2024-2025学年新教材高中数学第十章概率单元素养检测含解析新人教A版必修第二册

PAGE单元素养检测(五)(第十章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.给甲、乙、丙三人打电话,若打电话的依次是随意的,则第一个打电话给甲的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.给三人打电话的不同依次有6种可能,其中第一个给甲打电话的有2种,故所求概率为P=QUOTE=QUOTE.2.先后抛掷两枚骰子,设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P1,P2,P3,则()A.P1=P2<P3 B.P1<P2<P3C.P1<P2=P3 D.P3=P2<P1【解析】选B.先后抛掷两枚骰子的点数共有36个样本点:(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6),并且每个样本点都是等可能发生的.而点数之和为12的只有1个:(6,6);点数之和为11的有2个:(5,6),(6,5);点数之和为10的有3个:(4,6),(5,5),(6,4),故P1<P2<P3.3.从含有3个元素的集合中任取一个子集,所取的子集是含有两个元素的集合的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.全部子集共8个,其中含有2个元素的有3个,所以概率为QUOTE.4.某人从甲地去乙地共走了500m,途中要过一条宽为xm的河流,他不当心把一件物品丢在途中,若物品掉在河里就找不到,若物品不掉在河里,则能找到,已知该物品能找到的概率为QUOTE,则河宽为()A.100m B.80m C.50m D.40m【解析】选A.设河宽为xm,则1-QUOTE=QUOTE,所以x=100.5.从一批羽毛球中任取一个,假如其质量小于4.8g的概率是0.3,质量不小于4.85g的概率是0.32,那么质量在[4.8,4.85)范围内的概率是()A.0.62 B.0.38 C.0.70 D.0.68【解析】选B.记“取到羽毛球的质量小于4.8g”为事务A,“取到羽毛球的质量不小于4.85g”为事务B,“取到羽毛球的质量在[4.8,4.85)范围内”为事务C.易知事务A,B,C互斥,且A∪B∪C为必定事务.所以P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.3+0.32+P(C)=1,即P(C)=1-0.3-0.32=0.38.6.有分别写着数字1到120的120张卡片,从中取出1张,这张卡片上的数字是2的倍数或是3的倍数的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.是2的倍数的数有60个,是3的倍数的数有40个,是6的倍数的数有20个,所以P=QUOTE=QUOTE.7.从某地区的儿童中选择体操学员,已知儿童体型合格的概率为QUOTE,身体关节构造合格的概率为QUOTE,从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.设“儿童体型合格”为事务A,“身体关节构造合格”为事务B,则P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE.又A,B相互独立,则QUOTE,QUOTE也相互独立,则P(QUOTEQUOTE)=P(QUOTE)P(QUOTE)=QUOTE×QUOTE=QUOTE,故至少有一项合格的概率为P=1-P(QUOTEQUOTE)=QUOTE.8.一场5局3胜制的乒乓球对抗赛,当甲运动员先胜2局时,竞赛因故中断.已知甲、乙水平相当,每局甲胜、乙胜的概率都为QUOTE,则这场竞赛的甲、乙取胜的概率比(甲∶乙)应为()A.6∶1 B.7∶1 C.3∶1 D.4∶1【解析】选B.甲前2局已胜,甲胜有三种状况:①甲第3局胜为A1,P(A1)=QUOTE;②甲第3局负、第4局胜为A2,P(A2)=QUOTE×QUOTE=QUOTE;③第3局、第4局甲负,第5局甲胜为A3,P(A3)=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.故甲胜的概率为P(A1)+P(A2)+P(A3)=QUOTE,乙胜的概率则为QUOTE.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.在5件产品中,有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,则下列选项中不是以QUOTE为概率的事务是()A.恰有1件一等品 B.至少有一件一等品C.至多有一件一等品 D.都不是一等品【解析】选ABD.将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5,从中任取2件有10种取法:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).其中恰有1件一等品的取法有:(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),恰有1件一等品的概率为P1=QUOTE,恰有2件一等品的取法有:(1,2),(1,3),(2,3).故恰有2件一等品的概率为P2=QUOTE,其对立事务是“至多有一件一等品”,概率为P3=1-P2=1-QUOTE=QUOTE.至少有一件一等品的概率为P1+P2=QUOTE,都不是一等品的概率为1-QUOTE=QUOTE.10.下列事务:①假如a,b是实数,那么b+a=a+b;②某地1月1日刮西北风;③当x是实数时,x2≥0;④一个电影院某天的上座率超过50%,其中是随机事务的有()A.① B.② C.③ D.④【解析】选BD.由题意可知①③是必定事务,②④是随机事务.11.下列事务中,是随机事务的为()①在学校明年召开的田径运动会上,学生张涛获得100米短跑冠军;②在体育课上,体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材,抽到李凯;③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张,恰为1号签;④在标准大气压下,水在4℃时结冰.A.① B.② C.③ D.④【解析】选ABC.①在明年运动会上,张涛可能获冠军,也可能不获冠军.②李凯不肯定被抽到.③任取一张不肯定为1号签.④在标准大气压下水在4℃时不行能结冰,故①②③是随机事务,④是不行能事务.12.下列说法不正确的是()A.事务A的概率为P(A),必有0<P(A)<1B.事务A的概率P(A)=0.999,则事务A是必定事务C.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗,结果有380人有明显的疗效.现有胃溃疡的病人服用此药,则估计有明显疗效的可能性为76%D.某奖券的中奖率为50%,则某人购买此奖券10张,肯定有5张中奖【解析】选ABD.A不正确,因为0≤P(A)≤1;若A是必定事务,则P(A)=1,故B不正确;对于D,奖券的中奖率为50%,若某人购买此奖券10张,则可能会有5张中奖,所以D不正确.依据频率与概率的关系知C正确.三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.一个袋子中有5个红球,3个白球,4个绿球,8个黑球,假如随机地摸出一个球,记A={摸出黑球},B={摸出白球},C={摸出绿球},D={摸出红球},则P(A)=________;P(B)=________;

