高中数学高考三角函数重点题型解析及常见试题、答案+数列常见题型总结

高中数学高考三角函数重点

型解析及常见试题、答案+数列常见题型总结

高考三角函数重点题型解析及常见试题(附参考答案)

三角函数的主要考点是：三角函数的概念和性质(单调性，周期性，奇偶性，最值)，

三角函数的图象，三角恒等变换(主要是求值)，三角函数模型的应用，正余弦定理及其应

用，平面向量的基本问题及其应用.

题型1三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正

余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题.

例1若x是三角形的最小内角，则函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值是

（）

A.-1B.*\/2C.---Fy/0,D.--Fy/o.

22

分析：三角形的最小内角是不大于?的，而（sinx+cosx『=l+2sinxcosx,换元解

决.

解析：由0<x<工，令r=sinx+cosx=0sin（x+囚），而乙<x+工《工万，得

344412

1<?<A/2.

*一］

又r=l+2sinxcosx,Wsinxcosx=----,

得＞=，+一_Mga+i)?—1,有1+0＜＞〈0+电产■=3+g.选择答案D.

点评：涉及到sinx±cosx与sinxcosx的问题时，通常用换元解决.

解法二：y=sinx+cosx+sinxcosx=V2sin|x+—|+—sin2x,

I4；2

当X=?时,丁皿=夜+('选D。

例2.已知函数/(x)=26rsinxcosx+2/?cos~x.,且/(0)=8,/(—)=12.

6

(1)求实数a,8的值；(2)求函数/(x)的最大值及取得最大值时x的值.

分析：待定系数求a，b；然后用倍角公式和降塞公式转化问题.

解析：函数/(x)可化为/(x)=asin2x+6cos2x+b.

吗）=*"+|6=12,所以

（1）由/（0）=8,/（：）=12可得/（0）=28=8,

b=4,a=4>/3.

(2)/(x)=4>^sin2x+4cos2x+4=8sin(2x+—)+4,

6

故当2*+7=2左乃+］即x=br+?(左eZ)时，函数/(x)取得最大值为12.

点评：结论asine+Z7Cose=d/sin(e+0)是三角函数中的一个重要公式，它

在解决三角函数的图象、单调性、最值、周期以及化简求值恒等式的证明中有着广泛应

用，是实现转化的工具，是联系三角函数问题间的一条纽带，是三角函数部分高考命题

的重点内容.

题型2三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质，一直是高考

所重点考查的问题之一.

例3.(2009年福建省理科数学高考样卷第8题)为得到函数y=cosl2x+jj的图象,

只需将函数y=sin2x的图象

5兀5兀

A.向左平移三个长度单位B.向右平移T个长度单位

1212

5715兀

C.向左平移i个长度单位D.向右平移竺个长度单位

66

分析：先统一函数名称，在根据平移的法则解决.

71715万

解析：函数y=cos!2x+—I=sinl2x+—+—|=sinl2x+=sin2|x+-

332~6~I12

故要将函数y=sin2x的图象向左平移匚个长度单位，选择答案A.

图象是

分析：分段去绝对值后，结合选择支分析判断.

Rtanx,Jtanx<sin^结合选择支

解析：函数y=tanx+sin尤Ttanx-sinX='

2sin%,当tanx之sinA0寸

和一些特殊点，选择答案D.

点评：本题综合考察三角函数的图象和性质，当不注意正切函数的定义域或是函数分段

不准确时，就会解错这个题目.

题型3用三角恒等变换求值：其主要方法是通过和与差的，二倍角的三角变换公式解

决.

例5（2008高考山东卷理5）已知cos（?-巴〕+sina=1百，则sin[a+,）的值

16

是

262>/34

A.-----B.---C.-D.—

555

分析：所求的sin[a+*J=sin(a+?),将已知条件分拆整合后解决.

解析：

c(3.G4

C,cosa——+sina=----<=>—sincr+——cosa=----osma+—=—

I6j5225I6j5

点评：本题考查两角和与差的正余弦、诱导公式等三角函数的知识，考查分拆与整合的

数学思想和运算能力.解题的关键是对8$]。-£]+411。=：百的分拆与整合.

例6（2008高考浙江理8）若cosa+2sina=-石，则tana二

11

A.—B.2C.---D.—2

22

分析：可以结合己知和求解多方位地寻找解题的思路.

j2।

方法一：\J5sin（a+（p）=-5/5,其中sine=T，cos"=丁，即tan°=一,

冗冗

再由5缶（^+0）=一1知道0+夕=2%%一5（左£2）,所以a=2%万一5一夕,

所以tana=tanf2%万一工一夕]=tanf--=—1-C0S(P_?.

