高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册数列专项突破

高中数学人教A版(2019)选择性必修第二册数列专项突破

3

第I卷(选择题)

请点击修改第I卷的文字说明

一、单选题

1.已知｛斯｝是公差为d(d>0)的等差数列，若存在实数XI,X2,X3,…，X9满足方程

sin玉+sinx2+sinx3+...+sinx9=0

组则d的最小值为()

4sinXj4-6^sinx2+a3sinx3+…+/sin用=25

9854

--c-

A.8B.94-D.5

2.已知数列｛%｝的各项都是正数且满足2吊—3%=4-(〃eN\n>2),S“是数列｛/｝的

前”项和，则下列选项中错误的一项是()

A.若｛4｝单调递增，则。<2；

3

B.若％=1,则m<“3<2；

C.若。产2,贝|」(2见+1)(2%+1)…(2/+1)=^^522)

4-2

D.若4=3,则S,一(3丁).

,、(2,«<5/八

3.已知数列｛%｝满足：。,=,、/〃eN.若正整数网225)使得

a；+靖+…+《=4〃2…%成立，则&=

A.16B.17C.18D.19

4.已知各项都为正数的数列｛4｝满足q=a(a>2),e-“+。向=-，+履“(〃eN*),给

出下列三个结论：①若女=1,则数列｛勺｝仅有有限项：②若左=2,则数列｛%｝单调递

2

增；③若k=2,则对任意的M>0,睹存在，%eN’，使得见>例成立.则上述结论中

正确的为()

A.①②B.②③C.①③D.①②③

5.数列｛““｝中，若4=a,a„+i=sinfyaA«e,则下列命题中真命题个数是()

(1)若数列｛《,｝为常数数列，则。=±1;

(2)若ae(O.l),数列｛a,,｝都是单调递增数歹U；

(3)若aeZ,任取｛4｝中的9项成，…，艰(1<8<佝<•••<%)构成数"J｛q｝的子数

｛限｝(〃=1,2「..,9),则｛”｝都是单调数列.

A.0个B.1个C.2个D.3个

6.已知数列｛”“｝满足：ai=O,%=ln(e""+l)-a“(nWN*),前"项和为S”(参考数据:

ln2=0.693,ln3=1.099),则下列选项中错误的是()

A.他“J是单调递增数列，｛%｝是单调递减数列B.an+a„+l<\n3

C.$2020<666D.。2"-1<

二、多选题

7.已知数列口｝满足：4+4=1+%,4=1,设aWnaQeM),数列也｝的前八项和

为S“，则下列选项正确的是(ln2yO.693』n3al.O99)()

A.数列｛%_)单调递增,数列｛%“｝单调递减B.〃+%41n3

C.S2020>693D.b211T>b2„

8.已知数列也｝满足4=1,《用=”?”2(〃eN)其中国表示不超过实数[x]

的最大整数，则下列说法正确的是()

A.存在"cN,,使得号B.卜是等比数列

C.”2020的个位数是5D.%)21的个位数是1

第H卷(非选择题)

请点击修改第II卷的文字说明

三、填空题

9.已知数列｛%｝、｛〃,｝、｛&｝的通项公式分别为4=竺、"=四、%=竺，其中

nst

〃+s+/=200,s=kn,〃,s,t,kcN*,令M=max｛a“也,q｝(013*｛4,也,。“｝表示。“、为

、c,三者中的最大值)，则对于任意keN*,M.的最小值为

ahah>0

10.任意实数a,h,定义“领=g帅<0,设函数/(x)=log2X(g)x,数列｛4｝是公

,~b0<

试卷第2页，共4页

3

比大于0的等比数列，且4。"=1，/（卬）+/（见）+/（。3）+…（a刈9）+/（«202（>）=-—,则

%

《二一;

11.对于数列｛%｝定义：。）=4.「q（”€叱），/）=«2_/（〃€“），

f=/_/）（〃€N*）,…，/—[nwN*）,称数列｛/）｝为数列｛q｝的0阶差

分数列.如果#=d（常数）（〃€N"）,那么称数列｛a,,｝是k-阶等差数列.现在设数列｛4｝

是3-阶等差数列，且4=3,%=9,%=27,£=6,则数列｛%｝的通项公式为

12.定义“穿杨二元函数”如下：Cm，〃）=e+2a+4[+8a+..；例如:

〃个

C（3,4）=3+6+12+24=45.对于奇数”?，若Vie｛1,2,3,4,5｝,3a,.,n,.eZ+,a,.>1,«,.>1

（4，/，4，4，“5彼此相异），满足C（4，〃J=m,则最小的正整数机的值为.

