高中数学知识归纳与梳理

方中毅号和鹤点粒物与机理

§01.集合与简易逻辑知识结构

九）空集是任何非空集合的真子集；\

集合元素的特性—►确定性、互异性、无序性

（2）AcA；（3）则AcB则A=8敢u8；

有限集（4）若A勺8,BcC,则AqC：

（5）含有"个元素的集合有2"个子集，

集合的分类无限集

有2"'个真子集；

空集小（6）e,勺的区别:e表示元素与集合关系，

集-------------£表示集合与集合关系；

---►集合的表示一►列举法、特征性质描述法、Veen图法

4（7）a与{0}区别：一般地，a表示元素，

真子集{4}表示只有一个元素a的集合；

性质（8）{0},{0},。区别:{0},{。}表示集合,

集合的基本关系子集

\^表示空集，0a{o},0勺{0}.J

儿何相等

交集PM/(y)A\JA=A,AC\A=A,

A\J(p=A,A[}(p=(p\

数轴、Veen图、

集合的基本运算-»并集pUq（2）AnB=A。AqB,

函数图象=BqA,

补集A|JB：

互逆⑶AU（QA）=U；An（C"）=@

产原命题：若p,则1«*逆命题：若q,则p.

（C（JA）=A

A

⑷Q（An5）=（QA）U（Q8）：

四种命题

互否互否（5）分配律：An（8uc）=（An8）u（Anc）；

AU（8nC）=（AU8）n（AUC）；

否命题：若「仍则----->逆否命题：若「q,则「p

互逆---------------------（6）结合律：An（finc）=（AnB）nc；

或v—Pvq

\AU(BUC)=(AUB)UC；

基本逻辑

且八y

联结词7Z2

否广若p"xeM,p(x)；则r?:3L%eM,十(%)

全称量词全称命题

量词一------------------------

西共母》昭鲤睇;仅是岸禳触Sp:3x0GM,“(％);则-/?(%)

x-5y

②点集与数集的交集是。.（例：A={（x,y）|y=x+1}B={y|y=^+1）贝ijACB=0）。

1.如果已知Pnq那么我们说，P是q的充分条件，q是P的必要条件。

若p=q且q=>p,则称p是q的充要条件，记为pOq.

2.全称量词与存在量词

⑴全称量词与全称命题：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“V”表示.含有全称量词的

命题，叫做全称命题.

⑵存在量词与特称命题：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“三”表示.含有存在量词

的命题，叫做特称命题.

⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定

①全称命题p：VxeM,〃（x）,它的否定-山：Ic。eM,「p（Xo）.全称命题的否定是特称命题.

②特称命题p：3x0GM,/?（x0）,,它的否定一p:VxcM，-Wx）.特称命题的否定是全称命题•

(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

1.整式不等式的解法：根轴法(零点分段法)从右向左，从上向下，奇穿偶回，零点讨论

①将不等式化为a0(x-x,)(x-x。…(x-x.)〉0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)

②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点(为什么？)；

④若不等式(x的系数化“+”后)是“〉0”，则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”，则找“线”在x轴下方

的区间.

-+3—三+>X

(自右向左正负相间)

则不等式00工"2的解可以根据各区间的符号确定.

+qx'i+a2x"-+•••+«„>O(<O)(«o>0)

特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；

②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的讨论.

A>()A=0A<()

u

甘

二次函数

y=ax2+bx+c

(Q>0)的图象

一元二次方程有两相等实根

有两相异实根

ax2+bx+c—0b

)七=-二无实根

(<7>0郑J根XL®<%25=

ax2++c>0卜一以｝

VX］或X>x2}

(a>O)的解集R

ax2+bx+cv0

(r|xj<x<x2}0

(a>0)的解集0

2.分式不等式的解法

(1)标准化：移项通分化为>0(或10<o)；-0(或(O)W0)的形式,

g(X)g(X)g(X)g(x)

(2)转化为整式不等式(组)>00/(x)g(x)>0；位20O[/曰%(尹士0

g(x)八*g(x)

3.含绝对值不等式的解法

(1)公式法：|以+4<c,与|办+母>c(c>0)型的不等式的解法.

(2)定义法：用“零点分区间法”分类讨论.

(3)几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.

4.一元二次方程根的分布一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)

(1)根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.

