高中数学求值域的10种方法

求函数值域的十种方法

一・直接法(观察法):对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1.求函数y=J7+1的值域。

【解析】，&+1N1,，函数y=J7+l的值域为口,+8)。

【练习】

1.求下列函数的值域：

①y=3x+2(—1<Ji<1)；(2)f(x)=2+J4-x；

®y=；④y=XG{-l,0,l,2}o

x+1

【参考答案】①[T,5]；②[2,+8)；③(f,DUa+8)；④{-1,0,3}。

二・配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如

F(x)^af2(x)+好'(x)+c的函数的值域问题，均可使用配方法。

例2.求函数y=-f+4x+2(xe[-l,l])的值域。

【解析】y~-x2+4x+2--(x-2)2+6o

V-1<X<1,.,.-3<x-2<-l,/.l<(x-2)2<9,A-3<-(X-2)2+6<5,-3<<5„

函数y=-f+4x+2(xe[-l,l])的值域为[—3,5]。

例3.求函数y=2—V-x2+4x(xe[0,4])的值域。

【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：

/(x)=-x2+4x(/(x)N0)配方得：/(x)=—(X—2)2+4(xe[0,4])利用二次函数的相关知识得

/(X)G[0,4],从而得出：ye[0,2]。

说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为:

/W>0o

例4.若x+2y=4,x>0,y>0,试求Igx+lgy的最大值。

【分析与解】本题可看成第一象限内动点P(x,y)在直线X+2y=4上滑动时函数1gx+1gy=\gxy的最大

值。利用两点(4,0),(0,2)确定一条直线，作出图象易得：

%€(0,4),丫€(0,2),而怆工+怆y=恒盯=怆[丁(4-2丁)]=怆[-2(丁一1)2+2],y=l时，Igx+lgy取最大

值lg2。

【练习】

2.求下列函数的最大值、最小值与值域：

©y=x2-4x+1；②y=x?-4x+l,xw[3,4]；(3)y=x2-4x+1,xe[0,1]；

@y=x2-4x+l,xe［0,5］；0=A-+2A+4,xeR,4］；（6）y=>/-x2-2x4-3-

x4-

73

【参考答案】①孙②印;③臼]；小⑥。

[T+@[-3,6];⑤[62]

三・反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的

值域。

适用类型：分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自变量的函数

类型。

2r

例5.求函数>=一匕的值域。

x+1

分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出X,从而便于求出反函数。

2rV

y=——反解得x=T2—,故函数的值域为(一刃,2)U(2,+8)。

x+i2-y

【练习】

1.求函数y=2乙X+一3的值域。

-3x-2

2.求函数)=----；•,|CH0,XN—|的值域。

cx+a\c)

r\r\

【参考答案】1.(-8,大)UQ,+00)；I-00,—)U(—,+8)。

33cc

四.分离变量法：

适用类型1:分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。

1—Y

例6：求函数)=—二的值域。

2x+5

177

An।—(2x+5)d—।—

解：•一1-X_22_1,2

V———十

-2x+52%+522x+5

7

11—Y

2••yw—...函数丁=一一的值域为｛y|yw——｝。

声0-22x+52

2x+5

适用类型2：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为y=k±/(x)(Z为常

数)的形式。

例7：求函数y=—_二的值域。

X"—X+1

分析与解：观察分子、分母中均含有/—X项，可利用分离变量法；则有…

x—x+1x~—X+1

1313

不妨令：/(幻=(龙-彳)2+：遥(幻=二77(/(幻7°)从而/(幻《不+8)。

24以X)[4

(41「1、

注意：在本题中若出现应排除/(x)=0,因为/(x)作为分母.所以g(x)e0,-故ye--,l)o

另解:观察知道本题中分子较为简单，可令”厂「"+1=1+一一,求出f的值域，进而可得到y的

X"-x-X

值域。

【练习】

2r2+2X+3

1.求函数y=Z'+’x+J的值域。

x~+冗+1

【参考答案】L(2,与]

