北京市延庆区2024-2025学年高二数学下学期期末考试试题含解析

PAGEPAGE20延庆区2024—2025学年其次学期期末试卷高二数学第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设全集，集合，，则集合（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据补集以及并集概念干脆求解.【详解】因为，所以，因为，所以故选：A【点睛】本题考查集合的补集与并集，考查基本分析求解实力，属基础题.2.焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据焦点位置确定抛物线方程形式，再依据焦点到准线的距离确定结果.【详解】因为焦点在轴的正半轴上，所以抛物线的标准方程可设为，因为焦点到准线的距离为，所以故选：D【点睛】本题考查抛物线标准方程，考查基本分析求解实力，属基础题.3.已知向量，.若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据向量垂直的坐标运算，求得，再求即可.【详解】解：因为，所以，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查向量垂直时的坐标运算，向量模的求解，是基础题.4.设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性即可比较大小.【详解】，由，所以，，，所以.故选：B【点睛】本题考查了利用指数函数、对数函数的单调性比较指数式、对数式的大小，属于基础题.5.在下列函数中，定义域为实数集的奇函数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】利用奇函数定义进行验证可得.【详解】选项A:定义域为,满意所以是奇函数；正确选项B:定义域为,满意所以是偶函数；解除选项C:定义域不为,解除；选D:定义域为,所以是非奇非偶函数；故选：A【点睛】本题考查函数奇偶性问题.其解题思路：常利用函数奇偶定义或图象关于原点对称进行推断．6.圆截轴所得弦的长度等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】在圆方程中令，解得，即可求出弦长.【详解】在圆方程中令，得因此弦长为故选：A【点睛】本题考查圆中弦长，考查基本分析求解实力，属基础题.7.已知两条不同的直线和两个不同的平面，下列四个命题中错误的为（）A.若，，则 B.若，，则C.若，且，则 D.若，，则【答案】D【解析】【分析】依据线面平行性质定理以及面面垂直判定定理推断A;依据平面法向量推断B;依据线面平行判定定理与性质定理推断C;依据线面位置关系推断D.【详解】若，则,因为，所以，故A正确；若，所以法向量相同或平行，因为，所以，故B正确；若，则；若，则,所以，进而有，又，所以，则，故C正确；若，，则或，故D错误；故选：D【点睛】本题考查线面位置关系推断、线面平行判定定理与性质定理、面面垂直判定定理，考查空间想象实力以及推断实力，属基础题.8.已知函数，则“在上单调递减”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先依据在上单调递减确定，再依据范围包含关系确定充要关系.【详解】因为，且在上单调递减，所以即从而因为是必要而不充分条件，所以“在上单调递减”是“”的必要而不充分条件，故选：B【点睛】本题考查充要关系推断、由三角函数单调性求参数范围，考查基本分析求解推断实力，属基础题.9.将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象的函数解析式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先依据题意做平移变换，再利用诱导公式进行化简即可.【详解】由题意知，将函数的图象向左平移个单位长度得，所以函数解析式为：故选D【点睛】此题主要考查三角函数图象的变换平移，属于中低档题，也是常考考点.在此类问题中，由函数沿着轴向左平移个单位时“左加”，向右平移个单位时“右减”，即可得函数的图象；沿着轴向上平移个单位时“上加”，向下平移个单位时“下减”，即可得函数的图象.10.已知函数的定义域为，且满意下列三个条件：①对随意的，且，都有；②；③是偶函数；若，，，则，，的大小关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由①可得函数在上单调递减；由②可得函数的周期；由③由可得函数的图象关于对称，从而可比较大小．【详解】①因为对于对随意的，且，都有，即函数在上单调递减；②由可得函数的周期；③由是偶函数可得函数的图象关于对称，所以，，，所以，则．故选：C．【点睛】本题主要考查了函数的单调性，周期性及对称性在比较函数值大小中的应用，属于中档试题．