精讲精炼（必修第二册） 6.4.2正、余弦定理

6.4.2正、余弦定理（精讲）

思维导图

三角形的三个角A、B、C和它们的边a、b、c叫做三角形的元

解三素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形

角形

三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方

的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

2bc

余

弦

定lea

理

a2-^-b2一c2

公式c1=a1-\-b1-2abeQSClab

-----------------------------0---------

使用条件…三边求角^两边一角求边

-------------------------。

内容…在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等

<3）-----------------------------------------------------------------

—^—=—^—=—^—=2R(R为4ABC外接圆的半径)

sinAsinBsinC

正

边化角a=2RsinA,b=2RsinB,c=21?sinC

弦--------©-----------------------------------------

定sinAasinsinCC

理99

角化边…2K2R2R

--------©----------------------------------------

a+b+c

a：b：c=siuZ:sinBZsinC--------

比值sin.4+sin^+sinCsinA

使用条件…一边求边角两边一对应角求角

<Z>

=

S^4BC~oha(ha为边。上的高)

SA4BC=L，bsinC=—AcsinA=-ocsinB

222

S=L*(a+6+c)(/*为三角形的内切圆半径)

三角形

的面积0------------------------------------------------

公式

三角形内角和定理在AMC中，A+B+C=n.变形：

三角形中的三角函数关系

角

三(l)sin(-4+8)=sinC(2)cos(-4+6)=—cosC

中

形

含

隐(3)sind±«=cosl(4)cosd±^=silc

论

结

三角形中的射影定理

在5c中，，=bcosC+ccos笈3=acosC-bccosAc=3cosA4-acosB

考点一正余弦定理的选择

【例1】根据下列条件进行求解

(1).(2021云南省南涧县第一中学高一月考)在AASC中，内角A,B,C所对的边分别为若匕=2近，

c=l,A=45。，贝lja=

(2)(2021•山西•晋中市新一双语学校高一月考(理))在三角形ABC中，A8=5,AC=7,3C=8,则WC

大小为___________

⑶(2021•甘肃•嘉峪关市第一中学高一期末)在，ABC中，若a=50,c=lO,A=3O,则3=

(4)(2021•广东•东莞市光明中学高一月考)在‘ABC中，已知A=6。。，b=4,c=5,贝l]sin3=

【答案】⑴逐⑵£(3)15°或105(4)组

37

【解析】(1)由余弦定理得〃+。2—2/?ccosA,=8+1—2x2A/2X=5,所以

2

AB2+BC2-AC225+64-491jr

⑵因为cos/A5C=所以NA5C=§,

2ABBC2x5x82

小\,。c/口.「csinA10sin30°v2、仁)—一4「c一小工

(3)由一得sinC=--------=———=J,因为c>a,所以C>A,又C为二角形内角

sinAsmCa5,22

所以C=45。或135。，由内角和为180。可得3=105。或3=15。

(4)在，ABC中，己知4=60。，6=4,c=5

由余弦定理可知°=742+52-2X4X5COS60°=后

ab,即3L=，，解得$皿2=空故答案为：巫

再利用正弦定理

sinAsinBsin60°sinB77

【一隅三反】

1.（2021•山西•晋中市新一双语学校）在三角形ABC中，AB=5,AC=7,5c=8,则NABC大小为()

.2兀

A.—c4

3

【答案】C

【解析】在三角形ABC中，AB=5,AC=7,BC=8,

AB2+BC2-AC252+82-721

由余弦定理得：cosZABC=

2ABxBC2x5x82

因为NABCe（O,乃），所以=g.故选：C

2.（2021•全国•高一课时练习）在△/及7中，若a=3,加6,吗，则角c的大小为（)

.兀71

A.-B.

64

【答案】D

b_.扁吟

【解析】由正弦定理三-；.—八，得sin庐Z?sinA1.

sinAsmB

a32

7T7171

因为a>6,所以所以庐七,所以华“?故选心

636

3.（2021•全国•高一单元测试）已知.ABC中，内角4民C所对的边分别。也。，若4=1,6=2,sinA=1,

O

则sinB=()

A-1，・iD-1

【答案】B

ab2xl

【解析】在.ABC中，由正弦定理得：sin8=06」.故选：B.

sinAsinB

a13

TT

4.（2021•天津红桥•高一学业考试）在ABC中，若BC=2AC=2,ZA=1,则/庐()

71

A.

