019•山西高三开学考试（文））在平面直角坐标系xoy中,椭圆c的中心为原点，焦点耳、尸2在X轴

上,离心率为"，过"的直线/交C于A、B两点，且AABF,的周长为16,那么C的方程为()

2

222

i(X

A.----1-----1B.—=1

3618164

222

X.V

C.-Z1D,工+汇=1

4+2168

【答案】D

【解析】根据题意，AA3K的周长为16,即/g+Ag+B片+A耳=16,

根据椭圆的性质，有4。=16,即。=4：椭圆的离心率为也，即£=变，则。=缶，故c=2a，

2a2

22

vV

则。2=。2一°2=8,则椭圆的方程为L+2L=1,故选：D.

168

5.（2020.福建高二期末（文））焦点在工轴上的椭圆立+”=1的离心率为3则实数m的值为（）

4m2

A.1B.V3C.2D.3

【答案】D

【解析】焦点在x轴上的椭圆上+—=1的离心率为:，则a?=4,b2=m,c2=4—m,故e-^4~m=i=>m=

4m222

3.故答案为：D.

r2v21

6.（2020•河北衡水中学高考模拟（文））已知椭圆C:、+==l（a>b>0）的离心率为一，且椭圆。的长

a-b2

轴长与焦距之和为6,则椭圆C的标准方程为（）

2222222

人4,xy,„x,「xy.

A.-------=]BD.---1---=]C.---Fy2=1D.1=1

25642243

【答案】D

V2V21C1

【解析】依题意椭圆C：=+==1（。>6>0）的离心率为一得一=一，

a-b~2a2

椭圆。的长轴长与焦距之和为6,2。+2c=6,

_22

解得a=2,c=l,则6=石，所以椭圆。的标准方程为：工+匕=1,故选O

43

7.（2020•海林市朝鲜族中学高三课时练习）已知椭圆过点尸]|,-4）和点则此桶圆的方程是

丫22

A.B.一+丁=1或/+2v_=1

2525-25

2

C.—+y2=1D.以上均不正确

25-

【答案】A

【解析】设经过两点P（g,-4）和点Q1一',一3）的椭圆标准方程为mx^+nyF（m>0,n>0,m^n）,

9一

6〃=1

加+1

B得

25

9

A.

l.故选

x2=

2+

程为

椭圆方

二所求

=—

,n

机=1

,解得

-

25

25

1

c

=l

m+9n

25

|PB|与

6,若

=2

|百马

，且

焦点

圆的

为椭

,尸2

，Fi

一点

C上

椭圆

P为

)已知

练习

课时

高二

全国

020•

8.(2

()

方程为

的标准

圆C

|,则椭

囚尸2

中项为

等差

|PB|的

9

2

2

.2

~2

,2

A-

y

t厂

1

y

x

y

1

%y

A

D

」

一+

1或

卫-=

—+