第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知复数，则__________.【答案】【解析】【分析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可求得.【详解】，.故答案为：.【点睛】本题考查复数的模的计算，同时也考查了复数的除法，考查计算实力，属于基础题.12.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______．【答案】【解析】【分析】依据离心率公式和双曲线的的关系进行求解【详解】由题知：，双曲线的渐近线方程为故答案为【点睛】本题考查双曲线渐近线的求法，解题时要娴熟驾驭双曲线的简洁性质13.数列中，，，.若其前项和为，则________.【答案】5【解析】【分析】依据等比数列定义确定数列为等比数列，再依据等比数列求和公式列式求结果.【详解】因为，，，所以数列为首项为3，公比为2的等比数列，因此其前项和为故答案为：5【点睛】本题考查等比数列定义、等比数列求和公式，考查基本分析求解实力，属基础题.14.在中，，，则边上的高等于________.【答案】【解析】【分析】先依据余弦定理求，即得，再依据直角三角形求边上的高.【详解】边上的高为,故答案为：【点睛】本题考查余弦定理、同角三角函数平方关系，考查基本分析求解实力，属基础题.15.已知函数：①函数的单调递减区间为；②若函数有且只有一个零点，则；③若，则，使得函数恰有2个零点，，恰有一个零点，且，.其中，全部正确结论的序号是_______.【答案】①③【解析】【分析】依据肯定值定义分类探讨函数单调性，即可推断①；结合函数图象以及利用导数求切线斜率可推断②；依据函数图象得，即可确定，进而可推断③.【详解】当时单调递增；当时单调递减，所以函数的单调递减区间为；即①正确；由图可知分别与以及相切时，有且只有一个零点，设与切点为，因为；同理可得与相切时，，因此②错误；由图可知,则，所以③正确；故答案为：①③【点睛】本题考查函数单调性、函数图象与零点、导数几何意义，考查数形结合思想方法以及基本分析求解实力，属中档题.三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知是公差为的无穷等差数列，其前项和为.又，且，是否存在大于的正整数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】存在，8【解析】【分析】利用等差数列前项和公式求出,再建立方程求值.【详解】存在正整数，使得.理由如下：在等差数列中，又，.所以由得所以.令，即.整理得.解得或.因为，所以.所以当时，.【点睛】本题考查解决等差数列基本量求值问题.等差数列基本量计算问题的思路：与等差数列有关的基本运算问题，主要围围着通项公式和前项和公式，在两个公式中共涉及五个量：，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．17.已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）先依据二倍角正弦与余弦公式、协助角公式化简，再依据正弦函数周期与单调性求结果；（Ⅱ）先依据正弦函数性质求在最大值，再依据不等式有解得结果.【详解】（Ⅰ）因为.所以函数的最小正周期.因为函数的的单调递减区间为，所以，解得，所以函数的单调递减区间是.（Ⅱ）由题意可知，不等式有解，即.由（Ⅰ）可知.当时，，故当，即时，取得最大值，最大值.所以.故实数的取值范围是.【点睛】本题考查二倍角正弦与余弦公式、协助角公式、正弦函数性质、不等式有解问题，考查综合分析求解实力，属中档题.18.在天猫进行6.18大促期间，某店铺统计了当日全部消费者的消费金额（单位：元），如图所示：（Ⅰ）将当日的消费金额超过2000元的消费者称为“消费达人”，现从全部“消费达人”中随机抽取3人，求至少有1位消费者，当日的消费金额超过2500元的概率；（Ⅱ）该店铺针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案：方案1：按分层抽样从消费金额在不超过1000元，超过1000元且不超过2000元，2000元以上的消费者中总共抽取25位“幸运之星”赐予嘉奖金，每人分别为100元、200元和300元.方案2：每位会员均可参与线上翻牌嬉戏，每轮嬉戏规则如下：有3张牌，背面都是相同的喜羊羊头像，正面有1张笑脸、2张哭脸，将3张牌洗匀后背面朝上摆放，每次只能翻一张且每翻一次均重新洗牌，共翻三次.每翻到一次笑脸可得30元嘉奖金.假如消费金额不超过1000元的消费者均可参与1轮翻牌嬉戏；超过1000元且不超过2000元的消费者均可参与2轮翻牌嬉戏；2000元以上的消费者均可参与3轮翻牌嬉戏（每次、每轮翻牌的结果相互独立）.