P(C∪D)=________.

【解析】由古典概型的算法可得P(A)=QUOTE=QUOTE,P(B)=QUOTE,P(C∪D)=P(C)+P(D)=QUOTE+QUOTE=QUOTE.答案:QUOTEQUOTEQUOTE14.有一个数学难题,在半小时内,甲能解决的概率是QUOTE,乙能解决的概率是QUOTE,两人试图独立地在半小时内解决它,则两人都未解决的概率为________,问题得到解决的概率为________.

【解析】甲、乙两人都未能解决的概率为QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE,问题得到解决就是至少有一人能解决问题.所以问题得到解决的概率为1-QUOTE=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE15.甲、乙两组各有三名同学,他们在一次测验中的成果的茎叶图如图所示,假如分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学,则这两名同学的成果相同的概率是________.

【解析】由题意可知从甲、乙两组中各随机选取一名同学,共有9种选法,其中这两名同学的成果相同的选法只有1种,故所求概率P=QUOTE.答案:QUOTE16.箱子中装有十张卡片,分别写有1到10的十个整数;从箱子中任取一张卡片,登记它的读数x,然后再放回箱子中;其次次再从箱子中任取一张卡片,登记它的读数y,则x+y是10的倍数的概率为________.

【解析】先后两次取卡片,形成的有序数对有(1,1),(1,2),(1,3),…,(1,10),…,(10,10),共计100个.因为x+y是10的倍数,这些数对应当是(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,2),(9,1),(10,10)共10个,故x+y是10的倍数的概率为P=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2024·全国Ⅰ卷)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为确定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务?【解析】(1)由试加工产品等级的频数分布表知,甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为QUOTE=0.4;乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为QUOTE=0.28.(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润6525-5-75频数40202020因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为QUOTE=15.由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润70300-70频数28173421因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为QUOTE=10.比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂承接加工业务.18.(12分)小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地匀称)嬉戏,规则:小王先掷一枚骰子,向上的点数记为x;小李后掷一枚骰子,向上的点数记为y.(1)在平面直角坐标系xOy中,以(x,y)为坐标的点共有几个?(2)规定:若x+y≥10,则小王赢;若x+y≤4,则小李赢,其他状况不分输赢.试问这个嬉戏规则公允吗?请说明理由.【解析】(1)由于x,y取值为1,2,3,4,5,6,则以(x,y)为坐标的点有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共有36个,即以(x,y)为坐标的点共有36个.(2)满意x+y≥10的点有:(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6个,所以小王赢的概率是QUOTE=QUOTE,满意x+y≤4的点有:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6个,所以小李赢的概率是QUOTE=QUOTE,则小王赢的概率等于小李赢的概率,所以这个嬉戏规则公允.