四、解答题

13.设数列｛〃“｝和｛5｝的项数均为①则将数列｛%｝和｛瓦｝的距离定义为打4一切.

i=l

（1）给出数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离；

1+CI,.

（2）设A为满足递推关系如+产疗的所有数列｛”“｝的集合，｛儿｝和｛金｝为A中的两个

元素，且项数均为胴，若素=2,a=3,｛瓦｝和｛金｝的距离小于2016,求加的最大值;

（3）记S是所有7项数列｛斯|1W芯7,a”=0或1｝的集合，TQS,且T中任何两个元素的

距离大于或等于3,证明：7中的元素个数小于或等于16.

14.在无穷数列｛4｝中，可，生是给定的正整数，a,l+2=|a„+l-a,,|,„eN,.

⑴行4=5,a2=3,写出〃20]9,“2020，。2021的值；

（2）证明：存在机eN“,当“〉机时，数列｛%｝中的项呈周期变化；

（3）若为,生的最大公约数是女，证明数列｛4｝中必有无穷多项为h

15.给定数列q,七‘…对i=l,2,…,”-1,该数列前，项的最大值记为4，后项

的最小值记为q,4=4-8,.

（1）设4=gx2"T,求4；

（2）设4M2,…,a,,（〃N4）是公比大于1的等比数列，且4>。时，证明：4一

成等比数列；

（3）设4，4，…,4T是公差大于o的等差数列，且4>0,证明：。”叼，…,4—成等差

数列.

2（n=l）

16.已知数列｛?卜满足"“=g*+_L（心（V2O,，+rxO,〃geN）.

（1）当9>1时，求证：数列｛《,｝不可能是常数列;

（2）若卬=0,求数列｛%｝的前〃项的和:

2

⑶当q=g,f=l时，令""=寂=（〃N2，〃eN）,判断对任意〃之2,〃eN,b“是否为

正整数，请说明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案

1.C

【分析】

把方程组中的%都用4和d表示，求得d的表达式，根据方程组从整体分析可知：当

sin^=sinx2=sinXj=sinx4=-1,sinx5=0,sin/=sinw=sin/=sin.q=1时，d取最〃、值.

【详解】

解：把方程组中的4都用q和，/表示得：

qsinXj+(4+d)sin/+(q+2J)sinx34-•••+(q+8J)sinx9=25,

把sin%+sinx2+…+sin/=0代入得：

25

"=sinx2+2sin为+...+8sin为,根据分母结构特点及皿占+sinx?+…+sin%=°可知：当

sin%=sin/=sin^=sin/=-1,sin/=0,sin%usin与=sin%=sinAg=1时，

____________25____________5

“取最小值为

-1-2-3+4x04-5+6+7+84

故选：C.

【点睛】

关键点点睛:本题解题的关键是根据方程组从整体分析得：当sin±=sinx2=sinx,=sinx4=-1,

sinx；=0,sinxe=sinx,=sin%=sin%=1时，，”取最小值.

2.D

【分析】

由数列递增可得a.>a“T，结合数列的递推式，解不等式可判断A；分别求得生，生,比较

可判断B；由数列的递推式可得24+1=子（，由累乘法可判断C;求得。2,邑，可判断O.