[2)(2J4->臼9

方法二：将已知式两端平方得

cos26r+4cos6zsincif+4sin2a=5=5(sin2cir+cos2a

=>sin2or-4sinacosa+4cos2a=0

=tan2a—4tana+4=0=>tana=2

方法三：令sina—2cosa=，，和已知式平方相加得5=5+/，故，=0,

即sin。-2cosa=0,故tana=2.

方法四：我们可以认为点A/（cosa,sin。）在直线x+2y=->/5上，

[x=6------

而点"又在单位圆f+y2=i上，解方程组可得|5,

2V5

、，=一丁

从而tana=2=2.这个解法和用方程组卜；+2sm：=-不求解实质上是一致

xsin-a+cos-a=1

的.

方法五：a只能是第三象限角，排除C.D.,这时直接从选择支入手验证，

由于，计算麻烦，我们假定tana=2,不难由同角三角函数关系求出

2

=-半,cosa=—1g,检验符合已知条件，故选B.

sina

点评：本题考查利用三角恒等变换求值的能力，试题的根源是考生所常见的"已知

sin夕+cos4=g,尸e（0,万），求tan£的值（人教A版必修4第三章复习题B组最后

一题第一问）”之类的题目，背景是熟悉的，但要解决这个问题还需要考生具有相当的

知识迁移能力.

题型4正余弦定理的实际应用：这类问题通常是有实际背景的应用问题，主要表现在

航海和测量上，解决的主要方法是利用正余弦定理建立数学模型.

例7.（2008高考湖南理19）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设

为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶

的船只位于点A北偏东45'且与点A相距40近海里的位置3,经过40分钟又测得该

船已行驶到点A北偏东45。+。（其中sin9=，?S,0。<8<90,）且与点A相距

26

10河海里的位置C.

（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；

（2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.

分析：根据方位角画出图形，如图.第一问实际上就是求BC的长，在AABC中用余

弦定理即可解决；第二问本质上求是求点E到直线BC的距离，即可以用平面解析几何

的方法，也可以通过解三角形解决.

解析：（1）如图，AB=4O0AC=lOy/13,ZBAC=G,sin0=­.

26

由于0。<6<90°,所以cos9=

由余弦定理得BC=VAB2+AC2-2AB.AC•cos0=1075.

所以船的行驶速度为号6=15石（海里/小时）.

3

（2）方法一：如上面的图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，

设点B,C的坐标分别是3（玉,y）,C（%2,%），6C与x轴的交点为。.

由题设有，芯=乂=5-48=40,

赴=ACcosZG4D=10V13cos（450-6>）=30,

必=ACsinACAD=10713sin（45-0=20.

20

所以过点B,C的直线l的斜率k=^=2,直线/的方程为y=2x-40.

又点E（0,-55）到直线/的距离d==375<7,所以船会进入警戒水域.

解法二：如图所示，设直线4E与的延长线相交于点。.在AABC中，由余弦

定理得,

A3?+302—AC?402x2+102x5-1()2x133710

cosZABC=

2ABBC_2x4072x107510

从而sinZABC=Vl-cos2Z/15C=

40&巫

ABsinZABC

在AABQ中，由正弦定理得，4。=_______10_=40.

sin(45-ZABC)V225/10

—x------

210

由于AE=55>40=AQ,所以点0位于点A和点E之间，且上Q=AE—AQ=15.

过点£作EP_L6C于点P,则EP为点、E到直线BC的距离.

在RtAQPE中，

号=3后

PE=QEsinNPQE=QE-sinZAQC=QE-sin(45-ZABC)=15x<7.

所以船会进入警戒水域.

点评：本题以教材上所常用的航海问题为背景，考查利用正余弦定理解决实际问题的能

力，解决问题的关键是根据坐标方位画出正确的解题图.本题容易出现两个方面的错

误，一是对方位角的认识模糊，画图错误；二是由于运算相对繁琐，在运算上出错.

题型5三角函数与平面向量的结合：三角函数与平面向量的关系最为密切，这二者的

结合有的是利用平面向量去解决三角函数问题，有的是利用三角函数去解决平面向量

问题，更多的时候是平面向量只起衬托作用，三角函数的基本问题才是考查的重点.

例8(2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第18题)已知向量

a=(2cos〃x,cos2®:)》=(sin®:,l),(<w>0),令=a%,且/(x)的周期为

⑴求的值；⑵写出/(x)在［一李自上的单调递增区间.

