高中数学人教A版选择性必修第一册2.1.1直线的倾斜角与斜率基础练习

2.1.1直线的倾斜角与斜率

基础练习

一、单选题

i.如图，己知直线乙，4，4的斜率分别为尢，勾，％，贝U（）

A.ki<k2<kyB.ky<k^<k2

C.k3<k2<kAD.kt<k}<k2

【答案】D

【分析】根据倾斜角的大小结合斜率与倾斜角的关系判断即可

【详解】由题图知直线4的倾斜角为钝角，••.仁〈o.

乂直线儿4的倾斜角均为锐角，且直线4的倾斜角较大，

0<k3<k2,

2.若4—1,—2),8(4,8),C(5,x),且A,8,C三点共线，贝i」x=()

A.-2B.5C.10D.12

【答案】C

【分析】由三点共线可得线向AB,AC的斜率存在并且相等求解即可.

【详解】解：由题意，可知直线AB,AC的斜率存在并且相等,

即8-（-&2）=%基—2）’解得3

3.已知两点A（l,-2）,8（2,1）,直线/过点P（O,-1）且与线段A8有交点，则直线/的倾斜角的

取值范围为（）

713兀713花

A.B.

4"~42'T

3兀

C.T'71D.

【答案】C

【分析】作出图形，求出PAP8的斜率，数形结合可求得直线/的斜率的取值范围，再由斜率

与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围.

【详解】如图所示，直线R4的斜率原，=科=-1,直线总的斜率怎3=畀=1.

1—02—0

由图可知，当直线/与线段A6有交点时，直线/的斜率攵

-兀]「3兀、

因此直线/的倾斜角的取值范围是0,；u兀.

44）

4.若直线经过A（l,0）,8（4,-3b）两点，则该直线的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【分析】由斜率公式与斜率的定义求解即可

【详解】因为直线经过A。,。），8（4,-30）两点，

所以直线48的斜率为后=上包1=Y.

1-4

设直线A8的倾斜角为。，则tan。=-0,

又0°4。<180°,

所以。=120?.

所以直线A8的倾斜角为120。.

5.已知A（3,l）,8（1,2）,若直线x+ay-2=0与线段AB没有公共点，则实数。的取值范围是

（）

A.（-8,-1）、（；,+<»]B.

C.（-oo,-2）U（L”）D.（-2,1）

【答案】A

【分析】画出图象，对。进行分类讨论，结合图象求得。的取值范围.

【详解】直线》+0一2=0过点C（2,0）,

画出图象如下图所示,

由于直线x+ay-2=0与线段A3没有公共点，

当。=0时，直线彳=2与线段有公共点，不符合题意,

当a*0时，直线x+a)」2=0的斜率为-1，

a

根据图象可知一的取值范围是(-2,0)50,1)，

所以”的取值范围是(-8，T)u[；T.

6.已知两点A。,-2),8(2/)，直线/过点P(0,-l)且与线段A8有交点，则直线/的斜率的取

值范围为()

A.[-U]B.S,TJC.(-M)D.[1,+<»)

【答案】A

【分析】根据斜率的公式，数形结合分析临界条件求解即可.

【详解】如图所示，直线网的斜率为原4=雪=-1,直线PB的斜率为％刖=畀=1.由

1—02—0

图可知，当直线/与线段A8有交点时，直线/的斜率％el-1,1].

二、多选题

7.下列四个命题中，错误的有（）

A.若直线的倾斜角为。，则sin6>0

B.直线的倾斜角。的取值范围为<万

C.若一条直线的倾斜角为，，则此直线的斜率为tan。

D.若一条直线的斜率为tan。，则此直线的倾斜角为6

【答案】ACD

【分析】根据倾斜角与斜率的定义判断即可.

【详解】解：因为直线的倾斜角的取值范围是［0,P）,即夕且0,乃），所以sin620,

当时直线的斜率A=tan。，故A、C均错误；B正确；

对于D：若直线的斜率左=tan与=6，此时直线的倾斜角为?，故D错误；

8.（多选）若经过A。-a,1+a）和8（3,〃）的直线的倾斜角为钝角，则实数。的值可能为（）

A.-2B.0C.1D.2

【答案】BCD

【分析】由两点的斜率公式求得心2=——，由止匕得2+。>0,求解即可.