~2B-7

71

C.71D.-

64

【答案】c

2A/32

ab

【解析】在ABC中，BC=2^3,AC=2,ZA=y,由正弦定理可得，即.》sin2，解

sinAsinBsin—

3

得sinB="因为3仪0,乃），所以3=2或8=竺，又a>b,所以A>B,所以3=£；故选：C

2666

5.（2021•新疆•新和县实验中学高一期末）在.ABC中，若a=5应,c=10,A=3O。，则8等于（）

A.105°B.60°或120°C.15°D.105°或15°

【答案】D

【解析】由题知：上度=旦，所以sinC=包，

sin30sinC2

又因为0。<。<180,c>a,所以C=45或135.所以5=105或15.故选：D

6.（2021•全国•高一课时练习）在回中，a,b,c分别为角4B,。的对边，若。=60°,a=5,方=8,

则△/回的周长为（）

A.20B.30C.40D.25

【答案】A

【解析】根据余弦定理，c=a+!j-2aZ7cosC=:512+82-5X8=49,所以c=7则△力氏7的周长为20.故选：A.

考点二边角互换

【例2】⑴（2021•全国•高一单元测试）在△Z8C中，若sin/usin?班sin2G则NZ=（）

A.45°B.75°C.90°D.60°

（2）.（2021•吉林•延边二中高一期中）在一ABC中，内角A,B,C所对的边分别为〃，b,。，若

62（sinA-sin+Z?sinB=csinC,则角C的大小为（）

A.—B・9C.D.-7i

3636

3

⑶（2021•全国•高一课时练习）在△/夕。中，角的对边分别为2。，作24cosA=-,则一c的值为（）

4a

13

A.2B.—C.—D.1

22

（4）（2021•贵州师大附中高一月考）已知ABC的内角4B、。所对的边分别为a、b、c,若

2bcosB=41acosC+V2ccosA，则/B=

TT

【答案】⑴c⑵A⑶C⑷了

【解析】（1）由正弦定理知，三b_c

sinBsinC

2222

VsinJ=sin^-sinG/.a=t^+c9即N4=90。.故选：C.

(2)解：在ABC,因为a(sinA-sin5)+Z?sin3=csinC,

222

由正弦定理可化简得a(a—b)+/=/,gpa+b-c=ab,

由余弦定理得cosC=《i^^=L,因为Ce(O,7),所以c=&,故选：A.

lab23

/c、f十4日csinCsin2A2sinAcosA_33八

(3)由正弦定理，得一=----=-----=----------2cos4=2又一=一.故选：C

asinAsinAsinA42

(4)H2Z?cosB=s/2acosC+-JlccosA,

由正弦定理可得2sinBcos3=V2(sinAcosC+sinCcosA)=^sin(A+C),

因为A+C=»—B,可得sin(A+C)=sin(»—3)=sinB,所以2sin5cos3=0sinB，

又因为5w(0,7r),可得sin3>0,所以cos2=变，所以3=f.故答案为：

244

【一隅三反】

1.(2021•新疆新源•高一期末)已知。也c是一ABC三边长，若满足(a+0-c)(a+Z;+c)="，则NC=(

A.120B.150C.60°D.90°

【答案】A

【解析】+/?+(?)=d!2+2tz/?+Z?2—c2=ab,BPa2-^-b2-c2=—ab?

cr+bc

e=~~'CG(0,^),所以NC=120.故选：A

cos2ab2''

2.(2021•重庆第二外国语学校高一月考)在,ABC中，角A,3,C所对的边分别为。，6,c,若/=廿+!,

4

r,acosB,,，一、1/、

则------的值为()

C

A.-B.-C.-D.-

4848

【答案】B

a2+c2-b2

【解析】由题意，结合余弦定理acosB"2ac片十。?.?

CC2c2

又/二82+.../一。2=J_02acosBa2+c2-b2~^c5故选：B

44丁直

3.(2021•福建州科技中学高一月考)已知在，ABC中，内角46,C的对边分别是a",c,且/-〃=瓜

sinC=2&nB，则A=()

A.-B.-C.-D.—

64312

【答案】A

【解析】由sinC=26sinB得：c=2扬，所以a2-b1=#>bc=m-2币b1,即片=7好，

।.+c~—a~b~—1b~V3d、匚匚…“兀

则ncosA=--------------=---------——=—,又Ae（O,%）,所以A=二.故选：A.

2bc46b226

4（2021•全国•高一课时练习）在ABC中，角A,B,C的对边分别为“，6,J若（4+c?-〃，曲8二岛。,

则角B的度数为一.

【答案】60或120##120或60

【解析】由余弦定理可得/+c?-尸=2accos3,

因为（a?+c?一廿卜犯台二所以2accosB•必”■=,所以sinB=立，

''cosB2

因为0<3<180,所以3=60或120,故答案为：60或120.