(2)根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.

§02.映射、函数、导数的知识网络

A中元素在B中都有唯一的象；可一对一列表法

映

解析法

定义表示

图象法

定义域■>使解析式有意义及实际意义

r*函数的概念

-►三要素

对应关系常用换元法求解析式

>区间值域->观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、

重要不等式、三角法、图象法、线性规划等

单调性1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性。

奇偶性1.先看定义域是否关于原点对称，再看A-x)=/U)还是忒力.

函数的2.奇函数图象关干原点对称，若x=0有意:义，则"0)=0.

周期性

基本性质

/(x+T)^(x)；周期为T的奇函数有：f(J)=f(T/2)=/(0)=0.

对称性

函

最值二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、

数

"奇函数：Oo甯…g)x。)

2.偶函数：八/(-%)、…、八、

f(-x)=/(x)=/(-x)-/(x)=00、=l,(/(x)工0)

3.函数奇偶性的性质：在公共定义域下：

(1)奇函数+奇函数二奇函数，奇函数X偶函数二奇函数，偶函数+偶函数=偶函数，偶函数X偶函数二偶

(2)在复合函数中：若内函数与外函数都是奇函数是，复合函数为奇函数；若内函数与外函数中有•个是偶函数，则复合函

数为偶函数。

(3)奇函数在其对成的区间上单调性相同；偶函数在其对成的区间上单调性相反；

(4)若奇函数在原点有意义,则f(0)=0.若f(x)为偶函数,则f(x)=f(|x|)

(5)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；

(6)奇延拓：如：已知f(x)在R上的奇函数，且当x>0时，/(x)=/—2x+l,则在R上f(x)的表达式为:

x2-2x+l,(x>0)x2-2x(x20)

fW=0,(x=0)x2+2x,(x<0)

-x2-2x-t(x<0)

(7)偶延拓:如：已知f(x)在R上的偶函数，且当xNO时，/■(x)=x2-2x,则在R上f(x)的表达式为：如上

说明:函数的奇偶性具有整体意义，否定一个函数不具有奇偶性，只需举一个反例即可.

4.函数图象的对称性：

(­)：自身对称：(1)：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)<则f(x)的图象关于直线x=a对称；

一般地：若f(b—x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=(a+b)/2对称；

(2)：若函数f(x)满足/(a-x)=力-/(a+x)则f(X)的图象关于点(a,b)成中心对称。

说明：轴对称是偶函数的延拓，点对称是奇函数的延拓。

5.若f(x)满足/(X+T)=/(X),(THO的常数)，则称f(x)为周期函数，且nT(n为非零整数)都是它的周期.

定理1：若f(x)满足f(a+x)=f(a-x),Sf(b+x)=f(b-x),(a*h),则f(x)为周期函数，且21a-%|是它的一个周期.；

定理2：若f(x)满足f(a+x)=f(a-x)且/S-x)=-/S+x)，则f(x)为周期函数，且4|。一。|是它的一个周期。

定理3：若f(x)满足/3+©=-/(4-》),./'(。+幻=一/(。-；0,3#母则第)为周期函数,且2|〃-〃|是它的一个周期.；

推论1：若偶函数f(x)满足/•(a+x)=/(a-x),则f(x)为周期函数，且21al是它的一个周期；

推论2：若偶函数f(x)满足/(a+x)=-/(a-x),则f(x)为周期函数，且41al是它的一个周期；

推论3：若奇函数f(x)满足/■(a+x)=f(a-x),则f(x)为周期函数，且4|是它的一个周期；

推论4：若奇函数f(x)满足/(“+x)=-/(a-x)，则f(x)为周期函数，且21al是它的一个周期

(-)两个函数图形间的对称：y=f(x)的图象分别关于函数：y=f~'(x),y=-f-'(-x),y=-/(-x),

y二4一/(2〃一X),y=/(2〃一4)的图象关于：y=x、y二一X、点(0,0)、(a,b)、x=a,对称。

6.增函数：/，/e。,则玉O/(%,)</.(工2),"3一"二〉。0//(元)20恒成立

MF

7・减函数:X],心£则玉<巧=/(X|)>f(x2―)<0<=>/(%)<0恒成立rGD

为一工2

8.性质(1)复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则。(2)原函数与其对应的反函数具有相同的单调性。