-2-a

【详解】由题意得心8=手二?=-3^—<0,即2+0>0,所以a>-2,

\-a-3-2-a

9.若直线/的斜率&=-2,且过点（3,2）,则直线/经过点（）

A.（0,4）B.（4,0）C.（6,Y）D.（-2,1）

【答案】BC

【分析】根据直线的斜率公式一一验证各选项，可得答案.

【详解】直线/的斜率％=-2,且过点（3,2）,

对于A,计算（4-彳2=-彳2=-2,故A错误；

对于B,计算詈=-2,故B正确；

4-3

对于C,计算：3=-2,故C正确；

6—3

对于D,计算故D错误；

三、填空题

10.已知点A（%，x）,8（程％）在函数y=f（x）的图像上，若函数f（x）在［%,句上的平均变

化率为6,则直线AB的倾斜角为.

【答案】y

【分析】利用斜率的定义直接求解.

【详解】函数/(x)在［占,々］上的平均变化率就是直线A8的斜率阳B，所以^石.

设直线A8的倾斜角为巴则。e［0,句，则tan®=6,所以。=?.

故直线AB的倾斜角为?.

11.已知直线过A(3,优+1)1(4,2m+l)两点且倾斜角为二兀，则加的值为___.

6

【答案】-祖

3

【分析】由48两点求得得斜率与倾斜角的正切值tanj兀相等可求得m.

0

【详解】因直线A8的倾斜角为:W，则其斜率％=121)2兀=-3，

663

乂由43,m+1),8(4,2m+1),

i,.,..(2/膂+1)—(//+1)

则M1AB的A斜率k=--------------=m,

4-3

则有m=.

3

12.已知直线右的倾斜角%=30。，直线4_L4,则右的斜率为

【答案】-百

【分析】先根据直线。的倾斜角%=30°,百线4_14，求出乙的倾斜角，再根据倾斜角与斜

率的关系求出右的斜率.

【详解】解：；直线。的倾斜角%=30。，直线乙,乙，

人的倾斜角为120。，

4的斜率为tan120。=-石，

13.直线y=l的斜率是.

【答案】o

(分析】直线斜率％=tana,«为倾斜角.

【详解】直线y=i的图像如图所示：

易知其倾斜角a=0°，其斜率々=tan(T=0

14.已知三个不同的点A(2,a)、8(a+l,2«+l)、C(T,l—a)在同一条直线上，则实数a的值为

【答案】或5

【分析】根据斜率相等可求出结果.

【详解】因为砥所以该直线斜率存在,

-4-26

又.,,2—2a+―\-aa+\,

a+1-2a-\

根据题意得"■=空.解得"V或4=5.

6a-\2

15.已知4(3,-1),8(1,2),P(x,y)是线段AB上的动点，则上的取值范围是.

X

【答案】[-g，2]

【分析】由题意利用直线的斜率公式，求得04、OB的斜率，就可得上的取值范围.

X

【详解】因为A(3,-1),8(1,2),P(x,y)是线段AB上的动点，

所以上表示直线OP的斜率.如下图.

X

-1-0-屋j直线。B的斜率为*9-0=2.

因为直线。A的斜率为0

所叫的取值范围是6⑵.

16.已知A(l,0),8(百,1)两点，若直线/：'=奴与线段AB恒有交点，则k的取值范围是

【答案】

【分析】把A、B两点分别代入直线/中，求出斜率心八和3,，结合题意求出左的取值范围.

【详解】把41,百),D两点分别代入直线，：y=Ax中,

计算自8=9=*

由图可知，直线/：y=H与线段A8恒有交点时，kOB<k<kOA,

17.己知点4-3,2),8(1,3),直线/过定点(-2,0),且直线/与线段A8有公共点，则直线/

的斜率&的取值范围是

【答案】(…,一2][l,+a>)

【分析】画出图象，结合图象求得％的取值范围.

【详解】设C(-2,0),

画出图象如下图所示,

乂=^^7初=4=1

*c-3-(-2)BC1-(-2)

结合图象可知，直线/的斜率的取值范围是(-8,-2][1,内).

18.已知直线/的斜率为左,倾斜角为a,若45<«<135，则&的取值范围为.

【答案】(f,-1)51，内)

【分析】分45<a<90、a=90、90<a<135三种情况讨论，结合正切函数的基本性质可

求得k的取值范围.

【详解】由正切函数的性质知，当45<a<90时，^=tanae(l,-H»)；

当a=90时，%不存在；

当90<«<135时，=tanae(-oo,-l).

综上，%的取值范围是(f,—1)51，收)-

四、解答题

19.已知直线/过点A(2a,3)和点B(2,-l),分别求出满足下列条件的〃的取值或取值范围.