【详解】

解：数列｛叫的各项都是正数且满足2a；-3q,=qi5eN*,«-2）,

若｛《,｝单调递增,可得4>%T，

即为4,-%=4。,,-24>0,

可得0<q<2,司.2且

由q<“2，

答案第1页，共22页

可得0<q<2,故A正确；

若q=i,

可得2a；-3a2=a,=1,

解得生=的普(负值已舍去)，

由2a；-3a,=a2=3+^^,(*),

也叵e(L75,1.8),

4

393.3

而2d-3a3=2(-京在⑵，2)的范围是《近一3x2,，2),

而夜v2久2，

贝440-3x2：e(4a-6，⑶，

故方程(*)的解在(2)2)内，故B正确；

由，

可得2a；-3a”-2=2,

即(2«„+l)(a„-2)=«„_,-2,

即2%+1=黑券

可得(2生+1)(2%+1)-3,+D=3•：：；..=%回二刀，

故C正确；

若〃i=3,可得2a；-3a2=4=3,

解得生=2普，S?=3+史普，

,3x(3x2+D21.3+屈21>/33-6八

由-4—=优3+1^丁^<°,

可得邑<3X(3；2+1),故。错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查数列的递推公式的运用，考查数列中的项的范围和单调性，以及数列的求和，考查

化简运算能力、推理能力.

3.B

答案第2页，共22页

【分析】

由题意可得q=%=%=%=。5=2,4=T=2$-1=31,九.6时，4a2…=1+4，

将〃换为九+1,两式相除,d=%-4+l,n..6,

累力口法求得〃;+d+…+d=。八1一〃6十2一5即有〃；+W+…+〃；=2。+4+[-4+%—5=〃A1+4—16,

结合条件，即可得到所求值.

【详解】

12,%5

解：。〃={1(〃wN*),

即4=4=6=。4=%=2,a6=4a2%—]=3],

儿.6时，-…%=1+可，

的2…4=1+%，

两式相除可得罂^见，

则+1，几.6,

由4；=47-4+1'

《=4-%+],

a*=a*+i-%+1,k..5,

a

可得i,+/+…+“；=—a6+k—5

a;+a；=20+a«+1—%+%—5=a*+1+k—16,

且4a2…4=1+4”，

正整数左伏..5)时，要使得^+耐+…+公=卬/…%成立，

则喙“+&-16=a**i+l,

贝必=17,

故选：B.

【点睛】

本题考查与递推数列相关的方程的整数解的求法，注意将题设中的递推关系变形得到新的递

推关系，从而可简化与数列相关的方程，本题属于难题.

4.A

【分析】

答案第3页，共22页

对于①，利用数列的单调性，通过累加法即可作出判断；对于②，先证明%>2,再借助作

差法即可得到结果；对于③，判断数列是有界的还是发散的即可.

【详解】

对于①，e""'+。"+|=--‘+。〃+1一%=-"■■一"』,

又数列｛叫各项都为正数，・・・。向一q<0，

，数列｛%｝单调递减，，。<。〃+1一----；

ana\

1

anl~an<-----，

+an

%-4=(4一4一2)+♦••+3一①)

--------...,---...---

4T%%%%%4'

n—1八n—1

・・.〃〃-4V--------,艮[j0</<q---------,

4q

n—\_

0<q--------,g[Jn<a2+1=(?2+1,而a?+i为定值,

4

二数列｛%｝仅有有限项，命题正确；

对于②，先用数学归纳法证明4>2.

(1)当〃=1时，«,=«>2,显然成立；

(2)假设〃=无时,4>2,

17

则。一%'+4+1=~+2&>不，

42

记/(力="*+%，(x>0),

/'(x)=1->0,/(x)=e、+x在(0,+e)上单调递增,

7

〃2)=e-2+2<5<〃4.3

•**ak+l>2,

・••对XMwN*,都有4>2.

答案第4页，共22页

%-a”=a”---e-"-'>a-----1,

a”na”

又y=2x-：-l在(2,s)上单调递增，

又%>2,...ae-aQZq-lW〉。，

数列｛《,｝单调递增，命题正确；

对于③，

•v+a„tl=--+2a„,

册

4+1=-+2an-e'a"r'>2a„---1,即a“+i>2a“----1,

anana„

13

又〃“>2,，an+l>2an---y=2an--,

・•.《,厂|>2N一|),

***an-+1，

222

_____q_____<

.•.%卜「I卜一+1,-|卜'I'

n2

------------------------------------2n"

显然(3、i存在上界，即一存在上界，

[a'~2)2a"

，命题错误.

故选：A

【点睛】

方法点睛：递推关系履,,(〃eN*)显然无法确定通项，从而要从项间关系切

入，利用单调性、最值、周期性等，结合放缩思想即可得到结果.