考点三三角形的面积

【例3】（1）（2021•江西•南昌县莲塘第一中学高一月考（文））在钝角.ABC中，已知42=退，AC=1,

ZB=30°,贝UABC的面积是（）

A.@B.昱

24

（2）（2021•全国•高一课时练习）在，5c中,内角4B,C所对的边分别为a,b,c,a=1,B=45°,S=2,

则ABC的外接圆直径为（）

A.4AB.60C.5A/2D.672

【答案】（1）B（2）C

1

【解析】（1）由正弦定理,=>sinC=

sinCsin30°2

若C=60。，则ABC为直角三角形，不合题意；

所以C=120。，则4=180。一120。-30。=30。，所以S.A8C=Lx6xlxsin30。=立.故选：B.

24

⑵在，ABC中，a=l,B=45°,SABC=2,

所以SARC=—acsinB=—xlxcx^^-=2,解得：c-4^/2.

■ABC222

由余弦定理得：=a2+c2-2accosB=l2+（4^）2-2xlx4V2x^=25,WW：左5.

i2R_5_

设/ABC的外接圆半径为凡由正弦定理得：一^=2H,所以，直径为飞一.故选：C

sinB——

2

【一隅三反】

1.（2021•山西•晋中市新一双语学校）在qABC中，a=2,b=5C=30。,贝U"C的面积是（）

A.-B.3C.3D.73

222

【答案】B

【解析】根据三角形的面积公式得S」°bsinC」x2x出xsin30=走.故选：B

222

2.（2021•全国•高一课时练习）在△/比■中，AB=2,BO5,△/比1的面积为4,贝Ucos//比1等于（）

3332

A.-B.±-C.—D.±-

5555

【答案】B

【解析】S=^AB*BC*sinZABQ得4=gX2X5sinNZ8C,

43

解得sinNZ8信不，从而cosN/%=±y.故选：B

3.（2021•全国•高一课时练习）△/■的三个内角/、B、。的对边分别是不b、c,若△/回的面积是66,

7T

B=—,a=2c,则6=（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】因为△川C的面积是60，B=—,a=2c,

所以66=-acsinB=-x2cxcx—,解得c=2\/3,可得。二4小，

222

由余弦定理可得b==/48+12-2x46x2如xg=6.故选：C.

4.（2021•山东省潍坊第四中学高一开学考试）三角形两边长分别是8和6,第三边长是一元二次方程

/-8k20=0一个实数根，则该二角形的面积是（）

A.24B.48C.24或8君D.8石

【答案】A

【解析】由*-8『20=0解得：X=10或X=—2.

因为三角形的第三边长是一元二次方程7-8^-20=0一个实数根，所以第三边长是10.

又因为三角形两边长分别是8和6,所以62+82=102,所以三角形是直角三角形，其中直角边为6和8,

所以三角形的面积为gx6x8=24.故选：A.

考点四判断三角形的形状

【例4】（2021•全国•高一课时练习）在ABC中，^ABBC+AB2=0,贝忆例。的形状一定是（）

A.等边三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【解析】因为+AB，=0，所以accosO-B）+c2=0,

„22,2

2

所以4CCOSB=，，所以acx---------=c,

lac

所以/+。2=合，所以三角形是直角三角形.

故选：B

【一隅三反】

1.（2021•全国•高一课时练习）在3ABe中，角A,况C所对的边分别为a,b,c,S,b2+c2=a2+bc,bc=a2,

则ABC的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【解析】因序+/=/+6c,6c=/,贝!I有"+c2=26c,即（6-c）2=0,可得6=c,此时/二片，有a=b,

所以ABC是等边三角形.故选：C

2（2021•内蒙古包头•高一期末）ABC的内角AB,C的对边分别为a,b,c.已知cos20=",则ABC的

22a

形状是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.锐角三角形D.钝角三角形

【答案】A

【解析】由==等再由余弦定理得:11a2+b2-c2a+b722

—+—X-------------=>Z?+c二a

22lab2a

故三角形为直角三角形故选：A

3.（2021硼北•大冶市第一中学高一月考）设△相。的内角48。所对的边分别为a",c,且满足如Me）（界8

—O=3ab,2cos/sin庐sinG则比1是（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形

【答案】D

222

［解析］由（〃+b+c）（〃+b—c）=3而有a+b-c=ab,

a2+b2-c2ab_1

由余弦定理有:cosC=

lablab2

TT

又角0<C<»,所以c=§.