(1)直线/的倾斜角为直角；

(2)直线/的倾斜角为锐角；

(3)直线/的倾斜角为钝角.

【答案】(1)。=1;(2)(1,+00)；(3)(-oo,l).

【分析】(1)解方程24=2即得解；

(2)解不等式2六>0即得解;

2

(3)解不等式w<0即得解•.

(1)解：当直线/的倾斜角为直角时，2a=2,解得a=l.

⑵解：当"1时，直线’的斜率小叁=言.

2

令告>0,则所以直线/的倾斜角为锐角时、a的取值范围为(l,y).

47-1

2

(3)解：当"1时，令一；<0,则a<l,所以直线/的倾斜角为钝角时，。的取值范围为(3,1).

67-1

20.已知坐标平面内三点A(T,1),8(1,1),CQ6+1).

(1)求直线AB,BC,AC的斜率和倾斜角；

⑵若。为ABC的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围.

【答案】(1)原B=0,kBC=43,kAC=—,直线AB的倾斜角为0,直线BC的倾斜角为

AC33

直线AC的倾斜角为?.

O

7171

⑵7S

【分析】(1)根据两点间的斜率公式计算斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可;

(2)数形结合，根据斜率与倾斜角变化的规律分析即可.

(I)由斜率公式，得kg任广。“粤i"%邛

因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是［O，P),所以直线A3的倾斜角为0,直线

8c的倾斜角为9,直线4c的倾斜角为

36

(2)如图，当直线CO绕点C由CA逆时针转到C3时，直线CO与线段A3恒有交点，即。

在线段48上，此时48由原c增大到软c，所以令。的取值范围为手■，百，即直线CD的倾斜

TT7T

角的取值范围为---

O3

提升训练

一、单选题

1.设点A(3,-5),B(-2,-2),直线/过点P(U)且与线段AB相交，则直线/的斜率&的取值范

围是()

A.k31或左〈一3B.-3<^<1

C.-1<*<3D.以上都不对

【答案】A

【分析】先画出线段4B,之后连接孙，P8求得以，P8的斜率，通过观察图像找到直线/斜

率的取值范围

【详解】如图所示，直线尸8,两的斜率分别为即尸1,%=-3

结合图形可知A1或ZW—3

2.将直线3x->/5y=O绕着原点逆时针旋转90。，得到新直线的斜率是()

A.@B.-BC.百D.Y

33

【答案】B

【分析】由题意知直线的斜率为G，设其倾斜角为a,将直线绕着原点逆时针旋转90。，得到

新直线的斜率为tan(a+90),化简求值即可得到答案.

【详解】由3x-石)，=0知斜率为右，设其倾斜角为a,贝ijtana=b，

将直线3x-gy=0绕着原点逆时针旋转90。，

则tan(a+90)=刨空切==__L“近

cos(a+90)-sinatona3

故新直线的斜率是-走.

3

3.若过两点4("72+2,病-3),8(-疗-机+3,2优)的直线/的倾斜角为45。，则加=()

A.-2或-1B.1C.-1D.-2

【答案】D

【解析】由题意可得:“-3；2/n_=02.一3=fan45°=1,故有

加2—2%—3=+〃2一］/o,由此求得实数机的值.

【详解】过两点4(加+2,M-3),8(-布-机+3,2时的直线/的倾斜角为45。，

前后Tn2-3-2mm2-2m-3._,

则有--------------=-3-----------=tan45°o=1,

tn+2+机+m-32m+m-l

即m2—2机一3=2m2+加一1工0,

即m2+3m+2=0且2nr+机一1工0,

解得m=-2,

4.已知正；A3C的顶点8(1,3),顶点C在第一象限，若点P(x,y)是A3C内部及其

边界上一点,则忘的最大值为<)

C.-D.至一③

【答案】B

【分析】确定C的坐标，将题目转化为两点的斜率，根据图像得到答案.

【详解】正。A8C的顶点4(1,1),8(1,3)且顶点C在第一象限，故顶点C的坐标为(1+6,2),

告可看作内部及其边界上一点与点(-1,0)的连线斜率,

当P运动到点8(1,3)时，直线的斜率最大，故W的最大值为71T=|

5.已知两点A(2,-3),8(-3,2),直线/过点P(l,l)且与线段AB相交,则直线/的斜率左的取

值范围是()

1133

A.-4<k<--B.A4-4或22—-C.-4<k<-D.--<k<4

4444

【答案】B

【分析】数形结合法，讨论直线/过A、8时对应的斜率，进而判断率人的范围.