5.C

【分析】

对(1),由数列为常数数列，则a2=sin(]a)=a,解方程可得。的值；

对(2),由函数/(x)=sin《x)-x,xe(O,l),求得导数和极值，可判断单调性；

TT

对(3),由/(x)=sin(]x)-x,判断奇偶性和单调性，结合正弦函数的单调性，即可得到结

答案第5页，共22页

论.

【详解】

r

数列｛4“｝中，若4=",«„+,=sin(ya„),neN,

(1)若数列｛4｝为常数数列，则/=sin(]a)=〃，

解得a=。或±1,故(1)不正确；

TT7T

(2)若。£(0,1),—ae(0,—),

22

.k、

a2=sin(­a),

TT

由函数/(x)=sin(,x)-x,xe(0,l),

TC冗

r(X)=]COS(5X)-l,

由gxe(0,g),可得极值点唯一且为m=2arccos2,

227171

极值为f()n)=———--arccos—>0»

71TV71

由/(。)=/(1)=0,可得〃2>4，

则%2=sinC1^2)-simgq),。，即有火>出.

777T

由于a,,e(0,1),ya>re(0,-),

由正弦函数的单调性，可得为“>”,,，

则数列｛4｝都是单调递增数列，故(2)正确；

(3)若。€(0,1),任取｛"”｝中的9项4,以，旬，…，a^<k,<k1<...<

构成数列伍"的子数列｛%』，〃=1,2,…，9,｛%｝是单调递增数列；

TT

由〃x)=sin(5x)-x,可得f(-x)=-/(x),/(x)为奇函数；

当0cx<1时，/(x)>0,x>l时,/(%)<0；

当-l<x<0时，f(x)<0；x<-l时，/(x)>0,

运用正弦函数的单调性可得0<a<1或。<T时，数列｛4“｝单调递增；

-1<〃<0或。>1时，数列｛a,J单调递减.

所以数列｛%｝都是单调数列，故(3)正确;

答案第6页，共22页

故选：c.

【点睛】

本题考查数列的单调性的判断和运用，考查正弦函数的单调性，以及分类讨论思想方法，属

于难题.

6.C

【分析】

设*="，则有酊也M=片，*2=等丹，构建g(X)=N，求导分析可

知导函数恒大于零，即数列也“｝，｛邑"都是单调数歹U，分别判定a<4也>々，即得单调性，

数列｛q｝与数列｛2｝的单调性一致，可判定A选项正确；B、C选项利用分析法证明，可知

B正确，C错误；D选项利用数学归纳法证分两边证31<与1<a“，即可证得的,1<”2“.

【详解】

由题可知，。1=0,=ln(e,+1)-勺，a2=ln(^°+l)-0=ln2

....,.b”+1.2b”+1

设e"“=b”也>0,则有如也,=2+1也用=<-,即/+2

b“2+1

令g(")='则")=油］>°,这里将(如也),您也+2)视为g(x)上的前后两点,

b-b

因函数g(x)单调递增，所以片5L>°，

所以数列｛邑｝，出,1｝都是单调数列

又因为仿=产=e0=l,同理可知，也>4,所以｛邑_J单调递增，｛%｝单调递减

因为数列包｝与数列｛〃｝的单调性一致，所以他单调递增，｛%“｝单调递减，

故A选项正确；

因为*="“，则％=In",欲证%=lnd+ln"+|=ln(6jd+JWIn3,即

么也+i43n»+143n442

由6向=铝，上式化为4里42=2_21,

”,给

显然〃=2时，々=1,当〃23时，故％±1成立；

2

所以原不等式成立

答案第7页，共22页

故B选项正确；

欲证«„+a„+,++2*In3,只需证In»+Inb„+l+Inbn+2>ln3,即In(〃♦〃向也+?)*m3

即bjb“,「b”,223="号423n2"+123n221,显然成立

b.bn+\

1998

aa

故„+4*i+n+22In3>1,所以S2020>S惭>xl=666

故C选项错误；

欲证/因单调性一致则只需证以一心”“，只需证%1T〈丹!■〈公

/—厂.2/?.+111y/S+1

因为2〈怨，若总<理，则?%”^H^二丁；

2+

I—［―.Zb、”+111x/s+1

又因为打=2>与，若"，则电+2=^T=2—逅>2—^^=-7-；

由数学归纳法有b2„_t<岑］<b2„，则“2,1</“成立

故D选项正确。

故答案为：C

【点睛】

本题考查二阶线性数列的综合问题，涉及单调数列的证明，还考查了分析法证明与数学归纳

法的证明，属于难题.

