三角函数三角函数的图像与性质-高三数学二轮复习

一、预备知识1.三角函数的图像与性质图像定义域值域增区间减区间奇偶性周期对称轴对称中心零点2.常见的三角函数值角度

三、教学内容知识点一解析式的求解【基础知识框架】1.辅助角公式(合一公式)其中，，.2.由图像求解析式对于三角函数，由_________决定，最大值为__________，最小值为________；由_________决定，_________；最后可代入特殊值点求解。（最好为_______点或_______点）3.伸缩平移变换求图像解析式对于三角函数，上下平移改变________，左右平移改变________。上下伸缩（横坐标保持不变）改变________，左右伸缩（纵坐标保持不变）改变________。注意：左右平移个单位，只是把变成________；左右伸缩倍（横坐标保持不变），变为原来得_______。【例题分析】考向一利用辅助角公式求解析式例1．（2022.长沙雅礼高三月考）已知函数，若函数的图像与函数的图像关于轴对称；（1）求函数的解析式；例2．（2022.天津南开高三月考）已知函数，．（1）求函数的解析式；

考向二利用图像求解析式例3．（2021·全国·高考真题）已知函数的部分图像如图所示，则______________.例4．（2020·海南·高考真题·多选）下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=（

）A． B． C． D．例5．（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（

）A． B．C． D．考向三利用伸缩平移变换求解析式例6．（2022·浙江·统考高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度例7．（2021·全国·统考高考真题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（

）A． B．C． D．

知识点二换元法求三角函数的性质【基础知识框架】1.已知三角函数(1)周期：.(2)单调增区间：令，求.(3)单调减区间：令，求.(4)对称轴：.(5)对称中心：.(6)值域：若已知三角函数，且=1\*GB3①若可以取到和，则的最大值为________，最小值为________；=2\*GB3②若无法取到和，则需得到的边际范围，根据三角函数的性质得到最值.2.注意事项(1)对于三角函数，极值点可以等价为对称轴，零点可以等价为对称中心的横坐标.(2)若在选择题中题目已给出对应性质，可以回代检验即可.(3)注意题目所给函数是正弦函数还是余弦函数.【例题分析】考向一已知函数解析式求函数性质例1．（2022·天津·统考高考真题）已知，关于该函数有下列四个说法：①的最小正周期为；②在上单调递增；③当时，的取值范围为；④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为（

）A． B． C． D．例2．（2021·全国·统考高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（

）A． B． C． D．例3．（2023·江苏南通·统考模拟预测·多选）已知函数，下列说法正确的有（

）A．在上单调递增B．若，则C．函数的图象可以由向右平移个单位得到D．若函数在上恰有两个极大值点，则例4．（2024·吉林白山·二模）已知函数，则（

）A．的图象关于原点对称B．的图象关于直线对称C．在上单调递增D．在上有个零点考向二先求函数解析式再求函数性质例5．（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则（

）A．在上单调递减 B．在上单调递增C．在上单调递减 D．在上单调递增例6．（2020·全国·统考高考真题）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（

）A． B．C． D．例7．（2022·全国·统考高考真题·多选）已知函数的图像关于点中心对称，则（

）A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线例8．（2023·广东广州·统考一模·多选）已知函数的图像关于直线对称，则（

）A．函数的图像关于点对称B．函数在有且仅有2个极值点C．若，则的最小值为D．若，则例9．（2023·全国·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4例10．（2024·辽宁·二模）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．函数在区间上单调递减C．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象D．若，则例11．（2024·云南昆明·一模）已知函数，则（

）A．的最大值为2B．的图象关于点对称C．在上单调递增D．直线是图象的一条对称轴例12．（2024·河北沧州·一模）已知函数，且，若函数向右平移个单位长度后为偶函数，则（

）A．B．函数在区间上单调递增C．的最小值为D．的最小值为例13．（2024·浙江·二模）关于函数，下列说法正确的是（

）A．最小正周期为 B．关于点中心对称C．最大值为 D．在区间上单调递减例14．（2024·云南贵州·二模）已知函数，则下列说法正确的是A．B．函数的最小正周期为C．函数的图象的对称轴方程为D．函数的图象可由的图象向右平移单位长度得到例15．（2024·山东潍坊·一模）函数（）的图象如图所示，则（

）A．的最小正周期为B．是奇函数C．的图象关于直线对称D．若（）在上有且仅有两个零点，则例16．（2024·福建漳州·模拟预测）已知函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（