【详解】如下图示,

当直线/过B时，k=^-=-\,

-3-14

由图知:k<—4或％2—.

4

二、多选题

6.下列说法中，表述正确的是()

A.向量〃?=(-3,6)在直线/上，则直线/的倾斜角为普

B.若直线/与x轴交于点A,其倾斜角为。，直线/绕点A顺时针旋转J后得直线4,则直线乙

4

的倾斜角为£

4

C.若实数X、y满足y=-x+3,则代数式组的取值范围为［1,7

D.若直线乙、4的倾斜角分别为4、%，则sin(a-a)=l是乙_14的充要条件

【答案】AC

7FTT

【分析】A：根据向量求出直线斜率，根据直线斜率即可求其倾斜角；B：当。时，

44

<0,但直线倾斜角为非负，据此即可判断；C：2±|=”2空可看作(苫，丫)与(一2,一3)连线

x+2x-(-2)

斜率，数形结合即可判断；D：两直线垂直，则河-闵='，据此即可判断.

【详解】①向量m=卜3,6)在直线/上，则直线/的斜率为-坐,故直线倾斜角为器，故A

正确；

②若直线/与X轴交于点A,其倾斜角为夕，直线/绕点A顺时针旋转£后得直线4,则f学

44

〈兀时，直线4的倾斜角为。-£；当寸，直线4的倾斜角为兀+(。一£)=9+个；故

4444

B错误；

③若实数x、V满足V=-x+3,-1<X<1,设A(—1,4),8(1,2),

则代数式上士|=与售表示线段4B上任意一点(x,y)和点C(—2,—3)连线的斜率，

A/

\

I\

~iTor

I/

：/

4

c

由图可知，故c正确：

x+2x-(-2)|_3_

④若直线4、4的倾斜角分别为仇、o2,则044<万，04名〈万，-乃<一名40,

-7t<0]-62<7t,则sin(q_a)=]=>q_a='n《±l2；

当时，la-闵2:土5；故sin(a-a)=i是4_L4充分不必要条件，故D错误

三、填空题

7.直线x+)cos9-5=0的倾斜角a的取值范围是.

■.兀37c

【答案】

_44_

TT1

【分析】分别讨论cos。的取值，得到斜率不存在时a=T，以及斜率存在时--3的范围，

2cos®

再利用倾斜角与斜率的关系，即可求解.

TT

【详解】若cos6=0,则直线方程为x=5,即倾斜角a=]；

若cosOwO,则直线方程为y=--1x+三，即tana=--二，

cos。cosgcosJ

.*cos0G[—1,0)(0,11,---------W-1或------21

cos0cos0f

____4._7t7C।(TC37c

Q|Jtana<-1tana>1,解.得a£——u—

[4f2)(24」

TT37r

综上可得。£.

144」

8.已知两点A(-3,4),8(3,2),直线/经过点P(2,-l)且与线段AB相交，贝1|/的斜率&的取值

范围是.

【答案】A23或&4T

【分析】根据题意作图如下，结合图形可知，宜线/的倾斜角介于直线尸5与直线R4的倾斜角

之间，

根据随着倾斜角的变化直线斜率的变换规律，分直线/的倾斜角小于90和大于90两种情况分

别求出直线/的斜率k的取值范围即可.

【详解】如图所示：

因为直线/经过点尸（2,-1）且与线段AB相交，

所以直线/的倾斜角介于直线尸B与直线PA的倾斜角之间,

当直线/的倾斜角小于90时，有kN%

当直线/的倾斜角大于90时，有44小,

由直线的斜率公式可得,

kpA-------------------J,

3-2

所以直线/的斜率A的取值范围为Z23或&4-1.

四、解答题

9.己知直线/经过42,1）、8（1,%2）（,”eR）两点，求直线/的倾斜角的取值范围.

【答案】0,：u（|，j

[分析]先求得直线/的斜率，再利用倾斜角与斜率的关系即可求得直线I的倾斜角的取值范

围.

【详解】；直线/过42,1）,8（1,/）（meR）两点，

2[

.•.直线/的斜率为A='■二!■=1-加41,

1-2

设直线/的倾斜角为a,则。€[0,兀），且tanaVI,

JTJT

解得0<a<—^—<a<TI

42

JTI7T

直线/的倾斜角a的取值范围是0,il-,n

10.经过点P(0,-l)作直线/,且直线/与连接点A(L-2),8(2,1)的线段总有公共点，求直线

I的倾斜角«和斜率k的取值范围.