7.ABC

【分析】

由给定条件可得。皿=?唱，由此构造函数g(X)=¥，利用导数研究其单调性而判断选

项A,利用不等式性质探求出442可判断选项B,由。”的范围探求出a+以1+%2的范围

而判断选项C,取特值说明而判断选项D.

【详解】

1+ci,,2a+1

因q=l,4+4=1+。“，则。用=----,即。"+2=丁丁，

令g(x)="?(x>0),则g'(x)=,］、2>0,g(x)在(。，+°°)上单调递增，

x+\(x+1)

点(%4)与(%%)(“eN*,"23)是函数g(x)图象上的两点，于是有?小>0("N3),则

Cln-an-2

&”},E-J都单调,

答案第8页，共22页

35

又q=1,则%=2,%=,,%=§，即4<%，%>4，所以单调递增，｛%,｝单调递减，

A正确；

显然%>0，。““=1+?>1,而4=1,即V〃eN*，44l,则0<,41,1<«„+,<2,

于是14。.42,则有。“,口”=1+。”与3,所以々+"+1=lna"+lna“M=ln(a,,q,M)Vln3,B正确；

〃“+12a”+1

4+2田+瓦+2=Ina„+Ina„+Ina„,=\n(a„a„^),而a„a,^a„,=a„-------=2a„+1>3,

+1222u1

na林十

b“=lna“20,b„+b„+l+b„,2>\n3

2019

所以S9o>S2019>三一ln3«1.099x673=739.627>693,C正确；

_35

a

若砥-i>b21t,贝ijIna2n-i>Ino,而q=L4=2,6=/,%=§,即％”-i>in对

"=1和”=2都不成立，D不正确.

故选：ABC

【点睛】

关键点睛：涉及单调性的某些数列问题，数列是一类特殊的函数，准确构造相应的函数，借

助函数导数研究其单调性是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件.

8.BD

【分析】

根据取整函数的性质可得数列｛%｝为递增数列，根据整数的性质可得“"”=3%-1,从而可

求数列｛4,｝的通项，从而可判断AB的正误，利用二项式定理可判断C的正误，从而可判断

D的正误.

由题可得,为正整数，故4+1

所以数列｛%｝为递增数列,

故当时，a„>a2=2.

答案第9页，共22页

又当〃之2时,（。〃一2）2-J。：-；］=，4〃〃<°即（一2<Ja：-；,

1

即2•

<03a-i<

2tl

结合3。“-1、3%均为正整数可得。向=3a.—1,其中〃22,

而4=34-1,故a.+|=3a“-1,其中〃21.

故4可_5=31%_5>又4一万二]十。，故《一耳力0,

°」

故二，=3,故数列是以g为首项，3为公比的等比数列,

因此《,—g=gx3"T,«„=1(3"-|+1),因此A错误，B正确.

7_32019+1_3-32(),8+1_3-(10-1)，0<)9+1

%°2。=-^―=—2—二]

3.(酸10晔-/10侬+…-CQ02+C曜明1)+1

2

00900s

BIO。-C：009101+…-。需102)+1009x30-2

2

=3-(30910皿-c：009KT8+-C：黑102)+1000x30+130十4，

因为3-(C；109103y009K)颉+…-C：黑102)+1000x30为10的倍数，

2°

故出⑼的个位数为4,因此C错误.

设=10%+4,则％以=3(10%+4)—1=30A+11=30氏+10+1,

故生⑼的个位数为1，因此D正确.

答案第10页，共22页

故选：BD.

【点睛】

思路点睛：以取整函数为背景的数列的递推关系，需结合递推关系的形式和整数的性质挖掘

新的隐含的递推关系，从而把问题转化为常见的递推关系，与个位数或余数有关的问题，多

从二项式定理去考虑.

