高中数学《复数的三角表示》复习教案与课后作业

《7.3复数的三角表示》复习教案

7.3.1复数的三角表示式

【基础知识拓展】

1.在复数的三角形式中，辐角0的值可以用弧度表示，也可以用角度表示，

可以是主值，也可以是主值加2衣”或

A•360°(AWZ).但为了简便起见，复数的代数形式化为三角形式时，一般

将0写成主值.

2.两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.

【跟踪训练】

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)—l=cosn+isinn.()

,(JT吟，

(2)2i=21cos5+isin万J.()

(3)-3(cos200°+isin200°)是复数的三角形式.()

答案⑴V(2)V(3)X

2.做一做

(1)将复数z,=-l+V3i表示成三角形式为.

(2)已知|z|二2木,argz=q,求复数z=.

(3)若a<0,则a的三角形式是.

答案(l)2^cos^-+isin^(2)^3-31

(3)—a(cosn+isinn)

【核心素养形成】

题型一复数的代数形式化为三角形式

例1把下列复数的代数形式化成三角形式:

⑴/+i；(2)l-i.

［解］(l)r=-\/3+l=2,

V^3+i对应的点在第一象限,

⑵r=y/l+l=木.

Vl-i对应的点在第四象限,

-17n

且tan0=---=-1,/•0=彳，

(7Ji.7nA

A1—i=-\/r2lcos-y+isin-Y-l«

【解题技巧】

复数代数形式化为三角形式的步骤

(1)先求复数的模.

(2)决定辐角所在的象限.

(3)根据象限求出辐角(一般取其主值).

(4)求出复数三角形式.

【跟踪训练】

把下列复数表示成三角形式.

,(3n3吟

(1)—2+2i；(2)21sin-^j—+icos-^j—I.

解⑴原式=2蛆(一乎+坐)=2隹b0$等+isin午)

(2)原式=2(乎一乎i)=21os芋+isin4").

题型二判断复数三角形式的条件

例2判断下列各式是否是复数的三角形式，若不是，把它们表示成三角形

式.

1(兀兀、

(1)^1COS-■—isinyI；

ifJinA

(2)—dcos—+isin-yI;

(3)2—cos—+isin—；

(4)sin-+icos-

55

［解］根据复数的三角形式的结构，

z=r(cos，+isin，可依次作出判断.

7n7n

(1)不是•/cos——isin-rcos-7-+isin-r-

44

(2)不是.一不

44兀

cos-7-+isin-

4n4兀

(3)不是.21—cos-+isin-=2lcos-^+isin-

⑷不是.sin-4-icos-=cos-

55

【解题技巧】

判断复数的三角形式的条件

⑴「川；

⑵加号连接；

(3)cos在前，sin在后；

(4)0前后一致，可任意值.

即“模非负，角相同，余正弦，加号连”.

【跟踪训练】

求复数2=3.5可一icos§J的辐角主值.

11n,11n

-—+isin—-

11JT

二辐角主值argz=~^―.

题型三复数三角形式化为代数形式

例3把下列复数表示成代数形式.

(JIJT\

(1)41cos—+isin—I；

/、(lln.11nA

(2)6lcos+isinI.

[解]根据a+6i=r(cos+isin。)，可得

d=zcos9,b=rsin。，故可解.

JIr^-]=4X4+4X^i=2+2^5i.

(1)4cos-+i

ooJNZ

(11JI

(2)61cos，6+isin

【解题技巧】

将复数的三角形式化为代数形式:

由z=r(cos，+isinJ)=_rcosJ+irsin0,

可得a=rcos9,Z>=rsin9.

【跟踪训练】

将下列复数的三角形式化成代数形式.

(JT吟

(1)Z|=2lcos~+isin-I

(2)Z2=6(COS60°+isin60°).

解⑴Z[=

⑵Z2=6

【课堂达标训练】

1.—6的辐角主值为()

JIJI

A.0B.-C.D.——

乙乙

答案c

解析一6=6(―1+0・i)=6(cos九+isin”)，辐角主值。=".故选C.

2.下列说法正确的是()

7JI7兀3兀

A.已知复数z=cost-+isin-T，则z的辐角主值为q-

555

B.复数z=2i+3的虚部为2i

C.(#+i)6=—64

―..(3n3nA

D.复数z=2i的三角形式为z=2|^cos—+isin—j

答案C

7n

解析A项，z的辐角主值arg2=丫，错误；B项，虚部为实数2,错误；

□

C项,(m+i)6=[(4+i)2『=(2+2:i)3=8+3X2义(2^3i)2+3X22X(2^3

i)4-(2^3i):,=—64,正确；D项，z=2(0+i)=2&os5+isin万)，错误.故C

正确.