五、换元法：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方

法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根

式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。

例8：求函数y=2x+Jl-2x的值域。

_____------［一产--------------------------i5

解：令/=，l-2x(r>0).则％=，；.丁=一*+/+1=—«——)2+-,

224

135I_____5

・・•当，=/,即%=g时，ymax无最小值。，函数y=2x+JTZ的值域为(-ooq］。

例9：求函数/=工+2+Ji-(x+i)2的值域。

解：因1-(%+1)220,即(X+I)2«lo

故可令x+1=cos/?,/?e［0,TT］,/.y=cosB+1+Jl-cos?B=sinp+cosp+l=V^sin(p+；)+l。

V0-^-；r4-^+7-|；r,<sin(/?+-)<l.-.0<V2sin(^+-)+l<l+V2

444244

故所求函数的值域为［0,1+五］

例10.求函数V=X—的值域。

-X4+2X2+1

解：原函数可变形为：yJx2」J-Y

21+x21+x2

可令x=tan|3,则有

1+JT1+X

.二y二-gsin2/?xcos2〃二一;sin4〃

、|/ck/r7Crj_L1

当£=-------时，v=—

"28?max4

、14Z1k兀7CrJ_L1

当B=—+—时，v.二-一

"28in4

而此时tanB有意义。

故所求函数的值域为

_44_

JTJT

例11.求函数y=(sinx+l)(cosx+l)，xe的值域。

解：y=(sinx+l)(cosx+1)

=sinxcosx+sinx+cosx+l

令sin%+cosx=力，则sinxcosx=；(r-1)

11

j=-(r9--l)+/+l=-(z+l)-?

由，=sinx+cosx=V2sin(x+—)

4

口7V7C

且----，一

L122j

可得：^L<t<4i

2

•・•当.=啦时，ymm=^-+V2>当"立时,y=-+—

2242

故所求函数的值域为-+^1,-+V2。

422

例12.求函数y=%+4+行二，■的值域。

解：S5-%2>01可得|x区石

故可令x=石cosP，P&[0,^1

y=石cos/7+4+5/5sin/?=V10sin(夕+—)+4

4

,:金兀

兀，c万」5%

.,.—<£+一«—

444

当尸=?时，-=4+而

当夕=7?■时，9=4-右

故所求函数的值域为：［4-6,4+

六、判另|J式法：把函数转化成关于X的二次方程尸(x,y)=°；通过方程有实数根，判别式

A>0.从而求得原函数的值域，形如+q(4、%不同时为零)的函数的值域，常用此方

a2x+&X+C2

法求解。

例13：求函数y=\。的值域。

x~-X+1

丫？_Y-4-q

解：由变形得(y_l)x2_(y_l)x+y_3=0,

X—X+1

当y=l时，此方程无解;

当ywl时，•:xeR,・・・△=(,—1)2_4(y_］)(y_3)N0,

解得1<y<—,又ywl,，1〈》工—

二函数y=的值域为{y|l<y〈U}

x-x+l3

七、函数的单调性法：确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性，求出函数

的值域。

例14：求函数口=%-\/1-2犬的值域。

解：•.•当x增大时，l—2x随x的增大而减少，-JiF随x的增大而增大，

.,.函数y=x-=^在定义域(一8,自上是增函数。

，函数y=x-Vl-2x的值域为(-co,1］。

例15.求函数y=4TT—GT的值域。

2

解：原函数可化为：y=1—

令弘=JTR,%=GT，显然力,丫2在［1,+W上为无上界的增函数

所以y=y+匕在口，+8］上也为无上界的增函数

2=6

所以当X=1时，y=x+%有最小值收原函数有最大值双

显然y>（），故原函数的值域为（0,&]

适用类型2：用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减〉

例16：求函数y=i°g[（4x-x2）的值域。

2

分析与解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令:

f（x）=-X2+4x（/（%）>0）配方得：Q）=—（X—2）2+4所以“X）e（0,4）由复合函数的单调性（同增异减）

知：ye[-2,+oo)o

八、利用有界性：•般用于三角函数型，即利用sinxe[-

例17：求函数y=c°sx的值域。

sinx-3

解：由原函数式可得：ysinx—cosx=3y，可化为:

yjy2+1sinx(x+J3)=3y

3y

即sin+p)——]:

3+1

■:xeR

：•sinx(x+/?)

