高中数学讲义微21 多元不等式的证明

微专题21多元不等式的证明

多元不等式的证明是导数综合题的一个难点，其困难之处如何构造合适的一元函数，本

章节以一些习题为例介绍常用的处理方法。

一、基础知识

1、在处理多元不等式时起码要做好以下准备工作：

（1）利用条件粗略确定变量的取值范围

（2）处理好相关函数的分析（单调性，奇偶性等），以备使用

2、若多元不等式是一个轮换对称式（轮换对称式：一个〃元代数式，如果交换任意两个字母

的位置后，代数式不变，则称这个代数式为轮换对称式），则可对变量进行定序

3、证明多元不等式通常的方法有两个

（1）消元：①利用条件代入消元②不等式变形后对某多元表达式进行整体换元

（2）变量分离后若结构相同，则可将相同的结构构造一个函数，进而通过函数的单调性与自

变量大小来证明不等式

（3）利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系，再寻找方法。

二、典型例题：

例1：已知/（X）=lnx,g（x）=/（力+办?+笈，其中g（x）图像在（l,g⑴）处的切线平行于

X轴

（1）确定a与8的关系

（2）设斜率为女的直线与“X）的图像交于4（玉,％）,8（孙必）（王<马），求证：

1,1

—<k<—

x2X]

解：（1）g（x）=lnx+ar2+bxg（x）=—+2ax+b,依题意可得：

g'（l）=l+2a+Z?=0=Z?=-（2a+l）

（2）思路：Z=乂」吧2二In五,所证不等式为J_<-J

x2-x{x2-x{x2x2-xx

即寇<“2一',进而可将强视为一个整体进行换元，从而转变为证明一元不等

式

解：依题意得左=上乂=生土二g,故所证不等式等价于:

x2-%,x2-xx

1lnx-In$1

—<----2------<—^SA<]nZ<^lSA0l_±<ln2<三_i

x2X2-X]X]xxX,X2X]x]

令t=Z,«>l),则只需证：i—1<3<一1

芭t

先证右边不等式：lnr<t-loln，T+l<0

令〃(x)=lnr-r+lA(/)=--1=---

(。在(l,+oo)单调递减；.〃(/■)<〃(1)=0

即Inf—r+1<0

对于左边不等式：l—；<ln/=lnr+；-

1>0

令p(f)=lnf+；一],则“(0=7-3=r-1

V

二p(。在(l,+oo)单调递增.,./?(r)>/?(1)=0

小炼有话说:

(1)在证明不等式上〈史■生-如工■时，由于王独立取值，无法利用等量关系消去

王

一个变量，所以考虑构造表达式/(为,％2)：使得不等式以/(七,%)为研究对象，再利用换元

将多元不等式转变为一元不等式

(2)所证不等式为轮换对称式时，若玉,々独立取值，可对X1,%2定序，从而增加一个可操作

的条件

例2：已知函数/(x)=xlnx.

(1)求/(x)的单调区间和极值;

(2)设A(X],/(xJ),8(X2，/(x2))，且芭7工2，证明："/)―:(xj<f

解:

(1)定义域为(0,+8)

/(x)=lnx+l

令/(x)>0解得：x>-

.••/(x)的单调增区间是+00)单调减区间是(0,：)

.-./(X)的极小值为/=口11：=无极大值

vejeee

(2)思路：所证不等式等价于证±In*-xJn之＜g±H.+i,轮换对称式可设再＜马，

尤2—斗2-

进而对不等式进行变形，在考虑能否换元减少变量

证明：不妨设演＜%2

g<r(审)O/Inw-xJnN<1]

x2-x}2

.玉+%

xInx-X]In%<xIn”'24-x.In-----+x-Xj(由于定序药＜%2，去分母避免了分

22222

类讨论)

x2ln-^-<x,]n-^-+x2-x,(观察两边同时除以西，即可构造出关于上的不等式)

X1+W%+%

2.强

两边同除以引得，三In―土＜111/一+强一1令三=，，则，＞1,

玉11十强1+强玉玉

2t2

即证：Zin---＜In---+Z-1

1+11+1

2t2

令g⑺=，ln----In------Z+1

1+r1+f

,12t1+r21+r22t1—tt—1t—1

g(t)=In---+f-----H----------7-1=In----1----=ln(lH-----)-----

l+i2t(l+o22(1+Z)21+r1+rr+lr+1

令——-=mQn>0),/z(m)=ln(l+m)-m(再次利用整体换元)