分析：根据平面向量数量积的计算公式将函数/(X)的解析式求出来，再根据/(X)的

周期为7就可以具体确定这个函数的解析式，下面只要根据三角函数的有关知识解决即

可.

解析：⑴

/(x)=aB=2coswsinoir+cos26m:=sin2柄+cos2g=V2sin(26izr+—),

4

f(x)的周期为乃.a)=i,f(x)=V2sin(2x+—)，

4

.,./(?)=sin'+cos/=1.

(2)由于/(x)=J^sin(2x+工)，

4

当一g+2x+?W1+2攵万(左cZ)时，单增，

即一旦+工+Z乃(kGZ),*/xe

8822

・•・/(x)在［—工，工］上的单调递增区间为［―也,刍.

2288

点评:本题以平面向量的数量积的坐标运算为入口，但本质上是考查的三角函数的性质,

这是近年来高考命题的一个热点.

例9(2009江苏泰州期末15题)

已知向量a=（3sina,cosa）,B=（2sina,5sina-4cosez）,aey,2^-L且

a.Lb.

(1)求tana的值；

(2)求的值.

分析：根据两个平面向量垂直的条件将问题转化为一个三角函数的等式，通过这个等式

探究第一问的答案，第一问解决后，借助于这个结果解决第二问.

解析：(1)a.Lb,/.a-b=0.而q=(3sina,cosa),

B=(2sina,5sina-4cosa),

故«-^=6sin2a+5sinacosa-4cos2a=0,由于cosawO,

/.6tan2a+5tan-4=0,

4i手兀），

解得tana=——，或tana=—・*/aG2tancr<0,

32

故tana=—（舍去）.tana=——.

23

/-、..（3兀八、.a/3兀、

（2）.CX€--，271t.•—G（---，兀）.

（2）24

4、/cczy

由tana=——，求得tan—=——tan-=2（舍去）.

3222

2525

（aait.a.n261石百2A/5+V15

cos——I——|=cos-cos——sin—sin—=-------x--------x——=

V23J2323525210

点评：本题以向量的垂直为依托，实质上考查的是三角恒等变换.在解题要注意角的范

围对解题结果的影响.

题型6三角形中的三角恒等变换：这是一类重要的恒等变换，其中心点是三角形的内

角和是万，有的时候还可以和正余弦定理相结合，利用这两个定理实现边与角的互化,

然后在利用三角变换的公式进行恒等变换，是近年来高考的一个热点题型.

例10.(安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学17题)三角形的三内角A,

B，C所对边的长分别为a,b,c,设向量加=(c-a,b-a),〃=(a+/?,c),若加//〃，

(1)求角3的大小；

(2)求sinA+sinC的取值范围.

分析：根据两个平面向量平行的条件将向量的平行关系转化为三角形边的关系，结合余

弦定理解决第一问，第一问解决后，第二问中的角AC就不是独立关系了，可以用其

中的一个表达另一个，就把所要解决的问题归结为一个角的三角函数问题.

解析：(1)vmlIn,:.c(c-a)-(b-a)(a+b),

c2-ac^b2-a2,a2+c2-^2=1.由余弦定理，得cosB=L,B=三.

ac23

一,2万

(2)・.•A+8+C=乃,，A+C=—,

3

2〃*TT2九"

/.sinA+sinC=sinA+sin(-—A)=sinA+sin—cosA-cos—sinA

=—sinA+—cosA=\/3sin(A+—)

226

八，2JIn，万5万

0<A<—,—<AH—<—

3666

—<sin(A+—)<1,—<sin/I+sinC<V3

262

点评：本题从平面向量的平行关系入手，实质考查的是余弦定理和三角形中的三角恒等

变换，解决三角形中的三角恒等变换要注意三角形内角和定理和角的范围对结果的影

响.

题型7用平面向量解决平面图形中的问题：由于平面向量既有数的特征(能进行类似

数的运算)又具有形的特征，因此利用平面向量去解决平面图形中的问题就是必然的

了，这在近年的高考中经常出现.考试大纲明确指出用会用平面向量解决平面几何问

题.

例11.如图，已知点G是AA3。的重心，点尸在。4上，点0在08上，且PQ过

AABO的重心G,OP=mOA,OQ^nOB,试证明,为常数，并求出这个常

mn

数.

o

分析：根据两向量共线的充要条件和平面向量基本定理，把题目中需要的向量用基向量

表达出来，本题的本质是点P,G,Q共线，利用这个关系寻找相，〃所满足的方程.