【答案】14y.

L4jL4J

【分析】根据斜率公式得kpA=N=l，*=三N=-1,由/与线段AB相交，知kPB<k<kPA,

1—02—0

由此能求出直线/斜率左的范围，进而根据正切函数的性质得出倾斜角范围.

【详解】因为=⑥3=三肃=1，由/与线段A8相交，

所以0WlanaK1或一14tana<0,

由于y=tanx在0,9及仁,丁均为增函数，

所以直线/的倾斜角a的范围为：J。。［J苧,

故倾斜角的范围为号"］，斜率k的范围是-1VAML

L4」［4)

11.分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出倾斜角；如

果不存在，求出倾斜角.

⑴C(-3,4),£>(2,4)；

⑵尸(0,0),。(―1,6)；

⑶例(-3,近),N(-0,3)；

(4)E(7,O),Q(7,-0).

【答案】(1)存在，斜率为々8=0,倾斜角为0；

(2)存在，斜率为kpQ=-V3,倾斜角为120：

⑶存在，斜率为《^=1,倾斜角为45；

(4)不存在.

【分析】根据横坐标是否相等判断斜率存在与否，若不相等时，斜率存在，再结合斜率公式求

解倾斜角即可；若相等时，则斜率不存在.

(1)解：因为与W与,

所以经过4),0(2,4)的直线斜率存在,

4-4

所以斜率为七"=一==0，

设倾斜角为ae€[o,180),则tane=0,故。=0,即倾斜角为0

(2)解：因为辱。勺，

所以经过P(0,0),Q(-1,6)的直线斜率存在，

所以斜率为k=———=-也＞

PQ-1-0

设倾斜角为仇JG[0,180),则tan6=-G,故，=120,即倾斜角为120.

(3)解：因为如大为,

所以经过M(-3,0),N(-正,3)的直线斜率存在，

a_To

所以斜率为“MN=~~^2一।，

设倾斜角为0,0e[0，180),则tan6=l,故。=45，即倾斜角为45.

(4)解：因为X〃=XQ,

所以经过M(-3,&),N(-0,3)的直线斜率不存在，

12.(1)若直线/的倾斜角ae3三,求直线/斜率”的范围;

O3_

(2)若直线/的斜率左«-15，求直线/倾斜角a的范围.

【答案】(1)ke亭6c汽3万।

⑵aw0,-u

【分析】根据直线的倾斜角a和斜率2的关系,k=tana,即可求解.

717Ttan&=3

【详解】解：(1)因为A=tana,otetanj,

63

结合正切函数在[O，P)的单调性得ke与小,

(2)直线/的斜率无目―1/，tan^=l,tan—=-1,

44

7T34

结合正切函数在[0,P)的单调性得a€0,-u7

13.已知A(3,3),8(-4,2),C(0,-2).

(1)求直线AB的斜率并写出直线BC的一个方向向量；

(2)若点。在线段BC(包括端点)上移动，求直线的斜率的变化范围.

【答案】(l)g，直线BC的一个方向向量为(L-1)；

叫京•

【分析】(1)利用斜率公式求出直线A8,8c的斜率，从而求出直线8c的一个方向向量;

(2)当点。由点B运动到点C时，直线4。的斜率由MB增大到AAC,求出“1C即可.

3-21

(1)解：直线A8的斜率为丁二元=3,直线8c的斜率为一2-(匚-2」]=-1,

3-(-4)7-4-0

...直线BC的一个方向向量为.

(2)解：如图，当点。由点8运动到点C时，直线AO的斜率由增大到乂C,

由(1)可知始8=』，fc4C=3-(2).=g,

73-03

直线AD的斜率的变化范围为[)，||.

14.已知过坐标原点。的一条直线与函数y=loggx的图象交于A,B两点,分别过点4,8作

y轴的平行线与函数y=log3》的图象交于C,。两点.

(1)证明：点C,D,。在同一条直线上；

(2)当直线8c的斜率为0时，求点A的坐标.

【答案】(1)证明见解析

⑵(2,岫2)

【分析】⑴设点A&,log,,不)，Wf/oggw),则C(办JogT),。(与log?%)曲A，。，B

三点共线，知必=*,即有地受=幽&,将等式化成以3为底的对数，即可得自c=^o,