Im

h(m)=------1=------<0,/z(m)在(0,+8)上单调递减，所以/z(m)<〃(0)=0

即ln(l+/n)<m,即g'«)=ln(l+3)—匕!■<()恒成立

''z+1t+\

，g(f)在(l,+oo)上是减函数,所以gQ)＜g⑴=0

2t2

A/ln—<ln——+f—1得证

1+t\+t

所以心8<尸(笞殳)成立

小炼有话说：

(1)本题考脸不等式的变形，对于不等式/In-----=—<XjIn-------Fx2—%而言，观察到

X1+x2玉+x2

每一项具备齐次的特征(不包括对数)，所以同除以修，结果为工或者1,观察对数的真数，

玉

其分式也具备分子分母齐次的特点，所以分子分母同除以匹，结果为工或者1,进而就将不

玉

等式化为以迄为核心的不等式

*

(2)本题进行了两次整体换元，第一次减少变量个数，第二次简化了表达式

例3：已知函数/(x)=e*-gx?-ox(«GR).

(1)若函数/(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围；

(2)如果函数g(x)=/(x)—(a—g*2恰有两个不同的极值点x„x2,

证明：血土三<in2。.

2

解：

(1)・・・/(x)是R上是增函数

x

・•.VxGR,f(x)=e-x-a>0(注意：单调递增一导数值>0)

:.a<(ex-x]

设/z(x)-ex—xh(x)=ex-1

令〃'(x)〉0解得x〉0故秋x)在(-oo,0)单调递减，在(0,+8)单调递增

.\a<\

2x2x

(2)思路：g(x)=/(x)-6Z--jx=e-ax-ax,g^x)=e-2ax-ao所证不等

k2J

ex,—2ax-a=0

式含有3个字母，考虑利用条件减少变量个数。由X],9为极值点可得,}

e~-2ax._Q=0

从而可用xpx2表示。,简化所证不等式。

解：依题意可得:

g(x)=/(x)—ax2=ex-ax1-ax,g(x)=ex—2ax—a

•：xx,x2是极值点

g(玉)=0=*一2ax-a=Q

x两式相减可得：2a=

g(々)=°*-2ax^-a=Q王一工2

所证不等式等价于：土土土•<in上空

062<-------,不妨设%]>九2

X}—x2

药一电e“一电―1

两边同除以e*可得：e2<--------,（此为关键步骤：观察指数幕的特点以及分式的分母，化不同

王一工2

为相同，同除以e*2使得多项呈阳一%2的形式）

从而考虑换元减少变量个数。令f=X1-/te（0,+oo）

£e'-l

所证不等式只需证明：e2<--of/—e'+l<0,设〃(%)=加2—一+1

t

由（2）证明可得：3>0/.p(尢)<0

・•・〃（%）在（0,+oo）单调递减，〃（。<〃（0）=0证明完毕

原不等式成立即受土三<In2a

2

小炼有话说：本题第（3）问在处理时首先用好极值点的条件，利用导数值等于0的等式消去

a,进而使所证不等式变量个数减少。最大的亮点在于对"+"2<]n，一”的处理,此时

2X,-x2

对数部分无法再做变形，两边取指数，而后同除以e*2,使得不等式的左右都是以苞一々为整

体的表达式，再利用整体换元转化为一元不等式。

例4：已知/(x)=(^+l)lnx+ax2+1

(1)讨论/(x)的单调性

设求证：-x\

(2)aK-2,Vx,,x2G(0,4-OO),|/(X1)-/(X2)|>4|x)2

解：(1)定义域％>0

/(力=卓+2"=2苏；。+1令/(%)>0,即

2加+。+1>0=2or2>-((2+1)

①a=0则/(x)>0恒成立，/(%)为增函数

②a〉0则工2>一勺1),f(x)>0恒成立，"X)为增函数

Z-X,2(。+1)