解析：令=OB=b,则而=〃而，OQ=nb,设A3的中点为M,显然

OA/=5（£+B）.，因为G是AABC的重心，所以06=耳0贬=］（£+5）.由P、

G、。三点共线，有对、诙共线，所以，有且只有一个实数X,使PG=AGQ,

而PG=OG-OP=g（。+B）-ma=（；-m）a+，

GQ=0Q-0G=nb-^（a+h）=一++（〃一；历,

1-1-1一1一

所以（§_m）a+—/?=A［--Q+（〃—-）/7］.

11.

—m=—A

又因为2、B不共线，由平面向量基本定理得,33,消去;I,

整理得3,初?=机+〃，故'+'=3.结论得证.这个常数是3.

mn

【点评】平面向量是高中数学的重要工具，它有着广泛的应用，用它解决平面几何问题

是一个重要方面，其基本思路是根据采用基向量或坐标把所要解决的有关的问题表达出

来，再根据平面向量的有关知识加以处理.课标区已把几何证明选讲列入选考范围，应

引起同学们的注意.

题型8用导数研究三角函数问题：导数是我们在中学里引进的一个研究函数的重要工

具，利用导数探讨三角函数问题有它极大的优越性，特别是单调性和最值.

例12.已知函数/（x）=cos2x+2rsin%cosx-sin2x,若函数f（x）在区间（土,工］上

126

是增函数，求实数，的取值范围.

分析：函数的/（X）导数在（展,今］大于等于零恒成立.

TTTTITTC

解析：函数/（%）在区间（―,-］上是增函数,则等价于不等式f（x）＞0在区间（―,-］

126126

上恒成立，即/''(©=—2sin2x+2rcos2x20在区间(立,刍上恒成立，从而

126

r2tan2x在区间(―，工］上恒成立，而函数y=tan2x在区间(―,—］上为增函数，

126126

所以函数y=tan2x在区间(土,。上的最大值为jmax=tan(2x工)=6，所以

1266

t>V3为所求.

点评：用导数研究函数问题是导数的重要应用之一，是解决高中数学问题的一种重要的

思想意识.本题如将/(x)化为/(x)=fsin2x+cos2x=J?Hsin(2x+9)的形式，

则。与;有关，讨论起来极不方便，而借助于导数问题就很容易解决.

题型9三角函数性质的综合应用：将三角函数和其它的知识点相结合而产生一些综合

性的试题，解决这类问题往往要综合运用我们的数学知识和数学思想，全方位的多方

向进行思考.

例13.设二次函数/。)=/+云+0(仇。6/?),已知不论a,夕为何实数，恒有

/(sina)20和f(2+cos/?)<0.

(1)求证：b+c=—\；

(2)求证：cN3；

(3)若函数/(sin。)的最大值为8,求力，c的值.

分析：由三角函数的有界性可以得出/(1)=0,再结合有界性探求.

解析：(1)因为—14而041且/何11。)20恒成立，所以/⑴20,又因为

142+cos〃43且/(2+cos/?)《。恒成立，所以/⑴40,从而知/⑴=0,

l+/?+c=0,即〃+c=—1.

(2)由l〈2+cos£W3且/(2+cos/?)K0恒成立得/(3)<0,即9+3Z?+c<0,

将匕=一1一。代如得9-3—3c+c4。，即c23.

(3)/(sina)=sin2a+(-l-c)sina+c=(sina——^)2+c-(-^-)2,

1+c1—〃+c'=8

因为」22,所以当sina=—l时[/(sina)]nwt=8,由<,解得

2[l+Z?+c=0

b=Y,c=3.

点评：本题的关键是A+c=-l,由1,(sin‘)”°利用正余弦函数的有界性得出

/(2+cos/?)<0

川)20

从而了⑴=0,使问题解决，这里正余弦函数的有界性在起了重要作用.