3.复数J—的三角形式是.

乙乙

答案cos-^4-isin-

解析71：-i=cos—5n+isin—5JI,故复数51一日-i的三角形式是cos5.JTT

乙乙O。乙乙O

5冗

isin-z-.

0

4.设复数z,z+2的辐角主值为三,z-2的辐角主值为等,则z=

答案—i+q5i

解析设z+2=r[cosw+isin詈八,小n

2+21

C{5JI|5吟V3rr.

z-2=^cos—+isin—22

.•.&2+处]=2-四+乱

卜2=2斗①

易得4

典［二卫e

、2一2'U

.,.或=十力，代入①得力=2,.,.z=l+/i—2=—l+/i.

5.设复数z满足z-3,的辐角主值为等，z+1的模为亚，求复数z.

解设z=x+yi(x,yGR).

由得|(x+1)+yi|

...(x+l)2+/=10.①

又z—3z=(x+yi)—3(x—yi)=-2x+4yi,所以

f-2x<0,

—5n/

arg(z—3z)=-4八0,②

1一2x=4y,

解①②，可得x=2,y=-1.

所以z=2—i.

《7.3复数的三角表示》课后作业

7.3.1复数的三角表示式

基础巩固训练

一、选择题

7JT

1.如果非零复数有一个辐角为一一1，那么该复数的（）

A.辐角唯一B.辐角主值唯一

7n7n

C.辐角主值为一丁D.辐角主值为了

答案B

解析•••辐角主值范围是［0,2c］,任何一个非零复数都有唯一的辐角主值,

7JiJi

...有一辐角为一丁，则该复数有唯一的一个辐角主值，为彳.故选B.

（4n4几、

2.复数z=—31sinFicosfj的辐角主值是（）

4n5n11nJI

A.-z-B，-

o-0.飞D-T

答案C

JTn=3[siny-icosy

解析-sin-+icos-

OO

(11H.11n11几

=3cos-—H-isin-T-

I66argz=6•

3.复数z=者的辐角主值是（）

JI3n5n7n

C.~r~D.—~

A-TB・丁44

答案D

11

析

fA刀-,_^2|7兀,7n，所以辐角主值是手，故选

牛z---

lf-1221

A:fCOS'■bisin-

D.

4.复数l+/i的三角形式是（)

JIJTJTJI

A.cos—+isin—B.2lcos—+isin—

33

JIJTJTn

C.cos—+isin—D.2cos-+isin—

66I66,

答案B

解析1+m1=2（；+乎]=2（JTJT

COS—+isin—I.故选B.

5.已知复数z=-i+[5i,则它的共拆复数，的三角形式为（）

I4n4冗

A.z=2lcos-^——isin-

JI

B.=-2lcos-+isin-

I4n4冗

C.z=2lcos^-+isin—

(5n,5n

D.z=2lcos-^-4-isin—

答案c

解析,.*7=—1—A/3I,：.\~Z\=2,?=2—g—乎i)=

(4n

21cos-

6.著名数学家欧拉发现了复数的三角形式：e"=cosx+isinx(其中i为虚

数单位，i2=-l),根据这个公式，加表示的复数在复平面中所对应的点位于

()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案B

解析：e"=cosx+isinx,e:ii=cos3+isin3,3弧度的角终边在第二象

限.选B.

二、填空题

7.复数一2i的实部是虚部是三角形式是

(3n3n、

答案0—221cos£-+isin-^-J

解析复数一2i=0—2i,所以实部是0,虚部是一2,三角形式为

(3n,3吟

21cos~^-+isin-^-|.

8.复数1+i的模是，辐角主值是，三角形式是.

答案.y何cos5+isin爸

解析复数i+i的模是4r针=电，..T+i对应的点在第一象限，且辐

JI

角的正切tanJ=l,.,.arg(l+i)=-p

二三角形式为呵cos：+isin5

9.复数2+i和-3一i的辐角主值分别为a,£,则tan(a+£)等于

答案1

解析•••复数2+i和一3—i的辐角主值分别为a,J3.

1八1

/.tana=-,tanP=~,

乙o

.,c、tana+tan£

••tan(a+£)=""~&=1.

1—tanatanP

三、解答题

10.已知复数z=2+乎i,乎+乎i,求复数zi〃+z”的模及辐角主值.

解犷+z/=z犷(1+冷=异乎乎+乎i](l+i)=*-乎+与)

(5n5nA

=yjr21cos-^-+isin-^-1.