③。<0时，%*,<-------

2a

当aK—1,则f(x)<0恒成立，/(6为减函数

当一Iva<0时，解得：0<x<.-----

V2a

[\a+\

XW2aT

/（X）+—

/（X）/

（2）思路：所证不等式|/（百）一/（々）|24|不一々|含绝对值，所以考虑能否去掉绝对值，由

（1）问可知/（X）单调递减，故只需知道玉，无2的大小即可，观察所证不等式为轮换对称式，

且不，々任取，进而可定序/＞修，所证不等式/（%,）-f（x,）＞4x2-4xl,即

/（引一4赴2/（与）一4石，发现不等式两侧为关于不，々的同构式，故可以将同构式构造一

个函数，从而证明新函数的单调性即可。

解：不妨设马＞芭，•••04—2,所以由第⑴问可得/（x）单调递减，.•./（%2）＜/（看）

.二所证不等式等价于：/(^)-/(^)>4%2-4x,o〃X[)+4X]之/(工2)+4工2，令

g(x)=/(x)+4x=(a+l)lnx+or2+i+4x,只需证明g(x)单调递减即可

，/、。+1..2加+4工+。+1

g(x)=----F2ax+4=--------------<>

xx

设力(工)=2加+4x+a+l

方程/z(x)=0A=16—16a(a+1)=—16(a+2)(a—1)<0

/?(x)<0=>g(x)<0

g(x)在(0,+oo)单调递减。「.g(与)之g(%)即所证不等式成立

小炼有话说：同构式以看作是将不同的变量放入了同一个表达式，从而可将这个表达式视为

一个函数，表达式的大小与变量大小之间的关系靠函数的单调性进行联结。将不等式转化为

函数单调性的问题。双变量的同构式在不等式中并不常遇到，且遇且珍惜。

例5：已知函数/(%)=21nx一炉一⑪.

「1\

(1)当a23时，讨论函数y=/(x)在一,+8上的单调性；

1_2)

(2)如果%,%(王〈%)是函数/(力的两个零点，/(x)为函数/(1)的导数，证明：

2「1、

解：(1)/(%)=一一2x-a可判断f(x)在一,+8单调递减

x1_2,

出=4—1—a=3—a<0

「1\

)(X)在5，+°°单调递减

(2)思路：/'(x)=2-2x-〃可得：/(否,+2工?]=——6----2(西+2々)一〃，含有三

I3)Xr।I3

个字母，考虑利用条件减少字母的个数。由/(玉)=/(々)=0可得:

X

.2rx21n—2

2Inx,-x.-ax.=0x.、

L

两式相减便可用xpx2表示。，即a=-------(X2+xj,代入可得:

21nx,—%2—Q%=012—%

21n强

•[Xj4-2X温号"')一二+笔—2咤-*2-丁

I~~2

从而考虑换元法将多元解析式转变为一元解析式进行证明

.(再+2X

解：f2—--------—(x.+2招)一。

I-F2+2/3V1「

VX2)是函数/(X)的两个零点

2

/(x,)=21nxl-xl-arl=0“工

=4=---------IX2+X.)

/(x2)=21nx2-xl-ax2=0-x{

21n垣

6x}

---------------(x,+)-cix,+2XX-X,3"”)

玉+2/3V12722

♦.•一§(工2T|)2<0

(、

21nz3巡-1

只需证——------------<0<=>'士——一2In受<00

-In上<0

xl+2X2X2-XJ%+2X2%11+2强%

,令"迨j£(l,+8)

%]

则设/?(f)=K)_lnf下面证〃(。<0

(1—

A(l)=0,h(1)♦.">1,恒成立

Q+l)2

■fx.+

.•.〃«)在(1,内)单调递减，.•/«)<〃(1)=0即/<0

小炼有话说:

(1)体会在用再,工2表示。时为什么要用两个方程，而不是只用Zin%-X：-ar1=0来表示。?

如果只用的或马进行表示，则In』很难处理，用斗,々两个变量表示“，在代入的时候有项

In上，即可以考虑利用换元法代替工，这也体现出双变量换元时在结构上要求“平衡”的特

X芭

点

21n强

X11

•।x,+2X26

(2)在/I3----------这一步中，对_一(%2一%)项的处理

X]+2X2x2-XJ33

1%+2X的符号，而一—尤符号为负，且在解

可圈可点，第三问的目的落在判断了2g(%21)

析式中地位多余(难以化成上)，所以单拿出来判断符号，从而使讨论的式子得到简化且能

X|

表示为z的表达式

玉

例&(2010年天津，21)已知函数〃x)=xe-x

(1)求函数/(x)的单调区间和极值

(2)己知函数)=g(x)的图像与函数)=/(力的图像关于x=l对称，证明当x>l时,

/(x)>g(x)

(3)如果玉7々，且/(X1)=/(X2),求证：X,+x2>2

解:(1)f(x)=—xe~x+e~x=(1—x)e~x

令f(x)>0=x<l.♦./(x)的单调区间为：

XS,1)(1,+00)