〃1)40

【专题训练与高考预测】

一、选择题

1.若aG[0,2TT),且Jl-cos?a+J1-sin?a=sina-cosa,则a的取值范围是()

A.[0,彳]B.[—C.[TT,--]D-

2222

2.设a是锐角，且lg(l-cosa)=m,1g------=n,则lgsina=()

1+cosa

1/1、m-n11

A.m-nB.—(m——)C.-----D.—(z---n)

2n22m

3.若|£|=2sinl50,出|=4cosl50,£与B的夹角为30°,则()

A./

B.y/3C.273D.—

22

4.若。为ZVIBC的内心，且满足(而—女)•(砺+玄—2函)=0,则AA8C的形状为

()

A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.钝角三角形

5.在AABC中，若，-则ZVLBC是)

cosAcosBcosC

A.直角三角形B.等边三角形

C.钝角三角形D.等腰直角三角形

6.已知向量03=(2,0)、OC=(2,2)、C4=(V2cosa,V2sin«),则直线Q4与直线OB

的夹角的取值范围是)

A.[―,—]B.]D.呜]

1212412

二、填空题

7.sin6JC+COS6x+3sin2xcos2x的化简结果是.

8.若向量7与B的夹角为。，则称ZxB为它们的向量积，其长度为|£x坂|=|£|.|B|sin。,

已知|a|=1,|区1=5,S.a-b=-4,则|ax5|=.

9.一货轮航行到某处，测得灯塔S在货轮的北偏东15。，与灯塔S相距20海里，随后货

轮按北偏西30。的方向航行30分钟后，又得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为

每小时海里.

三、解答题

[sin2(---dz)+4cosa

10.已知：tan(〃+a)=一—,tan(a+/)=-----------------.

310cosa-sin2a

(1)求tan(a+O)的值;

(2)求tan£的值.

已知函数/(x)=>/3sin(j+2sin2(x--^-)(xe/?).

12

(1)求函数/(x)的最小正周期;

(2)求使函数/(X)取得最大值的x的集合.

12.已知向量a=(cosa,sina),B=(cos£,sin/?),卜一q=2f.

(1)求cos(c—/)的值；

TTTTS

(2)若0<a<一,——</?<0,且sin〃=-----,求sina.

2213

【参考答案】

1.解析：B由已知可得sina2(),且cosa<0,故得正确选项B.

2.解析：Clg(l+cosa)=-n与lg(l-cosa)=m相加得lg(l-cos2a)=m-n

21gsina=m-nf故选C.

3.解析：Ba-S=4sin30°cos30°=2sin60°=^,选B.

4.解析：A已知即丽•(而+/)=0,即边BC与顶角NBAC的平分线互相垂直，这表

明A48C是一个以AB、AC为两腰的等腰三角形.

5.解析：B依题意，由正弦定理得sinA=cosA,且sinB=cosB,sinC=cosC,故得.

6.解析：A由|C%|=2为定值，7.A点的轨迹方程为(x—2)2+(>-2)2=2,由图形易知

所求角的最大、最小值分别是该圆的切线与x轴的夹角，故得.

7解析：1原式

=(sin2x+cos2x)3-3sin4xcos2x-3sin2xcos4x+3sin2xcos2x=1.

,,43--3

8.解析：3由夹角公式得cos6=——,・•.sin6=-,|ax式|=lx5x-=3.

555

9.20(V6-V2)解析：设轮速度为x海里/小时，作出示意图，由正弦定理得

1

一x20

二一=,解得尤=20(八一加).

sin30°sin105°

10.解析：(1)•「tan(4+。)=——tana=——,

sin(»-2a)+4cos2a_sin2a+4cos之a

tan(a+,)=

10cos?a-sin2a10cos26r-sin2cr

2sinacosa+4cos2a_2cos«(sina+2cosa)_sina+2cosa_tana+2

10cos2a-2sinacosa2cosa(5cosa-sina)5cosa-sina5-tana

--+2

a5

tan(a+£)=—-

16

5+l

3

51

—i—

/、c「/小rtan(cr+/?)-tana31

(2)tanp=tan[(a+/)—a]=-----------------------，'tanQ=23]

l+tan(a+0tana43

11.解析：(1)因为/(x)=6sin(2x—3)+l—cos2(x—^

=2sin(2x-yj+l

所以〃x）的最小正周期T=1•=%.

(2)当取最大值时，sin(2x—gj=l,此时2x_q=2版■+"(ZeZ),即

57T.5〃

“八"弋（左£Z）,所以所求工的集合为,XX=K7T-\-->(Z:eZ).

12

12.解析：(1)a=(cosa,sina),b=(cosy?,sin/?),

「・a-B=(cosa-cos/?,sina-sin尸).

.平斗平,J(cosa-cos夕『+(sina-sin夕『二2f

43

即2-2cos(a-/7)=(，/.cos(f)=g.

717T

(2)0<av—,—~v4<0,Ova—，

,/cos（a—/?）=—,sin（«-/7）=—.

・05q12

,/sinp=---,/.cosp=一,

1313

sina=sin+=sin（o-/?）cos4+cos（a-/?）sin/?

