《矿物加工数学模型》矿物加工数学建模相关数学知识课件

第2章矿物加工数学建模相关数学知识

矿物加工数学模型的建立和求解需要比较宽广的数学基础。

本章对矿物加工数学建模中常常涉及的数学知识进行总结。

目的是：讲述和学习过程中，按需查用。

一般地，课堂学时有限，不允许展开介绍。2.1概率论与数理统计 2.2行列式、矩阵与线性方程组 2.3数值计算 2.4最优化与搜索法 2.5最小二乘法 2.6拉格朗日乘数法 2.1概率论与数理统计2.1.1概率论 2.1.1.1随机变量2.1.1.2概率2.1.1.3随机变量的数字特征(1)数学期望与位置参数；(2)方差与散布特征；(3)偏度系数；(4)峰度系数；2.1.1.4正态分布2.1.1.5其它连续型分布简单介绍在分配曲线、粒度分布、浮选速率常数分布等的描述中大量应用的几个连续型分布，包括均匀分布、威布尔分布、伽玛分布、贝塔分布、柯西分布、Logistic分布、极值分布。

2.1概率论与数理统计2.1.2数理统计 2.1.2.1总体、样本、统计量2.1.2.2抽样分布2.1.2.3点估计2.1.2.4区间估计2.1.2.5假设检验

2.2行列式、矩阵与线性方程组涉及多变量求解的数学建模过程，必然用到方程组；而行列式和矩阵是方程组表达与运算处理的工具。2.2.1行列式 2.2.2矩阵表示方程组含：矩阵的初等行变换 2.2.3特殊矩阵与矩阵运算

对角矩阵等特殊矩阵；数乘、矩阵乘、转置、逆等运算2.2.4线性方程组的解法 克莱姆法则；初等变换法；基础解系法。2.3数值计算数值计算研究如何借助计算工具求得数学问题的数值解答。数值算法：用于描述数值问题的计算步骤，由一组基本运算及运算顺序的规定构成的目标问题解决方案的完整描述。好的算法应该具备以下特征：1)结构简单，计算机容易实现；2)理论上必须保证收敛性和数值稳定性；3)计算效率高，计算速度快且节省存储空间；4)经过计算实验的检验。2.3数值计算数值计算中，误差处理十分重要。按来源，误差可分为模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差四种。

截断误差与舍入误差都可通过对算法的改进和优选，一些简单原则包括：1)避免两个相近的数相减；2)避免绝对值太小的数作分母；3)尽量简化计算步骤以减少运算次数；4)尽量采用数值稳定性好的算法。目前，科学计算都采用计算机实现，已经容易找到常用数值计算算法的程序代码。矿物加工数学建模的关键是：结合问题的专业特征找到和推演出合适的算法。其求解则可借助成熟的科学计算软件协助完成。2.3数值计算2.3.1线性方程组的直接解法2.3.1.1顺序高斯消去法2.3.1.2列主元高斯消去法2.3.1.3用追赶法解三对角方程组2.3.1.4LU分解法解线性方程组2.3.1.5舍入误差对解的影响2.3.2线性方程组的迭代解法迭代法大意：从某个初始值开始，借助某种递推规则的运算得到后继值，重复这个过程，便生成逐次逼近精确解的近似值的序列；当得到的近似值满足精度要求时，即可停止递推计算，并以序列的最末项作为问题的最终解。凡迭代法都存在收敛性与精度控制的问题。2.3数值计算2.3.3非线性方程的迭代解法2.3.3.1二分法解非线性方程2.3.3.2牛顿法解非线性方程2.3.3.3阻尼牛顿法解非线性方程2.3.3.4离散牛顿法解非线性方程

2.3.4非线性方程组的迭代解法2.3.4.1解非线性方程组的简单迭代法2.3.4.2解非线性方程组的牛顿法2.4最优化与搜索法2.4.1线性规划及单纯形法2.4.1.1线性规划的标准型2.4.1.2线性规划的图解法2.4.1.3线性规划的单纯形法2.4.2非线性规划2.4.2.1下降迭代法2.4.2.2单变量函数寻优的黄金分割法2.4.2.3单变量函数寻优的牛顿法2.4.2.4寻找单变量函数的极值点区间2.4.2.5多变量函数的寻优方法

2.5最小二乘法

最小二乘法在矿加数学建模中具有显著意义，是拟合模型及许多最值问题推证的理论根源。

从高等数学角度，最小二乘法是微分法在多元函数极小值求解问题中的一种应用。最小二乘法的前提：预想到一个确定类型的模型，且已经收集数据并进行了分析。最小二乘法的求解实质：寻找以模型参数为自变量、偏差平方和为因变量的多元函数取得极小值时其自变量的取值情况。预想模型的形式愈复杂，其模型参数的个数就愈多，其求解过程就愈复杂。2.5最小二乘法2.5.1最小二乘法的应用过程 2.5.2经变换的最小二乘 如果一个非线性方程，在变换后的变量间呈线性关系，则利用直线模型的最小二乘法，可以求出变换后直线模型的斜率和截距，从而建立已知数据的近似模型。变换后方程的最小二乘拟合与原非线性方程的最小二乘拟合不是同一个。对变换后的方程，极小化的是变换后变量的偏差平方和。2.5.3最小二乘法的通用定义 2.6拉格朗日乘数法从数学角度看，拉