/(X)+—

/

・・.的极大值为/⑴=3,无极小值

(2)解:与/(X)关于x=l轴对称的函数为"2—x)

g(x)=〃2-x)=(2—x)e"2所证不等式等价于证：

x

xe'+(x-2)eI>0设〃(%)=疝-工+(％_2)*2〃⑴=0

h(x)=-xe~x+e~x+ex~2+(x-2)ex~2=(x-l)(ex~2-

•/x>1.>.e2x~2-1>0h(x)>0

在(L+oo)单调递增>〃⑴=0即〃x)>g(x)

(3)思路：所给条件/(为)=/(%2)=2"为=we』，但很难与芭+々>2找到联系。首

先考虑当,々的范围，由(1)可得x=l是极值点，.,./(工])=/(々)=%],々应在》=1的

两侧，观察已知和求证均为的轮换对称式，所以可设玉<X2，进而玉<1<々，既然无

法直接从条件找联系，不妨从另一个角度尝试。已知条件给的是函数值，所证不等式是关于

自变量的，％+%>2=%>2—々，而2—々<1，根据/(X)的单调区间可发现2-々，芭

同在单调递增区间中，进而与函数值找到联系玉>2—马o/(%)>/(2—w)

由/(xJ=/(W)可得所证不等式等价于/(々)>/(2—％)，刚好使用第二问的结论。

解：•."(％)=/(工2)，%=1是极值点

.tX],%2在1=1的两侧，不妨设玉<1<X2

所证不等式等价于玉>2-刍而2-9<1

•二.f(X)在(―8,1)单调递增

.•.石>2-X2O/(XJ>〃2—%),•,/(%,)=/(x2)

.•.只需证明/(々)>/(2—W)•/x2>1

由第(2)问可得/(工2)>8(%2)=/(2—%)成立

/.%1+x2>2得证

小炼有话说：(1)本题第(3)问是利用函数的单调性，将自变量的不等式转化为函数值的不

等关系，进而与前面问题找到联系。在处理此类问题感到无法入手时，不妨在确定变量的范

围后适当将其赋予一个函数背景，扩展不等式变形的空间

(2)本题第(2)(3)两问存在图形背景。首先说第三问：所证不等式％+々〉2=>1

,即证工=1],工=冗2的中点横坐标大于1,而X=1恰好是/,(X)的极值点。/(玉)=/(X2)可

理解为了(X)与一条水平线交于X1,々，而立;2〉1说明什么？说明如果是以极大值点X=1

为起点向两边走，左边下降的快而右边下降的慢！从函数角度来看说明/(x)增长快下降慢(如

图)。那么如何使用代数方法说明函数快增长慢下降的特点呢？本题的第二问提供了一个方

法，就是以极值点所在竖直线为对称轴，找/(x)的对称图形(虚线)，这样便把极值点左边

的情况对称到右边来(即g(x)),由于对称轴右边都是从X=1起开始下降，那么通过证明对

称轴右侧原图像在对称图像的上方即可说明增减的相对快慢。

例7：已知函数f\x)=j+eR

X

(1)求“X)的极值

(2)若Inx<0对任意的x>0均成立，求女的取值范围

已知%>0,九2>。且％+/，求证：x]+x2>XjX2

解：(1)/(%)=-—令/(x)>0解得尤</

.•./(%)在(01)单调增，在(e",+o。)单调递减

.-./(X)有极大值.f(e")=,无极小值

]nx

(2)\nx-kx<0<^>k>----(参变分离法)

X

\nx1nx

.1.k>设g(x)=?(即a=l时的/(x))

max

(3)思路：所求证不等式X]+%>苞12无法直接变形，联系/(x),g(x)的特点可以考虑不

等式两边取对数，即％]+w>XjX2<^>ln(Xj+x2)>in%j+lnx2,由项>。，z>。且

M+Zve可得西,%2£(°，e)，联系第⑵问的函数g(x)即可寻找Inarin/与皿玉+/)

的联系了。

解：vXj>0,x2>0,x2<e

考虑g(x)=W在(0,e)单调递增

一(司).上+动=3<皿山川/<%1心+%)

Xjxx4-X2X]+x2

同理：.•屈々)山(玉+々)=.<^^川眸<”&+々)

x2%+工2$+X?