说明：函数的单调性具有局部意义，故讨论函数的单调性首先注意所给定的区间。

9.原函数与反函数是相互的，判断一个函数是否有反函数的唯一标准是看从定义域到值域能否建立一一对应的关系。

性质：(1)原函数与反函数的图形关于直线y=x对称；(2)若原函数为奇函数，则反函数也为奇函数；

(3)单调函数一定有反函数；(4)f{a}=bof~\b)=a

(5)f~'[/(x)]=x,xGA,f[f~'(x)=x,xGB

(6)原函数与反函数的图象平移遵循“左与下，右与上”的关系，即：y=f^x_a)+b<^f=f\x-b)+a.

bb,n

io..a•a—a-ra=a,{a)={a)=a,(一)=—(awl”

aam

n___n]

mtn1

a="a",a=/-----=l,^=afa)=N=logrtN=b.

ml八n

7a

n

logaM♦N=\ogaM+log,N,log”--=logaM-logwN,log“b=n\ogab^log1=0,logaa=1

log,*•log小•10g〃=log”d

nuh

logb=log^-崛=—logf/b,a^=b,(a>0,awl,b>0),log,b=?—

tnlogNalog,,a

ii.方程/(x)=0有实根o函数y=f(x)的图象与工轴有交点o函数y=/(九)有零点.

12.零点存在性定理：如果函数y=/(x)在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有/(。>/0)<0,那

么函数y=/(x)在区间(。力)内有零点，即存在cw(a力)，使得/(c)=0,这个c也就是方程/(x)=0的根.

13.二次函数的解析式的三种形式：(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(ar0)

2

(2)顶点式:/(x)=a{x—m)+n,(a*0)>(3)两根式：/(x)=a(x—xt)(x—x2),(a^0)

说明：(1)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a*0)在区间［p，q］上的最值问题，首先注意抛物线的开口方向与对称轴的位置。

(2)二次方程/(》)=4犬2+法+°=0(a二0)的区间根问题，一般情况从三个方面考虑：判别式、区间端点函数值的符

号、对称轴与区间端点的关系。

13.指数函数丁=a*(a>0,a/1)的图象和性质：

a>l0<a<l

(1)定义域：R

性(2)值域：(0,+8)

质(3)过定点(0,1)»即x=0时，y=l

(4)x〉0时，y>l;x〈O时，O〈y<l(4)x〉0时，0〈y〈l;x<0时，y>l.

(5)在R上是增函数(5)在R上是减函数

14.对数函数的图像与性质

说明：在解指数函数与对数函数时优先注意底数与真数的取值范围。

a>l0<a<l

(1)定义域：(0,+8)

(2)值域：R

(3)过点(1,0),即当x=l.时，y=0

性

(4)]£(0,1)时”0%£(0,1)时y>0

质

XG(1,+8)时y>0xG(L+oo)时y<0

(5)在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数

15.方程/(x)=0有实数根o函数y=/(x)的图象与x轴有交点O函数y=f(x)有零点。

16.如果y=f(x)在区间⑶b］上的图象连续不断的一条曲线，且f(a)f(b)<0,则y=f(x)在(a,b)有零点，即存在ce(a,历满足

f©=0,这个c也是方程f(x)=O的根.

17..抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：

①f(xt+々)=f(xt)+/(x2)=正比例函数f(x)-kx{k0)

②f(xt+%,)=/(x,)-f(x2)；/(芭-占)=/(西)+f(x2)=指数函数类；

③f(x,-x2)=f(x,)+/(x,)；/(%)=/(x,)-/(x,)=对数函数类_；

X2

®/(x,)+f(x2)=2/(^1).=余弦函数----------

18.f(x)在的切线方程：y-f(x0)=f'(x0\x-x0)

19.f(X)在尸(%,%)的法线方程：y-/(X())=一一：——(X-Xo)-

f。0)

20.C=0,(x〃y=Mx/,-1,(sinx)'=cosx,(cosx)z=-sinx

(ln»=L(log：y=Log：,(e»=e\(〃y=a'lna

XX

(“+»=/+/,(“»=“'v+“i/,(勺=uv/v,(/ig(x)])/=r[g(x)]g'(x)

VV

21.常用变换：

©f(x+y)=/(x)/(y)f(x-y)=.②八-y)=/(x)+/(y>o/号)=fM-f(y)

4.求导数的四则运算法则：

(M±V)'=u+v=>y=ft(x)+f2(x)+...+fn(x)=>>■'=/,'(x)+f2(x)+(x)

c=0(c为常数);(x")=nxn'；(sinx)=cosx；(cosx)=-sinx；

xvxxx

(loga)=~-;(lnx)=—；(a)=a\na；(^e)=e.