，复数z犷+z情的模为加，辐角主值为\

能力提升训练

1.已知复数z=l—sin夕+icos夕[n)求z

值.

解z=l+cos[万+®]+isin田+

JlJTJT

22T.2丁240

—2cos9+2isin9cos

乙乙2

JT/

—+0(JTJT、

2——+0—卜0

—2cos9_2____..29

乙COSc+1S1I1

\22)

JIJi3nOnJIJI03n

当时’4〈42〈2'2"<T+T<—>

—+0(n0Jl、

-2丁V+了+0

・・z——2cos/

/ocos八Hsl112)

\2

3n9f3n0

+isin--y

2

3n，

，辐角主值为丁一万.

2.已知复数z=l+i,求复数“"的模和辐角主值.

NIJL

z2-3z+6(l+i)2-3(l+i)+63-i

解A73z+1=i+T+i=2+T=1-1>

|l-i|=^/l2+(-l)2=A/2,因为l—i对应的点在第四象限且辐角的正切

tan0=-\,所以辐角的主值，=:.

《7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义》复习教案

【基础知识拓展】

1.复数三角形式的乘法公式推广

Zi为Z3"・z〃=力(cos〃|+isin"J,?2(cos02+isin0.........r;,(cos0n-\-

isin%)=力n…乙,[cos(/+%+…+%)+isin(%+%+…+%)].

2.复数的乘方运算(棣莫佛定理)

[r(cos，+isin0)]“=/(cos〃，+isinz?夕).

即复数的次幕的模等于模的〃次毒，辐角等于这个复数的辐角的n

倍，这个定理称为棣莫佛定理.

【跟踪训练】

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“义”)

(1)在复数范围内，1的立方根是1.()

⑵ZZ=Iz「.()

nJiA।

(3)2cos-+isin-^I•3|

答案⑴X(2)V(3)V

2.做一做

(1)把z=2—i对应的向量0Z,按顺时针方向旋转T，所得向量对应的复数

的代数形式为

⑵(1+信产・

(3)121cos}~+isinJInY\

cos—+isin—I=

JIJT

答案⑴一1—2i(2)—2刈-(3)2lcosy+isiny

【核心素养形成】

题型一复数三角形式的乘法运算

例1计算下列各式:

JIJI5JI

⑴wcos-+isin--~^+isin

6

JIJI

(2)3cosl-+isin-I•7lcos-^+isin

66

JT

(3)2lcos—+isinyIF'.

兀」_5兀JI5n

［解］(1)原式cos12+^Q+isini2+-r

..11nA

+iSin12/

fJi.3

JI3n+isinly+JI

(2)原式=21cosT

11JT11n

=211cosI。+isirr，2-J.

]

(3)原式=

(JIJI、

2lcos-+isin-

]

(4n,4n

161cos-^-H-isin-

_1，^3.

_1_2+2]1].

一/1也•厂16—32+32，

叫一二21)

【解题技巧】

(1)积的模等于模的积，积的辐角等于辐角之和.

(2)复数三角形式乘法运算注意向量旋转的方向.

(3)做复数乘法运算时，三角形式和代数形式可以交替使用，但是结果一般

保留代数形式.

【跟踪训练】

(1)如果向量应对应复数4i,应逆时针旋转45°后再把模变为原来的十倍,

得到向量的，那么与0Z对应的复数是—

⑵计算(l+45i)6.

答案⑴-4+4i⑵见解析

(JIJI

解析(1)"=4i=4|cosK+isirrr

「(冗冗We/6冗6n

⑵原式=2lcos—+isin—I'=2blcos-^-+isin—=26.

题型二复数三角形式的除法运算

例2计算(1+i)，/(cos?+isin4

［解］因为l+i=，^(cos?+isinT，,

所以原式=

__3L

【解题技巧】

(1)商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去

除数的辐角.

(2)结果一般保留代数形式.

(3)商的辐角主值不一定等于被除数的辐角主值减去除数的辐角主值所得的

差.实际上，arg^•与argzi,argz2的关系是：arg^=argz,—argz2+2An(AEZ).

【跟踪训练】

计算:(1)[6(cos70°+isin70°)]4-[3(cos40°+isin40°)]；

(2)^cos-^-+isi+isin-

解(1)原式=2(cos30°+isin30°)=y[3+i.

(2)原式=4(cosK+isinK1=4i.

题型三复数乘、除运算几何意义的应用

例3如图所示，已知平面内并列八个全等的正方形，利用复数证明：Z1

+Z2+Z3+Z4=4.

4

［证明］如图，建立平面直角坐标系(复平面).

1234

012345678^

Zl=arg(3+i),

N2=arg(5+i),

Z3=arg(7+i),

Z4=arg(8+i).