.•.lnx,+lnx2<»n(F+』)+乜ln(%+xj=此(%+%)

X]+%2X]+x2

HPln(x(x2)<In(%)+x2)；.x,x2<xt+x2

例8：已知函数g(x)=lnx+/zx

(1)函数g(x)有两个不同的零点玉,乙,求实数匕的取值范围

2

(2)在(1)的条件下，求证：x,x2>e

解：(1)g(x)有两个不同的零点和无2,即lnx+灰=0有两个不同的根

,Inx，/、Inx

:.b=-----设/(x)=---------

xx

.•J(x)=-匕詈令/(X)>0可得:

1-lnxv0nx>e

・・・/(%)在(0,6)单调递减，在(&+8)单调递增

且％—>+oo时，0,/(e)=——

(2)思路一：所证不等式中含有两个变量X"9,考虑利用条件消元将其转化为一元不等式,

Inx+bx—0

由零点可知111，从中可以找到百/，即Inx臼=一)(尤]+方)，下面只需用％,工2

\nx2+bx2=0

In2(%,+x2)ln—

将。消掉即可，仍然利用方程组两式作差可得6=—百一，从而1口再％2=-----------------

X]-X2Xy-X2

(玉+x2)ln—

只需证明------------旦>2,两边同除以引，即可利用换元将所证不等式转为一元不等式

七一占

来进行证明

解：不妨设々>N

fIn%,+bx.=0.、

由已知可得：,InjqXj=—>(％+w)

InXy+bx2=0

即只需证明：一匕(芯+%)>2,在方程=°可得：々)=ln受

v1v

[\nx2+bx2=Ox,

In三ln&

:.b=—工；.只需证明：——工（玉+w）>2

玉-x2x1-x2

In强1+%In三

（\/\

即—工6+々)>2=~~%)%>2=1+上In三>2殳-1

%2一%三一11%1yXji%y

令/=玉，则r>l,所以只需证明不等式：(l+r)ln/>2«—l)=(l+r)lnr—2r+2>0①

x\

设M，)=(l+，)Inr—2r+2〃(1)=0

=三+lnf-2=j+ln—l/z(l)=O

_A=*>oh(t)在(1,4W)单调递增

/?(?)>/?'(1)=0

・•.g)在(1,4W)单调递增

.♦.〃«)>〃(1)=0,即不等式①得证

2

二一跳玉+W)>2即InX]/>2X]X2>e

思路二：参照例题6的证明方法，构造一个单调的函数，进而将自变量的不等式转化为函数

InJC

值的不等式进行证明。由(1)可知在构造的函数/(x)=——士中，有/(玉)=/(&)="

且/(x)在(O,e)单调递减，在(e,+0。)单调递增，所以考虑使用/(X)来进行转换，所证不等

式>/<=>%>—,通过(1)中的数形结合可知0c%<e<%,从而有

2(2、(2、

玉c(O,e),Je(O,e),所以所证不等式转化为/(%,)</—L即/(/)<——,转化

W\X2JI尤2/

为关于马的一元不等式，再构造函数证明即可

2

解：所证不等式玉％2〉/OR>J

%2

因为g(x)=lnx+〃x有两不同零点玉,当

InX

二%],工2满足方程lnx+"=0=b=-------，由(1)可得：0<M<e<%2

x

考虑设〃x)=—?,.♦"(%)=〃£)

由(1)可得：〃力在(0,e)单调递减，在(自+oo)单调递增

0<Xj<e<x2Xye(0,e),—G(0,e)

、/、fe2}

结合/(x)的单调性可知：只需证明〃%)</—

\X27

•.•/(XI)=/(A2)

所以只需证明:0/(龙2)-/一<0

2

即证明：一<0<=>x2In-———lnx2<0<=>2x^-(+e11nx2<0

2v7

ex2x2x2--

x2

设，(1)=212_(尤2+e2)[nx,x£(e,-Foo),则力(e)=0

[2

z.A(x)=4x——(x2+e2)-2xlnx=3x--——2x\nx,则/z(e)=0

/.h(x)=3H—--2(l+lnx)=ld---21nx,则〃(e)=0

h(x)单调递减/.h(%)<h(e)=0

/.h(x)单调递减h(x)<h(c)=0

单调递减.\/?(x)<h[e)=0

即-(x2+/)Inx2Vo得证

2

/./(%!)<f―得证，从而有方>—«>x,x2>e

\X1)%

例9：已知函数/(x)=；/—_Lx+in(x+a),其中常数a〉0

(1)求的单调区间

(2)已知0<a<；,若Xi，%e(—。,4),王，且满足了'(西)+/'(尤2)=。，试证明:

f\xx+x^)<f(0)

解：(1)定义域X£(-a,+8)

小)J」」*之一)]

2ax+a2Q(X+Q)

r\2

令f\x)>0即x^ax—(2-/>oxi=0,x2=-------->—a

①%!<=>0<«<\/2

(o2、

0,^-(2-a2]

X(-a,0),+00

<a>I。J

/w+—+

/W//

②x[=x2^=a=y/2/(x)20恒成立.・J(x)在(一名+oo)单调递增

③x1>a>yj2

(c2-a2\

XQ,(0,+oo)

<a>Ia)

+—+

/(x)/\/

(2)

思路一：分别用玉,％2，。表示出/.(玉+々)，并利用/'(玉)+/'(%)=0进行代换，然后判

断了'(芭+々)的符号即可。

+V：?