XIncl入

W(4g(M是可导的，则有:⑴[/(x)土g(*)]'=/(x)土g(x)

导

叫力的=/(93+/(小3(3)制J(",；常g(x)

数

J：kf(x\h:=&J：f(x)土g(x):氏=£f(xylx±J：g(x世：

定=-J：ff(x>ZrJ/(xg.(avbvc)

积

分

与

微

积

分

若尸'(x)=/(x),则=F(b)—尸(“)(牛顿—莱布尼兹公式)

1.求平面图形面积；2.在物理中的应用(1)求变速运动的路程:

(2)求变力所作的功：W=『F(x)公

22.常用定积分公式：⑴JOdr=c(c为常数)⑵Jiar=x+c⑶\xadx=----+c(aw-l)

a+1

xx=

⑷J—de=In\x\+c(5)fedx-e+c(6)JQXdx----Fc(a>0,awl)

xIn。

(7)fsinxdx=-cos九+c⑻Jcosxdx=sinx+c

(9)fsinoxtZ¥=--cosox+c(QWO)(io)Jcosort£r=-sinor+c(awO)

aa

rbM

23.定积分的性质：(i)kf(x)dx=k\f(x)dx(左为常数)；

JaJa

⑵ff(x)±g(x)dx=ff(x)dx±fg(x)dx；(3)「/(x)公+「『(x)公(其中〃<c<Z?)；

JaJaJaJ”J”Jc

⑷利用函数的奇偶性求定积分：若/(x)是上的奇函数，则「f(x)dx=o；若/(幻是［-。,。］上的偶函数，则

Jf(x)dx=2jf(x)dx.

§03.三角函数知识要点

I.①与a(0。人＜360。)终边相同的角的集合(角a与角/?的终边重合)：物|£="360°+a,Z€z}

②终边在x轴上的角的集合：物16=2x180°,%wz}③终边在y轴上的角的集合：物|6=%x180°+90°Mez}

④终边在坐标轴上的角的集合：\/3\/3=kx9Q\kez}⑤终边在尸x轴上的角的集合：如尸=Zx180°+45°,&ez}

⑥终边在尸-x轴上的角的集合：Mz?=%xl80°-45°Mez}

⑦若角a与角力的终边关于x轴对称，则角a与角4的关系：a=360”

⑧若角a与角力的终边关于)，轴对称，则角a与角夕的关系：a=3602+18(T-6

2.角度与弧度的互换关系：360°=2万180°=万1°=0.017451=57.30°=57°18,

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度

与角度互换公式：1侬£1=型？比57.30°=57°18'.10=71^0.01745(rad)

n180

11,

3.弧长公式：/=|a".扇形面积公式：s扇形=万7r=51al•r

4.三角函数：设。是一个任意角，在a的终边上任取(异于原点的)•点P(x,y)P与原点的距离为r,

则sinoc=—'cosa=-；tana=":

rrx

5.三角函数在各象限的符号：(一全二正弦，三切四余弦)

6.同角三角函数的基本关系式：包区-anacosa_

cosasina

tancrcot«=1csca-sina=1secacosa=1

.22.22.22t

sin-a+cosa=1sec'a-tan-«=lesca-cot'a=1正弦、余割余弦、正割正切.余切

7.若a€I贝1Jsina+cosae(1,>/21a€II或IV则

sin上+cosdre(—1,1)aGHI则sin<z+cosae［-V2,-l)

8.32+42=52,52+122=132,72+242=252,62+82=102

的角

于90°

、小

锐角

角、

一象限

区别第

角

制;

弧度

角与

任意

圆

单位

三

变形

用、

用、逆

角公式正

函

数

式）

（恒等

证明

值、

、求

化简

不同；

后平移

先伸缩

伸缩与

平移后

注意先