【补偿训练】某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别,公司打算了两种不同的饮料共5杯,其颜色完全相同,并且其中3杯为A饮料,另外2杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从5杯饮料中选出3杯A饮料,若该员工3杯都选对,则评为优秀;若3杯选对2杯,则评为良好;否则评为合格.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别实力.(1)求此人被评为优秀的概率.(2)求此人被评为良好及以上的概率.【解析】将5杯饮料编号为1,2,3,4,5,编号1,2,3表示A饮料,编号4,5表示B饮料,则从5种饮料中选出3杯的全部可能状况为(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共有10种,令D表示此人被评为优秀的事务,E表示此人被评为良好的事务,F表示此人被评为良好及以上的事务,则(1)P(D)=QUOTE.(2)P(E)=QUOTE,P(F)=P(D)+P(E)=QUOTE.19.(12分)对某班一次测验成果进行统计,如下表所示:分数段[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]概率0.010.020.040.170.360.250.15(1)求该班成果在[80,100]内的概率;(2)求该班成果在[60,100]内的概率;【解析】记该班的测试成果在[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]内依次为事务A,B,C,D,由题意知事务A,B,C,D是彼此互斥的.(1)该班成果在[80,100]内的概率是P(C∪D)=P(C)+P(D)=0.25+0.15=0.4.(2)该班成果在[60,100]内的概率是P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.17+0.36+0.25+0.15=0.93.20.(12分)连续抛掷两颗骰子,设第一颗点数为m,其次颗点数为n,则求(1)m+n=7的概率;(2)m=n的概率;(3)m·n为偶数的概率.【解析】(m,n)的总个数为36.(1)事务A={m+n=7}={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}共6个,则P(A)=QUOTE=QUOTE.(2)事务B={m=n}={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}共6个,则P(B)=QUOTE=QUOTE.(3)事务C={m·n为偶数},分为奇数×偶数,偶数×奇数,偶数×偶数3类,所以共有3×3+3×3+3×3=27个.所以P(C)=QUOTE=QUOTE.21.(12分)甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳中学胜利的概率分别为0.7,0.6,且每次试跳胜利与否相互之间没有影响,求:(1)甲试跳三次,第三次才胜利的概率;(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人胜利的概率;(3)甲、乙各试跳两次,甲比乙的胜利次数恰好多一次的概率.【解析】记“甲第i次试跳胜利”为事务Ai,“乙第i次试跳胜利”为事务Bi,依题意得P(Ai)=0.7,P(Bi)=0.6且Ai,Bi相互独立.(1)“甲试跳三次,第三次才胜利”为事务QUOTE∩QUOTE∩A3,且这三次试跳相互独立.所以P(QUOTE∩QUOTE∩A3)=P(QUOTE)P(QUOTE)·P(A3)=0.3×0.3×0.7=0.063.(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人胜利”为事务C.P(C)=1-P(QUOTE)P(QUOTE)=1-0.3×0.4=0.88.(3)记“甲在两次试跳中胜利n次”为事务Mn(n=0,1,2),“乙在两次试跳中胜利n次”为事务Nn(n=0,1,2),因为事务“甲、乙各试跳两次,甲比乙的胜利次数恰好多一次”可表示为M1∩N0+M2∩N1,且M1∩N0,M2∩N1为互斥事务,则所求的概率为P(M1∩N0+M2∩N1)=P(M1∩N0)+P(M2∩N1)=P(M1)P(N0)+P(M2)P(N1)=2×0.7×0.3×0.42+0.72×2×0.6×0.4=0.0672+0