解：/,(%,+%,)=—-'--+---------,/(0)=0,所以只需证明：f(x,+x7]<0

2ax1+x2+a

•"(3)+/(%)=0

1

/(xl)+/(x2)=1.rl--+^^-+|x2--+---=^L^--+—L—+—L—=O

2a$+a2ax2+a2a玉+。x2+a

即x+w=2——\-----}―

2a%】+ax2-\-a

只需证+%)=，+——1--------1......-<0

aQ+玉+%2。+犬]a-\-x2

•••小+/)=4

a+x2)

Q+X[-a+(〃+工2)(々+4+12)_X_%

Q(Q+xJ(Q+X+工2)(。+工2)Q(Q+xJ(Q+M+工2)(〃+工2)

(a+x]+工2)(〃+%2)­。(4+办)

।Q(Q+xJ(Q+X]+/)(〃+/)

222

a+ax2+ax1+x,x2+ax2+x2-a-axy

a(4+xJ(a+X]+%2)(。+入2)

x,x2+2ax)+x；%1+%+2a

Q(Q+XJ(Q+X]+光2)(〃+工2)12Q(a+xJ(Q+X]+%2)(〃+%)

XpX2G(一a,Q),Q£

/.玉+a>0,x2+Q>0,x,+%+2。>0

・•・若要证/（西+%）<0，只需证明：———<0即可

aIIXf

下面判断王,々的范围

(X+Q)2-2

~X----1------(-QVXVQ)f(X)=5

(X+Q)~2(X+Q)

2

aG/.(x+々J_2<(Q+Q1-2=4(7-2<0

・・・/(%)单调递减,不妨设v/(O)=O,/(x1)+/(x2)=O

:.-a<x[<0<x2<a「.％]毛<0,芯+々+。=%+(%+。)>0

—母一<0得证

Q+玉+々

・•・/'（%+%2）V0即不等式/（玉+苍）V/'（0）得证

思路二：在证明f（玉+/）=--1------------------------------------------<0时，固定尢2（视为"—^个参

aa+x{+x2a+x}a+x2

数），将a+玉作为一个整体视为自变量，构造函数判断了'（玉+々）符号

解：考虑证明/（%+%）=—+---------------------------<0

a。+X1+尤2。+X]。+工2

同思路一判断出:.-a<x]<0<x2<a

令x=4+Mxe(0,^z)设g(x)=—+--------------

ax+x2xa+x2

+与=(2x+%)x：〉o

2

x(x+x2)

.•.g（x）在（O,a）单调递增，g(a+xJ<g(a)=O

即/（玉+z）=—+——；~；------；-------<0不等式得证

aa+xt+x2a+xya+x2

小炼有话说：（1）思路一的方法比较直接，在整理完/（芭+々）后通分判断符号。其中证明

项+马〉0借鉴了例6的思路，通过单调性将自变量的大小关系转化为函数值的大小关系，

构造函数证明。

（2）思路二为我们提供了一个证明多元不等式的方法：可固定其中一个变量，视其为参数,

以另一个变量作为自变量构造函数，计算出最值，对原表达式进行一次放缩，然后再将先前

固定的变量视为自变量构造函数证明不等式，这种方法也称为调整法

(3)第(3)问中对%,超范围的判定是一个亮点，利用极值点与单调性来进行判定。此方法

通过图像更为直观，所以在判断变量范围时可以考虑做出草图，然后观察其大概位置，在用

代数语言进行说明和证明。

例10：己知函数/(%)="—这一8,其中wR,e=2.71828…

(1)当〃=一。时，求“X)的极小值

(2)当〃>0/=一。时，设/(力为“X)的导函数，若函数“X)有两个不同的零点七,马，

且王</，求证：/(31n6r)>f-2无，2

\X\+工2/

解：(1)/(x)=ex—ax+a.*./(x)=eA—a

①当QWO时，/'(x)>0恒成立为增函数，无极小值

②当〃>0时，令/,(x)>O=