4123f5A33

二---1—---------=—.

5135I13J65

高中数学复习系列一数列（常见、常考题型总结）（附参考答案）

题型一：求值类的计算题（多关于等差等比数列）

A）根据基本量求解（方程的思想）

1、已知S,为等差数列｛七｝的前〃项和，%=9,%=-6,S〃=63,求“；

2、等差数列｛凡｝中，4=10且。3,%，即）成等比数列，求数列｛凡｝前20项的和S20.

3、设｛4｝是公比为正数的等比数列，若%=1吗=16,求数列｛%｝前7项的和.

4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37,中间

两数之和为36,求这四个数.

B）根据数列的性质求解（整体思想）

1、已知S,为等差数列｛。“｝的前〃项和，a5=100,则L=；

2、设S“、分别是等差数列｛4｝、｛4｝的前〃项和，&=义t2,则&=______.

T,n+3b5

3、设S“是等差数列｛%｝的前n项和，若&=』,则邑=（）

%955

4、等差数列｛e,｝,｛a｝的前〃项和分别为S“,7；,若a=3-,则%=（）

Tn3〃+1bn

5、己知Sn为等差数列｛。“｝的前〃项和，Sn=m,Sm=n（n*⑼，则Sni+n=.

6、在正项等比数列｛。“｝中，+2%%+。3%=25，则%+%=.。

7、已知数列｛《,｝是等差数列，若

%+%+。10=17,%++“6-----F《2+%3+。14=77且/=13,则k=

8、己知S,为等比数列｛七｝前〃项和，S“=54,S2n=60,则%=.

9、在等差数列｛%｝中，若§4=1,§8=4,则如+阳+%+2。的值为（）

10、在等比数列中，已知名+勾。=。（a*0），49+40=人，则49+即）0=.

11、已知｛4｝为等差数列，《5=8,4（）=20，则的5=

12、等差数列｛4,｝中，已知显=L求生.=_____________________,

§83S16

题型二：求数列通项公式：

A)给出前几项，求通项公式

1,0,1,0,……

1,3,6,10,15,21,•••,

3,-33,333,-3333,33333……

B)给出前n项和求通项公式

2

1、(1)Sn=2/7+3n；(2)S“=3"+1.

2、设数列｛4｝满足4+3出+32%+…+3"求数列｛为｝的通项公式

c)给出递推公式求通项公式

a、⑴已知关系式。,用=%+/(〃)，可利用迭加法或迭代法；

an=(。"一/T)+(a,I-4"-2)+3"-2一。"-3)+…+(。2一。|)+%

例：已知数列｛%｝中，%=2,凡=/_1+2〃一1(〃22),求数列｛4｝的通项公式；

b、已知关系式*+1=。“•/(〃)，可利用迭乘法……2

an-\an-2an-3。2

例、已知数列｛4｝满足：-^=—(»>2),a1=2,求求数列｛凡｝的通项公式；

%〃+1

c、构造新数列

n

1°递推关系形如“a„+l=pa,,+q,利用待定系数法求解

例、己知数列｛%｝中，卬=1,«„+1=2«„+3,求数列｛an｝的通项公式.

2°递推关系形如“，两边同除"阳或待定系数法求解

例、q=l,a„+l=2an+3",求数歹U｛%｝的通项公式.

n

3°递推已知数列｛a,,｝中，关系形如“an+2=p-。,田+q-an,利用待定系数法求解

例、己知数列｛4｝中，6=1,七=2,*=3a„+1-2an,求数列｛4｝的通项公式.

4°递推关系形如"an-pa“_i=qa“a“_](p,q/0),两边同除以a,,。,一

例1、已知数列｛%｝中，a“-=2a“a,i(n22),a1=2,求数列｛a“｝的通项公式.

例2、数列｛%｝中，q=2,/用=乌J(〃eN+),求数列｛%｝的通项公式.

4+%

d、给出关于5„和品的关系

例1、设数列｛4｝的前〃项和为S“，已知q=a,an+i=5„+3"(〃eN.),设hn=S„-3",

求数列也｝的通项公式.

例2、设S“是数列",｝的前〃项和，％=1,S；=a,[s,一>2).

⑴求｛"“｝的通项；

⑵设bn=一&一,求数列物,｝的前〃项和Tn.

2n+l

题型三：证明数列是等差或等比数列

A)证明数列等差

C

例1、已知S,为等差数列｛*｝的前〃项和，2=E(〃eN+).求