所以/1+N2+N3+/4就是乘积(3+i)(5+i)(7+i)(8+i)的辐角.而

(3+i)(5+i)(7+i)(8+i)=650(l+i),

JT

所以arg[(3+i)(5+i)(7+i)(8+i)]=1，

又因为Nl,Z2,Z3,N4均为锐角，

于是0<Nl+N2+N3+N4〈2n,

JI

所以Nl+N2+N3+N4=1.

【解题技巧】

复数乘、除运算的几何意义是数形结合的体现，利用复数的几何意义解题要

充分挖掘题目中的已知条件.

【跟踪训练】

—►-►

设复数Z2对应的向量为前，恁，。为坐标原点，且Z产一l+/i,若

>-►

4ji3Ji

把的绕原点逆时针旋转丁,把困绕原点顺时针旋转丁,所得两向量恰好重合，

o4

求复数无

'4JT4兀)

解依题意(-l+/i)cos~3+isin31

_________且_______

3n.3n-

cos.+isin,

44

Z2=(—1+/i)(cos，Ji4nV3Ji,3几

-H-isin-T-cos-7"+isin-

33人44

「(2JI.4Ji।3兀、)+isi管+小引

-2[■31314,

(11JT,11JI)

—21cos~彳-,+isin彳

=T+业.

【课堂达标训练】

B.-i

DM

答案A

A””(n.nA10JT,10n5n,5nn

解析cos-+isin-=cos-:-+isin-:-=cos-T-+isin-T-=cos-

\AJLJ44乙LiLi

+isin-=i.故选A.

2.若复数z=e7则它的三角形式为（）

1(JIJI

A.71cos-+isin-

B.^/2^cos-+isin-

、2(豆吟

C.cos-+isin-

2144J

72(nJTA

D.cos——isin-

2144J

答案C

解析*=±=1+与,.•.归=乎，复数z对应的点是2,位于第

1I"1ZJZCJl乙乙）

一象限，所以argz=~故选C.

(JTJlVJT吟

3.1COS-+isin—IIcos-+isin-1=()

A.iB.-i

C.1D.-1

答案A

解析

4.itM2-rlcos-+isin-1=.

答案木一加i

2.(1T)

解析解法一：原式=

乎(l+i)(l-i)小

亿/+一5_u2(cos0+isin0)

解法_：原式-----------

cos-+isin-

I44J

=2X坐+2X1一制

/(#一1)2乖一书

y2=啦=2.

《7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义》课后作业

基础巩固训练

一、选择题

1.复数sin40°-icos40°的辐角主值是()

A.40°B.140°

C.220°D.310°

答案D

解析Vsin40°=cos310°，—cos40°=sin310°,/.sin40°-icos40°

=cos310°+isin310°.故复数的辐角主值为310°.选D.

2.(cosj~+isinj~)(l+i)的值是()

A.-yftiB./i

C.2iD.-2i

答案B

解析解法一：原式=宙+半i](l+i)=^(l+i)2=^X(2i)=^i.

(JIJiA(JIJIA

解法二：原式=kos7+isirr]J•^/r2lcosY+isin—I

=-\/2^cos—+isin-^=-\j2i.故选B.

3.计算一一「。二..的辐角主值为()

cosl20+isin120

5n7n

A.~7~B

0-v

c11n5几

D.-z-

c.-yO

答案c

111n11JT,,

解析解法一：原式=]i=cos—rfisin一h.故选C.

&力4_cos90°+isin90°/,...。、

解法一：原式=cosl20。+isinl20°=cos(—30ox)+isin(-30)=

11JI

cos3300+isin33。。,因为33。。=丁.故选C.

4.计算（cos36°+isin36°的结果为（）

A.-1B.1

1

2-

C.D.2

答案A

11

解析原式=1.选A.

(cos36°+isin36°)'cosl80°+isinl80°

（i是虚数单位）的三角形式是（）

(4n4”

C.3lcos-+isin-

f6n6n

D.31cos-isin-

答案C

(JT吟(4n

解析z=3|—cos-+isin-=3cos-r-.故选C.

V55J<5

6.计算(1+/。2。2。=()

A.2239+2刈9/iB.—299+2刈9/i

C.2刈9—2如9/iD.-22019-220,9V3i

答案D

解析原式=^cosy+isiny^j]2020=22020(cos2。].+isin^y

22°{COS券+isin*)=2+；—乎i[=—2刈-2期々§i.选D.

二、填空题

“3

7.若复数z=（a+i）2的辐角是g儿则实数a的值是

答案-1

3n

解析2辐角为〒，则才一