9心

11

【分析】

当％=2时，可得出=max｛a“c,,｝=max,再根据数列的单调性求得”=萼，

取得最小值，而44＜警＜45,分别求出知皿，比较可得火=2时，的最小值，

然后当*=1,*43时，根据函数的单调性，分别求出可能取得最小值时〃的值，比较即可得

答案

【详解】

60]

当％=2时，可得=max{”“也,％}=max{《,,％}=max{—

200-3nJ

因为数列｛为｝为单调递减数列，数列｛。｝为单调递增数列，

所以当一=CA/、。时，取得最小值，此时"=二-,

n200-3n9

HAUU400+}[4060110

因为44＜丁＜45,而％4=max{%Q}=max{笠，200_3x44j=T?

、J4060112

M=maxJ=max＜—,---------＞=—,

45I45,45/145200-3x45113

1012

又因为一＜一,

1113

所以当％=2时，M,,的最小值为

8030]

——＞，

{n1UU-nJ

因为数列也}为单调递减数列，数列{c,,}为单调递增数列，

QQ3()Q(V)

所以当空=77^一时,，％，取得最小值，此时”=当，

nl(X)-n11

「、…800”)f8030110

因为72＜斤＜73,而％2=max{42，%}=max慢,],

M73=max{b73,c73)=maxj=y,此时M”的最小值为？，与哈

答案第11页，共22页

当％之3时，%--------2------=----，为>4,

200-(1+4)〃-200-4”50-»

rI、J4015

所以吃=max｛a“，2，c,｝=

4015

7n~I〃’50-〃广

因为数列｛%｝为单调递减数列，数列［白J为单调递增数列，

所以当竺时，乩=max［竺，答一］取得最小值，止匕时”=¥，

n50—〃In50-HJ11

4015401515

因为36<-JY<37,而”36=max

36,50-36为‘50-3713

又因为写<卷，此时此的最小值为与，

综上，M”的最小值为与，

故答案为：—

【点睛】

关键点点睛:此题考查数列的单调性的应用，考查分类思想，解题的关键是分别当％=2,G=1

和A23时，根据题意求出M”的最小值，然后比较可得答案，考查计算能力，属于难题

【解析】

【分析】

根据定义可得函数/(x)的解析式.对等比数列的公比分">1应=1，4<1三种情况讨论，再结

合对数的运算性质即可求得数列的首项.

【详解】

abab>0

因为对任意实数a,b,定义=Ja

xlog2X

X>1

函数/(x)=log2不③无=<log2%

0<x<1

数列｛4｝是公比大于0的等比数列，且%

①当4>1时,因为%HI=1

所以4，%,4..•"OIO£(°」)'。1012，〃1013,4()14…％020^(1,+°0)

答案第12页，共22页

由等比数列通项公式可得4ou=q，"°=l，所以q=产

11I<QInnn

整个数列为严•，严，严…1,4,4■■…4

3

因为了(4)+〃％)+/(%)+…由喙H八限卜一一

a\

所以代入可得

log9alog,%log2a,log24()i()ci.13

+++…1硬+0+432log?a2M2+4331°趺%。13+--^020%。2。=一一

4。2。3"1010%

即log?+?100910§2+?'°°8lo§27k'+',,

+qlog」+qlog,q+/log,产••+泮log,泮=两⑼。

q

由对数运算用log?$+泮log?泮=0,泮噫*+产1。氏产=0…

夕4

所以化简后可得d"°log?卡=-3/8°,即产=2=8

11

所以4=刖=a

qo

②当q=l时，4=%=%…=“2020=1

此时“4)=/(电)=/(4)=•.可(。孙9)=/(。2020)=°，

)虫％)V(%)+…^(〜9)虫％)=0*-3

所以不成立

③当q<i时，q()u=qq'0'°=1，所以4=皿。

11147100Q

整个数列为1同，一^，FT…1，/夕’…q

qqq

所以知%,。3…%)10E(1，y0)，4()12,01013,41014…。202()^(°」)