13y[

即一14一F^=<1

解得：一也《VW也

4-4

故函数的值域为一走,史

44

注：该题还可以使用数形结合法。y=/os七=cos±0,利用直线的斜率解题。

sinx-3sinx-3

1_2V

例如求函数>=记的值域。

1_7'21-y

解：由〉=^^_解得2、=「，

1+2'1+y

\-y„

•.*2x>0，・・・丁—>0,A-l<y<l

i+y

.♦.函数y=的值域为yG(-1,1)。

九、图像法(数形结合法)：其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的

距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例19：求函数y=|x+3|+|x—5|的值域。y/卜

—2.x+2(x<—3)|

解：：y=|x+3|+|x—5|=<8(-3<x<5),、

2x-2(x>5)

-30-5手

：.y=|x+3|+|x-5|的图像如图所示，

由图像知：函数丁=|%+3|+|左一5|的值域为[8,+8)

例20.求函数y=2)2+J(X+8)2的值域。

BPA

I__________|__________|__________|______>

-802

解：原函数可化简得：y=|x-2|+|x+8|

上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2),3(-8)间的距离之和。

由上图可知，当点P在线段AB上时，y=|^-2|+|^+8HAB|=10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=|x-2|+|x+8|〉|48=1()

故所求函数的值域为：[10,+8]

例21.求函数y=-6x+13+[x2+4x+5的值域。

解：原函数可变形为：

y=Jd)2+(0-2)2+«x+2)2+(0+1)2

上式可看成x轴上的点P(X,O)到两定点A(3,2),B(-2,-l)的距离之和,

由图可知当点P为线段与X轴的交点时，为讪=|AB|=J(3+2)2+(2+1)2=J万，

故所求函数的值域为［、反,+ooj

例22.求函数7=，%2一6%+13一J6+4X+5的值域。

解：将函数变形为：y=J(x_3)2+(0_2)2_J(x+2)2+(0_1)2

上式可看成定点A(3,2)到点P(x,0)的距离与定点B(-2,1)到点P(x,0)的距离之差。

即：y=\AP\-\BP\

由图可知：(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点p,则构成MBP，根据三角

形两边之差小于第三边，有||A尸||BP'||<|AB|=7(3+2)2+(2-1)2=726

即：-V26<y<V26

(2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有||AP|_|5P|HA8|=J记

分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式％=三二息,将原

函数视为定点⑵3)到动点(cosx,sinx)的斜率，又知动点(cosx,sinx)满足单位圆的方程，从而问题就转

化为求点(2,3)到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时

取得，从而解得：

6-2736+2丘

"-；-，-；—

33

点评：本题从函数本身的形式入手，引入直线的斜率，结合图形，从而使问题得到巧解。

例24.求函数y=Jl+x+Jl-x的值域。

分析与解答：令〃=Jl+x,v=y/l-x>则"20,u20，,J+u?=2，w+v=y,

原问题转化为：当直线〃+与圆“2+/=2在直角坐标系〃。口的第一象限有公共点时，求直线

的截距的取值范围.

由图1知：当〃+u=y经过点（0,0）时，ymin=V2；

当直线与圆相切时,=。。=&C=(⑸=2。

所以：值域为后4旷42

十：不等式法：利用基本不等式a+bN2疝,a+0+c23”无（a,）,ceR+），求函数的最

值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添

项和两边平方等技巧。

例25.求函数y=（sinxd--—）2+（COSXH——）2-4的值域。

sinxcosx

解：原函数变形为:

11

y=(/sm•2x+cos~2x)\+———+-------

sinxcosx

=l+ces2x+sec?x

=3+tan2x+cot2x

>3+27^1?xcot2X

-5

当且仅当tanx=cotx

即当》=%左士工时(攵wz)，等号成立

4

故原函数的值域为：[5,+8)

例26.求函数y=2sinxsin2x的值域。

解：y=4sinxsinxcosx

=4sin2xcosx

y=16sin4xcos2x

=8sin2xsin2x(2-2sin2x)

<8[(sin2x+sin2