以方案2的嘉奖金的数学期望为依据，请你预料哪一种方案投资较少?并说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）方案1，理由见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由图可知，消费金额在内的有8人，在内的有4人，利用组合可得这12人中抽取3人，共有种不同方法，再求出抽取的3人中没有1位消费者消费超过2500元，共有种不同方法，依据古典概型的概率计算公式即可求解.（Ⅱ）方案1按分层抽样抽取“幸运之星”中的人数，从而求出嘉奖的总金额；设表示参与一轮翻牌嬉戏所获得的嘉奖金，的可能取值为0，30，60，90，利用二项分布求出分布列，求出数学期望即可.【详解】（Ⅰ）解：记“在抽取的3人中至少有1位消费者消费超过2500元”为事务A.由图可知，去年消费金额在内的有8人，在内的有4人，消费金额超过2000元的“消费达人”共有8+4=12（人），从这12人中抽取3人，共有种不同方法，其中抽取的3人中没有1位消费者消费超过2500元，共有种不同方法.所以，.（Ⅱ）解：方案1按分层抽样从消费金额在不超过1000元，超过1000元且不超过2000元，2000元以上的消费者中总共抽取25位“幸运之星”，则“幸运之星”中的人数分别为，，，依据方案1嘉奖的总金额为（元）.方案2设表示参与一轮翻牌嬉戏所获得的嘉奖金，则的可能取值为0，30，60，90.由题意，每翻牌1次，翻到笑脸的概率为，所以，，.所以的分布列为：0306090

数学期望为（元），依据方案2嘉奖的总金额为（元），因为由，所以施行方案1投资较少.【点睛】本题主要考查了组合数、古典概型、离散型随机变量的分布列、均值，考查了考生的分析实力，属于中档题.19.如图，在四棱锥中，平面，，，，为线段上一点（不是端点），________.从①；②平面；这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答；注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.（Ⅰ）求证：四边形是直角梯形；（Ⅱ）求直线与平面所成角正弦值；（Ⅲ）是否存在点，使得直线平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（I）选择①，利用勾股定理求，再证明，结合即可得证；选择②用勾股定理求，再证明，再依据线面平行性质定理即可解决.（Ⅱ）先在平面内过作，再以为原点，所在直线分别为轴，写坐标，计算即可；（Ⅲ）先假设存在，则，再依据线面平行与空间向量的运算关系求解即可.【详解】（Ⅰ）选择①，连结，因为平面，所以，因为，，所以因为，，所以，所以.因为，所以，所以四边形是直角梯形.选择②，连结，因为平面，所以，因为，，所以因为，，所以，所以.因为平面，平面，平面平面，所以，所以四边形是直角梯形.（Ⅱ）在平面内过作，则平面，由（Ⅰ）知，所以以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，.则，，设平面的一个法向量，则即令，则，，，则.设直线与平面PCD所成的角为，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.（Ⅲ）设，则.所以，若平面，则，即，所以.因为，所以，线段上不存在点使得直线平面.【点睛】本题考查线面平行的性质定理，线面所成的角，存在性问题等，考查逻辑推理实力和运算求解实力，是中档题.20.已知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）求证：当时，；（Ⅲ）当时，若曲线在曲线的下方，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）增区间为，减区间为；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.【解析】【分析】（Ⅰ）求得函数的定义域和导数，分析导数的符号改变，可得出函数的单调递增区间和递减区间；（Ⅱ）求得函数的导数，利用导数分析出函数在区间上单调递增，可得出，由此可证得结论成立；（Ⅲ）由题意可知，对随意的恒成立，构造函数，求得该函数的导数，分、两种状况探讨，利用导数分析函数在区间上的单调性，验证不等式在区间上是否恒成立，由此可求得实数的取值范围.【详解】（Ⅰ）因为，定义域，所以.令，解得，令，解得.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅱ）令，其中，，由得，，于是，故函数在上是增函数.所以当时，，即；（Ⅲ）若曲线在曲线的下方，则.令，则.①当时，则对随意的，，，则，所以，函数在区间上单调递增，则，合乎题意；②当时，由于，则，令，可得.当时，，当时