）A．的图象关于中心对称B．在区间上单调递增C．在上有4个零点，则实数的取值范围是D．将的图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象例17．（2024·山东聊城·一模）已知函数的最小正周期为2，则（

）A． B．曲线关于直线对称C．的最大值为2 D．在区间上单调递增例18．（2023·全国·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则．

知识点三已知三角函数性质求参数【基础知识框架】1.已知三角函数(1)若已知函数周期为，则令.(2)若已知函数在递增，则周期且.(3)若已知函数在递减，则周期且.(4)若已知函数的一个对称轴为，则令.(5)若已知函数的一个对称中心为，则令.2.注意事项(1)若求或的最小值，则需比较正负交替的值.(2)函数性质之间需要灵活转换，比如函数图像关于轴对称可转化为函数是偶函数(3)若，则是函数的___________，若，则是函数的___________；(4)若，则是函数的___________.【例题分析】例1．（2022·全国·统考高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（）A．1 B． C． D．3例2．（2022·全国·统考高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于轴对称，则的最小值是（）A． B． C． D．

例3．（2022·广东广州·统考二模）如果函数的图像关于点对称，则的最小值是（）A． B． C． D．例4．（2022·广东广州·统考一模）已知函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．例5．（2022·河南）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象过点，则的最小值为（）A．1 B．2 C． D．例6．（2023·陕西咸阳·一模）已知函数是奇函数，则____.例7．（2020·江苏·统考高考真题）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程是____.例8．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（

）A． B． C． D．

知识点四已知三角函数性质求参数范围【基础知识框架】1.已知三角函数(1)若已知函数周期为，则令；(2)若已知函数在递增，则周期且；(3)若已知函数在递减，则周期且；(4)若已知函数的一个对称轴为，则令；(5)若已知函数的一个对称中心为，则令；2.若已知三角函数在区间上对称轴、对称中心或者零点的数量，则可由得出，结合函数的图像得出边际范围。3.对于三角函数，函数的极值点等价于函数的________，函数的零点等价于函数的_________.【例题分析】考向一已知函数特殊值点数量求参数范围1．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是．2．（2022·全国·统考高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2024·全国·一模）设函数在区间上恰有两个极值点，两个零点，则的取值可能是（

）A． B．2 C． D．

4．（2022·四川绵阳·校考模拟预测）若函数（）在区间上恰有唯一极值点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．5．（2022·河南·统考一模）把函数的图象向左平移个单位，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若函数在上恰有3个零点，则正数的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）已知函数在区间上的极值点有且仅有2个，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2022·山西·统考一模）已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．8．（2021·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．9．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知，若函数在区间上有且只有个零点，则的范围为（

）A． B．C． D．

考向二已知函数单调性求参数范围10．（2022·浙江高二期末）函数向右平移个单位后得到函数，若在上单调递增，则的取值范围是（）A． B． C． D．11．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知在区间上单调递增，则的取值可能在（

）A． B． C． D．12．（2023·广东·校联考模拟预测）若函数是区间上的减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．13．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是_________．14．（2020下·湖南郴州·高一统考阶段练习）已知，函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．15．（2023·天津·统考二模）若函数在区间上具有单调性，则的最大值是（

）A． B． C． D．

知识点五定义法求三角函数的性质【基础知识框架】1.函数的奇偶性一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有___________，那么函数就叫做偶函数．一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有___________，那么函数就叫做奇函数．2.奇函数、偶函数的图象特征如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以___________为对称中心的中心对称图形.如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以___________为对称轴的轴对称图形.3.周期函数一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，________________都成立，那么就把函数称为周期函数，非零常数叫做这个函数的周期.由周期函数的定义可知，周期并不唯一.若所有的周期中存在一个最小的正数，我们便称它为函数的________________.4.函数单调性的定义一般地，设函数的定义域为：如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有______________，那么就说函数在区间上是增函数，区间称为函数的____________；如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有______________，那么就说函数在区间上是减函数，区间称为函数的____________．5.函数对称的定义若函数满足，则关于直线____________对称.若函数满足，则关于点____________对称.若函数满足，则关于点____________对称.

【例题分析】例1．（2021·北京·统考高考真题）函数是A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为例2．（2020·北京东城·北京市第五中学校考模拟预测）关于函数有下述四个结论：①是偶函数

②在区间（,）单调递增③在有4个零点

④的最大值为2其中所有正确结论的编号是A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③例3．（2020·全国·统考高考真题）关于函数有如下四个命题：①的图象关