3

因为〃4)+/(出)+/(%)+…tf(/(H9)+/(〃202())二一二

答案第13页，共22页

代入可得

1

a,log,q+a2log,a2+a}log,a3+--al()1()log,aIOIO+0+'吗/"。+唠?+•••血义=_A

“10124013。2020a\

1.11.11.1

即萨■l°g2族而+log?而+新'log2萨"+…

qqqqqq

+L°g/+七+口:…+$5

2

qqqq

不J_z»IOO9_n^,10081।/00812„I008_n

由对数足算夕log?严7+q1。824=°，q蜒2严^+9'°§2^=°…

所以化简后可得当1。无六=

因为当g<l时而>1,所以等式左边大于0,等式右边小于0,方程无解

综上所述，4=:

O

故答案为:

O

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式及性质的综合应用，指数与对数的互换、对数的综合运算及

求值，分类讨论思想的应用，计算量大，过程繁琐，需要很强的计算推理能力，属于难题.

11.a“="-〃+3

【分析】

根据定义，利用迭加法求得/)=$「£=q+2-24川+4,=6〃+6,继续迭加后，得出

为+2-。田=式乎+6,先求出4+2的表达式，即可得出数列｛q｝的通项公式•

【详解】

解：由题知：43)=42>-42)>

/)=十)-/)，

K，

答案第14页，共22页

迭加得:f+f+/)+…+七=/)_0=0_12,

则6(九-1)=4；-12,上2)=6〃+6.

又=$「£,=an+2-物+|+q=6〃+6，

则a3-2a2+4=6x2,

a4—2a3+/=6x3,

q+2一勿，用+q=6("+1),

迭加得：a,^2~an+\~a2+4=6(2+3+4•••+(〃+1)),

n2+3〃

则见+)—^n+\=6X[2+3+4H---1-(〃+1)]+6—4+6,

2

l2+3xl乙

贝|J〃3-4=-------+6,

2

22+3X2工

2

n2+3n

迭加得：〃〃+2—〃2=/[(r+2~+32H--F〃~)+3(1+2+3H---F〃)]+6〃，

13

则an+2=五〃(〃+l)(2〃+l)+j〃(〃+l)+6〃+9,

3

贝Ijan=n-n+3.

故答案为：—〃+3.

【点睛】

本题考查由新定义求数列通项公式以及迭加法的运用，考查逻辑思维和计算能力.

12.9765

【分析】

先求出由题设可知团至少有5个不同的正的奇约数，且5个奇约数中，至少有一

个为2〃-1的形式，据此可得加的最小值.

【详解】

答案第15页，共22页

n

因为C(a,n)=g+2a+4”8a+：,故。(氏n)=a(2-\].

“个\7

由题设，存在5组不同的使得奇数，〃=qx(2"-l)>l,

故机有5个不同的形如2"-1形式正的奇约数，

456

又3=22-1,7=23-1,|5=2-1,31=2-1,63=2-1,

又15=3x5,63=3x7x3

故m的最小值为3x7x5x3x31=9765.

故答案为：9765.

【点睛】

本题考查数列的求和以及正奇数的因数分解，注意对题设条件要合理转化，从而得到正奇数

m满足的性质，本题属于难题.

13.(1)7：(2)3455；(3)证明见解析.

【分析】

(1)由数列距离的定义直接求出所给两个数列的距离；

(2)令a尸p,由递推公式，求出。2,a4,a5,探求出A中数列项的周期性，即得数列

｛办｝和｛如｝规律，

4734564x864[

由M=£结合周期性及Z血-d=Z\b-c,.|=-x864=2016,求得m的最大值；

i=l3i=li=l3

(3)假设了中的元素个数大于等于17个，设出｛c“｝,｛助，[fn],最终求得£|f-c,|42和

i=l

之伤-4|42中必有一个成立，与已知矛盾即可得解.

i=l

【详解】

(1)依题意,数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离为1+0+5+1=7；

\-\~ci[+〃1/?-1

a=

(2)设。产P，其中后0,且/由/+]='；，得。2=>；---，3---，。4=-----------7，

1一/1-ppP+1

。5=〃，因此，。尸。5,

则有A中数列的项呈周期性重复，且间隔4项重复一次，

在数列｛乩｝中，d匕3=2,d上2二-3,b4k-i=-g,b〃k=!,keN*,

在数列｛c〃｝中，〃必-3=3,b4k-2=-2,b4k-尸