又2cosAsinB=sinC,即2cosAsinB=sin(A+B),

所以2cosAsin5=sinAcosB+cosAsinB

则cosAsinB-sinAcosB=0,即sin(A-B)=0,

2万27r

所以A-B=0,

即A=3,故为&ABC等边三角形.

故选：D

考点五三角形个数的判断

【例5】（2021•四川省绵阳江油中学高一期中（理）），ABC中，已知下列条件：@b=3,c=4,B=30；②

a=5,b=8,A=30；③c=6）=30.2=6。；@c=9,b=U,C=60.其中满足上述条件的三角形有两解的是

A.①④B.①②C.①②③D.③④

【答案】B

342

【解析】①b=3,c=4,B=30,所以sinC=；＞sin30,故满足条件的角。有2个，一个

sin30sinC3

为锐角，另一个为钝角，三角形有两解；

584

②a=5,b=8,A=30,^――=--,所以sin3==＞sin30,故满足条件的角夕有2个，一个为锐角，

sm30smB5

另一个为钝角，三角形有两解；

③c=6,6=3石,8=60,得£L=-^_,所以sinC=l,C=g,故三角形有一解；

sin60sinC2

④c=9,6=12,C=6。，得—k=g，所以sinB=2叵＞1,所以8不存在，故三角形无解；故选：B

sin60sinB3

【一隅三反】

L（2021.贵州・威宁民族中学高一月考）在中‘角A‘8,C所对的边分另炳o,b,0,若-%

。=5,c=10,则满足条件的ABC的个数为（）

A.0B.1C.2D.无数多个

【答案】A

1n0

【解析】由正弦定理三lOx——

可得sinC=2工____2

smAsinC=母'

a5

所以角C不存在，满足条件的ABC的个数为0,故选：A.

2.（2021•广东•铁一中学高一月考）根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（）

A.。=81=16,NA=3O。，有两解B.〃=18,c=20,/B=60。，有唯一解

C.a=5,6=2,ZA=90。，无解D.a=3O,b=25,ZA=150。，有唯一解

【答案】D

【解析】选项A,Z?sinA=16sin30°=8=a,sinB=l,3=90。，只有一解，A错;

选项B,csinB=20sin60°=10^/3<b<c>有两解，B错；

选项C,豆113=竺以=和"=：<1,8为锐角，有唯一解，C错；

a55

.cZ?sinA25sin150°5口〜"十”

选项D.sinB=-----=---------=—,8是锐角，有唯一解.D正确.

a3012

故选：D.

3.（2021•全国•高一课时练习）（多选）已知a,b,c分别为一ABC的三个内角4B,C的对边，

ZC=45°,c=^,a=x,若满足条件的三角形有两个，则x的值可能为（）

A.1B.1.5C.1.8D.2

【答案】BC

ac,口•AasinCxsin451

【解析】在ABC中，由正弦定理一=得，sinA=-----=-

smAsmCc422

因满足条件的三角形有两个，则必有Ae（45,135）,且Aw90，即正<sinA<l,

2

于是得二解得应<x<2,显然x可取1.5,1.8.故选：B

22

考点六最值问题

【例6】⑴（2021•全国•高一课时练习）已知锐角三角形的边长分别为1,3,a,则a的范围是（）

A.（2,4）B.（2.5,3.5）C.（272,V10）D.（2五,4）

（2）（2021•全国•高一单元测试）设，ABC的内角ABC所对的边分别为。也c,b=也,

（2a-c）cos5=73cosC,则ABC面积的最大值是

【答案】（i）c⑵空

4

【解析】（1）设角对应的边为1,3,〃，

1_|_Q_Z72._

当。是最大边时，cosC=------->0,所以

2x1x3

当。不是最大边时，COSB=>。,所以2行<。<3,所以。的取值范围是（20,J市），故选：C.

"2X-1X9Q

(2)b=K，.'.(2a—c)cosB=bcosC

由正弦定理得：(2sinA-sinC)cos5=sin5cosC,

2sinAcosB=sinBcosC+sinCeosB=sin(B+C)=sinA,

]7T

AG（0,^-）,「.sinAwO,/.cosB=—,又5«0,万），B=—；

a2c23

由余弦定理可得：l=+-,即/+。2=3+农22或（当且仅当。=c时取等号），

2lac

:.ac<3,:.SABC=-acsinB<—,即ABC面积的最大值为更.

ABC244

故答案为：也

4

【一隅三反】

1.（2021•全国•高一课时练习）在ABC中，角4B,C对边分别为&b,c,若酢匕+bc,